高中数学青年教师解题比赛试卷(附答案)

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高中青年教师解题比赛高三数学卷试题

2021年高中青年老师解题比赛高三数学卷本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么球是外表积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=假如事件A 、B 互相HY ，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(第一卷一、选择题：〔此题一共10小题，每一小题5分，一共50分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请把符合题目要求的选项填入括号中〕 1、方程()1212log 22+=++-xx x 的解的个数是〔〕 A 0个； B 1个； C 2个； D 32、设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且α⊂l ，β⊂m ，有如下的两个命题：①假设βα//，那么m l //；②假设m l ⊥，那么βα⊥；那么〔〕 A 、①是真命题，②是假命题 B 、①是假命题，②是真命题C 、①、②都是真命题D 、①、②都是假命题3、函数3221x e y -⋅=π的局部图象大致是〔〕A B C D4、设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，那么f 889(x )＝〔〕 A 、sinxB 、－sinxC 、cos xD 、－cosx5、()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，那么b 的范围〔〕A 、1b <-或者2b >B 、1b ≤-或者2b ≥C 、21<<-bD 、12b -≤≤6、函数34)(2+-=x x x f ，集合(){}0)()(,≤+=y f x f y x M ，集合(){}0)()(,≥-=y f x f y x N ，那么集合N M 的面积是〔〕 A 、4π B 、2πC 、πD 、π27、假设直线22000ax by a b -+=>>()，始终平分圆x y x y 222410++-+=的周长，那么11a b+的最小值是〔〕 A 、14B 、2C 、4D 、128、假设向量()()()*cos2,sin ,1,2sin n n a n n b n n N θθθ==∈，那么数列{}21nn ab ⋅-A 、是等差数列；B 、是等比数列；C 、是等差数列也是等比数列；D 、不是等差数列也不是等比数列 9、以下命题，正确的选项是〔〕A “()x f x x 0lim →存在〞是“()x f 在0x x =处连续〞的充分条件；B “假设c b a ,,成等比数列，那么ac b =2〞的逆命题是真命题；C “()00='x f 〞是“()x f 在0x x =处获得极值〞的既非充分也非必要条件；D 假设()x f 为奇函数，那么()00=f ;10、设A 、B 是锐角三角形的两个锐角，那么复数)cos (sin )sin (cos A B i A B z -+-=对应的点位于复平面的〔〕 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第二卷二、填空题：〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕11、5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数和4)45(+x 的展开式中3x 的系数相等，那么=θcos 。

江西省九江市首届高中数学青年教师业务能力竞赛(解题)试题

江西省九江市首届高中数学青年教师业务能力竞赛（解题）试题[命题：张园和]本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题纸一并交回．第I 卷 (选择题共60分)注意事项：1．答第I 卷前，参赛选手务必在试卷及答题纸上将自己的单位．．、姓名．．、准考证号．．．．填在指定的位置．2．所有试题的答案均应填入答题纸上的相应位置, 不能答在试卷上。

未填入答题纸的部分一律按零分计．一、本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|12},{|}.M x x N x x a M N =-≤<=≤≠∅I 若,则实数a 的取值范围是 A ．]2,(-∞ B ．),1[∞- C ．(－1,+∞) D．(－∞,－1) 2．若b a bi ia,,11其中-=+都是实数，i 是虚数单位，则bi a +=A ．1+2iB ．1－2 iC ．2+ iD ．2－i3．已知αββαtan ,41tan ,31)tan(则==+的值应是 A ．121 B ．131 C ．137 D ．13124．若函数)(x f 的反函数为x x f 21log )(=-,则满足()1f x >的x 的集合是A ．(0,+∞)B ．(1,+∞)C ．(－1,1)D ．(0, 1)5．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≥≤,则yx 的取值范围是 A ．]6,59[ B ．9(][6)5-∞+∞U ，，C ．(3][6)-∞+∞U ，，D ．[36]， 6．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9757．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且n n A B =7453n n ++,则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是A ．2B ．3C ．4D ．58．已知椭圆1814222222=-=+my x n y x 与双曲线有相同的准线,则动点P (n , m )的轨迹为A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．直线的一部分9．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点,则A 与B 两点间的球面距离为A. )33arccos(-B. )36arccos(-C.)31arccos(-D. )41arccos(- 10．如图,设P 为△ABC 内一点,且21,55AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r则=∆∆ABCABPS SA ．51 B ．52 C ．41 D ．31 11．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中, 这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 12．已知定义域为R 上的函数)(,2),2()2()(x f x x f x f x f 时当满足<--=+单调递增，如果)()(,0)2)(2(,4212121x f x f x x x x +<--<+则且的值A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负第II 卷 (共90分)注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸中的相应位置上．13．在62)21(x x-的展开式中，x 5的系数为 . 14．当(12)x ∈，时,不等式240x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是． 15．若函数xf x f x x x f x ∆+-∆+=→∆2)1()1(lim,1)(03则= . 16．对于函数()f x =, 存在一个正数b ,使得()f x 的定义域和值域相同, 则非零实数a 的值为__________.三、解答题：本大题共6小题,共74分. 解答应写出必要的文字说明, 演算步骤或证明过程．17．(本小题满分12分) 已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．(1) 求,a b 的值；(2)若对任意的t R ∈, 不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立, 求k 的取值范围.APC BABCDP E18．(本题满分12分) 在九江市教研室组织的一次优秀青年教师联谊活动中，有一个有奖竞猜的环节．主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14． (1) 记先回答问题A 的奖金为随机变量ξ, 则ξ的取值分别是多少？(2) 你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金?请说明理由． 19．(本小题满分12分) 已知函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,a b ∈R ,且0ω>)的部分图象如图所示．(1) 求,,a b ω的值； (2) 若方程[]23()()0f x f x m -+=在2(,)33x ππ∈-内有两个不同的解,求实数m 的取值范围．20．(本小题满分12分) 如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°,PA AB BC ==, E 是PC 的中点．(1)证明CD AE ⊥； (2)证明PD ⊥平面ABE ；(3)求二面角A PD C --的大小.21．(本小题满分12分) 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩表示的平面区域为D ,区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2, 记点P 的轨迹为曲线C . 是否存在过点(220)F ，的直线l , 使之与曲线C 交于相异两点A 、B ,且以线段AB 为直径的圆与y 轴相切？若存在,求出直线l 的斜率;若不存在, 说明理由．x23π76πyO1-22．(本小题满分14分) 已知函数xx x f +=2)(及正整数数列{},{}n n a b . 若121,b b λ==,且当2n ≥时,有2211111n n n n n b b b b b +---+<<; 又14a <,1()n n a f a +'=,且11112ni ia =<+∑对任意*n N ∈恒成立. 数列{}n c 满足:2(1)21n n n n b c n b a λλ+-=+-. (1) 求数列{}n a 及{}n b 的通项公式; (2) 求数列{}n c 的前n 项和nS；(3) 证明存在k N *∈，使得11n k n kc cc c ++≤对任意k N *∈均成立．江西省九江市首届高中数学青年教师业务能力竞赛试题参考答案[3] 解: 11134tan tan[()]1113134ααββ-=+-==+⨯,故选B.[4] 解: 因为x x f 21log )(=-, 所以()2x f x =,于是原不等式为21x>,解得0x >.[5] 解: 画出可行域(图略),为一个三角形区域,顶点分别为59(1,3),(1,6),(,)22.yx表示可行域内的点(,)x y 与原点(0,0)连线的斜率,当(,)(1,6)x y =时取最大值6,当59(,)(,)22x y =时取最小值95.故选A. [6] 解: ξ服从标准正态分布(01)N ，，(|| 1.96)( 1.96 1.96)P P ξξ⇒<=-<<= (1.96)( 1.96)12( 1.96)120.0250.950.ΦΦΦ--=--=-⨯=[7] 解: 由等差数列的前n 项和及等差中项，可得()()()()()()121121121121112122112122n n n nn n a a n a a a b b b n b b ----+-+==+-+ ()()212172145213n n n A B n ---+==-+14387191272211n n n n n ++===++++，故1,2,3,5,11n =时，nna b 为整数。

永寿县中学青年教师解题能力大赛（数学试题）

永寿县中学青年教师解题能力大赛数学试题第Ⅰ卷 (选择题共50分)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|1}M x x ==，集合{|||1}N x a x ==，若N M ⊆，那么由a 的值所组成的集合的子集个数（）A ．1B ．2C ．3D ．42. 定义运算a b ad bc c d=-，则满足21i zz=--的复数z 是（）A ．1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --3. 函数x x y cos -=的部分图像是（）4. 若函数321()'(1)53f x x f x x =--++，则'(1)f 的值为（）A ．2B ．2-C ．6D ．6-5. 一个几何体的三视图如图所示，若它的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（）A ．)33(8+ B. 83 C. 8(23)+ D. 436. 如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是（）xxxxO O O O yy y y A ..BCDA ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭7.流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（）A ．2)(x x f =B ．xx f 1)(=C ．62ln )(-+=x x x fD ．x x f sin )(=8. 在ABC ∆中，若cos(2)2sin sin 0B C A B ++<，则该ABC ∆的形状为 ( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形9.过双曲线12222=-by a x ()0,0a b >>上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则PN PM ⋅的值是（）A. 22b a + B. ab 2 C. 2a D. 2b10.已知1x 是方程lg 2011x x =的根，2x 是方程x ·10x =2011的根，则x 1·x 2等于（）A ．B ．C ．D ．※ 请把选择题答案填写在下面的表格中. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上. 11．圆22(3)(3)4x y -+-=的圆心到直线0kx y -=5k 的取值范围为____________．否存在零点？输出函数()f x结束是开始输入函数()f x()()0?f x f x +-=是否BCDO AP12. 已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 .13. 某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速度自动注水（即t 分钟自动注水22t 升），当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供____人洗浴.14. 已知lg lg 0a b +=，则满足不等式2211a ba b λ+≤++的实数λ的最小值是_________．15．（注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．） A ．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的普通方程为__________，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为_________．B ．（不等式选讲选做题）若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________. C ．(几何证明选做题）如图，PA 切O 于点A ，割线P BC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）规定记号“∆”表示一种运算，即223a b a b a b ∆=+，记()()(sin 2)cos2f x x x =∆.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求函数()y f x =的最小正周期；（3）若函数()f x 在0x x =处取到最大值，求()()()00023f x f x x ++的值.17. （本小题满分12分）已知函数3()log ()f x ax b =+的图像经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n nnn b b b T a b +++==21,2，求n T . 18. （本小题满分12分）如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，2EA DA AB CB ===， EA AB ⊥，M 是EC 的中点．（1）求证：DM EB ⊥；（2）求二面角M BD A --的余弦值． 19. （本小题满分12分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球. 求：(1)最多取两次就结束的概率；(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率； (3)取球次数的分布列和数学期望.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy 中，设点F (1，0)，直线l :1x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点, ,RQ FP PQ l ⊥⊥. (1)求动点Q 的轨迹的方程；(2) 记Q 的轨迹的方程为E ，过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为N M ，．求证：直线MN 必过定点)0,3(R ．21. （本小题满分14分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-.（1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与0的大小；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．参考答案MCDAB1. D. 由已知N M ⊆，有N =∅和N ≠∅两种情况：若N =∅，那么方程||1a x = 无解，此时0a =；若N ≠∅，则有1||0x a =>，故11a=，即1a =．所以由a 的值所组成的集合为{0,1}，有2个元素．故子集个数为224=个．2. C. 依题意，得()12i z +=-，即()()()1121i i z i +-=--，得1z i =-+.3. D.令x y x y cos ,21=-=，显然1y 为奇函数，2y 为偶函数，所以，函数12cos y y y x x ==-是奇函数，否定A ，C; 取1,x =-有cos10y =>，此时否定B ，从而，应当选D .4. C.由321()'(1)53f x x f x x =--++，∴2'()2'(1)1f x x f x =--+，∴2'(1)(1)2'(1)(1)1f f -=----+，解得'(1)2f -=-，∴2'()41f x x x =++，∴'(1)6f =.5. A. ∵该几何体三视图中正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形,∴它是一个底面边长为4的正三角形的三棱柱,∴)33(842360sin 42122+=⨯⨯+︒⨯⨯=S . 6. C. 注意到已知不等式等价与33sin sin cos cos θθθθ+>+．显然3()f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，于是有不等式(sin )(cos )f f θθ>，从而，得sin cos θθ>，再结合()0,2θπ∈，便得544ππθ<<．故选C. 7. D. 根据该程序框图输出函数为奇函数，且存在零点，验证只有D 成立. 8. B ．注意到内角和定理，B C A π+=-，于是cos(2)2sin sin cos()2sin sin cos()2sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos()cos 0.B C A B B A A BA B A B A B A B A B A B C π++=+-+=--+=--+=-+=< 显然，说明角C 为钝角． 9. C . 设),(y x p ，则(,),(,),a aM y y N y y b b - 于是(,0)(,0)a a PM PN y x y x b b⋅=-⋅-- 22222222222221()()()a a a a b y x y x x y b x a y a b b b b b=---=-=-==． 10. C. 由已知得2011lg x x=，令1lg y x =，22011y x=.作出两个函数的图像，其交点横坐标为 1x .同理令310x y =，交2y 的横坐标为2x .由对称性知2112011x y x ==，故x 1·x 2=. 11. 1,2.2⎛⎫⎪⎝⎭ 圆心坐标为(3,3)，则233351k k -<+，解得122k <<，应当填1,2.2⎛⎫⎪⎝⎭ 12. 2.9基本事件Ω为由直线6x y +=与x 轴、y 轴围成的三角形为图中OCD ∆，其面积为166182S =⨯⨯=，其中区域A 为OBE ∆，面积为114242S =⨯⨯=，所以142189S P S ===.填2.913. 4．设t 分钟后水箱内的水量为y 升，则由题设知，2217289200342220022y t t t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭()0t >，当178.52t ==时，y 取最小值，此时共放浴用水348.5289⨯=升，而2892946565=，故一次至多可供4人洗浴．14. 1. 由题意得正数,a b满足1ab =,有1b a=,从而1222222111111a a a a a a a a --++=≤=++++，当1,1a b ==时，2211a ba b +++取得最大值１，从而min 1.λ=15．A. 22(2)4x y +-=，)2,2(πB. 2或8.由()()()5553f x x t x x t x t =-+-≥-+-=-=，得2t =或8.C.7. ∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠=,∴120POD ∠=,在△POD 中由余弦定理得2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠=1414()72+-⨯-=.∴7PD =.16. （1）()22sin 2cos 2sin 23cos 2f x x x x x =+++1sin 23cos 2x x =++；……….5分（2）因()2sin(2)13f x x π=++，因此()f x 的最小正周期为π； ……….8分（3）由题意，022,32x k πππ+=+即0,12x k k Zππ=+∈；因此()()()00023f x f x x ++=252(sinsin sin )363236πππ+++=+. ……….12分 17. （1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f ， *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==- . ……….4分（2）由（1）得nn n b 212-=， n n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ①1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①-②得11221111321212)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T 112122123+----=n n n . n n n n n n T 23232122132+-=---=∴-. ……….12分18.建立如图所示的空间直角坐标系，并设22EA DA AB CB ====，则（1）31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2,2,0)EB =-，所以0DM EB ⋅=，从而得DM EB ⊥； ……….4分（2）设1(,,)n x y z =是平面BDM 的法向量，则由1n DM ⊥，1n DB ⊥及31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,2,2)DB =-得11302220n DM x y z n DB y z ⎧⋅=+-=⎪⇒⎨⎪⋅=-=⎩可以取1(1,2,2)n =．显然，2(1,0,0)n =为平面ABD 的法向量．设二面角M BD A --的平面角为θ，则此二面角的余弦值121212||1cos |cos ,|3||||n n n n n n θ⋅=<>==⋅． ……….12分19.(1)设取球次数为ξ，则 ()()11182211110101014141,255525C C C P P C C C ξξ=====⨯=⨯=.所以最多取两次的概率14952525P =+=. ……….4分 (2)由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯=. ……….8分 (3)设取球次数为η，则()()218241,2105101025P P ηη=====⨯=， ()88281631010101025P η⎛⎫==⨯⨯+= ⎪⎝⎭，则分布列为 η123P15 425 1625取球次数的数学期望为1235252525E η=⨯+⨯+⨯=. ……….12分 20. (1)依题意知，直线l 的方程为：1x =-．点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =．故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为：24(0)y x x =>．…….6分(2) 设()()B B A A y x B y x A ,,,，()()N N M M y x N y x M ,,，，直线AB 的方程为)1(-=x k y ,则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB AA x y x y（1）—（2）得k y y B A 4=+，即ky M 2=，代入方程)1(-=x k y ，解得122+=kx M ．所以点Ｍ的坐标为222(1,)k k+．同理可得：N 的坐标为2(21,2)k k +-．直线MN 的斜率为21k kx x y y k N M N M MN -=--=，方程为)12(1222---=+k x kk k y ，整理得)3()1(2-=-x k k y ，显然，不论k 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 恒过定点R (3,0)． ……….13分 21.（1）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]af x x x x x x '=-⨯+⨯+2ln 21x ax x=-+，∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞. ∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =，列表如下：x (02)，2 (2)+，∞ ()g x '-+()g x 单调递减极小值(2)g 单调递增∴()g x 在2x =处取得极小值(2)22ln 22g a =-+，即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+．(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． ……….6分（2）由（1）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>，从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……….10分（3）由（2）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数，∴当1x >时，()(1)f x f >，又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>， ∴2ln 2ln 1x x a x >-+.故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． ……….14分。

高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案

高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。

1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。

完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。

广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题及答案

广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．已知点A（－1，0）、B（1，3），向量，若，则实数k的值为A．－2 B．－1 C．1 D．22．设，，，则下列关系中正确的是A． B．C． D．3．已知圆被直线所截得的弦长为，则实数a的值为A．0或4 B．1或3C．－2或6 D．－1或34．已知为平面，命题p：若，则；命题q：若上不共线的三点到的距离相等，则．对以上两个命题，下列结论中正确的是A．命题“p且q”为真B．命题“p或”为假C．命题“p或q”为假D．命题“”且“”为假5．设，且，则等于A．B．C．D．6．椭圆的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是A．B．C． D．7．已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为A．B．C． D．8．设x，y满足约束条件则的取值范围为A．B．C．D．9．如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，若，则点在平面内的轨迹是A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分10．已知满足方程，则的最大值是A．4B．2C．D．第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案填在答题卷的相应位置上．11．等差数列有如下性质：若是等差数列，则数列也是等差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则数列_______________也是等比数列．12．已知集合，，若，则m所能取的一切值构成的集合为．13．在△ABC中，若，则_____________．14．在四面体ABCD中，已知AB＝CD＝5，AC＝BD＝5，AD＝BC＝6．则四面体ABCD的体积为；四面体ABCD外接球的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.15．（本小题满分12分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小值以及取得最小值时的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．16．（本小题满分12分）箱中装有12张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到12中的一个号码，正面号码为的卡片反面标的数字是．（卡片正反面用颜色区分）（Ⅰ）如果任意取出一张卡片，试求正面数字不大于反面数字的概率；（Ⅱ）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率．17．（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又P A⊥平面ABCD，P A＝4．（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．。

高中数学教师解题比赛试题

高中数学教师解题比赛试题时量：120分钟满分：150分注意: 1.本次考试允许使用各型计算器.2.若认为试题少了条件,请自行补充.若认为试题有误,可自行修改.不必要的修改为错解.填空题(每题7分,共56分)：．求和：1×21+2×22+3×23+…+n ×2n (n ∈N,n ≥5)=______________。

．已知三角形ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，则cosB 的范围是______________。

．已知x 2+xy+y 2=3，则x 2+y 2的范围是______________。

．函数f(x)=3,.x x R ∈请给出它的单调递增区间:______________ 。

．已知函数f （x ）满足以下条件：在定义域R 上连续，图象关于原点对称，值域为 -1，1）。

请给出一个这样的函数：______________。

．已知点O 在△ABC 内部，且有24OA OB OC ++=0，则△OAB 与△OBC 的面积之比为。

．已知四面体ABCD 的五条棱长为2，一条棱长为1，那么它的外接球半径为________。

．从1到10的十个整数中任选三个,使它们的和能被3整除,这样的选法共有__________种。

解答题(每题20分,共80分)：．设是x 1,x 2,x 3,…,x n 是非负实数，且112nk k x =<∑， n ∈N,n ≥5.求证：121(1)(1)(1)2n x x x --⋅⋅⋅->。

10．有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(胜利之门)或第20站(失败之门)时,该游戏结束.求玩该游戏获胜(即进入胜利之门)的概率.11．已知在一个U形连通管内始终保持着4升的液体（当一端注入液体时，另一端将同时排出同样体积的液体），原来全是A液体。

兴化市高中数学青年教师解题比赛试卷

ABCD 兴化市高中数学青年教师解题比赛试卷(考试时间：150分钟满分：160分) 2011年9月25日一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在各题的相应的横线上．1．若ABC ∆的内角,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B 的值为． 2．已知()y f x =是定义在R 上的函数，且(2)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =图象关于直线对称．3．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则63S S 的值是． 4．若函数()2x x f x e e -=+定义域是[0,1]，则函数()f x 的值域是． 5．设2121221021)1(x a x a x a a x ++++=- ，则a a 1011+的值为． 6．已知x 是实数且2,3x ≠．若11min{,}|2||3|S x x =--，那么max S = ．7．设123,,,,nA A A A⋅⋅⋅是空间中给定的(3)n n ≥个不同的点，则使1230n MA MA MA MA +++⋅⋅⋅+=成立的点M 的个数为．8．如图，直线MN 过ABC ∆的重心G ，且,AM mAB AN nAC ==（其中0,0m n >>)，则mn 的最小值是．(第8题图) (第9题图)9．如图，在四面体D ABC -中，DA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，1DA AB BC ===，则四面体D ABC -的外接球的表面积为．Read xIf x >0 Then2011y x ←+Else2011y x ←-End If Print y (第11题图)10．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为．11．如图，是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列12010n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(*)n N ∈ 中的前10000项，则输出y 值中的最小值为．12．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过坐标原点的直线交椭圆于A P ,两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，若 PB PA ⊥，则椭圆的离心率为__ ．13．设函数32()23(1)61f x x a x ax =-+++，当[]1,3x ∈时，()f x 的最小值为5，则实数a 的值．14．设正实数,,x y z 满足21x y z ++=，则19()x yx y y z++++的最小值为．DC 1A 1B 1CBA二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2B C b ==．（1）求cos A 的值；（2）求cos(2)4A π+的值．16．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点，12A A AB ==,3BC =.（1）求证：1//AB 平面1BC D ；（2求四棱锥11-B AAC D 的体积．17．（本小题满分14分）如图，点A （非顶点）为抛物线),0(22>=p px y 上任一点，F 是抛物线的焦点．求作抛物线在点A 处的切线，并证明．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项为1，记1212()k nn n k n n nf n a C a C a C a C =+++++ ()n N +∈. （1）若{}n a 为常数列，求(4)f 的值；（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式；（3）数列{}n a 能否成等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立?若能，求出数列{}n a 的通项公式；若不能，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知Ra∈，函数axxxf-=)(，（1）当a=2时，写出函数)(xfy=的单调递增区间；（2）求函数)(xfy=在区间[]2,1上的最小值；（3）设0≠a，函数)(xf在),(nm上既有最大值又有最小值，请分别求出nm、的取值范围（用a表示）．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ．（1）求1234,,,c c c c ；（2）求证：在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ；（3）求数列{}n c 的通项公式．EODC 1A 1B 1CBA兴化市高中数学青年教师解题比赛参考答案1．1116； 2．1x =； 3．12； 4．2]e e+； 5．0； 6．2； 7．1； 8．49； 9．3π； 10．25； 11．2011； 12； 13．2； 14．7．15．解：（1）由,2B C b ==，可得2c b a ==，所以222222331cos 23a a a b c a A bc +-+-===．（2）因为1cos ,(0,)3A A π=∈，所以sin 3A ==27cos 22cos 19A A =-=-，sin 22sin cos 9A A A ==所以7cos 2cos 2cos sin 2sin 4449292A A A πππ⎛⎫⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 16．（1）证明:连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线, ∴ 1//OD AB . ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D .（2）解法1：∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,EODC 1A 1B 1CBA∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =. 作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ∵12AB BB ==，3BC =，在Rt ABC ∆中，AC ===AB BC BE AC ⋅==， ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+⋅⋅126=3=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.解法2：1⊥AA 平面ABC ,AB ⊂平面ABC ，∴1⊥AA AB . ∵11//BB AA , ∴1BB ⊥AB .∵1,AB BC BC BB B ⊥= ， ∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点E ,连接DE ,则1//,2DE AB DE AB =， ∴DE ⊥平面11BB C C . 三棱柱111-ABC A B C 的体积为1162V AB BC AA =⋅⋅⋅=，则1111111326D BC C V BC CC DE V -=⨯⋅⋅⋅==，111111111112323A BBC V B C BB A B V -=⨯⋅⋅⋅==. 而V =1D BCC V -+111A BB C V -+11B AA C D V -,∴6=12+11B AAC DV -+. ∴113B AA C D V -=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.17．解：作法一：以抛物线的焦点F 为圆心，以|F A |为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点B ，且点B 在顶点O 的左侧，则直线AB 就是抛物线在点A 处的切线．证明：抛物线的焦点F 的坐标为（0,2），设A （00,y x ），则|F A|=20px +，从而B （0,0x -），故过点A 、B 的直线方程为)(200x x x y y +=（*）利用方程0202px y =将方程（*）整理得00()y y p x x ⋅=+，此方程即为抛物线在点A 处的切线点方程．作法二：过A 作y 轴垂线，交y 轴于D 点，在x 轴上截取BO DA =，且点B 在顶点O 的左侧，连BA ，则直线BA 为所求作的切线．证明同上．18．解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.∴12344444(4)15f C C C C =+++=.（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.∴1231()242n n n n n nf n C C C C -=++++ ， ∴1223312()12222n n n n n nf n C C C C +=+++++ ，(12)3nn+=，故31()2n f n -=.（3）假设数列{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，设公差为d ，则121121()kn nn n k n n nn nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ，且121121()n n k n n n n k n n nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ，相加得 121112()2()()k n n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++ ， ∴12111()()2k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=++++++11(22)2nn n a a a -+=+-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立，即02)2)(2()2(1=--+--n n d d n N +∈恒成立，∴2d =.故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为21n a n =-. （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 19．解：（1）当2=a 时，=-=|2|)(x x x f ⎩⎨⎧<-≥-2),2(2),2(x x x x x x由图象可知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）（2）当1<a 时，12,4)2()()(22<--=-=aa a x a x x x f ∴a f x f -==1)1()(min当21≤≤a 时，0||min =-a x ，∴0)(min =x f当2>a 时，（Ⅰ）当32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f（Ⅱ）当3>a 时，1)1()(min -==a f x f∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤<-=3,132,4221,01,1)(mina a a a a a a x f （3）⎩⎨⎧<-≥-=ax x a x ax a x x x f ),(),()(①当0>a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 得2)12(a x += ∴20am <≤，a n a 212+≤< ②当0<a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 得a x 2)21(+= ∴a m a <≤+221， 02≤<n a ．20．解：（1） 12349,11,12,13c c c c ====；（2） ① 任意*n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=．② 假设26627n k a n b k =+==+⇔*132k n N =-∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ∉． ∴ 在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ．（3） 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+，∵ 63656667k k k k +<+<+<+，∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，……∴ *63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩．EODC 1A 1B 1CBA兴化市高中数学青年教师解题比赛参考答案1．1116； 2．1x =； 3．12； 4．2]e e+； 5．0； 6．2； 7．1； 8．49； 9．3π； 10．25； 11．2011； 12； 13．2； 14．7．15．解：（1）由,2B C b ==，可得2c b a ==，所以222222331cos 23a a a b c a A bc +-+-===．（2）因为1cos ,(0,)3A A π=∈，所以sin 3A ==27cos 22cos 19A A =-=-，sin 22sin cos 9A A A ==所以7cos 2cos 2cos sin 2sin 4449292A A A πππ⎛⎫⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 16．（1）证明:连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线, ∴ 1//OD AB . ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D .（2）解法1：∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,EODC 1A 1B 1CBA∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =. 作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ∵12AB BB ==，3BC =，在Rt ABC ∆中，AC ===AB BC BE AC ⋅==， ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+⋅⋅126=3=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.解法2：1⊥AA 平面ABC ,AB ⊂平面ABC ，∴1⊥AA AB . ∵11//BB AA , ∴1BB ⊥AB .∵1,AB BC BC BB B ⊥= ， ∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点E ,连接DE ,则1//,2DE AB DE AB =， ∴DE ⊥平面11BB C C . 三棱柱111-ABC A B C 的体积为1162V AB BC AA =⋅⋅⋅=，则1111111326D BC C V BC CC DE V -=⨯⋅⋅⋅==，111111111112323A BBC V B C BB A B V -=⨯⋅⋅⋅==. 而V =1D BCC V -+111A BB C V -+11B AA C D V -,∴6=12+11B AAC DV -+. ∴113B AA C D V -=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3.17．解：作法一：以抛物线的焦点F 为圆心，以|F A |为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点B ，且点B 在顶点O 的左侧，则直线AB 就是抛物线在点A 处的切线．证明：抛物线的焦点F 的坐标为（0,2），设A （00,y x ），则|F A|=20px +，从而B （0,0x -），故过点A 、B 的直线方程为)(200x x x y y +=（*）利用方程0202px y =将方程（*）整理得00()y y p x x ⋅=+，此方程即为抛物线在点A 处的切线点方程．作法二：过A 作y 轴垂线，交y 轴于D 点，在x 轴上截取BO DA =，且点B 在顶点O 的左侧，连BA ，则直线BA 为所求作的切线．证明同上．18．解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.∴12344444(4)15f C C C C =+++=.（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.∴1231()242n n n n n nf n C C C C -=++++ ， ∴1223312()12222n n n n n nf n C C C C +=+++++ ，(12)3nn+=，故31()2n f n -=.（3）假设数列{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，设公差为d ，则121121()kn nn n k n n nn nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ，且121121()n n k n n n n k n n nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ，相加得 121112()2()()k n n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++ ， ∴12111()()2k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=++++++11(22)2nn n a a a -+=+-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立，即02)2)(2()2(1=--+--n n d d n N +∈恒成立，∴2d =.故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为21n a n =-. （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 19．解：（1）当2=a 时，=-=|2|)(x x x f ⎩⎨⎧<-≥-2),2(2),2(x x x x x x由图象可知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）（2）当1<a 时，12,4)2()()(22<--=-=aa a x a x x x f ∴a f x f -==1)1()(min当21≤≤a 时，0||min =-a x ，∴0)(min =x f当2>a 时，（Ⅰ）当32≤<a 时，42)2()(min -==a f x f（Ⅱ）当3>a 时，1)1()(min -==a f x f∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤<-=3,132,4221,01,1)(mina a a a a a a x f （3）⎩⎨⎧<-≥-=ax x a x ax a x x x f ),(),()(①当0>a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 得2)12(a x += ∴20am <≤，a n a 212+≤< ②当0<a 时，图象如右图所示由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(42x a x y a y 得a x 2)21(+= ∴a m a <≤+221， 02≤<n a ．20．解：（1） 12349,11,12,13c c c c ====；（2） ① 任意*n N ∈，设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=．② 假设26627n k a n b k =+==+⇔*132k n N =-∈（矛盾），∴ 2{}n n a b ∉． ∴ 在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ．（3） 32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+，∵ 63656667k k k k +<+<+<+，∴ 当1k =时，依次有111222334,,,b a c b c a c b c =====，……∴ *63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩．。

高中数学青年教师解题比赛试卷

高中数学青年教师解题比赛试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin β-α+β+α=βα l c c S )'(21+=台侧其中'c 、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos β-α-β+α=βα 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长)]cos()[cos(21cos cos β-α+β+α=βα 球体的体积公式 334R V π=球)]cos()[cos(1sin sin β-α-β+α-=βα 其中R 表示球的半径一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，1．若3)sin(=+πα，则)2cos(α-的值等于（A ）31 （B ）31- （C ）322 （D ）-3222．若函数y=f （x ）的反函数的图象经过点)1,2(-，则此函数可能是x y D y C y B x y A x x 2log )(2)()21()(21)(-===-=3．双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 (A)3 (B)3 (C) 4 (D) 24．圆台母线与底面成450角，侧面积为π23，则它的轴截面面积是（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）23 5．若{a n }是无穷等比数列，且a 1＋a 2＋a 3=43, a 2＋a 3＋a 4=－83，则此数列所有项的和为（A ）31（B ）32 （C ）1 （D ）34 6．设函数|log |)(x x f a =（10<<a ），则下列各式中成立的是)2()31(41()()41()2()31()()31()2()41()(41()31()2()(f f f D f f f C f f f B f f f A >>>>>>>>7．如图，点P 是正方形ABCD 所在的平面外一点，AD PD ABCD PD =⊥,平面，则PA 与BD 所成角的度数为（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°8．过圆）（4cos2πθρ-=的圆心，且与极轴所在直线垂直的直线方程为22sin 22cos -=-=θρθρ）（）（B A 22sin 22cos ==θρθρ）（）（D C 9. 有5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站在中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也是一个比一个矮，则这样的派法有 (A) 6种（B ）8种（C ）12种（D ）16种10. 设点P 在直线1=x 上变化，O 为坐标原点．以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰OPQ Rt ∆，则动点Q 的轨迹是(A)两条平行直线（B ）一条直线（C ）抛物线（D ）圆11．由(3x+32)100展开所得的x 的多项式中,系数为有理数的共有 (A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项12. 某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不建立部分网线，而使得中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最小的建网费用是 (A)16万元（B ）14万元（C ）13万元（D ）12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.如果直线b y x =+与圆222=+y x 相切，则实数b 的值为___________；14.已知,52,4321i z i z --=+=则211arg z z i z +-= ；15.已知αγβα(1sin sin sin 222=++、β、γ均为锐角），那么γβαcos cos cos 的最大值等于____________________；16.定义在R 上的偶函数f （x ）满足：)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f （x ）的判断：（1）f （x ）是周期函数；（2）f （x ）的图象关于直线x=1对称；（3）f （x ）在[0，1]上是增函数；（4）f （x ）在[1，2]上是减函数；（5）f （2）=f （0），其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知函数3)2(cos 32)2sin()(2-+++=θθx x x f⑴ 求函数)(x f 的周期;⑵ 若πθ≤≤0,求θ,使函数)(x f 为偶函数.18.（本小题满分12分）已知函数)(3)(2a x ax x x f ≠-+=, a 为非零常数，⑴ 解不等式x x f <)(;⑵ 设a x >时，)(x f 的最小值为6,求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠APC=600，PA=3，PB=2，ΔPBC 为正三角形（1）求证：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求棱PA 与侧面PBC 所成的角；PCBA（3）求点B到侧面PAC的距离.20.（本小题满分12分），0）和B（3，0），动点P到A、B两点的距离差的绝对值为2, 已知点A（3(1)求动点P的轨迹方程;(2)过点C（1，1）能否作直线l，使它与动点P的轨迹交于两点M，N，且点C是线段MN的中点，问这样的直线l是否存在，若存在，求出它的方程，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）国内某大报纸有如下报道：学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密. 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案. 一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元. 例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000（元）；而第二种方案在第一年加得300+600=900（元），第二年加得900+1200=2100（元），总数也是3000元.⑴ 如果在该公司干十年，问选择第一种还是第二种的方案所加的工资高？高多少？ ⑵ 如果第二种方案中的每半年加300元改为每半年加a 元，问a 为何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？22.（本小题满分14分）已知ax x x f +-=3)(在(0,1)是增函数, (1) 求实数a 的取值范围(2) 当3=a 时,定义数列}{n a 满足)1,0(1∈a ,且)(21n n a f a =+,求证:对一切正整数n 均有)1,0(∈n a .。

高中数学青年教师基本功大赛(笔试)试题

（考试时间120分钟满分200分）姜堰市教研室命制一、基础知识（30分）1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。

2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是。

3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。

4、《江苏省20XX 年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、这五个能力。

5、《江苏省20XX 年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、三个层次（分别对应A 、B 、C ）6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、。

二、解题能力（90分）1、函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为。

2、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．3、已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________．4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有辆．5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是．6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为7、(本题满分15分) 试证明定理：在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

频率第4图第5图8、(本题满分15分)△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+ 且m n ⊥（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()fθ；②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ；（Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．9、(本题满分15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ；（Ⅱ）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t10、(本题满分15分)将曲线xy C 1:=绕原点逆时针旋转45得曲线'C ，分别运用中学选修4-2矩阵变换、选修4-4坐标系与参数方程的知识，求曲线C '的方程。

2002广州市高中数学青教师解题比赛试卷参考答案

2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：二、填空题：（13）[]0,1,arcsin -∈-=x x y π （14）⎪⎭⎫⎝⎛2,1 （15）3 （16）54三、解答题：（17）（本小题满分10分）解：由△ABC 的内角关系2602CA B C B A C A B +=︒=⇒⎭⎬⎫=+++=π，又()C i A Ci A u cos 1cos 2cos 2cos 2++=+=则22cos 122cos 1cos cos 22CA C A i u +++=+=- ()C A 2cos 2cos 211++= ()C A --=cos 211由()︒<-<︒-⇒⎭⎬⎫︒︒∈-︒=-⇒︒=+12012012002120120C A ，C ，A C C A C A()1cos 21≤-<-⇒C A从而2522<-≤i u 为所求. （18）（本小题满分12分）（I ）解：由题设知：曲线C 上任意一点M ()y x ,到定点()0,2A 距离等于它到直线2-=x 的距离.由抛物线定义知：曲线C 的方程为x y 82=…（注：若不限制0≥x ，抛物线C 还可为()00<=x y ,即x 轴负半轴）（II ）证明：①当过点A 的直线P Q 不与x 轴垂直时，斜率PQ K 存在，设P Q 方程为()2-=x k y由()01682822=--⇒⎩⎨⎧-==y k y x k y x y16-=⇒Q P y y又直线OP 方程为x x y y PP⋅=而点N 在直线OP 上，也在直线2-=x 上()P PP y y y 16282-=-⋅=⎭⎬⎫-=⋅-=⋅⇒16而16Q P N P y y y yQ N y y =⇒故NO// x 轴②当过点A 的直线P Q 与x 轴垂直时，结论显然成立（19）（本小题满分12分）解：若存在一个等差数列{}n a 满足题设，则 1=n 时，有121121=⇒=a P a ；2=n 时，有32224212=⇒=a P a a ；3=n 时，有523363213=⇒=a P a a a .∴猜想存在这样的一个数列{}n a 的通项为()N n n a n ∈-=12()2-=⇒PPN x y y（证Q 、N 点纵坐标相等）以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时， 11=a 满足12-=n a n （2）假设()N k k n ∈=满足题设，即k k k k P a a a 22112=+ 成立当1+=k n 时 , 12121122+++⋅=⋅k k k n k k a P a a a a()k k P k 2122⋅+=即()()()()()12125321221212532121+-⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅+k k k k k k ()()()()12212+⋅+++=k k k k k()()()()()21132++++⋅+++=k k k k k k k()112++=k k P则1+=k n 也成立.综上（1）、（2）知12-=n a n 对N n ∈都有n n k n P a a a 2212= 成立.（20）（本小题满分12分）（I ）解：设H 为点O 在地面的射影，连结HD 交AB 于E . 则θ=∠CDE ，且OH ⊥平面ABDAB ⊂平面ABD又AB 是南北方向，CD 是西东方向，则CD ⊥AB⎩⎨⎧⊥⇒⊥⇒CEAB DE AB 在△ABD 中，要使面积最大，只须DE 最大而△CDE 中，由正弦定理DCE CEDE ∠⋅=sin sin θ.（目标函数中CE ,sin θ均为定值）所以，当∠DCE ＝90°时DCE ∠sin 最大，则DE 最大，从而θ-︒=∠90CED 时，遮影△ABD 面积最大.（II ）解：当AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，θ＝30°时，()1252452121max =⋅⋅=⋅⋅=∆DE AB S ABD 为所求. （21）（本小题满分14分）（I ）依题设知：z y x M 4911++= 又y x z z y x --=⇒=++100100代入上式则y x M 57400++=为所求.（II ）由题设得⎩⎨⎧≥++≥++6300050040080056000400700600z y x z y x将y x z --=100分别代入①、②得：⎩⎨⎧≥-≥+130316032y x y x 此时y x M 57400++=()()y x y x -+++=3322400 1301602400+⋅+≥850=当且仅当⎩⎨⎧=-=+130316032y x y x 即⎩⎨⎧==2050y x 时取等号答：当50=x 千克，20=y 千克，30=z 千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分）证明：（I ）由条件①可取(),1,1-∈-=x y 则()()()0f x f x f =-+再取(),1,10-∈=y 则()()()x f f x f =+0 ()()0=-+⇒x f x f()x f ⇒在()1,1-上图象关于原点对称AB OH ⊥⇒OHD AB 平面⊥⇒DE 是△ABD 中AB 边上的高且∠CED 是C —AB —D 的平面角. ①② ⇒（II ）令0121<<<-x x由于()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-212121211x x x x f x f x f x f x f .1121<-<-x x 且()10102121<-<-⇒<-x x x x 及()2211102121<+<⇒<<x x x x则由（1）（2）得0112121<--<-x x x x由条件②知012121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x f ,从而()()21x f x f >，故()x f 在()0,1-上单调递减函数.（III ）由奇函数的对称性知：()x f 在()1,0上仍是减函数，且()0<x f ※对()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎫⎝⎛++211121112113312n n n n f n n f n n f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-+-+=21112111211112111n f n f n f n f n n n n f 则有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛331131712n n f f f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=211141313121n f n f f f f f⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121n f f . 由※式知：1210<+<n 时有⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+212121021f n f f n f 故⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛21331131712f n n f f f .⇒<<<-01又21x x 条件①。

安庆市数学青年教师(高中)解题大赛试题

20XX 年安庆市数学青年教师（高中）解题大赛试题20XX 年11月22日（1:30—4:00）一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知集合{}R y x y x f y x f y f x f x f M ∈-⋅+=-=,),()()()(|)(22有下列命题： ①若f 1(x)=⎩⎨⎧<-≥0,10,1x x ；则f 1(x)∈M ； ②若 f 2(x)=2x,，则f 2(x)∈M ； ③若f 3(x)=sinx, 则f 3(x)∈M ； ④若f 4(x)=cosx, 则f 4(x))∈M ； ⑤若f(x)∈M，则y= f(x)的图像关于原点对称；⑥若f(x)∈M，则对于任意不等的实数x 1、x 2，总有0)()(2121<--x x x f x f ； ⑦若f(x)∈M，则对于任意的实数x 1、x 2，总有2)()()2(2121x f x f x x f +≤+ 其中正确命题有( )个． (A)1 (B)2 (C)3 (D)42．巳知数列{}n a 是正整数组成的递增数列，且满足n n n a a a 212+=++（n N ∈+）, 若5a =52，则7a =（）(A)102 (B) 152 (C)212 (D)缺少条件，7a 不能唯一确定3．方程()()119cos 19sin 2013220132=+︒︒y x 所表示的曲线是( )．(A)双曲线 (B)焦点在x 轴上的椭圆 (C)焦点在y 轴上的椭圆 (D)以上答案都不正确4．方程()()1188128242=+--x x x x 有( )个实根． (A)1 (B)3 (C)5 (D)75．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”．那么，所有的三位数中，奇和数有( )个． (A)100 (B)120 (C)160 (D)2006．若椭圆的焦距与长轴长的算术平均数等于长轴长与短轴长的几何平均数，则椭圆离心率的值应在区间( )中． (A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛43,32 (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,43 二、填空题(每小题6分，共36分)7.若n a =⎩⎨⎧-为偶数为奇数n n ,1,1，则n a 可用一个统一式子表示，即()11+-=n n a , 已知，22218cos ,22218sin +=-=ππ.则此二式用一个统一式子表示是8．已知A={1，2，3，4，5，6}，f:A →A, 满足x x f f ≠))((的映射f 的个数为9．已知满足关于x 的不等式5342≤-++-x p x x 的x 的最大值为3．则此不等式的解集为10.房屋的天花板上点P 处有一光源，P 在地面上的射影为Q ，在地面上放置正四棱锥S-ABCD(底面ABCD 接触地面)．已知正四棱锥S-ABCD 的高为1 m ，底面ABCD 的边长为21m ，Q 在直线AC 上，且与正方形ABCD 的中心0的距离为3m ，又PQ=3m,则棱锥影子的面积为11．在三角形ABC 中，C A B A C B cos sin cos sin sin sin +=+，则C B A cos cos cos ++的取值范围是12．巳知函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x 的最大整数．若x∈[0，n](n∈N +)时，f(x)的值域为A ，记n a =card(A)，则n a三、解答题（每题14分，共84分）13.若f(x)=∣2x 2+bx+c ∣（x ∈[]2,0）的最大值为M ，求M 的最小值．14.已知椭圆1:2222=+by a x C (a>b>0), F l 、F 2为其左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，△F l PF 2 的重心为G ，内心为I,且有21F F IG λ=． (1)求椭圆C 的离心率e ； (2)过焦点F 2的直线l 与椭圆C 相交于点M 、N ，若△F 1MN 面积的最大值为3，求椭圆C 的方程．15.在三棱锥P —ABC 中，AB=2，PA+PC=4，AC=x ，V ABC p -的最大值为V. (1)试用x 表示V ； (2)若V ABC p -=34，求三棱锥P —ABC 的侧面积．16.如图，⊙O是△ABC的内切圆，E、F为AB、AC上的切点，射线BO、CO交EF于N、M,求证：四边形AMON与△OBC的面积相等。

数学青年教师解题竞赛试题

新区实验中学数学青年教师解题竞赛试题时间：120分钟满分：100分中考：50分，选择题8道×3分，填空题4道×4分，解答题1道（10分）；竞赛：30分，选择题4道×3分，填空题2道×4分，解答题1道（10分）；高中：20分，选择题2道×3分，填空题2道×4分，解答题1道（6分）．一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，满分42分）1、若|a －b|＝b －a ，且|a |＝3，|b |＝2，则（a ＋b ）3的值为（） A ．1或125 B ．－1 C ．－125 D ．－1或－1252、如图，三个图形的周长相等，则（）A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a3、利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（）A ．73cmB ．74cmC ．75cmD ．76cm4、如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，且S △ADE ＝S 梯形DBCE ，则AD ∶DB ＝（）A ．1∶1B ．1∶2C ．(2－1)∶2D ．1∶(2－1)5、若方程6(x 1)(x 1)+-－x 1m-－＝1有增根，则它的增根是（）A ．0B ．1C ．－1D ．1和－1第4题图第3题图姓名考号－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－密－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－封－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6、若关于x的不等式721x mx-<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m的取值范围是（）A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7D．6＜m≤77、已知关于x的一元二次方程（a－l）x2－2x+l＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠l D．a＜－28、从长为10cm、7cm、5cm、3cm的四条线段中任选三条能够成三角形的概率是（）A．14B．13C．12D．349、方程x|x|－3|x|＋2＝0的实数根个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410、△ABC的三条外角平分线所在直线相交成一个△A′B′C′，则△A′B′C′（）A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形C．一定是锐角三角形D．一定是等腰三角形11、设[a]表示不超过a的最大整数，如[4．3]＝4，[－4．3]＝－5，则下列各式中正确的是（）A．[a]＝|a| B．[a]＝|a|－1 C．[a]＝－a D．[a]＞a－112、(09黄石)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＞2；③abc＞0；④4a－2b＋c＜0；⑤c－a＞1．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤13、（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．正确的命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β14、已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（）A．0或3B．0或3 C．1或3D．1或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）15、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠B ＝90°，CD ∥AB ，将AD 、BC 分别平移到EF 和EG 的位置．若AD ＝8cm ，CD ＝2cm ，CB ＝6cm ，则AB的长是 cm ．16、如图，△ABC 的3个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC 绕点B 顺时针旋转到△A'BC'的位置，且点A'、C'仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形面积是平方单位（结果保留π）．17、如图，△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD ＝50°，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为（）18、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD ＝4，则线段DF 的长度为（）10、学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票1500张，统计其中1000张选票的结果是：甲350张，乙370张，丙280张，则甲在剩下的500张选票中至少再得票，才能保证以得票最多当选该校的学生会主席．20、初二某班有49位同学，他们之间的年龄最多相差3岁，若按属相分组，那么人数最多的一组中至少有同学位．21、若函数f （x ）＝x ＋12x （x ＞2），在x ＝a 处取最小值，则a ＝．22、原点关于直线8x ＋6y ＝25的对称点坐标为．第18题图第16题图第17题图第15题图三．（本大题共3小题，满分26分）23、（10分）已知实数a、b满足a＋b＝－3，ab＝2，求（2）tanθ．25、（6分）在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．数学青年教师解题竞赛试题参考答案1、解：∵|a－b|＝b－a，∴a＜b，∴a＝－3，b＝±2．（1）a＝－3，b＝－2时，（a＋b）3＝－125；（2）a＝－3，b＝2时，（a＋b）3＝－1．故选D．2、解：∵三个图形的周长相等，∴6a＝3b＝8c，∴c＜a＜b．故选A．3、解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，由第一个图形可知桌子的高度为：h－y＋x＝80，由第二个图形可知桌子的高度为：h－x＋y＝70，两个方程相加得：（h－y＋x）＋（h－x＋y）＝150，解得h＝75cm．故选C．4、解：∵S△ADE＝S梯形DBCE，∴△ADE的面积是△ABC面积的一半，∴()2＝，∴AB＝AD，令AD＝1，则DB＝－1，∴AD∶DB＝．故选D5、．解：方程两边都乘（x＋1）（x－1），得6－m（x＋1）＝（x＋1）（x－1），由最简公分母（x＋1）（x－1）＝0，可知增根可能是x＝1或－1．当x＝1时，m＝3，当x＝－1时，得到6＝0，这是不可能的，所以增根只能是x＝1．故选B．6、解：由（1）得，x＜m，由（2）得，x≥3，故原不等式组的解集为：3≤x＜m，∵不等式的正整数解有4个，∴其整数解应为：3、4、5、6，∴m的取值范围是6≤m＜7．7、解：△＝4－4（a－1）＝8－4a＞0得a＜2．又a－1≠0∴a＜2且a≠1．故选C．8、解：共有10、7、5；10、7、3；10、5、3；7、3、5；4种情况，10、7、3；10、5、3这两种情况不能组成三角形；所以P（任取三条，能构成三角形）＝12．故选C．9、解：当x＞0时，原式＝x2－3x＋2＝0，解得：x1＝1；x2＝2；当x＜0时，原式＝－x2＋3x＋2＝0，解得：x1＝（不合题意舍去），x2＝，∴方程的实数解的个数有3个解．故选C．10、解：∵∠C′AB＝12（∠ABC＋∠ACB），∠C′BA＝12（∠ACB＋∠BAC），∠C′＝180°－∠C′AB－∠C′BA，∴∠C′＝180°－12（∠ABC＋∠ACB）－12（∠ACB＋∠BAC）＝90°－12∠ACB．∵90°－12∠ACB＜90°．∴∠C′＜90°．同理：∠A′＜90°，∠B′＜90°．∴△A′B′C′一定是锐角三角形．故选C．11、解：A、当a等于负整数时，[a]＝－a，故本选项错误；B、当a等于正整数时，[a]＝a，[a]≠|a|－1，故本选项错误；C、当a等于正整数时，[a]＝a，故本选项错误；D、[a]≤a且为整数，与a的差不会超过1，a－1与a的差为1，则[a]＞a－1，故本选项正确．12、C13、C14、B15、解：∵AD∥EF，CB∥EG，∠A＋∠B＝90°，∴∠FEG＝90°，∴△FEG是直角三角形，∵AD＝EF＝8cm，CB＝EG＝6cm，∴FG2＝EF2＋EG2，∴FG＝＝10cm，∵在四边形ABCD中，AD、BC分别平移到EF和EG的位置，∴CD＝AF＋BG，∴AB＝FG＋AF＋BG＝10＋2＝12cm．16、解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝，由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，∴线段AB扫过的图形面积＝＝＝．17、解：如图，∠AED＝∠EDC＋∠C，∠ADC＝∠B＋∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠B ＋∠BAD ＝∠EDC ＋∠C ＋∠EDC ，即∠BAD ＝2∠EDC ， ∵∠BAD ＝50°，∴∠EDC ＝25°．18、解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠FDB ＝90°， ∵∠ABC ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ， ∵BE ⊥AC ，∴∠AEF ＝90°，∴∠DAC ＋∠AFE ＝90°， ∵∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＋∠BFD ＝90°，又∵∠BFD ＝∠AFE ，∴∠FBD ＝∠DAC ，在△BDF 和△CDA 中：，∴△BDF ≌△CDA ，∴DF ＝CD ＝4．19、解：由甲350张，乙370张，得出甲与乙相差20，剩下500张只分给甲、乙两人选票，首先使两人票数相同，从500张中先拿出20张给甲，若剩下的500－20＝480张中，甲乙各占一半，则甲至少需要240＋20＋1＝261才能当主席．故答案为：261．20、解：由题意知，49位同学分四个年龄段，构造4个抽屉，49＝12×4＋1，所以人数最多的一组中至少有同学12＋1＝13位．故答案为13．21、322、（4，3）23、判断出a ，b 均为负值2分，得出－abb a 22 4分，正确结果4分．24、求出sinθ×cosθ值3分，求出sinθ－cosθ值4分，求出tanθ值3分． 25、（2013•四川）解：设该数列的公差为d ，前n 项和为S n ，则 ∵a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项， ∴2a 1＋2d ＝8，（a 1＋3d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋8d ）解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3． ∴前n 项和为S n ＝4n 或S n ＝12（3n 2−n ）．求出首项，公差及前n 项和各2分．备选题1、求证：三角形的三条中线之和大于周长的34，而小于周长的32．2、已知a b+＝3，b c+＝4，c a+＝5，则ab bc ca++＝．63、不论m 取任何实数，直线（3m ＋2）x －（2m －1）y ＋5m ＋1＝0必过定点（ A ） A ．（－1，1） B ．（－1，－1） C ．（1，－1） D ．（1，1）4、在同样条件下的三次化学实验中，所得数据是1a 、2a 、3a ，因仪器和观察的误差，我们规定：实验的的最佳数据“a ”是这样的一个数值，它与实验数据1a 、2a 、3a 差的平方和M 最小．依此规定，则a ＝． 13(1a ＋2a ＋3a )5、观察下表中三角形个数变化规律，……，如果图中三角形的个数是102个，则图中应有． 16 多一条横线，则多6个三角形．6、一位同学在斜坡上练习骑自行车，上坡速度为m km/h ，下坡速度为n km/h ，则上下坡的平均速度为 km/h ．2mnm n7、已知x ∈{1，2，x 2}，则实数x ＝．解：∵x ∈{1，2，x 2}，分情况讨论可得：①x ＝1此时集合为{1，2，1}不合题意 ②x ＝2此时集合为{1，2，4}合题意 ③x ＝x 2解得x ＝0或x ＝1，并且当x ＝0时集合为{1，2，0}合题意，故答案为0或2．。

高中数学教师解题比赛试题及答案(黄埔区)

广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为的正确选择支填在答题卷的相应题号下）（1）设集合A ＝{a ，b }，且A ∪B ＝{a ，b ，c }，那么满足条件的集合B 共有（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （2）已知a ＝（1，2），b ＝（x ，1），当（a ＋2b ）⊥（2a －b ）时，实数x 的值为（A ）6 （B ）－2 （C ）27 （D ）－2，27 （3①若直线a ∥平面α，直线b ⊥α，则a ⊥b ；②若直线a ∥平面α，a ⊥平面β，则α⊥β；③若a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；④若平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α⊥γ.其中不正确的命题个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）已知a ＜0，点A （a ＋a 1，a －a1），点B （1，0），则|AB |的最小值为A9 （B 5 （C ）3 （D ）1 （5）已知，函数f （x ）＝2sin ωx 在［0，4π］上递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω（A ）32 （B ）34或38 （C ）38 （D ）34（6）甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别是51、31、41，今三人各投篮一次至少有一人A ）601 （B ）6047 （C ）53 （D ）6013（7）已知复数z －1的辐角为65π，z ＋1的辐角为3π，则复数z 等于（A ）i 2321+ （B ）i 2321+-C ）i 2321± （D ）i 2321±- （8）若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0，x 2－x ＋b ＝0（a ≠b ）的四个实数根组成以41为首项的等差数列，则a ＋b A ）7231 （B ）2413 （C ）2411 （D ）83（9）把正方形ABCD 沿对角线BD 折叠后得到四面体ABCD ，则AC 与平面BCD（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90° （10）若以(y ＋2)2＝4（x －1）上任一点P 为圆心作与y（A ）（1，－2）（B ）（3，－2C ）（2，－2）（D ）不存在这样的点（11）设F 1、F 2为双曲线224y x -＝1的两焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2面积为1时， 21PF ⋅A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）21（12）设偶函数f （x ）＝loga |x －b |在（－∞，0）上递增，则f （a ＋1）与f （b ＋2 （A ）f （a ＋1）＝f （b ＋2）（B ）f （a ＋1）＞f （b ＋2C ）f （a ＋1）＜f （b ＋2）（D ）不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷的指定位置上）（13）直线y ＝33x 绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆（x －2）2＋y 2＝3的交点个数是___*____. （14）甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第一名到第五名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，五人的名次排列共可能有___*___（用数字作答）种不同的情况. （15）过曲线y ＝x 3－2x 上点（1，－1）的切线方程的一般形式是__*_____. （16）当k ∈R ，k 为定值时，函数f （x ）＝kx k x +++221的最小值为___*____.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12要把两种大小不同的钢板截成A 、B 二种规格的材料，每张钢板可同时截得两种规格较A 、B 两种规格材料分别为12及18张. 试求：这两种钢板应各取多少张，才能既满足二种规格成品的需要又能使所用钢板总数最少？（18）（本小题满分12已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，对于任意n ≥2，3S n －4，a n ，2－132n S -总成等差数列. （Ⅰ）求a 2，a 3，a 4a nn n S ∞→lim .（19）（本小题满分12ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是面积为23的菱形，∠ABC ＝60°，E 、F 分别为CC 1、BB 1上的点，且BC ＝EC ＝2FB .（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面ACC 1A 1 （Ⅱ）求平面AEF 与平面ABCD 所成角. （20）（本小题满分12如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山（P 为TS 上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR .求长方形停车场PQCR 面积的最大值及最小值. （21）（本小题满分12以椭圆222y ax +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. （22）（本小题满分14已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x （Ⅱ设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.B黄埔区高中数学教师解题比赛参考答案一、选择题二、填空题（13）1；（14）54；（15）x ―y ―2＝0或5x ＋4y －1＝0；（16）当k ≤1时，为2；当k ＞1时，为kk 1+.三、解答题（17）解：设所需第一种钢板x 张，第二种钢板y依题意，得21221800,x y x y x y x y N+≥⎧⎪+≥⎪⎪≥⎨⎪≥⎪∈⎪⎩目标函数z ＝x ＋y .依图（图略）可得当x ＝2，y ＝8时，z 最小为10 第一种钢板用2张，第二种钢板用8张（18）解：（Ⅰ）a 2＝21，a 3＝－41，a4＝81（Ⅱ）∵n ≥2时，a n ＝3S n －4即3S n ＝a n ＋4. ∴3S n ＋1＝a n ＋1＋4.3a n ＋1＝a n ＋1－a n ，即211-=+n n a a ∴a 2，a 3，…a n故a n ＝11(1)1()(2)2n n n -=⎧⎪⎨--≥⎪⎩ （Ⅲ）34311)(lim 1lim 32=+=++++=∞→∞→n n n n a a a S .（19）证明：（Ⅰ） ⇒⎭⎬⎫⊥⊥1CC BD AC BD BD ⊥平面ACC 1AAC ∩BD＝O ，AE 的中点为M ，连OM则OM ＝21EC ＝FB∴FB ∥C E ∥OM ∴BOMF∴FM ∥BO 即FM ∥BD 由①，知⇒⎭⎬⎫⊂⊥AEF FM A ACC FM 平面平面11面AEF ⊥面ACC 1A 1（Ⅱ）∵AC ⊥BD ，平面AEF ∩平面ABCD ＝l ，l 过A 且l ∥BD ∴AC ⊥l ，又BD ⊥平面ACC 1A 1 ∴l ⊥平面ACC 1A 1，∴l ⊥AE∴∠EAC 为所求二面角的平面角θ. ∵∠ABC ＝60°，∴AC ＝BC ＝CE ∴θ＝45°（20）解：设∠P AB ＝θ，θ∈[0，2π]4S P Q C R ＝f （θ）＝（100－90cos θ）（100－90sin θ＝8100sin θcos θ－900（sin θ＋cos θ）＋10000令sin θ＋cos θ＝t则t ＝2sin （θ＋4π）∈[1， 2]. ∴S P Q CR ＝28100t 2－9000t ＋10000－28100当t ＝910时，S P Q CD 最小值为950（m 2）当t ＝2时，S P Q CD 最大值为14050－90002 （m 2）（21）.解：因a ＞1，不防设短轴一端点为B （0，1设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞0则AB ∶y ＝－k1x ＋1 把BC是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2kx ＝0∴|BC |＝2222121k a k a k ++，同理|AB |＝222221ak a k ++由|AB |＝|BC |k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0（k －1）［k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4由Δ＜0，得1＜a ＜3由Δ＝0，得a ＝3，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即1＜a ≤3由Δ＞0即a ＞3时有三解（22）解：依题意，知a 、b ≠0∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a ＞0且c ＜0（Ⅰ）令f （x ）＝g （x得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（* Δ＝4（b 2－ac ）∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点（Ⅱ）设x1、x 2为交点A 、B 则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*|A 1B 1|2＝22224)(444a acc a a ac b -+=-2224()a c ac a =++ 24()1(**)cc aa ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∵020a b c a c a b++=⎧⇒+>⎨>⎩，而a ＞0，∴2ca>- ∵020a b c a c c b++=⎧⇒+<⎨<⎩，∴12c a <- ∴122c a -<<- ∴4［（a c ）2＋ac ＋1］∈（3，12∴|A 1B 1|∈（3，23）。