圆标准方程和一般式方程
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
圆一般式化成标准方程
圆一般式化成标准方程
圆是平面上一点到定点距离等于定长的轨迹。
在平面直角坐标系中，圆的方程
可以表示为一般式或标准式。
本文将介绍如何将圆的一般式化成标准方程。
首先，我们来看一般式的圆方程。
一般式的圆方程为：
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$。
其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
要将一般式化成标准方程，我们需要进行一些代数运算。
首先，将一般式展开：$$x^2 2ax + a^2 + y^2 2by + b^2 = r^2$$。
接下来，我们将常数项移到右边，得到：
$$x^2 + y^2 2ax 2by + (a^2 + b^2 r^2) = 0$$。
然后，我们将x和y的系数移到一起，得到：
$$x^2 2ax + a^2 + y^2 2by + b^2 = r^2$$。
现在，我们将完成平方，得到：
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$。
这就是标准式的圆方程。
通过这些代数运算，我们成功地将圆的一般式化成了
标准方程。
在实际问题中，我们经常需要将圆的一般式转化为标准方程，以便更好地进行
分析和计算。
通过本文的介绍，相信读者对这一转化过程有了更清晰的认识。
总之，圆的一般式化成标准方程并不复杂，只需要进行一些简单的代数运算即
可完成。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和运用这一数学知识。
圆的一般方程1
练习： 求过点A(5,-1),圆心为(8,-3)的圆的方程 .
设圆的方程为 x - 8) + ( y + 3) = r (
2 2
2
把点(5,-1)代入得r = 13,
2
( x - 8) + ( y + 3) = 13
2 2
故圆的方程为 + y - 6x - 8 y = 0 x
2 2
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较 (2).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方 程用待定系数法求解.
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
知a、b、r
（x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程 配 方 展 开
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 . 练习：
设圆的方程为 + y + Dx + Ey + F = 0 x
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组
6 + 6D + F = 0 2 8 + 8E + F = 0
2
F =0
D = -6, E = -8.
所求圆的方程为：
2 + y 2 - 6x - 8 y = 0 x
知识回顾：
(1) 圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
2.1.1-2.1.2 圆的标准方程 圆的一般方程(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第一册)
解： 法一：待定系数法
设所求的方程是 （ − ) + ( − ) = ①
因为 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）三点都在圆上，所
以它们的坐标都满足方程①.
（ − + − =
+ − − + =
02
圆的一般方程
问题：
前面，我们学习直线方程，都研究了哪些问题 ？
提示：
确定直线位置的几何要素：点、
方向
直线的倾斜角和斜率
直线的点斜式方程、直线的两点
式方程等
直线的一般式方程
问题2
类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程？
提示：
确定圆的几何要素：圆心、半径
圆的标准方程
圆的一般式方程？
问题3
圆心O的坐标是方程组 + + = 的解.
半径是 =
圆心O（2，-3）
( − ) +( + ) =
所以，△ABC的外接圆的标准方程是（ − ) + ( + ) = .
例3 已知圆心为C的圆经过A（1，1） B（2，-2）两点，且圆心C在直线 l: x-y+1=0 上，
圆的标准方程是 (
)
A.(x-1)2+(y-2)2=5
B.(x-5)2+y2=25
C.(x-1)2+(y-2)2=25
D.(x-5)2+y2=5
解析: 因为圆的一条直径的端点分别是 A(0,0),B(2,4),
所以利用中点坐标公式求得圆心为(1,2),
2
2
从而可求得半径为 (0-1) + (0-2) = 5,
圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r 点M在圆外；(2)d=r 点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，b)判别式为△，则有：(1)d＜r 直线与圆相交；(2)d=r 直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 两圆外离；(4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N(3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程是解析几何中的基本知识点，下面是关于直线与圆的方程的一些重要知识点总结：
直线方程知识点总结：
1. 直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)，其中 (x0, y0) 为直线上的一点，k 为直线的斜率。
2. 直线的斜截式方程：y=kx+b，其中 k 为直线的斜率，b 为 y 轴上的截距。
3. 直线的两点式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中 (x1, y1) 和
(x2, y2) 为直线上的两点。
4. 直线的截距式方程：x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上的截距。
5. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，且 A 和
B 不为 0。
圆的方程知识点总结：
1. 圆的标准式方程：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径。
2. 圆的参数式方程：x=h+rcosθ, y=k+rsinθ，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径，θ 为参数。
3. 圆的极坐标式方程：ρ=r，其中 r 为半径，θ 为极角。
4. 圆的直径式方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D、E、F 为常数。
5. 圆的一般式方程：x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
在直线与圆的方程中，还有一些重要的知识点和概念，如直线的法线式和参数式，圆的切线和割线等。
理解和掌握这些概念和公式对于解决几何问题非常重要。
直线和圆的方程
直线和圆的方程在几何学中，直线和圆是两个基础的几何图形。
在解决几何问题时，了解直线和圆的方程是非常重要的。
本文将介绍直线和圆的方程，并提供一些示例来帮助读者更好地理解。
直线的方程一般式方程直线的一般式方程可以表示为：Ax + By + C = 0其中A、B和C是实数，并且A和B不能同时为零。
示例考虑一条过点P(x₁, y₁)和点Q(x₂, y₂)的直线。
我们可以通过计算斜率来得到直线的一般式方程。
首先，我们可以计算斜率：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)然后，用点斜式方程来得到直线的一般式方程：y - y₁ = m(x - x₁)展开这个方程，我们得到：y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))(x - x₁)进一步化简得到直线的一般式方程：(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + x₂y₁ - x₁y₂ = 0这个方程就是直线的一般式方程。
斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = mx + b其中m是斜率，b是y轴截距。
示例考虑一条通过点P(x₁, y₁)且斜率为m的直线。
我们可以用斜截式方程来表示这条直线。
直线的斜率为m，通过点P(x₁, y₁)，所以直线方程为：y - y₁ = m(x - x₁)将方程展开，我们得到：y - y₁ = mx - mx₁移项整理得到直线的斜截式方程：y = mx - mx₁ + y₁进一步整理后得到：y = mx + (y₁ - mx₁)这个方程就是直线的斜截式方程。
圆的方程标准方程圆的标准方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
示例考虑一个圆心为C(h, k)且半径为r的圆。
圆心C(h, k)，圆的半径为r，所以圆的方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²这个方程就是圆的标准方程。
高一圆的标准方程与一般方程
.2. 掌握用待定系数法求圆的方程.3. 掌握圆的标准方程与一般方程的互化.4. 体会求轨迹方程的方法与思想.二、重点、难点重点：圆的标准方程，通过圆的一般方程求圆的标准方程，根据已知条件求圆的方程.难点：根据已知条件求圆的方程.三、考点分析本节内容是圆的方程，有关圆的题目，多以选择题、填空题的形式重点考查其标准方程和一般方程，难度不大；有时，也将圆的方程作为解答题考查. 1. 圆的定义：平面到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径.2. 圆的标准方程：以),(b a C 为圆心，r （0>r ）为半径的圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ），圆心坐标为（2,2E D --），半径为2422FE D r -+=.特别地，当0422=-+F E D 时，表示点)2,2(E D --；当0422<-+F E D 时，不表示任何图形.4. 点与圆的位置关系已知点22211)()(:),,(r b y a x C y x P =-+-圆的方程 则2121)()(b y a x PC -+-=知识点一：圆的方程例1. （1）求经过点P （1，3），Q （－2，2），且圆心在直线0832:=--y x l 上的圆的方程.（2）求圆心在直线l ：835=-y x 上，且与坐标轴相切的圆的方程.【思路分析】题意分析：求圆的方程关键是求出圆心坐标和半径.解题思路：（1）设出圆心坐标，由已知条件构造方程组求解；或求出线段PQ 的垂直平分线方程，与直线l 的方程联立，解出交点坐标即为圆心坐标.（2）圆与坐标轴相切，说明圆心到坐标轴的距离相等，即都等于圆的半径，由此可列出圆心坐标所满足的方程，解方程可得圆心坐标和半径.【解答过程】（1）解法一：设圆心坐标为),(b a C ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=---++=-+-0832)2()2()3()1(2222b a b a b a ，解得：⎩⎨⎧-==21b a ， 所以5)32()11(22=--+-==PC r ，所以所求圆的方程为25)2()1(22=++-y x .解法二：根据条件可知圆心一定在线段PQ 的垂直平分线上，由直线的点斜式方程可求得线段PQ的垂直平分线方程为由已知圆心也在直线l ：0832=--y x 上，所以由方程组⎩⎨⎧=--=-+0832013y x y x 解得圆心坐标为（1，－2），以下解法同解法一.（2）设圆心为),(b a ，因为圆与坐标轴相切， 所以b a =，圆心在已知直线上，所以有835=-b a ，所以⎩⎨⎧=-=835||||b a b a ，解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1144b a b a 或， 当⎩⎨⎧==44b a 时，a r =＝4，所求圆的方程为16)4()4(22=-+-y x ； 当⎩⎨⎧-==11b a 时，a r =＝1，所求圆的方程为1)1()1(22=++-y x . 【题后思考】由已知条件构造出圆心坐标和半径的方程组，是求圆的方程的关键.例2. 求过点A （－2，1），B （0，－1），C （－2，－3）的圆的方程.【思路分析】题意分析：利用圆的一般方程求解.解题思路：设出圆的一般式方程，分别把三点的坐标代入方程，构成方程组，解此方程组即可得出所求结果.【解答过程】设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，因为A 、B 、C 三点在圆上，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+---+-=+--=++-+-032)3()2(0)1(021)2(22222F E D F E F E D ，解此方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧===124F E D ，所求圆的方程为012422=++++y x y x .【题后思考】本题也可以先求出圆心和半径进而列出圆的方程，但不如这种方法简捷.例3. （1）求与圆0222=+-+y x y x 关于直线01=+-y x 对称的圆的方程.（2）求方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件.【思路分析】题意分析：（1）所求圆与已知圆的半径相同，故只需求出圆心坐标即可求解.（2）本题的关键是落实运用二元二次方程表示圆的充要条件.解题思路：（1）先求出已知圆的圆心坐标和半径，再求出该圆圆心关于对称轴的对称点坐标.（2）直接代入0422>-+F E D 得关于m 的不等式，解不等式即可.【解答过程】（1）圆的方程可化为45)1()21(22=++-y x ， 所以圆心的坐标为)1,21(-，半径为25， 设圆心关于直线01=+-y x 的对称点为),(b a ， 则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--+-=-+01212211211b a a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=232b a ，所以所求圆的方程为45)23()2(22=-++y x . （2）∵0)1)(14(442016204)4(42222>--=+-=-+=-+m m m m m m F E D 1>∴m 或41<m . 【题后思考】（1）由圆的一般方程要能够准确求出圆心坐标和半径，既可以用配方法将其转化为圆的标准式方程求解，也可以直接套用公式求解.（2）并不是所有形如022=++++F Ey Dx y x 的方程都表示圆，用这样的方程表示圆的充要条件是0422>-+F E D .【知识小结】当已知条件与圆心、半径有关时，求圆的方程时，把方程设为标准方程更简便；对于圆的一般方程要会求圆心坐标和半径；另外还要掌握用二元二次方程表示圆的充要条件为0422>-+F E D .知识点二：与圆有关的综合问题例4. 动点M 到两个定点O （0，0），A （3，0）的距离之比为1：2，求动点M 的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.【思路分析】题意分析：动点M 满足的条件在已知条件中已明确给出，只需把它用坐标表示出来，并化简整理即可.解题思路：设出动点M 的坐标，分别用两点间的距离公式表示MO 、MA 的长.【解答过程】设动点M 的坐标为（y x ,），由已知，21=MA MO ，21)3(2222=+-+∴y x y x ， 两边平方并整理得：03222=-++x y x ，所以动点M 的轨迹为以（－1，0）为圆心，以2为半径的圆.【题后思考】求动点的轨迹方程即求动点的坐标（y x ,）满足的方程，当已知条件中明确给出动点运动的条件时，只需把条件用坐标表示出来，并化简整理即可.例5. 已知点2),0,2(),0,2(=-AD B A ，E 为线段BD 的中点，求点E 的轨迹方程.【思路分析】题意分析：（1）由已知条件可知点D 的轨迹方程，把点D 的坐标用点E 的坐标表示出来，然后代入点D 的轨迹方程.（2）利用图形的几何性质可推出1=OE ，故可知点E 的轨迹是以原点为圆心的圆.解题思路：（1）设出点E 的坐标，用中点坐标公式求出点D 的坐标.（2）由图形可得OE 为△ADB 的中位线.【解答过程】解法一：设点),(y x E ，点),(11y x D ，因为E 为线段BD 的中点，所以有即4)2()222(22=++-y x ，整理得：122=+y x . 解法二：连接OE ，则OE 为△ADB 的中位线， 所以121==AD OE ，由圆的定义可知，点E 的轨迹是以原点为圆心的圆，方程为122=+y x . 【题后思考】本题的两种解法分别用到了求轨迹方程的相关方法和定义法.例6. 如果实数y x ,满足方程1)1()3(22=-+-y x ，求：（1）x y 的最大值和最小值；（2）y x +3的最大值和最小值；（3）22y x +的最大值和最小值.【思路分析】题意分析：利用22,3,y x y x xy ++的几何意义，用数形结合的方法来解决. 解题思路：xy 的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率；y x +3的几何意义为设y x b +=3，则b 表示直线在y 轴上的截距；22y x +的几何意义表示圆上的点到原点的距离的平方.【解答过程】（1）xy 表示圆上的点与原点连线的斜率，过原点作圆的两条切线，则切线的斜率分别为0和3，所以x y 的最大值为3，最小值为0.（2）设y x b +=3，则b 表示直线在y 轴上的截距， 作圆的两条斜率为3-的切线，这两条切线的截距分别为2和6， 所以y x +3的最大值为6，最小值为2.（3）22y x +表示圆上的点到原点的距离的平方，因为圆心到原点的距离为2，所以圆上的点到原点距离的最大值为3，最小值为1，所以22y x +的最大值为9，最小值为1.【题后思考】本题使用代数式的几何意义求解比较直观.易错点是误认为22y x +是圆上的点到原点的距离.例7. 已知圆C ：425)3()21(22=-++y x 上两点Q P ,满足：①关于直线4+=kx y 对称；②OQ OP ⊥，求直线PQ 的方程.【思路分析】题意分析：由圆上两点Q P ,关于直线4+=kx y 对称可知圆心在这条直线上，故斜率k 的值可求，进而由02121=+⇔⊥y y x x OQ OP . 解题思路：设出所求直线方程，代入圆方程，用根与系数的关系构造关于所求的方程.【解答过程】由圆上两点Q P ,关于直线4+=kx y 对称可知圆心在这条直线上， 所以有4213+-=k ，解得2=k ， 则直线PQ 的斜率为21-，设P 点坐标为),(11y x ，Q 点坐标为),(22y x ，直线PQ 的方程为b x y +-=21， 代入圆的方程整理得：0)36(4)4(4522=+-+-+b b x b x ， 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-=+>+-⨯⨯--=∆5)36(45)4(40)36(454)4(162212122b b x x b x x b b b 02121=+⇔⊥y y x x OQ OP ，所以053245)36(422=++++-b b b b 解得23=b 或45，经检验，0>∆成立.所以所求直线PQ 的方程为032=-+y x 或0542=-+y x . 【题后思考】本题中由02121=+⇔⊥y y x x OQ OP 是解此类型题常用的结论；求出b 的值后，应验证0>∆是否成立.【知识小结】在本讲中，我们学习了圆的标准方程和一般方程.在求圆的方程时，可根据已知条件选择适当的方程求解.解决有关圆的最值问题时，利用代数式的几何意义求解比较简便.在解答有关圆的综合问题时，结合圆的性质求解是关键；求圆的方程时，如果已知条件与圆心、半径有关，一般采用圆的标准方程求解，如果与圆心、半径无直接关系，则使用圆的一般方程求解.（答题时间：50分钟）一、选择题1. 圆5)2(22=++y x 关于原点对称的圆的方程是（ ） A. 5)2(22=+-y xB. 5)2(22=-+y xC. 5)2()2(22=+++y x D. 5)2(22=++y x 2. 点（1，1）在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则a 的取值范围为（ ） A. 11<<-a B. 10<<a C. 1-<a 或1>a D. 1±=a3. 已知直线l 的方程为02543=-+y x ，则圆122=+y x 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 64. 一个动点在圆122=+y x 上移动，它与点A （3，0）连线的中点的轨迹方程为（ ）A. 4)3(22=++y xB. 1)3(22=+-y x C. 1)2()32(22=+-y x D. 21)23(22=++y x 5. 经过圆0222=++y x x 的圆心，且与直线0=+y x 垂直的直线方程是（ ）A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD. 01=++y x6. 已知圆042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值为（ ）A. 9B. 14C. 5614- D.5614+ 二、填空题7. 已知点A （－4，－5），B （6，－1），则以线段AB 为直径的圆的方程是 .8. 已知圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 过原点且与y 轴相切，则r b a ,,应满足的条件是 .9. 圆心在直线2=x 上的圆与y 轴交于点A （0，－4），B （0，－2），则圆的方程是 .10. 直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于点A 、B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 .三、解答题11. 求与x 轴相切于点（5，0），并在y 轴上截得的弦长为10的圆的方程.12. 方程04)1(422=+--+y x a ay ax 表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.13. 已知圆0622=+-++m y x y x 和直线032=-+y x 相交于Q P ,两点，若OQ OP ⊥，求m 的值.一、选择题1. A 解析：圆心的坐标为（－2，0），则关于原点对称的点的坐标为（2，0）.2. A 解析：由已知22(1)(1)4a a -++<，解得11a -<<.3. B 解析：圆心到直线的距离5d ==，∴最小值为5－1＝4.4. C 解析：设00(,)M x y 为圆上的动点，MA 的中点为(,)N x y ，则0030,22x y x y ++==5. A 解析：圆的圆心为（－1，0），直线的斜率为1，故所求直线的方程为1y x =+即10x y -+=.6. D 解析：圆心为（－2，1），半径为3，圆心到原点的，所以22x y +的最大值为23)14=+二、填空题7. 22(1)(3)29x y -++= 解析：由中点坐标公式得圆心坐标为第 11 页 （1，－3）8. a r =且0b = 解析：由已知：222(0)(0)(0),,0a b r r r a b -+-=>=∴=. 9. 22(2)(3)5x y -++= 解析：线段AB 的中点坐标为（0，－3），所以圆心坐标为（2，－3）=10. 10x y -+= 解析：圆心为（－1，2），圆心与弦AB 的中点（0，1）的连线的斜率为－1，所以所求直线l 的斜率为1，且过点（0，1），故所求直线l 的方程为1y x -=即10x y -+=三、解答题11. 解：因为与x 轴相切于点（5，0），所以圆心的横坐标为5，设圆的半径为r ， 则有22210()5502r =+=，所以圆心的纵坐标为±故所求圆的方程为22(5)(50x y -+±=.12. 解：圆方程可化为22222(1)24(22)[]()a a a x y a a a --+-++=， 方程表示圆⇔2220a a -+>且0a ≠，,0a R a ∴∈≠时方程表示圆. 22224(22)2(2)22a a a a a -+-=+≥，当且仅当2a =时取等号. 2a ∴=时，圆的半径最小，此时圆的方程为22(1)(1)2x y -++=.13. 解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，由2223060x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩得2520120y y m -++=，1212(32)(32)0y y y y ∴--+= 即121296()50y y y y -++=964(12)0m ∴-⨯++=，解得：3m =.。
圆的方程 知识点+例题+练习
教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．课堂巩固一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．教学效果分析。
2.4.2圆的一般方程课件(人教版)
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：
高三-圆的标准方程和一般方程
复习课：圆的标准方程和一般方程教学目标重点：掌握圆的标准方程和一般方程，能根据题目条件选择恰当的形式求圆的方程，理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，并能互化.灵活运用圆的几何性质解决问题.了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.难点：与圆有关的综合题的求解方法.能力点：等价转化的数学思想、数形结合的数学思想的应用,逻辑推理能力的培养和训练. 自主探究点：了解参数方程的概念，理解圆的参数方程,利用参数方程解决求最值问题. 易错点：运算出现错误，对问题分析不全面导致漏解. 学法与教具1.学法：学生动脑、动手总结规律,梳理知识，解决问题.2.教具：投影仪. 一、【知识梳理】1.圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件：如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 2.圆的方程(1)标准式：222()()x a y b r -+-= ，其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心. (2)一般式：22220 (40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E--，半径(3)过圆与直线（或圆）交点的圆系方程：i) 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=，ii) 2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(1-=λ时为一条过两圆交点的直线，该方程不包括圆C 2）(4)二元二次方程220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件：220,0,40A B C D E AF =≠=+->.二、【范例导航】题型1：求圆的方程【例1】(1)求经过点(5,2),(3,2)A B ,圆心在直线230x y --=上的圆的方程;(2)求圆心在直线30x y -=上，与y 轴相切，且被直线y x =截得的弦长为. 【分析】本题可以设圆的标准方程，建立关于圆心(,)a b 和半径r 的三个方程构成的方程组. 【解析】（1）解法一：设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=根据题意可得222222(5)(2)(3)(2)230a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪--=⎩，解得45a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所求圆的方程为22(4)(5)10x y -+-=.解法二：因为圆过(5,2),(3,2)A B 两点，所以圆心在线段AB 的中垂线4x =上，又因为圆心在直线230x y --=上，联立解得4,5a b ==.进而求得圆的半径r 圆方程为：22(4)(5)10x y -+-=.(2)因为圆与y 轴相切，且圆心在直线30x y -=上， 故圆方程可设为222(3)()9x b y b b -+-=又因为直线y x =截圆得弦长为则有2229b +=，解得1b =±， 故所求圆方程为：22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=【点评】求圆的方程时，根据题目条件选择合适的方程形式，同时注意圆的几何性质的充分利用，如在第（1）问解法二中，利用圆心在线段AB 的中垂线上，可以使简化运算.第（2）问求解时注意两组结果.变式训练：求半径为4，与圆22:4240A x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程.【解析】由题意，设所求圆的方程为圆222:()()C x a y b r -+-=．圆C 与直线0y =相切，且半径为4，所以圆心C 的坐标为1:(,4)C a 或2:(,4)C a -． 又已知圆22:4240A x y x y +---=的圆心A 的坐标为(2,1)，半径为3． 若两圆相切，则两圆心之间的距离437CA =+=或431CA =-=.(1) 当1:(,4)C a 时，222(2)(41)7a -+-=，或222(2)(41)1a -+-= (无解)，故可得2a =±∴所求圆方程为22(2(4)16x y -++-=或22(2(4)16x y --+-=． (2) 当2:(,4)C a -时，222(2)(41)7a -+--=，或222(2)(41)1a -+--= (无解)，故2a =±∴所求圆的方程为22(2(4)16x y -+++=或22(2(4)16x y --++=． 【点评】对本题，易发生以下误解：(1)忽略圆心在x 轴下方的情形，（2）只考虑两圆相外切的情况.题型2：轨迹问题【例2】（1）已知点M 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比为12，求点M 的轨迹方程. (2) 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【分析】第（1）问用直接法求轨迹方程，第（2）问用相关点代入法求轨迹方程，所得轨迹都是圆. 【解析】（1）设所求轨迹上任意一点(,),M x y 根据题意：12MOMA =，即：2MO MA =，即= 故所求轨迹方程为：22(1)4x y ++=.（2）设AB 的中点(,)M x y ，点00(,)A x y ，则004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得 002423x x y y =-⎧⎨=-⎩,又因为A 在圆周上运动，故可得：22(241)(23)4x y -++-=，所求轨迹方程为：2233()()122x y -+-=.【点评】本题是比较简单的两道题目，分别用了直接法和相关点代入法求轨迹方程，旨在让学生复习求轨迹方程的方法，同时更进一步了解哪些点的运动轨迹是圆。
圆的一般式求半径公式
圆的一般式求半径公式要求圆的半径，首先需要将一般式方程转化为标准式方程，即(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。
下面我们来推导一下如何从一般式方程中求解半径的公式。
首先观察一般式方程的前两项：Ax²+By²，我们可以将其变形为(A/B)x²+y²=1，这是一个椭圆的标准方程。
如果A=B，则方程变形为x²+y²=1，这是一个单位圆的标准方程。
我们可以将一般式方程写成向量的形式，令v=(x,y)，则可以将方程改写为vᵀAv+2bᵀv+f=0。
下面我们来考虑如何通过二次型矩阵A的特征值和特征向量来求解半径。
假设A的特征值为λ，特征向量为v₁，则有Av₁=λv₁。
将v = cv₁代入原方程可得：(cv₁)ᵀA(cv₁) + 2bᵀ(cv₁) + f = 0，整理后可得 c²v₁ᵀAv₁ + 2bᵀv₁ + f = 0，即 (c²λ + 2bᵀ)v₁ + f = 0。
根据特征向量的定义，v₁≠0，因此有c²λ+2bᵀ=0，解得：c=-2bᵀ/λ。
将c带入向量v = cv₁中，可得v = (-2bᵀ/λ)v₁。
根据标准方程，我们可以知道，v₁的长度为1，即∥v₁∥=1、假设半径r=1/√λ。
因此，我们可以得到圆心(a,b)的坐标为(a,b)=(-2bᵀ/λ,0)。
由于r=1/√λ，我们可以将其转化为√λ=1/r，代入圆心坐标中，得到a=-2bᵀ(1/r)。
将圆心坐标和半径代入标准方程中，即可得到一般式方程转化为标准式方程：(x+2bᵀ(1/r))²+y²=1/λ。
因此，圆的半径r可以通过一般式方程的特征值λ来计算，即r=1/√λ。
综上所述，圆的一般式求半径的公式为r=1/√λ，其中√λ为二次型矩阵A的特征值的平方根。
4.1.2圆的一般方程
x0 4 x 2
y0 3 y 2
x0 2 x 4 即: y0 2 y 3
因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即:
( x0 1)2 y0 2 4
(2 x 4 1)2 (2 y 3)2 4
3 2 3 2 (x ) ( y ) 1 2 2
x2 y 2 2 x 3 0
练一练
圆的一般方程：
x y
2
2
Dx Ey F 0
2
( D E 4 F 0)
2
任何一个圆的方程都是二元二次方程，反之不成立. 圆的标准方程与一般方程各有什么优点？ 标准方程：明确地指出了圆心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方 程理论的应用
复习
1.下列方程各表示什么图形?
例题
1.已知圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的圆心坐标为 (-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于（ ）
A.4,-6,3
B.-4,6,3
C.-4,6,-3
D.4,-6,-3
2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值
范围是(
)
1 A.m 2
B.m 0
1 C.m 2
1 D.m 2
练一练
3.已知点M与两个定点O（0,0），A（3，0）的
1 距离的比为 ，求点M的轨迹方程. 2
解:设M的坐标为(x, y).则
MO x 2 y 2
MA
MO MA
2 x 3 y 2
1 2 x 3 y 2 2
x2 y 2
整理得M点的轨迹方程为：
圆的两种方程
圆的两种方程
圆是一种简单而又重要的几何图形，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在平面直角坐标系中，圆可以用两种方程来表示，分别是标准方程和一般方程。
一、标准方程
圆的标准方程是指以圆心为原点建立直角坐标系，半径为r的圆所满足的方程。
设圆心坐标为(h,k)，则圆的标准方程为：
(x-h)² + (y-k)² = r²
其中，x和y分别表示圆上任意一点的横纵坐标。
这个方程的意义是：对于任意一个点(x,y)，如果它满足上述关系式，则该点就在以(h,k)为圆心，r为半径的圆上。
反之，如果该点不满足这个关系式，则该点不在该圆上。
二、一般方程
除了标准方程外，还有一种更通用的表示方法——一般方程。
它可以
表示任意位置和大小的圆。
设圆心坐标为(a,b)，半径为r，则其一般式为：
(x-a)² + (y-b)² = r²
但是由于a,b,r都是未知数，因此我们需要进一步求解才能确定圆的具体位置和大小。
一般方程的意义是：对于任意一个点(x,y)，如果它满足上述关系式，则该点就在以(a,b)为圆心，r为半径的圆上。
反之，如果该点不满足这个关系式，则该点不在该圆上。
总结：
标准方程和一般方程都是描述平面直角坐标系中圆形的方程。
标准方程是以圆心为原点建立直角坐标系，半径为r的圆所满足的方程；而一般方程则可以表示任意位置和大小的圆。
两种方程各有优缺点，在不同情况下选择合适的方程可以更加便捷地解决问题。
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(1) x y 6x 8 y 24 0 2 2 (2) x y 6x F 0
2 2
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x ) ( y ) . 2 2 4
圆的标准方程
温故知新
1.已知两点坐标P1（x1,y1）、P2（x2,y2） 两点间距离公式：
P1P2 （x2 x1） ( y2 y1 )
2 2
y
r
P(x,y)
2.圆的定义： 平面内到定点的距离等于定 长的点的集合 . 定点是圆心， 定长是半径.
o
x
3.点和圆的位置关系有几种？ 用数量关系如何来判断？ (d表示点到圆心的距离)
y
r
C(a,b)
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 方程
因此确定圆的方程需要三个 独立的条件.
(2)如果圆心在原点,a=0,b=0, 那么圆的方程是:
o y r
x
x2 y 2 r 2
o
x
例题讲解
例1 已知圆的方程为（x 3) ( y 1) 2, 求
D E , , 2 2
1 2 2 半径是 D E 4F . 2
圆的一般式方程:
x2 y 2 Dx Ey F 0
具有以下特点：
(1) x 与y 项的系数相等且不等于 零；
2
2
(2) 不含xy项；
(3) D E 4F 0.
2 2
例题讲解
例5 求经过三点 O(0,0)、P（ 1， 1 ）、Q（3， 1 ） 的圆的方程 ，并求出这个圆的圆心和 半径.
2 2 2
令D 2a, E 2b, F a 2 b 2 r 2 , 则任何一个圆 的标准方程都能化成 ： x y Dx Ey F 0
2 2
2
(3)
2
把方程 （3）左边多项式按字母 x和y分别配方 ， D 2 E 2 D E 4F 可得 ( x ) ( y ) . 2 2 4
y
r
C(a,b)
P(x,y)
( x a ) ( y b) r
2 2
o
x
两边平方得: ( x a)2 ( y b)2 r 2
, 就是圆心是 C(a,b), 半径为r的圆的方程,我们把这个方程叫 做圆的标准方程. 说明: (1)圆的标准方程含有三个独立参数, a、b、r
2 2
（） 1 圆心C的坐标和圆的半径r； （2）判断点M （3， 2）、N （2， 0）、（ P 4， 1） 是在圆内、在圆上、还是在圆外.
y
M N 3
x r P 2
o
-1 C(3,-1)
变式 写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆
的方程，并判断点 M (5,7) ， M ( 5 ,1) 是否在 2 1 这个圆上．
仅当 D 2 E 2 4 F 0时，才表示一个圆；而当 D E 4 F 0时，表示一个点 ；当D E 4 F 0
2 2 2 2
时不表示任何曲线 .
因此当D2 E 2 4F 0时，方程
x 2 y 2 Dx Ey F 0
叫做圆的一般式方程 .此时圆心的坐标
⑴点在圆内
·
d O
r r r
d<r d=r
⑵点在圆上
·
d
O
⑶点在圆外
·
d
O
d>r
进入新课
圆的标准方程
建立圆心是C(a ,b),半径是r(r >0)的圆的方程. 设P(x,y)是圆上任意一点,根 据圆的定义,P到圆心的距离等于 半径r,即 |PC|=r. 由两点间的距离公式,点P适合 的条件可表示为:
2、应用举例 巩固提高
例4 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和
B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
小结：
圆的一般式方程
如果把圆的标准方程 （x a) ( y b) r 展开，得 2 2 2 2 2 x y 2ax 2by a b r 0
例2 根据下列条件求圆的标准方程： （） 1 圆心C （ 1， 2），半径r为3；
y
（2）直径 AB 两个端点的坐标分别为 A（ 3， 4）、 B（3， 4） .
y A (-1,2)
0
0
x
B
2、应用举例 巩固提高
例3 ABC 的三个顶点的坐标
分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．