第二十二章《二次函数》知识点复习

二次函数复习

一、二次函数的有关概念

1、 概念： 形如 ()2

0y ax bx c a =++≠ 的函数叫做二次函数。其中二次项为2ax ，一次项为bx ，

常数项c ；二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项为c 。 2、 练习

例1、二次函数(1)(2)y x x =--的一般式是 ，二次项系数是________，一次项系数是_____________，常数项是 ____ 。

例2、已知函数y=（m-1）x |m|+1

是关于x 的二次函数，则m= ____________ 二、 二次函数图象及画法

1、画法要点： 1、顶点坐标，

2、与X 轴的交点坐标，

3、与Y 轴的交点坐标及它关于对称轴的对称点

2、图像

三、二次函数的性质

（1）开口方向、对称轴、顶点坐标

1、开口方向看a 的值

{

00>

2、求对称轴

3、求顶点坐标

例3、求下列函数的顶点坐标，对称轴

22221(1)(1)32(1)3y x y x y x y x ==-=-+=--（）　（2）　(3)　(4)

222523365724+3y x y x x y x x =+=--=-（）　（6） （）　

（2）函数的增减性

1、当a>0,

（1）、在对称轴的左侧(x ≤h 或 ),y 随x 的增大而减小

在对称轴的右侧(x ≥h 或 ),y 随x 的增大而减大

类似讨论a<0

（3）如何求二次函数的最值

当x=-h 时 , y 最小（大）=k

例4、已知函数y=2

245x x -++，则该抛物线的顶点坐标为 对称轴为 ；当

时，函数有最大值为 ；当 时，y 随x 的增大而减小，当 时，y 随x 的增大而增大。 （4）平移，配方

例5、由2

2y x =的图象向左平移两个单位,再向下平移三个单位,得到的图象的函数解析式为：________ 例6、由2

312()y x =--+的图象向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为： 例7、.抛物线2 y ax =向左平移一个单位,再向下平移8个单位且2

y ax =过点(1,2).则平移后的解析式为： 例8、.将抛物线264y x x =-+如何移动才能得到2

y x =。

四、如何二次函数图象与坐标轴的交点，及利用函数图像解方程和不等式 （1）、 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程，即当y=0

解方程的根则为交点的横坐标。

（2）、 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

（3）、 图象与轴的交点个数：

① 当时，图象与轴交于两点， ② 当时，图象与轴只有一个交点； ③ 当时，图象与轴没有交点.

x 20ax bx c ++=2y ax bx c =++y (0)c x 240b ac ∆=->x ()()1200A x B x ，，，12()x x ≠0∆=x 0∆

22(-h)y a x k

y ax bx c

=+=++顶点式一般式{

2

2()y a x h k y ax bx c

=-+=++顶点式一般式2

()424b ac b x y a a

-=-=

最小大 当时，2221()()y ax y a x m y a x m k

=−−−−−−−→=+−−−−−−−−→=++ 、222()y ax bx c y a x m k

=++−−−→=++

、一般式顶点式

当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

2' 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

（4）、2 a (0)

y x b x ca =++≠与y=m 交点的横坐标即为方程2a x bx c m ++=的根。

例9、（1）抛物线232y x x ＝－＋与X 轴的交点坐标是______，与Y 轴的交点坐标是_________；

（2）、函数277y kx x =--与x 轴有交点,则k 的取值范围是___________ 例10、 如右图为二次函数223y x x =--的图象，按要求填空： 抛物线与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 ；当 时，

0y >；当 时，0y <；当 —8≤x ≤2时，函数值的范围

是 。当 –10≤x ≤8时，函数的最小值是 ，有最大值是 。

例11、如右图，已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ． 五、二次函数解析式的三种形式：

1、一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，顶点坐标： 对称轴：直线 当x= 时，y 最...值=

2、顶点式：2

()y a x h k =-+，顶点坐标：（ ， ）

对称轴：直线 当x= 时，值最.....y =

3、两根式：))((21x x x x a y --=，其中21,x x 是c bx ax ++2

=0的两个实数根，图象与x 轴的两个交点

坐标为（ ， ）和 （ ， ） 例12、 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式： ⑴ 图象过（1，0）、（0，-2）和（2，3）。

⑵ 图象与x 轴的交点的横坐标为-2和1，且过点（2，4）。 ⑶ 当x=2时，y 最大值=3，且过点（1，-3）。

六、二次函数()2

0y ax bx c a =++≠中的常数a , b , c 及2

4b ac ∆=-的符号问题

1、a 的符号，确定抛物线的开口：0a >时 ；0a <时 。

2、ab 的整体符号，确定抛物线对称轴的位置：当0ab >（即02b

a

-

<）时，对称轴是 ，在y 轴的 ，当0ab <（即02b

a

-

>）时，对称轴是 在y 轴的 侧，特殊地，当0b =1'0a >x x 0y >0a

<图（2）