平面几何在解析几何中的应用
高中数学平面解析几何的应用
高中数学平面解析几何的应用数学是一门追求准确性和精确性的学科，而平面解析几何则是数学中的一个重要分支。
它通过利用坐标系统和代数方法来研究几何问题，并应用于各种实际情境中。
在高中数学课程中，学生将接触到平面解析几何的基本概念和方法，并学习如何将其运用于实际问题中。
一、平面解析几何的基本概念平面解析几何的核心概念包括点、直线和曲线。
在二维坐标系中，我们可以用有序对 (x, y) 来表示平面上的点，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
直线可以通过一元一次方程的形式来表示，即 y = kx + b，其中 k 为斜率，b 为截距。
曲线则可以通过高次方程的形式来表示，例如二次曲线的方程为 y = ax^2 + bx + c。
这些基本概念为平面解析几何的应用打下了坚实的基础。
二、平面解析几何在几何图形的性质研究中的应用平面解析几何的方法可以应用于研究几何图形的性质。
例如，我们可以利用解析几何的方法证明平行线的性质。
假设有两条直线 L1 和L2，通过选择相应的坐标系并运用直线方程，我们可以得到 L1 和 L2的方程分别为 y = k1x + b1 和 y = k2x + b2。
若 k1 = k2，则两条直线平行。
这种方法可以推广到研究其他几何图形的性质，如垂直线、角的性质等。
三、平面解析几何在直线与曲线的交点求解中的应用求解直线与曲线的交点是平面解析几何的一个重要应用领域。
通过给定的直线和曲线方程，我们可以将直线方程代入曲线方程中，从而得到交点的坐标。
例如，假设有直线 L: y = 2x + 1 和曲线 C: y = x^2，我们可以将直线方程代入曲线方程得到 x^2 = 2x + 1。
进一步解方程可得到 x = -1 和 x = 3。
将 x 值代入直线方程可以得到相应的 y 值，从而得到交点的坐标。
四、平面解析几何在三角形和圆的性质研究中的应用平面解析几何可以应用于研究三角形和圆的性质。
例如，我们可以利用解析几何的方法证明三角形的垂心、重心和外心的性质。
空间解析几何中的曲面与平面的性质与应用
空间解析几何中的曲面与平面的性质与应用空间解析几何是现代数学中的一个重要分支，其中曲面与平面的性质与应用是其核心内容之一。
曲面与平面的性质研究了它们在空间中的特点和行为，而应用则将这些性质运用到实际问题中。
本文将围绕这一主题展开讨论。
一、曲面的性质曲面可以用数学方法描述，其中最常见的是方程法和参数方程法。
方程法通过一元或多元方程或等式来表示曲面，常见的有二次曲面、高次曲面等。
参数方程法是通过一组参数方程来描述曲面，常见的有球面、柱面等。
曲面有许多重要的性质，如切平面、法线、曲率等。
曲面上的每一点都有一个唯一的切平面，该平面与该点的切线相切。
曲面上每一点的切线与曲面在该点处的法线垂直。
曲率是描述曲面弯曲程度的量，曲面的曲率越大，说明其弯曲越剧烈。
二、平面的性质平面是空间中的一个二维图形，可以由一个点和一对方向向量决定。
平面的方程可以由点法式或一般式表示。
点法式通过平面上的一点和该平面的法线来确定平面方程。
一般式通过平面上的一点及平面上的两个非平行向量来确定。
平面的性质包括平行性、垂直性和夹角等。
平行平面指的是在空间中没有交点的两个平面，它们的法线方向相同或相反。
垂直平面指的是两个平面的法线方向相互垂直。
平面之间的夹角是指两个平面上相应位置的两个向量之间的夹角。
三、曲面与平面的关系应用曲面与平面的关系有许多重要的应用。
以下是其中的两个典型案例。
1. 曲面与平面的相交问题：在实际问题中，经常会遇到曲面与平面相交的情况。
通过求解曲面与平面的交点，可以得到很多有用的信息。
例如，在计算机图形学中，我们可以通过计算射线与曲面的交点来确定曲面的可见性，从而实现逼真的渲染效果。
在建筑设计中，我们也可以通过曲面与平面的相交来计算悬浮物体的投影，从而预测建筑物在不同时间下的阴影变化。
2. 曲面与平面的切割问题：曲面与平面的相交还可以用于解决物体切割问题。
例如，在机械加工中，我们经常需要通过切割固体物体来制造所需的零件形状。
平面解析几何
平面解析几何解析几何是数学中的一个分支，通过使用代数方法和几何方法相结合的方式来研究图形和方程的关系。
在解析几何中，平面是一个重要的概念。
本文将对平面在解析几何中的应用进行介绍。
一、平面的定义与性质在解析几何中，平面可以被定义为一个无限大的二维空间，其中的点满足一定的条件。
平面可以用方程或参数方程的形式表示。
平面有一些重要的性质，包括与平面相关的坐标系、平面上的直线、平面的方程等等。
二、平面上的点与直线在平面上，点是最基本的元素。
点在平面上的位置可以用坐标表示。
平面上的直线可以有不同的表示形式，包括斜截式、点斜式、一般式等。
通过点和直线的关系，我们可以研究平面上的几何图形以及它们之间的性质。
三、平面曲线与方程在解析几何中，平面曲线是指在平面上由给定方程或参数方程描述的图形。
常见的平面曲线包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等等。
解析几何中，研究平面曲线的方法主要是通过代数方程的分析来获得几何信息。
四、平面的变换在解析几何中，平面的变换是指将平面上的点按照一定规则进行转换的操作。
常见的平面变换包括平移、旋转、镜像、放缩等等。
通过平面变换，我们可以研究平面上的对称性、相似性等几何性质。
五、平面解析几何的应用平面解析几何在实际中有广泛的应用。
它可以用来描述物体在平面上的运动轨迹，例如抛物线可以用来描述抛体的运动。
平面解析几何也常被应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
例如，在计算机图形学中，平面解析几何可以用来描述二维图形的形状和变换。
六、总结解析几何是数学中的一个重要分支，平面是解析几何的基本概念之一。
通过使用代数方法和几何方法相结合，我们可以研究平面上的点、直线、曲线以及它们之间的关系和性质。
平面解析几何在实际中有广泛的应用，可以用来描述物体的运动轨迹以及在各个领域的应用。
通过学习和应用平面解析几何，我们可以更好地理解和应用数学知识。
平面几何知识在解析几何中的应用
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平面几何与解析几何综合应用
平面几何与解析几何综合应用几何学在我们的日常生活中无处不在，无论是建筑设计、工程规划还是地图绘制，几何学都扮演着重要的角色。
在几何学的学科中，平面几何和解析几何是两个不可忽视的重要分支。
本文将探讨平面几何和解析几何的综合应用，以展示两者在实际问题中的价值与意义。
一、平面几何的应用平面几何是几何学的一个分支，关注平面内的点、线、面等基本几何对象之间的关系和性质。
它广泛应用于建筑设计、城市规划、地图绘制等领域。
下面介绍几个例子来说明平面几何的应用。
1. 建筑设计建筑设计离不开平面几何的应用。
在建筑规划和设计过程中，设计师需要运用平面几何的原理，确定建筑物的外形、布局和比例。
例如，设计一个几何严谨的对称建筑，需要运用平面几何的对称性原理来确保建筑物的外观美观，同时考虑结构的稳定性。
此外，在建筑设计过程中，平面几何还用于确定楼层平面的布局，如厨房与卧室的合理分隔，确保每个功能空间的使用效率。
2. 地图绘制地图是我们了解和导航世界的重要工具，而地图的制作离不开平面几何的技巧。
地图绘制需要考虑地球表面的曲率和平面表面的差异，运用平面几何的方法将三维地球表面投影到二维平面上。
例如，常见的等经纬度网格投影，就是一种基于平面几何原理的地图投影方法。
通过将地球分割成小的区域，再将这些区域按照特定方式展开到平面上，制作出我们常见的平面地图。
3. 城市规划城市规划是通过将公共设施、道路、建筑物等要素进行合理布局来提供良好的城市环境。
平面几何在城市规划中发挥着重要作用。
通过运用平面几何的原理，城市规划师可以确定道路的走向和宽度，以最大程度地提高交通效率。
此外，平面几何还可以用于确定公共空间的形状和大小，确保城市的绿化率和生态环境。
二、解析几何的应用解析几何是几何学的一个分支，将几何问题转化为代数问题，并利用代数方法解决。
它通过运用坐标系和方程等工具，研究几何对象的性质和关系。
以下是解析几何在实际问题中的应用。
1. 航空航天在航空航天领域，解析几何被广泛应用于轨道运动和飞行路径的计算与分析。
高中数学中的解析几何
高中数学中的解析几何解析几何是高中数学的重要内容之一，它通过运用代数方法研究几何问题，将几何问题转化为代数问题，从而在数学学科中扮演着重要的角色。
解析几何主要涉及平面几何和空间几何两个方面，下面将分别介绍这两个方面的基本概念和应用。
一、平面几何中的解析几何平面几何中的解析几何是利用坐标系的方法进行几何问题的研究与解决。
其中，直角坐标系是解析几何的基础，通过在平面上建立直角坐标系，我们能够方便地表示平面上的点、线、圆等几何元素，并进行相应的运算。
1. 直角坐标系直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴构成的。
一般来说，我们把水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴。
通过在直角坐标系中引入坐标，我们可以精确地描述平面上的点的位置。
例如，点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)。
2. 直线的方程在直角坐标系中，我们可以通过方程的形式来表示一条直线。
其中，一般式方程Ax + By + C = 0是直线方程的一种常见表示形式，在解析几何中广泛应用。
例如，对于直线L，其一般式方程可以表示为Ax + By + C = 0。
3. 圆的方程同样地，在直角坐标系中，我们也可以通过方程来表示一个圆。
一般来说，圆的方程有多种形式，如标准方程、一般方程等。
以标准方程为例，对于圆C，其标准方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
二、空间几何中的解析几何空间几何中的解析几何主要研究三维空间中的几何问题。
与平面几何不同的是，空间几何考虑的是具有三个坐标轴的坐标系。
通过引入空间的坐标系，我们可以方便地描述空间中的点、直线、平面等几何元素，并进行相应的运算。
1. 空间直线与平面的方程在空间几何中，我们同样可以通过方程的形式来表示直线和平面。
例如，对于一条直线L，其方程可以表示为：⎧⎨⎩a1x + b1y + c1z + d1 = 0a2x + b2y + c2z + d2 = 0其中，a1、b1、c1和d1等为常数。
平面与立体几何的解析几何方法
平面与立体几何的解析几何方法在数学中，平面几何和立体几何是解析几何的重要分支。
解析几何是运用代数和分析工具来研究几何问题的数学学科。
平面几何研究平面上的图形和性质，立体几何则研究三维空间中的图形和性质。
本文将介绍平面与立体几何中常用的解析几何方法。
一、平面几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示在平面几何中，我们通常会使用坐标系来描述平面上的点和图形。
一般来说，平面上的点可以用两个坐标值表示，通常以x轴和y轴为基准。
以直角坐标系为例，任意点P的坐标可以表示为P(x, y)，其中x 表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的垂直距离。
2. 距离和中点公式解析几何中，我们可以通过坐标计算两点之间的距离，并且可以得到线段的中点坐标。
对于平面上两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，它们之间的距离可以用以下公式表示：d(P, Q) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)同样地，线段PQ的中点坐标可以通过以下公式得到：M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)3. 直线的斜率和方程在平面几何中，直线是研究的重点之一。
解析几何中，我们可以通过直线上的两个点的坐标来求解直线的斜率。
对于两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)所确定的直线，它的斜率可以通过以下公式得出：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)另外，在解析几何中，我们还可以通过已知直线上的一点和它的斜率来确定直线的方程。
以点P(x, y)和斜率k为例，直线的方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)二、立体几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示与平面几何类似，立体几何中也可以使用坐标系来描述三维空间中的点和图形。
一个常用的坐标系是笛卡尔坐标系，其中三个坐标轴x、y、z相互垂直。
一个点P的坐标可以表示为P(x, y, z)，其中x表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的水平距离，z表示距离z轴的垂直距离。
平面几何在解析几何中的运用
平面几何在解析几何中的运用平面几何在解析几何中的运用平面几何学是一门重要的数学课程，也被称为解析几何。
它是数学中最基本但又最重要的部分之一。
解析几何中用到的概念可以分为几何图形，圆，直线，三角形等，都是基于平面几何学而推演而出的基本图形。
一、几何图形几何图形是平面几何学中最重要的概念，它有许多不同的类别，如点，线，多边形，圆，椭圆等。
通常情况下，它可以分为正多边形，椭圆多边形和变形多边形三大类。
此外，它还可以根据它的几何特性来分类，如对称图形，对称多边形，正多边形等。
他们有助于我们知道有关一个多边形或图形的全部特性，如它的边数，边长，角数，面积，周长等等。
二、圆圆是解析几何中应用最广泛的图形之一，也是由平面几何学而推演而出的基本图形之一。
它由一个固定的中心点和一个固定的半径组成，是由一个不变的圆心内切的一系列圆周而形成的。
它可以用直角坐标系的极坐标表示，也可以用圆的标准式表示。
它与内接圆相比，既有圆心角又有弧度，能用于求解几何问题，也与其他几何图形形成有趣的关系。
三、直线直线在解析几何中也有广泛的应用。
它是由两个点构成的，由一般式表示。
它可以分为斜率和弧长两类，并且由它们共同决定线段的长度和斜率。
另外，它也可以用矢量形式表示，以及用于求出两条直线的交点。
四、三角形三角形在解析几何中也有重要的作用，它由三条线段的交点组成。
它有三条边和三个内角，根据它的边和角的特点，可以分为等腰三角形，等边三角形，直角三角形等。
它的构成则取决于它的内角的大小，内角的总和是180°，根据它的性质可以换算出各边的长度，求出内角，外角等。
总结以上内容中，平面几何学在解析几何中发挥重要作用，几何图形，圆，直线和三角形等常见图形都是由平面几何学而推演而出的。
各种图形也可以在实际中应用，比如解决几何问题，求出长度和角度，根据其特性对对称，对称多边形等类进行划分。
空间解析几何中的直线与平面的性质及应用
空间解析几何中的直线与平面的性质及应用1. 直线与平面的基本性质在空间解析几何中，直线和平面是两个基本的几何概念，它们有着一些重要的性质和应用。
首先，我们来了解直线与平面的基本性质。
1.1 直线的性质直线是由无数个点无限延伸而成的，它有以下重要性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 一条直线无法确定平面；(3) 直线可以通过两个点的坐标来表示；(4) 直线有无穷多个点。
1.2 平面的性质平面是由无数个点组成的二维空间，它有以下重要性质：(1) 平面可通过三个非共线点来确定；(2) 三点确定一个平面时，任意一点可以通过其他两点的坐标来表示；(3) 平面上的点可以通过两个坐标来表示；(4) 平面上的直线有两个坐标表示。
2. 直线与平面的位置关系在空间解析几何中，直线和平面之间存在不同的位置关系，如直线与平面的交点、平行、垂直等。
我们来详细了解这些位置关系。
2.1 直线与平面的交点直线可以与平面相交，交点的个数有以下三种情况：(1) 直线与平面有且只有一个交点。
(2) 直线与平面没有交点，即直线与平面平行。
(3) 直线完全在平面上。
2.2 直线与平面的平行关系直线与平面平行的特征是它们的方向向量垂直，即直线的方向向量与平面的法向量垂直。
通过求解直线的方向向量和平面的法向量的点乘，可以判断直线与平面是否平行。
2.3 直线与平面的垂直关系直线与平面垂直的特征是它们的方向向量和平面的法向量平行。
通过求解直线的方向向量和平面的法向量的点乘，可以判断直线与平面是否垂直。
3. 直线与平面的应用直线和平面在空间解析几何中具有重要的应用。
下面我们来了解一些基本的应用场景。
3.1 直线与平面的交点问题直线与平面的交点问题在实际生活中有很多应用，比如测量、构造等。
通过求解直线与平面的方程组，可以得到它们的交点坐标。
3.2 直线与平面的距离计算直线与平面的距离计算在工程学、物理学等领域具有重要意义。
通过计算直线上的一点到平面的垂直距离，可以得到直线与平面的距离。
平面几何知识在解析几何问题中的巧用
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能注意巧用 、 活用 ， 将会取得事半功倍 的效果 。 但有许多学
生 在 解 题 中不 知 、 会 应 用 ， 文 旨在 通 过 几 个 例 题 的分 不 本 析， 达到 抛 砖 弓 玉 的 目的 。 ｌ
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平面几何知识在解析几何问题求解中的运用
福建中学数学
４ ｌ
平面几何知识在解析几何 问题 求解 中的运用
谢 丽萍
贺 平
３ ６ １ ０ ２ ２ ） ｌ 福 建省 厦 门工 商旅游 学校 （ ３ ６ １ ０ ２ ４ ） ２福建 省厦 门英 才 学校 （
众 所 周 知 ，解 几 题 历来 是 高 考题 中 区分 度较 高
Ａ Ｍ￣ ｉ Ｔ ２ 垂 心的轨迹 ．
ｌ Ｐ Ａ １ ． ｛ Ｐ Ｂ Ｉ ＝ ２ ，当ｂ 变化时，求Ｐ 的轨迹．
方 法 一 圆 Ｃ： Ｘ ＋ Ｙ 。 ＋２ ｙ＝０的 圆 心 ｃ （ ｏ， 一１ ） ， ｒ ＝１ ．由切 割线 定理 ，如 图 １ 所示 ，
有『 尸 Ｉ 。 ＝ １ Ｉ ． １ 朋Ｊ ＝ ２ ＞ １ ，
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ｑ ２
Ｘ ＝ ｍ ＋—— ，
’
方法 二 设点 Ｐ （ ｍ， ） ，
则点 Ｎ坐 标 为 （ ， ） ， 将 坐标 代 入 Ａ Ｔ ， ：Ａ Ｎ． Ａ Ｍ，
则， ： Ｙ＝ ＋ｂ 的参数 方程 为
Ｖ ＝ ｎ ＋ — — ｔ，
４ ２
再 由 尝 ： ， 得 （ 一 ） ＋ ： （ ） ．
１平 面几 何知 识 回顾 ① 圆 中切 割线 定理 、垂径 定理 ． ②三 角形 中两边之 差小 于第 三边 ；三 角形 垂 心、
重 心 、 内心 （ 中 心 ）的性 质 与 运 用 ；射 影 定理 ；角 平分 线定 理 ．
点评 方法二由１ ｌ ＿ ｌ 朋ｌ ＝ ２ 联想到直线的参数
Ａ ／ ／
．同理 ／ ／ ＨＬ ．
， ． ’ ． ＡＴ ， ＨＴ ￣ 是 菱形 ．． ・ ． ２ Ａ Ｎ ＝Ａ Ｈ．
数形结合的再思考——例说平面几何在解析几何中的应用
图５
例 ４ 过双 曲线 ２ ｙ２ ｘ ｎ Ｄ ‘ ‘
一
：
ｌ ｎ＞ ０６＞ （ ，
点， 当Ｐ、 Ａ三点共 线时 Ｐ Ａ— Ｐ Ｆ ≤ 即 Ｆ、
．
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Ｐ —ＰＦ ： Ｆ 因此 Ｐ ＋ＪＢ取到最大值 Ａ Ａ， Ｆ ）
对教材 中出现 的例题或 习题进行适当 的改
解： 图６ 过点 、 如 ， Ｂ作 双曲线右准线的垂
线， 垂足分别为Ｃ、 过点Ｂ作直线 Ｃ的垂线， Ｄ，
垂足为Ｅ点． ＢＦ＝ ｔ 则 Ａ 设 ， Ｆ＝ ５， ｔ根据双曲 线 的 定 义， ＡＣ ： ， ＢＤ ： 兰 所 以Ａ ： 篁 Ｅ
Ｐ ｜ ｏ Ｆ
Ｐ
１／ ／
０＼ Ｊ Ｚ
Ｂ１
图 ３
评注： 解答这道题的关键是发现点 Ｊ是椭圆 Ｅ ；
的右焦点， 根据椭圆定义有 Ｐ Ｂ＋Ｐ ＝２ （ Ｆ ａ Ｆ为
椭 圆的 左焦 点）把 ＰＡ＋ ＰＢ转 化 为 ＰＡ＋２ ， ａ— ＰＦ ＝ １ ０＋ ＰＡ — ＰＦ，设 点 Ｐ 椭 圆上 任 意 为
问题 的几何 意义， 最终代 数问题几何化． 解析 几何 问题是高考的热点之一， 它是用代数的方法 来解决几何问题， 体现 了“ 数形结合” 的数学 思想 方法． 不少同学在做解析几何题 目时感觉这类题 目思路 比较明确， 但计算量 比较大， 因此解题过 程 中往往半途而废， 有时也会“ 小题大做” 花 费 ， 很多时 间．这就 引发 我们对 “ 形结合” 数 的思考， 数与形 的互相转化， 不单单是单 向的， 而应该是 双 向的， 需要 “ ’ “ 的互助互 利， 与 形” 实现两者 的有机结合， 那样才真 正有助于完美解 决数学
几何与平面解析几何的应用
几何与平面解析几何的应用几何学是研究空间、形状和大小关系的数学学科，而平面解析几何是将几何问题转化为代数问题来求解。
几何与平面解析几何在现代科学和工程中有广泛的应用。
本文将介绍几何与平面解析几何在不同领域的具体应用。
一、建筑与设计1. 建筑设计几何与平面解析几何在建筑设计中扮演着重要的角色。
建筑师通过对几何形状、角度和比例的研究，设计出优美而稳定的建筑物。
平面解析几何则可以帮助建筑师准确地计算出各种结构和构件的尺寸和位置，确保建筑的稳定性和安全性。
2. 土地规划土地规划是指对土地进行分析和规划，以确定土地的最佳用途和资源利用。
几何与平面解析几何在土地规划中可以用来测量土地的面积、边界和形状，从而帮助规划者合理利用土地资源。
二、工程与制造1. 机械工程几何与平面解析几何在机械工程中有广泛的应用。
例如，在设计机械零件时，工程师需要考虑到零件的形状、尺寸和位置，以确保机械系统的正常运行。
通过应用几何和平面解析几何的知识，工程师可以精确计算出零件的各种参数。
2. 管道设计管道设计是指设计和布置管道系统，以输送流体或气体。
几何与平面解析几何在管道设计中起着关键的作用。
工程师需要计算管道的长度、曲率和连接角度，并确保管道的布局符合设计要求，提高流体输送的效率。
三、物理学与天文学1. 光学光学是研究光的传播和相互作用的物理学分支。
几何光学是光学中的一个重要方面，它将光看作是直线传播的粒子进行研究。
几何与平面解析几何的知识可以用来计算反射、折射和光的路径等光学现象。
2. 天体测量天体测量是指对天体的位置、运动和性质进行测定和研究。
几何与平面解析几何在天体测量中起着关键的作用。
通过准确测量天体的位置和角度，天文学家可以计算出恒星的距离、星团的直径等基本参数，从而更深入地了解宇宙的结构和演化。
四、计算机科学与图形学1. 计算机图形学计算机图形学是研究计算机生成和处理图像的学科。
几何与平面解析几何是计算机图形学的基础。
高考数学：平面几何知识在解析几何中的应用
平面几何知识在解析几何中的应用解析几何是用代数的方法解决几何问题，思路直接，但运算量大，如果能够挖掘问题中的平面几何要素，利用平面几何知识来协助求解，往往会事半功倍.当问题涉及求两条线段长度的和（或差）的最值时，可联系三角形的三边关系例1 已知椭圆+=1内有两点A（2，2），B（3，0），P为椭圆上一点，则PA+PB的最大值是 .分析：使用解析几何知识列式计算，过程相当繁杂，若根据三角形两边之差小于第三边来求解，则快捷许多.解：如图1所示，B为椭圆+=1的右焦点，设椭圆的左焦点为F（-3，0），则AF==.由椭圆方程可知a=5，所以PF+PB=2a=10.结合三角形三边关系可知：PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+，当且仅当P与AF的延长线与椭圆的交点P′重合时取等号，所以PA+PB的最大值是10+.评注：解例1的关键是把PA+PB转化为PA-PF+10，涉及求两条线段长度之差的最值，自然联想到三角形的性质.思考方向是：活用定义，化折为直.当问题中有正三角形、直角三角形时，不妨考虑用其边角关系例2 过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B 两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于 .（A）（B）（C）（D）8分析：例2的常规解法是设法求出线段AB的中垂线方程，再求出点P的坐标，进而求出PF的长，过程复杂且运算量大.若从平面几何角度入手，则较为简单.解：如图2所示，抛物线的准线l交x轴于点E，AB的中垂线交自身于点Q，作AD=BF.因为Q为AB的中点，所以AQ=BQ，FQ=DQ.作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，BB′⊥x轴于点B′.由抛物线知识可知：AF=AM，BF=BN，∠MAF=∠AFP=60°，所以△AMF是正三角形，∠AFM=60°，从而∠MFE=60° .因为∠FBN=120°，所以∠NFB=30° .又因为∠EFB=∠AFP=60°，所以∠EFN=30°.因为EF=4，所以AF=MF==8，NE=EF·tan∠EFN=，BF===. 而QF=FD=（AF-BF）=，所以FP==.故答案为A.评注：在例2的解法中，由抛物线的定义实现了抛物线上点到焦点和到准线距离之间的相互转化，然后通过挖掘图象中的正三角形和直角三角形等条件，利用其边角关系，从“形”出发求“数”. 思维途径是：构建直角三角形，寻找边角关系.当问题中含有相似三角形时，用好相似比例3 设定点F到定直线l的距离为p（p>0），动点M在定直线l上，动点N在MF 的延长线上，且满足=，建立适当的坐标系，求动点N的轨迹方程.分析：首先要建立适当的坐标系，然后利用已知条件，构建相似三角形，确定动点的运动规律.解：如图3所示，以l为y轴、过点F垂直于l的直线为x轴建立平面直角坐标系，则有F（p，0）.设N（x，y），过N作NQ垂直y轴于点Q.因为=，所以=.由题意可知△MOF∽△MQN，所以====，化简得：（p2-1）x2-2p3x+p2y2+p4=0 （x>0）.评注：若建立坐标系后直接求解例3，运算会比较烦琐.而运用相似三角形的相似比来解题，就使问题大大简化了.这类题的思维方向是：比例式？圯相似三角形？圯化归转化.当问题涉及直线与圆的位置关系时，应用圆心到直线的距离关系例4 已知x，y满足x2+y2-4x+4y+4≤0，求x+2y的值的取值范围.分析：配方后可得（x-2）2+（y+2）2≤4，其几何意义为以（2，-2）为圆心、2为半径的圆及其内部.设z=x+2y，则x+2y-z=0表示平面内的平行直线系，示意图如图4所示.问题转化为求直线与圆相交或相切时z的取值范围.解：把已知的不等方程配方得（x-2）2+（y+2）2≤4，设z=x+2y. 由题意可得，直线l：x+2y-z=0与圆（x-2）2+（y+2）2=4的图象有公共点，故圆心（2，-2）到直线l 的距离d==≤2，解得-2-2≤z≤-2+2，所以x+2y的取值范围为[-2-2，-2+2].评注：处理直线与圆的位置关系问题，一般都用几何法，常常通过圆心到直线的距离关系求解. 其思维流程为：寻找关系？圯计算距离？圯列式求解.当问题涉及三角形的内心时，考虑使用角平分线的性质定理例5 已知M是椭圆+=1上任意一点，F1，F2为椭圆的左右焦点，I是△MF1F2的内切圆圆心.求证：点M，I的纵坐标之比为定值.分析：内心是三角形内角平分线的交点，若由角平分线的直线方程求交点，会导致烦琐的计算，而角平分线定理与比例有关，可简化运算.证明：如图5所示，连结MI并延长交F1F2于点N，则M，I的纵坐标之比转化为.由角平分线的性质定理和等比定理得：=====，所以== （定值）.评注：求解例5的时候要灵活使用角平分线定理和等比定理. 这类问题的思维过程可以归纳为：联想定理？圯合理转化？圯适量计算.【练一练】（1）过抛物线y2=4x的焦点F作弦AB，若弦AB所在直线的倾斜角为60°，则的值为 .（2）过双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P. 若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是 .（A）（B）（C）2 （D）（3）求由直线y=0，x=1，y=x相交所成的三角形内切圆的方程.【参考答案】（1）解：如图6所示，分别作出点A，B在抛物线准线l上的投影A′，B′，则AA′⊥l，BB′⊥l；直线AC垂直BB′的延长线于点C.设AF=m，BF=n.根据抛物线知识可知：BF=BB′=n，AF=AA′=B′C=m，BC=B′C-BB′=m-n，AB=m+n. 在直角△ABC中，cos60°===，解得=3，即=3.（2）解：如图7所示，OM=a，OF=c，OM⊥PF且M为PF的中点，所以△OPF 是等腰直角三角形，∠PFO=45°，所以OF==OM，即c=a. 所以e==. 答案为A.（3）解：如图8所示，三条直线之间的交点分别记为O，A，B.作△OAB的内切圆C，切点分别为D，E，F，记圆心为C（a，b），半径为b.易知OB=AB=1，OA=，OB=OD+DB，即a+b=1 （①）.结合圆的切线长定理知：OA=OF+AF=OD+AE=OD+AB-EB，即a+1-b=，得a-b=-1 （②）.由①②两式解得：a=，b=. 所以圆C的方程是：x-2+y-2=2.。
平面几何知识在解析几何中的妙用
平面几何知识在解析几何中的妙用平面几何是数学中一门非常重要的学科，它讨论介于两个或多个平面之间的关系和几何形状，如线段、直线、圆和多边形等。
它在众多学科中得到了广泛的应用，其中之一就是解析几何。
解析几何是一种几何学的分支，它研究的是空间中关于点、线段、圆等几何元素的属性以及在这些元素间的关系，而平面几何知识正是解析几何中不可缺少的部分。
首先，要将平面几何知识应用到解析几何中，就必须学习直角坐标系、标准直角坐标系以及极坐标系。
从直线、圆等几何图形中，可以得到它们所满足的方程；例如，一条直线由其在直角坐标系中的斜率和截距确定。
另外，还应掌握用三角函数求解不同两点之间的距离以及多边形的面积计算，这些都是平面几何中的基础知识。
其次，平面几何知识也可以用来求解解析几何中的问题。
例如，当需要判断两条直线是否平行或垂直时，可以用斜率相等与否以及是否正交来表示这种关系；而要求出两直线的交点时，可以将它们的方程放入一个矩阵中，求出它们的解，从而得到交点。
在计算多边形的面积时，可以采用“多边形面积公式”，它是一种特殊的三角形公式，可以用来计算多边形和曲面的面积，由此可见，平面几何知识在解析几何中的重要作用。
最后，平面几何知识也可以用于解析图形和曲面中的特性。
例如，当需要求出曲线的极大值时，可以用函数的导数求出其极大值；而当需要求出某椭圆的长轴和短轴时，可以用牛顿迭代法求解；还可以用“参数方程”表示某圆或抛物线，其中就包含了平面几何知识。
以上就是平面几何知识在解析几何中的妙用，可见，平面几何知识在解析几何中有着不可替代的作用。
因此，对于接受解析几何教学的学生而言，学习平面几何知识是十分必要和重要的，它是一门基础性学科，是解析几何学习的基础。
只有掌握了平面几何的基本知识，学生才能在深入学习解析几何知识的过程中更加熟练及灵活地使用这些知识，进而更好地学习解析几何，达到更高的学习效果。
平面几何知识在解析几何中的运用
・19・
高中数学教与学 2007 年
评注 该题的解答既可采用常规的坐标 法 , 又可如上采用圆锥曲线的几何性质 , 借助 平面几何的方法进行推理 , 但几何方法较之 解析法比较快捷 . 2001 年广东高考第 21 题对 椭圆性质的考查 , 用上面的方法也可以容易 证明 . 我们在复习解析几何时要对圆锥曲线 的几何性质引起重视 , 注意数形结合 , 尤其是 有关抛物线的一些性质用平几知识证明更为 方便 . 如 圆 锥曲 线 中的 一般 结 论 :
x y = 2 + 2 a b
2 2
足 AM = 2 A P, N P・ AM = 0的点 N 的轨迹为曲 线 E, 求曲线 E 的方程 . 解 ∵ AM = 2 A P, N P ・AM = 0, ∴N P 为 AM 的垂直平分线 ,
| NA | = | NM |.
例 4 已知椭圆 C 的方程为
・21・
x
2
5
+
y
2
4
= 1.
评注 过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲 线交于两点 , 若知道两焦半径之比 , 那么直线 的斜率与圆锥曲线的离心率两者知一可求其 另一 . 以上两例都把条件集中在焦点弦所在 的直角三角形中 , 再结合几何知识 , 给问题的 解决带来了一定的方便 , 特别是大大减少了 运算量 . 四、 综合应用
若在左准线 l上存在点 R, 使 & PQR 为正三角 形 , 则椭圆离心率 e的取值范围是
.
∴
m - 1 e m - n n = = 2 m +n m 2 - e +1 n
=1 1 ≤ 3
2
m +1 n e
∈
1 ,1 . 3
平面几何知识在解析几何中的妙用
固本朔源 ， 如 果在解 解析 几何 题 的过程 中， 能够 注 重结合平 面几何 知识 ， 真正意 义上落 实数形结 合 ， 我们 的高三数学复 习将更加有效．
（ 责任 编 辑 金 铃）
。 ． ．
即ｚ 。 ＋ ＋２ 一０为 Ｐ的轨迹 方程 ， 表示 以 （ Ｏ ， 一
１ ） 为圆心 ， √ ３ 为半径的圆．
点评 ： 解法二是 由ｌ Ｐ ＡＩ ・ｌ Ｐ Ｂｌ 一２联 想到 直线的 参数 方程 中 ｔ 的几何意义 ， 但 运算量还是 比较 大的， 时间
成 本 的控 制 不 如 解 法 一．
二、 举 例 应 用 说 明
【 例２ 】 已知 Ａ， Ｂ分别 为 曲线 ｃ： ＋ｙ 。 ＝ ＝ ＝ １ （ ≥
ｌ 二 （ ｆ 为 参 数 ） ． ①
—ｎ ＋
以。 一Ｉ 且 一１ ， 即。 一厄
将①代人 Ｘ 。 ＋ ＋２ 一０ 得
经检验 ， 当口 一￣ ／ ２ 时， ０， Ｍ， ｓ三点共线 ，
故存在 ｎ 一√ ２ ， 使得 ０， Ｍ， ｓ三点共线 ．
点评 ： 该 解 法 的 可取 之 处 在 于 巧 妙 地 运 用 “ 直 径 所 对 的 圆周 角是 直 角” 将本题一举成功拿下．
不无关系．
一
平
点Ｔ ． 如图 ２ ， 点 Ｍ 是以Ｓ Ｂ 为直 径的 圆与 线段 Ｔ Ｂ 的交点 ， 试 问： 是否存 在 ａ ， 使得 ０， Ｍ， Ｓ三点共
线？若存 在 ， 求 出 ｎ的值 ； 若 不存 在， 请说明理由． 解： 假设 存在 ａ （ ｎ ＞０ ） ， 使得 ０， Ｍ， Ｓ三点共线．
‘
．
直线 Ｂ Ｔ的方程为 一一－ ａ － （ ｘ ＋ａ ） ． ②
例说平面几何在解析几何中的应用
２１ ０ １年第 １ ２期
例说 平面几何在解析几何中的应 用
解 索
程守山
（ 苏省 常 州 市 北郊 中学 ，１０ ２ 江 ２ ３３ ）
解 析几何 问题 是高 考 的热 点 之 一 ， 它是 用 代 数
最 小值 问题 转化 为 先求 朋 ＋Ｐ Ｃ的最 小值 问题 ， 而 后 者是 求 直 线 上 一 动 点 到 两个 定 点 的 距 离和 的 问
ｙ
个问题在课 本上 也能找 到 它的原型 ， 苏教版 必修 ２第
１７页第 ２ 题 ： １ ０ 已知 （ ，）Ｎ（ ， ２ ， 轴上取一 １３ ， ５ 一 ）在 点 Ｐ， 使得 ＩＡ — Ｎｌ Ｐ ｌ Ｐ 最大 ， 求点 Ｐ的坐标
’ ｉ
Ｎ１
｜ Ｉ 】 ｆ
、
、
） ｊ
条件 、 过程 、 结论这三个 因素 中的一个或两 个来设计 变
式题 ， ： 如 只给 出题 目的条件 ， 学生来 猜 测根据 这 些 让 条件 可 以得 出哪些 结论 ， 这是 对问题 的结论作 变式 处 理 ； 者去掉 原先题 目中的部分条件 ， 生 由题 目的 或 让学 结论 出发来猜 测题 目原有 怎样 的条 件 ， 这是对 问题 的 条件作变式处理 ； 或者根据题 目的条件 和结论 ， 让学 生 自己通过几种不 同 的方 法解答 （ 一题 多解 ） 这是 对 问 ， 题 的过程作变式处理 因此 ， 变式 教学 ” 以在教学 中 “ 可
掘 出条 件 ０＜Ｙ＜ ｘ是 完成 此题 的关 键． ２ 通 过 对 例 题 的层 层 变 式 ， 生 对 三 边关 系 定理 学 的认识 又 深 了一 步 ， 有利 于 培养 学 生 对 从 特殊 到 这
空间解析几何中的直线与平面的性质与应用
空间解析几何中的直线与平面的性质与应用空间解析几何是研究空间中几何图形的位置关系和性质的一门数学学科。
其中，直线和平面是空间解析几何的基本概念，它们具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将介绍直线与平面的性质，以及它们在空间解析几何中的应用。
一、直线的性质与应用1. 直线的方程和向量表示直线可以通过方程或者向量表示。
若用方程表示，一般采用点向式、方向向量式或者对称式。
若用向量表示，则可以使用点向式或者参数式。
直线的方程形式可以根据具体问题选择合适的表示方式。
2. 直线与直线的位置关系两条直线的位置关系可以分为平行、相交和重合三种情况。
判断直线之间的位置关系可以通过直线的方向向量或者解直线方程得到，并且可以根据具体问题选择合适的方法求解。
3. 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系可以分为平行、相交和垂直三种情况。
判断直线与平面之间的位置关系可以通过直线的方向向量与平面的法向量之间的关系来确定，并且可以通过解直线方程和平面方程得到具体的位置关系。
4. 直线与直线的距离和角度直线与直线之间的距离可以通过向量表示和点到直线的距离公式计算得到。
两条直线之间的角度可以通过直线的方向向量之间的夹角来求解。
直线的距离和角度计算有助于解决实际问题中的定位和测量等应用。
二、平面的性质与应用1. 平面的方程和向量表示平面可以通过方程或者向量表示。
若用方程表示，一般采用点法式或者一般式。
若用向量表示，则可以使用点法式、法向量式或者参数式。
平面的方程形式可以根据具体问题选择适当的表示方式。
2. 平面与平面的位置关系两个平面的位置关系可以分为平行、相交和重合三种情况。
平面之间的位置关系可以通过其法向量之间的关系来判断，并通过求解平面方程得到具体的位置关系。
3. 平面与直线的位置关系平面与直线的位置关系可以分为平行、相交和垂直三种情况。
判断平面与直线之间的位置关系可以通过直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来确定，并可以通过解直线方程和平面方程得到具体的位置关系。
平面几何的解析几何方法
平面几何的解析几何方法解析几何是数学中的一个分支，通过运用代数和解析的方法来研究几何问题。
在平面几何中，解析几何方法被广泛应用于解决各种几何问题。
本文将介绍平面几何的解析几何方法，并探讨其在几何问题中的应用。
一、点的坐标表示在解析几何中，点的位置通常可以用坐标表示。
我们可以选取一个平面上的直角坐标系，将平面上的每个点都表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示该点在x轴上的位置为2，在y轴上的位置为3。
通过使用坐标表示，我们可以方便地研究点在平面上的位置关系、距离计算等问题。
二、直线的表示及性质1. 斜率在解析几何中，直线的斜率是一个重要的性质。
斜率通常用字母m表示，它表示直线的倾斜程度。
在坐标系中，设直线上两点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则直线的斜率m可以通过以下公式计算： m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)2. 直线的方程直线在解析几何中通常可以用方程表示。
常见的直线方程有一般式、截距式和点斜式。
- 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
通过一般式方程，我们可以得到直线的斜率和截距。
- 截距式：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的y坐标。
通过截距式方程，我们可以得到直线的斜率和截距。
- 点斜式：y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是直线的斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。
通过点斜式方程，我们可以得到直线的斜率和通过给定点的方程。
3. 直线的性质在解析几何中，直线还有一些重要的性质。
例如，两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
三、曲线的表示及性质在解析几何中，曲线的表示方法有很多种，其中常见的有二次曲线和圆。
1. 二次曲线二次曲线是解析几何中的重要曲线之一，它可以用一般的二次方程表示：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。
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【利用圆得几何性质解法】圆得圆心.由切割线定理，如图1所示,有,故点在圆外，∴
∴点得轨迹方程为．
【点评】显然直线ＡB就是圆得割线，运用平面几何知识中得切割线定理求轨迹就简单明了,结果就是体现在运算量得到极大地减少，时间成本得到控制.
通过本节微专题学习，发现求解圆得问题时,若能充分揭示问题中得几何关系,灵活运用平面几何知识，解题则会事半功倍、切割线定理、圆幂定理、垂径定理就是圆得对称性得反映，它们在圆中得应用程度非常之广泛、
【例题】已知直线与圆相交于不同两点Ａ，B，点在直线l上，且满足，当变化时,求得轨迹。
图1
【常规解法】设点,
则得参数方程为
将（1）代入，得
显然．
设方程(２）得两根为，由，
依题意点在AB或ＢＡ得延长线上,
∴,即
∴。
即为得轨迹方程，表示以为圆心，为半径得圆.
【点评】由联想到直线得参数方程中得几何意义虽然也很自然，但相对与参数方程在教材中得地位来说对更多高三学生来说亦属不易,还有运算量相比较还就是比较大得，时间成本得控制不如方法一.需要说明得就是如果不用直线得参数方程得方法，纯代数解几得方法去做更就是“眼到手不到”,不可能在指定时间内完成
设直线方程为,由与到直线得距离得比为２:1得到等式,即
（注意点到直线距离公式中绝对值符号就是如何去掉得)
【利用相似比解法一】连接与交于点,证明就是线段得三等分点，进而求
如图，作AM垂直于于点M，作垂直于点N，，连接交于点，由相似比知,所以就是线段得三等分点，
而，求出点坐标就是,所以
【利用相似比解法二】AO与交于点B,证明Ｂ就是线段AＯ得五等分点，就能得出B点坐标,进而求
解析几何就是建立在坐标系得基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数方法解决几何问题得一门学科,它开创了数、形结合研究方法、解决解析几何问题得最大难度就是如何把握好解题得总体思想策略、但在平时得解析几何教学中,师生往往偏重于相关量得数量关系得研究,摒弃了最基本,最直接得解题思路，不重视平面几何知识,但解析几何得“魂”还就是“几何"特征、
（Ⅰ）抛物线得准线l得方程为,由点C得纵坐标为2,得点C坐标，所以点C到准线l得距离d=2，又|CO｜=５。所以.
（Ⅱ)【常规解法】设，则圆得方程为：,即,由，
设得到
由，得,此时
圆心得坐标为或,从而得，即圆得半径为
【利用圆得几何性质解法】抓住圆得几何特征结合垂径定理，从圆幂定理为切入点有下列简洁解法：设圆C与ｘ轴交于不同得两点O、G.由圆幂定理知：|AO|·|ＡG|＝|AＭ|·｜AN｜.由条件Ｆ，，即４＝|ＡM｜·｜AN|＝｜AO｜·|AＧ|,由条件设，则,
【例题】如图:椭圆得左右焦点为，上顶点为A，离心率,点P为第一象限内椭圆上得一个点,且则直线得斜率为、
【常规解法一】P到直线得距离与到轴得距离得比为2：1，设出P点坐标,进而求、
设P（m，n）,由题意知直线，
Ｐ到直线得距离，
即(点P在直线AF１得右侧，可直接去掉绝对值符号）
整理得(体现了设而不求)
【常规解法二】A与到直线得距离得比为２:1,用点到直线得距离公式直接解出
连接OP，知，由，得出，
作AM垂直于点M,作ON垂直于于点N,
设与y轴得交点为Ｂ，由相似比知,所以B就是线段ＡＯ得五等分点,而，求出B点得坐标就是,所以
【评析】灵活地应用平面几何知识,可以快速化解题目得难点之处、几何分析就是“形”向“数”得转化，就是特殊性方法，就是“数形结合”思想应用、
通过本节微专题学习，对于某些解析几何问题，我们不一定都要通过常规方法入手,只要我们认真分析题目中几何量之间得关系，运用平面几何得观点来审题,认清题目得本质特征，然后再动笔,往往带来很多方便、要让学生在自然得代数过程中联系几何转化,不要刻意分割解析几何中得“数"与“形",让数形结合思想真正融入解题思维里.
∴或，
【点评】(I）涉及抛物线与圆得位置关系问题,关键要抓住圆心在抛物线上、圆过原点这些几何特征,结合垂径定理与根与系数关系解决问题。（IＩ）根据条件抓住几何特征通过圆幂定理解决，显然比标准答案所给得方法简单明了,关键就就是充分利用了圆得几何性质化难为易、化繁为简，收到事半功倍得效果.
二、解析几何中巧用三角形相似简化计算
活用圆得几何性质可以快速解决圆类问题,降低运算量,培养学生认真分析图形得几何性质，养成综合应用知识得习惯,提高解题技巧与能力、解题时，若能把握形得几何特征,注意挖掘隐蔽条件,灵活利用平面几何知识,对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要得作用，今天我们带领大家学习如何活用几何关系速解圆类问题、
【针对训练】已知圆直线为l上得一点，射线OP交圆于点R,点Ｑ在OＰ上，且满足,当P点在l上移动时,求点Q得轨迹方程、
【分析】常规解法相当繁琐，令人头疼、限于篇幅，这里不再展示常规解法，但就是，如果采用三角形相似来解决得话，会很简单、
【针对训练】（201３年福建高考文科试题）如图,抛物线得焦点为F，准线ｌ与x轴得交点为A.点C在抛物线Ｅ上，以C为圆心,｜OC｜为半径作圆，设圆C与准线l交于不同得两点Ｍ、N。
(I)若点C得纵坐标为2,求｜ＭN｜；
(II)若，求圆C得半径。
【分析】本题主要考查抛物线得方程、圆得方程与性质、直线与圆得位置关系等基础知识.根据条件圆心C在抛物线上且过原点，解法如下：
平面几何在解析几何中得应用
南昌大学附中陈一君
一、活用几何关系速解圆类问题
在解析几何中，作为二次曲线得圆就是研究直线得延续与学习圆锥曲线得基础、圆既就是轴对称图,又就是中心对称图形，其中蕴藏着诸多位置关系与数量关Байду номын сангаас，对于解析几何中圆得某些问题，若能活用题中几何要素得关系，解题就会变得简单而快捷,圆涉及得知识点主要有：圆中切割线定理、圆幂定理、垂径定理、