(江苏版)高考数学二轮复习 专题五 第2讲 数列的综合应用 理

第2讲 数列的综合应用

一、 填空题

1. 设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和,且S 1,S 2,S 4成等比数列,则

21

a a = .

2. 设等差数列

{}n a 的前n 项和为S n

,若S

m-1

=-2,S m =0,S m+1=3,则m= .

3. 某种产品三次调价,单价由原来的每克512元降到216元,则这种产品平均每次降价的百分率为 .

4. 在等差数列{a n }中,a n >0,且a 1+a 2+…+a 10=30,则a 5·a 6的最大值等于 .

5. 已知数列{}n a 为等差数列,若11

10a a <-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的n 的最大值

为 .

6. 在数列

{}n a 中,a 1

=1,a 2

=2,且a

n+2

=a n +1+(-1)n (n ∈N *

),则S 100= .

7. (2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的通项公式为a n =7n+2,数列{b n }的通项公式为b n =n 2

.若将数列{a n },{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后看做数列{c n },则c 9的值为 .

8. 已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5,若存在两项a n ,a m ,使得m n

a a =4a 1,则1m +4

n 的最小值

为 . 二、 解答题

9. 已知各项均为正数的数列{a n

}的前n 项和为S n

,满足8S n

=2

n a +4a n

+3(n ∈N *),且a 1

,a 2

,a 7

依次是等

比数列{b n }的前三项.

(1) 求数列{a n}及{b n}的通项公式;

(2) 是否存在常数a>0且a≠1,使得数列{a n-log a b n}(n∈N*)是常数列?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

10. (2013·惠州调研)在等比数列{a n}中,a n>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2.

(1) 求数列{a n}的通项公式;

(2) 设b n=log2a n,求数列{b n}的前n项和S n;

(3) 是否存在k∈N*,使得

1

1

S

+

2

2

S

+…+

n

S

n

在,请说明理由.

11. 已知数列{a n}的前n项和为S n,且点(n,S n)在函数y=2x+1-2的图象上.

(1) 求数列{a n}的通项公式;

(2) 设数列{b n}满足:b1=0,b n+1+b n=a n(n∈N*),求数列{b n}的前n项和公式;

(3) 在第(2)问的条件下,若对于任意的n∈N*,不等式b n<λb n+1恒成立,求实数λ的取值范围.

第2讲数列的综合应用

1. 3

2. 5

3. 0.25

4. 9

5. 19

6. 2600

7. 961

8. 3 2

9. (1) 当n=1时,8a1=

2

1

a

+4a1+3,a1=1或a1=3.

当n≥2时,8S n-1=

2

-1

n

a

+4a n-1+3,a n=S n-S n-1=

1

8(2n a+4a

n-

2

-1

n

a

-4a n-1),

从而(a n+a n-1)(a n-a n-1-4)=0.

因为{a n}各项均为正数,所以a n-a n-1=4.

所以,当a1=1时,a n=4n-3;当a1=3时,a n=4n-1.

又因为当a1=1时,a1,a2,a7分别为1,5,25,构成等比数列,

所以a n=4n-3,b n=5n-1.

当a1=3时,a1,a2,a7分别为3,7,27,不构成等比数列,舍去.综上,a n=4n-3,b n=5n-1.

(2) 由(1)知,a n =4n-3,b n =5n-1

,从而

a n -log a

b n =4n-3-log a 5n-1

=4n-3-(n-1)log a 5=(4-log a 5)n-3+log a 5.

由题意,得4-log a 5=0,所以a=45.所以,满足条件的a 存在,a=4

5.

10. (1) 因为a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25,{a n }为等比数列,

所以23a +2a 3a 5+25a =25,所以(a 3+a 5)2

=25.

又a n >0,所以a 3+a 5=5,又a 3与a 5的等比中项为2, 所以a 3a 5=4,而q ∈(0,1),

所以a 3>a 5,所以a 3=4,a 5=1,所以q=1

2,a 1=16,

所以a n =16×-1

12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭=25-n

.

(2) 因为b n =log 2a n =log 225-n

5-n,

所以

1

n b +-b n =-1,b 1=log 2a 1=log 216=log 224

=4.

所以{b n }是以4为首项、-1为公差的等差数列,所以S n =(9-)

2n n . (3) 由(2)知S n =(9-)

2n n ,所以n S n =9-2n .

当n ≤8时,n S n >0;当n=9时,n S n =0;当n>9时,n

S n <0.