四年级秋季上HT【教师版】-第二讲

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2. 如果仅用字母 A 和 B 组成一种“单词”，把这种单词中字母的个数称为“长度”．至 少有两个 A 相连的单词称为“好词”，如：AAB、AABB、BABAAA、AAAAAA 都是 “好词”，而长度为 7 的 ABBABBA 就不是“好词”．那么长度为 6 的“好词”有________ 个． 【答案】43 【解析】由 A、B 组成的 6 位数单词共 2×2×2×2×2×2＝64 个，其中不是“好词”的 有以下四类：（1）0A6B ：1 个；（2）1A5B ：6 个；（3）2A4B ：10 个；（4）3A3B ： 4 个，共 1＋6＋10＋4＝21 个，故“好词”有 64－21＝43 个．
（2）恰有 2 人到 12 层，共 3×5＝15 种；（3）若 3 人都到 12 层，仅 1 种．所以
一共 75＋15＋1＝91（种）．
法二：如果没有“至少一人到 12 层”这个条件，那么每个人都可以有 7~12 层这 6
种选择，采用分步计数原理，三人总的上楼方式为 6×6×6＝216 种，这里面包含
B
C
A
14
【答案】17
【解析】在 C 点处先标上 0，然后在按正常的标数的规则进行标数即可．
1
B
4 4 8 17
1
C 304 9
1
2345
A 1 111
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拓展提升
1. 一栋 12 层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有 3 人进了电梯，
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练一练
所有三位数中，有
个数与 246 相加发生进位．
【答案】732
【解析】900－4×6×7＝732．
例4
7. 在下图中，有一只小虫要从 A 点沿实线走最短路线爬到 B 点，那么它共有________ 条不同的路线．
B
A
【答案】10 条 【解析】标数法，强调以最短的路线到达 B 点，那么所走的方向只能是向上或向 右，故依据这两个方向进行标数即可．（格点上所标的数含义：从 A 点以最短路 线走到这一点的方法数，其核心是加法原理） 注：本题讲解时，老师可从 2×2 的田字格引入，最终给孩子直观演示出那 6 种．
胜一局，且这一局不能为最后一局，只能为第三局或第四局，此时共有 2×2×2＝
8 种情况．综上，所以共有 2＋4＋8＝14 种情况．
解析另：若第一局小红赢，则共有 7 种情况，如下图：
小红
小红
小红 小明
小红 小红 小明
小明
小明
小红
小红
小明 小明
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谜题大战
六宫数独：每行、每列、每个粗线宫格内均含 1～6，不能重复．
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数里数外
王冕取环
元代的大画家王冕，小时候家境贫苦，没有书读，常常独自躲在学堂门外，听先 生讲课．他聪明刻苦，放牛时，牛儿去吃草，他便独自在池边用树枝作笔，大地为纸， 临摹池中荷花．最终成为远近闻名的大画家．
其中没有人去 2~6 层，至少有一人要上 12 楼，则他们到各层的可能情况共有
________
种．
【答案】91
【解析】法一：可分三类考虑：（1）只有 1 人到 12 层．第一步，三人中先选一
人到 12 层，有 3 种选择；第二步，确定第二个人的上楼情况，有 5 种（7~11 均
可）；第三步，确定最后一人的上楼情况，共 5 种，所以共 3×5×5＝75 种情况；
【解析】（1）逐位确定各个数位上的数字．万位上取1~5中的一个有5种不同的
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取法，以此类推，共能组成5×4×3×2×1＝120（个）不同的五位数．
（2）先考虑个位只能从1、3、5中选一个，有3种不同的选法，然后再考虑其它
的四个数位．应用乘法原理来解答，共可组成3×4×3×2×1＝72（个）不同的五位
知识探究
例1
1. 商店里有三类笔，铅笔、钢笔、圆珠笔．铅笔有 5 种颜色，钢笔有 4 种颜色，圆
10
珠笔有 3 种颜色．那么：
（1）要买任意一支笔，有
种买法；
（2）要从三类笔中各买一支，有
种买法；
（3）要买两支不同类的笔，有
种买法．
【答案】（1）12；（2）60；（3）47
【解析】（1）分类用加法原理：5＋4＋3＝12（种）；（2）分步用乘法原理：5×4×3
1
B 3 6 10
1 234
A 111
13
8. 在下图中，有一只小虫要从 A 点沿实线走最短路线爬到 B 点，那么它共有________
条不同的路线．
B
A
【答案】126 【解析】略
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9. 下图是某街区的道路图，从 A 点走最短路线到 B 点，其中经过 C 点的不同路线 有________条．
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第 2 讲 加乘原理
知识地图
加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能 完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．
乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此独立的步骤来完成，这几步是完成这件 任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步 步相关”．
6. 1 到 1000 这 1000 个数中，有________个数与 456 相加发生进位． 【答案】880 【解析】本题还是反面考虑，找不发生进位的．题干改成 000 至 999 不影响答案 （因为 0 和 1000 都不进位），不发生进位时，个位选 0 至 3，十位选 0 至 4，百 位选 0 至 5，故不符合要求的个数为 4×5×6＝120，1000－120＝880
地到丙地有 4 条路，从甲地直接到丙地有 1 条路．如果要求所走路线不能重复，
那么从甲地到丙地共有
条不同的路线．
乙
甲
丙
丁
【答案】18 【解析】从甲地到丙地可分为以下 3 类情况：（1）甲→乙→丙；（2）甲→丁→ 丙；（3）甲→丙，其中（1）、（2）类独立情况中又分步，所以列式为：3×3 ＋2×4＋1＝18（条）．
B
C
A
【答案】36 【解析】方法一：直接标数．方法二：通过标数，A 到 C 有 6 种，C 到 B 有 6 种， 故 6×6＝36．
B 6 18 36
6 12 18 1 3 6C 6 6 1 23 A 11
B 13 6
123 1 3 6C 1 1 1 23 A 11
10. 下图是某街区的道路图，从 A 点走最短路线到 B 点，其中不经过 C 点的不同路 线有________条．
两类情况：（1）没人到 12 层；（2）至少一人到 12 层．这时我们再考虑“至少
一人到 12 层”这个条件，只需在这 216 种情况里除掉情况（1）即可，而（1）中
每人 5 种选择，采用分步计数原理，共 5×5×5＝125 种．所以最终为 216－125＝
91（种）．
2. 小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜前两局，
传说，他小时曾为一个财主当雇工，讲明的条件是：每月以一个银环作工钱．当 王冕做完了一个月工作后，财主却拿了一串银环出来，在他面前晃了晃，说：“喏， 这都是你的工钱，但是有个条件：这七个银环只准断开其中一个，你每月也只能取走 一个．当月付清当月的工钱，不拖不欠．假如你违反规定，不但捞不到工钱，还要把 已经付出的全部收回．”王冕一听，这显然是在刁难他．但是穷人又上哪去讲理？他 只得答应照办．为了挣钱活命，他每天一面给主人辛勤劳动，一面思考着怎样才能按 月取走工钱．
发散训练
1. 若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数 学竞赛，已知家长和老师共有 22 人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比 妈妈多 2 人，至少有 1 名男老师，那么在这 22 人中，爸爸有________人． 【答案】5 【解析】家长比老师多，所以老师少于 11 人，即不超过 10 人；相应的，家长就 不少于 12 人．在至少 12 个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于 6 人，即不 少于 7 人．因为女老师比妈妈多 2 人，所以女老师不少于 9 人．但老师最多就 10 个，并且还至少有 1 个男老师，所以老师必定是 9 个女老师和 1 个男老师，共 10 人．那么，在 12 个家长中，就有 7 个是妈妈．所以，爸爸有 12－7＝5（人）．
第二类：个位为2或4的偶数，个位有两种取法． 千位不能取0，也不能用个位上
的数字，就剩3个数字可供选择，共有2×3×3×2＝36个．
总共有24＋36＝60个没有重复数字的四位偶数．
本问也可以用反面考虑，减去四位奇数的个数．
练一练
用 0、1、2、3、4 五个数字可以组成
个没有重复数字的五位偶数．
【答案】60 【解析】分为两类：个位数字为 0 的有 4×3×2×1＝24 个，个位数字为 2 或 4 的有
奇数．
（3）先考虑百位只能取1，有1种取法，然后再考虑其它的四个数位．共可组成
1×4×3×2×1＝24（个）不同的百位是1的五位数．
（4）先考虑十位，小于3只能取1或2，有2种取法．然后再考虑其它的四个数
位．共可组成2×4×3×2×1＝48（个）不同的十位小于3的五位数．
（5）如果先考虑个位，只能取 1 或 5 中的一个，有 2 种取法，则万位就只剩 1
【解析】（1）千位上不能取0，先要考虑千位，只能取1~4中的一个，有4种不同
的取法，其它三个数位上的数字取法，依次为4种、3种、2种，能组成4×4×3×2
＝96（个）没有重复数字的四位数．
（2）个位2种，然后首位3种，剩下两位依次3种、2种，故2×3×3×2＝36（个）
（3）第一类：个位为0的偶数，个位有一种取法． 共有1×4×3×2×1＝12（个）不同的
五位数．
11 帮助优秀学生 成就精英梦想
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4. 由数字 0、1、2、3、4 可以组成，
（1）
个没有重复数字的四位数；
（2）
个没有重复数字的四位奇数．
（3）
个没有重复数字的四位偶数．
【答案】（1）96；（2）36；（3）60
谁先胜三局谁赢．共有
种可能的情况．
【答案】14
【解析】小红和小明如果有谁胜了头两局，则胜者赢，此时共 2 种情况；如果没
有人胜头两局，即头两局中两人各胜一局，则最少再进行两局、最多再进行三
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局，必有一人胜三局，如果只需再进行两局，则这两局的胜者为同一人，对此
共有 2×2＝4 种情况；如果还需进行三局，则后三局中有一人胜两局，另一人只
3×3×2×1×2＝36 个，由加法原理，一共有：36＋24＝60 个没有重复数字的五位偶
数．
例3
12
5. 1 到 999 这 999 个自然数中含有数字 1 的数有
个．
【答案】271
【解析】000～999 中，不含数字 1 的共有 9×9×9＝729 个，那么 000～999 中含
数字 1 的就有 1000－729＝271 个，即 1～999 中含数字 1 的数有 271 个．
＝60（种）；（3）要买两支不同类的笔可以分①铅笔和钢笔、②钢笔和圆珠笔、
③铅笔和圆珠笔共三类可能，每类分两步，所以共有 5×4＋4×3＋5×3＝47（种）．
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2. 从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 3 条路，从甲地到丁地有 2 条路，从丁
若第一局小明赢，同样有 7 种情况．综上，此题有 14 种情况．
3. 玩具厂生产一种玩具棒，共有规格完全相同的 4 节，用红、黄、蓝三种颜色给每 节涂色．这家厂共可生产________种颜色不同的玩具棒． 【答案】45 【解析】每节有 3 种涂法，共有涂法 3×3×3×3＝81（种）．但上述 81 种涂法中， 有些涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜 色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次．可以发现只有游戏棒的颜色关于中 点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有 3×3×1×1＝9（种）．故 玩具棒最多有（81＋9）÷2＝45 种不同的颜色．
例2
3. 用 1、2、3、4、5 这五个数字（每个数字只能用一次）能组成，
（1）
个不同的五位数；
（2）
个不同的五位奇数；
（3）
个百位是1的五位数；
（4）要求十位数字小于3，这样的五位数有
个；
（5）要求数字 1 和 5 只能放在个位或万位，这样的五位数有
个．
【答案】（1）120；（2）72；（3）24；（4）48；（5）12