中国科学院离散数学1999真题 (2)
离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）
离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。
离散数学习题答案及解析_2
离散数学习题答案习题一1、利用逻辑联结词把下列命题翻译成符号逻辑形式（1）他既是本片的编剧,又是导演--- P∧ Q（2）银行利率一降低,股价随之上扬--- P→ Q（3）尽管银行利率降低,股价却没有上扬--- P∧ Q（4）占据空间的、有质量而且不断变化的对象称为物质--- M ←→<S∧P∧T> （5）他今天不是乘火车去北京,就是随旅行团去了九寨沟 --- P▽ Q（6）小张身体单薄,但是极少生病,并且头脑好使--- P∧ Q ∧ R（7）不识庐山真面目,只缘身在此山中--- P→ Q〔解释：因为身在此山中,所以不识庐山真面目（8）两个三角形相似,当且仅当他们的对应角相等或者对应边成比例--- S ←→<E∨T>（9）如果一个整数能被6整除,那么它就能被2和3整除。
如果一个整数能被3整除,那么它的各位数字之和也能被3整除解：设 P –一个整数能被6整除Q –一个整数能被2整除 R –一个整数能被3整除S –一个整数各位数字之和能被3整除翻译为：〔P→〔Q ∧ R∧〔R→ S2、判别下面各语句是否命题,如果是命题,说出它的真值〔1BASIC语言是最完美的程序设计语言--- Y,T/F〔2这件事大概是小王干的--- N〔3x2 = 64 --- N〔4可导的实函数都是连续函数--- Y,T/F〔5我们要发扬连续作战的作风,再接再厉,争取更大的胜利--- N〔6客观规律是不以人们意志为转移的--- Y,T〔7到2020年,中国的国民生产总值将赶上和超过美国--- Y,N/A〔8凡事都有例外--- Y,F3、构造下列公式的真值表,并由此判别哪些公式是永真式、矛盾式或可满足式〔1〔P∨〔～P∧ Q→ Q〔2~〔4表略：〔2可满足式、〔3永真式、〔4可满足式4、利用真值表方法验证下列各式为永真式〔1~〔8略5、证明下列各等价式〔3P→〔Q∨ R⇔〔P→ Q∨〔P→ R证明：左式⇔～P∨Q∨ R⇔～P∨Q∨～P∨ R⇔〔～P∨Q∨〔～P∨ R⇔〔P→ Q∨〔P→ R⇔右式〔4〔P∧ Q∨〔R∧ Q∨〔R∧ P⇔〔P∨ Q∧〔R∨ Q∧〔R∨ P证明：左式⇔<〔P∨R∧ Q∨〔R∧ P⇔<〔P∨R∨R>>∧<〔P∨R∨P>>∧〔Q∨R∧〔Q∨P⇔〔P∨ Q∧〔R∨ Q∧〔R∨ P⇔右式6、如果P∨ Q ⇔ Q∨R,能否断定 P ⇔ R ？如果P∧ Q ⇔ Q∧R,能否断定 P ⇔ R？如果～P ⇔～R,能否断定 P ⇔ R？解：〔1如果P∨ Q ⇔ Q∨R,不能判断P ⇔ R,因为如果 Q = P∨ R, 那么P∨ Q⇔P ∨P∨ R ⇔ Q∨R,但P可以不等价于R.〔2如果P∧ Q ⇔ Q∧R,不能判断P ⇔ R,因为如果 Q = P∧ R, 那么P∧ Q⇔P ∧P∧ R ⇔ Q∧R,但P可以不等价于R.〔3如果～P ⇔～R,那么有P ⇔ R,因为～P ⇔～R,则～P <-> ～R为永真式,及有P <-> R为永真式,所以P ⇔ R.8、把下列各式用↑等价表示出来〔1<P∧Q>∨～P解：原式⇔ <<P↑Q>↑<P↑Q>>∨<P↑P>⇔ <<<P↑Q>↑<P↑Q>>↑<<P↑Q>↑<P↑Q>>>↑<<P↑P>↑<P↑P>>9、证明：{ ～→}是最小功能完备集合证明: 因为{～,∨}是最小功能完备集合,所以,如果{ ～→}能表示出∨,则其是功能完备集合。
1999考研数二真题及解析
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
把答案填在题中横线上。
)(1) 曲线sin 2cos ttx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩，在点()0,1 处的法线方程为 (2) 设函数()y y x =由方程()23ln sin x y x y x +=+确定，则0x dydx==(3)25613x dx x x +=-+⎰(4)函数2y =12⎡⎢⎣⎦上的平均值为 (5) 微分方程24xy y e ''-=的通解为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()20(),0x f x x g x x >=⎪ ≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A) 极限不存在.(B) 极限存在，但不连续. (C) 连续，但不可导. (D) 可导. (2) 设()()()15sin 00sin ,1xx t tx dt x t dt tαβ==+⎰⎰，则当0x →时()x α是()x β的 ( )(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小 (3) 设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数. (B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数. (C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数. (D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数.(4) “对任意给定的()0,1ε∈ ，总存在正整数N ，当n N ≥时，恒有2n x a ε-≤”是数列{}n x收敛于a 的 ( )(A)充分条件但非必要条件. (B)必要条件但非充分条件. (C)充分必要条件. (D)既非充分条件又非必要条件.(5)记行列式212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x xx x x ---------------为()f x ，则方程()0f x =的根的个数为( )(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.三、(本题满分5分)求 ()21tan 1sin limln 1x x xx x x →+-++-.四、(本题满分6分)计算21arctan xdx x+∞⎰. 五、(本题满分7分)求初值问题 ()2210(0)0x y x y dx xdy x y =⎧++-=>⎪⎨⎪=⎩的解.六、(本题满分7分)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深30m 30m,抓斗自重400N , 缆绳每米重50N ，抓斗抓 起的污泥重2000N ，提升速度为3/m s ,在提升过程中，污泥以20/N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：①111;N m J ⨯=其中,,,m N s J 分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.)七、(本题满分8分)已知函数()321x y x =-，求(1)函数的增减区间及极值； (2)函数图形的凹凸区间及拐点 (3)函数图形的渐近线.八、(本题满分8分)设函数()f x 在闭区间[]1,1-上具有三阶连续导数，且()10f -=，()11f =，()00f '=，证明：在开区间()1,1-内至少存在一点ξ，使()3f ξ'''=.九、(本题满分9分)设函数()()0y x x ≥二阶可导，且()0y x '>，()01y =.过曲线()y y x =上任意一点(),P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线，上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ，区间[]0,x 上以()y y x =为曲边的曲边梯形面积记为2S ，并设122S S -恒为1，求此曲线()y y x =的方程.十、(本题满分6分)设()f x 是区间[)0, +∞上单调减少且非负的连续函数，()()11nnn i a f k f x dx ==-∑⎰()1,2,n =，证明数列{}n a 的极限存在.十一、(本题满分8分)设矩阵111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，矩阵X 满足*12A X A X -=+，其中*A 是A 的伴随矩阵，求矩阵X .十二、(本题满分5分)设向量组()11,1,1,3Tα=，()21,3,5,1Tα=--，()33,2,1,2Tp α=-+，()42,6,10,Tp α=-- (1)p 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量()4,1,6,10Tα=用124,,,αααα3 线性表出；(2)p 为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析一、填空题(1)【答案】210y x +-=【详解】点()0,1 对应0t =，则曲线在点()0,1 的切线斜率为cos sin cos sin sin 22cos 2sin 22cos 2t t t tdydy e t e t t tdt dx dx e t e t t t dt --===++， 把0t =代入得12dy dx =，所以改点处法线斜率为2-，故所求法线方程为210y x +-=.(2)【答案】1【详解】()y x 是有方程()23ln sin x y x y x +=+所确定，所以当0x =时，1y =.对方程()23ln sin x y x y x +=+两边非别对x 求导，得23223cos x y x y x y x x y'+'=+++， 把0x =和1y =代入得0(0)1x dy y dx='==(3)【答案】213ln(613)4arctan 22x x x C --+++ 【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即222538613613613x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰2221(613)82613(34d x x dx x x x -+=+-+-+⎰⎰） 223(1ln(613)432(1x d x x x -=-++-+⎰）2）2213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++(4)【答案】112π 【详解】按照平均值的定义有212y =⎰， 作变换令sin x t =，则cos dx tdt =，所以236y ππ=⎰236sin tdt ππ=⎰3366111111)(cos 2)1)sin 2222212t dt t t πππππ+⎡⎤=-=+-=⎢⎥⎣⎦⎰(5)【答案】22121,4xx y C eC x e -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭其中12,C C 为任意常数.【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程"40y y -=的特征方程为：240,λ-=解得122,2λλ==-，故"40y y -=的通解为22112,x xy C e C e -=+由于非齐次项为2(),x f x e =因此原方程的特解可设为*2,xy Axe =代入原方程可求得14A =，故所求通解为*2211214xx y y y C e C x e -⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭二、选择题 (1)【答案】( D )【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为20001()(0)(0)lim lim lim 0,0x x x xf x f f x ++++→→→-'====- 2000()(0)()(0)lim lim lim ()0,0x x x f x f x g x f xg x x x----→→→-'====-从而，(0)f '存在，且(0)0f '=，故正确选项为(D).(2)【答案】( C )【详解】当0x →有，5011000sin sin 0sin sin 55()5lim lim lim ()(1)(1sin )cos x x x x x t x t xdt x t x x t dtx x αβ→→→⋅==++⋅⎰⎰ 10sin sin 0sin 51155lim5151lim (1sin )limcos x xx x xxe ex x→→→=⋅=⨯⨯=⨯+⋅ 所以当0x →时()x α是()x β同阶但不等价的无穷小.(3)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()f x 的原函数()F x 可以表示为0()(),xF x f t dt C =+⎰于是()0()()().u txxF x f t dt C f u d u C =---=+=--+⎰⎰当()f x 为奇函数时，()()f u f u -=-，从而有()()()()xxF x f u du C f t dt C F x -=+=+=⎰⎰即 F (x )为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()f x x =是偶函数，但其原函数31()13F x x =+不是奇函数，可排除(B)；2()cos f x x =是周期函数，但其原函数11()sin 224F x x x =+不是周期函数，可排除(C)；()f x x =在区间(,)-∞+∞内是单调增函数，但其原函数21()2F x x =在区间(,)-∞+∞内非单调增函数，可排除(D).(4)【答案】( C ) 【详解】【方法1】“必要性”：数列极限的定义 “对于任意给定的10ε>，存在10N >，使得当1n N >时恒有1||n x a ε-<”. 由该定义可以直接推出题中所述，即必要性；“充分性”：对于任意给定的10ε>，取11min ,33εε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，这时(0,1)ε∈，由已知，对于此ε存在0N >，使得当n N ≥时，恒有||2n x a ε-<，现取11N N =-，于是有当1n N N ≥>时，恒有112||3n x a εε-≤<. 这证明了数列{}n x 收敛于a . 故(C)是正确的. 【方法2】数列极限的精确定义是：对于任意给定的0ε>，总存在0N >，使得当n N >时||n x a ε-<，则称数列{}n x 收敛于a . 这里要抓住的关键是ε要能够任意小，才能使||n x a -任意小.将本题的说法改成：对任意12(0,2)0εε=∈>，总存在10N >，使得当1n N N ≥>时，有1||2n x a εε-<=，则称数列{}n x 收敛于a .由于1(0,2)ε∈可以任意小，所以||n x a -能够任意小. 故两个说法是等价的.(5)【答案】(B)【详解】利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别.212322212223()333245354435743x x x x x x x x f x x x x x xx x x --------=-------210121221013133122414373x x x x xx -------------列列列列列列2100221042331214376x x x x xx --+------列列212122176x x x x ---=⋅---(若,,A B C 均为n 阶方阵，则A BA C O C=⋅)[(2)1(22)1][6(2)(1)(7)]x x x x =-⋅--⋅⨯----- ()(55)x x =-⨯-+5(1)x x =⋅-故 ()(55)0f x x x =⋅-=有两个根120,1x x ==，故应选(B).三【详解】进行等价变化，然后应用洛必达法则， 【方法1】()20limln 1x x x x →+-0x →=()0tan sin lim (ln 1)2x x x x x x →-=+-()01cos 1sin cos lim 2ln 1x xx x x x x→-=+-()011cos lim 2ln 1x x x x →-=+-01(1)sin lim 2x x x x→+-洛12=- 【方法2】()201tan 1sin limln 1x x xx x x →+-++-()0tan sin lim (ln 1)2x x x x x x →-=+- ()()00tan (1cos )(1cos )limlim 2(ln 1)2(ln 1)x x x x x x x x x x x x →→--==+-+-()011cos lim 2ln 1x x x x→-=+-()2012lim2ln 1x x x x→=+-00111lim lim 2(1)21x x x x x x →→--++洛=12=-四【详解】采用分部积分法21arctan x dx x +∞⎰11arctan ()xd x +∞=-⎰211111arctan 1x dx x x x +∞+∞=-++⎰ 221111()ln ln(1)4142x dx x x x x ππ+∞+∞⎡⎤=+-=+-+⎢⎥+⎣⎦⎰12ln|41x x π+∞=++1ln 242π=+五【详解】将原方程化简 2221()y x y dy y ydx x x x++==++令y u x =，则dy du u x dx dx =+，代入上式，得 21duu x u u dx+=++， 化简并移项，得21du dxxu =+， 由积分公式得 2ln(1)ln()u u Cx ++=，其中C 是常数， 因为0,x >所以0C >，去掉根号，得 21u u Cx ++=，即21()y yCx x x++=， 把10x y ==代入并化简，得 211,022y x x =->六【详解】建立坐标轴如图所示，解法1：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功123W W W W =++，其中1W 是克服抓斗自重所作的功；2W 是克服缆绳重力作的功；3W 为提出污泥所作的功. 由题意知14003012000.W N m J =⨯=将抓斗由x 处提升到x dx +处，克服缆绳重力所作的功为2dW = 缆绳每米重×缆绳长×提升高度50(30),x dx =-从而 302050(30)22500.W x dx J =-=⎰在时间间隔[,]t t dt +内提升污泥需做功为3((3)dW dt =-⨯原始污泥重漏掉污泥重）提升高度(200020)3t dt =-将污泥从井底提升至井口共需时间3010,3/ms m s= 所以 10303(200020)57000.W t dt J =-=⎰因此，共需做功123120002250057000)91500W W W W J J =++=++=（解法2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W ，当抓斗运动到x 处时，作用力()f x 包括抓斗的自重400N , 缆绳的重力50(30)x N -， 污泥的重力(200020),3xN -⋅ 即 20170()40050(30)20003900,33f x x x x =+-+-=- 于是3023001708539003900117000245009150033W x dx x x J ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰七【详解】函数的定义域为(,1)(1,)-∞+∞，对函数求导，得23(3)(1)x x y x -'=-，46(1)xy x ''=- 令0y '=得驻点0,3x x ==；令0y ''=得0x =. 因此，需以0,1,3为分界点来讨论，列表讨论如下：由此可知，(1)函数的单调增区间为(,1)(3,)-∞+∞，单调减区间为(1,3)，极小值为3274x y ==. (2)函数图形在区间(,0)-∞内是向上凸的，在区间(0,1),(1,)+∞内是向上凹的，拐点为(0,0)点.(3)由321lim(1)x x x →=+∞-，可知1x =是函数图形的铅直渐近线. 又因为 32lim lim1(1)x x y x x x x →∞→∞==- 3322222(1)2lim()lim()lim lim 2(1)(1)(1)x x x x x x x x x x y x x x x x →∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤----=-===⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦故2y x =+是函数的斜渐近线.八、(本题满分8分)设函数()f x 在闭区间[]1,1-上具有三阶连续导数，且()10f -=，()11f =，()00f '=，证明：在开区间()1,1-内至少存在一点ξ，使()3f ξ'''=. 【详解】解法1：由麦克劳林公式得2311()(0)(0)(0)()2!3!f x f f x f x f x η''''''=+++，其中η介于0与x 之间，[1,1]x ∈- 分别令1,1x x =-=并结合已知条件得 1111(1)(0)(0)()0,1026f f f f ηη'''''-=+-=-<< 2211(1)(0)(0)()1,0126f f f f ηη'''''=++=<<两式相减，得21()()6f f ηη''''''+=由()f x '''的连续性，知()f x '''在区间12[,]ηη上有最大值和最小值，设它们分别为M 和m ，则有 []211()()2m f f M ηη''''''≤+≤ 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点12[,](1,1)ξηη∈⊂-，使 ()[]211()()32f f f ξηη'''''''''=+= 解法2：构造函数()x ϕ，使得[1,1]x ∈-时()x ϕ'有三个0点，()x ϕ''有两个0点，从而使用罗尔定理证明ξ必然存在.设具有三阶连续导数32()()x f x ax bx cx d ϕ=++++令 (1)(1)0(0)(0)0(1)(1)0(0)(0)0f a b c d f d f a b c d f c ϕϕϕϕ-=--+-+=⎧⎪=+=⎪⎨=++++=⎪⎪''=+=⎩，将()()()101100f f f -=⎧⎪=⎨⎪'=⎩代入得121(0)20(0)a b f c d f ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪=-⎩代入()x ϕ得3211()()((0))(0)22x f x x f x f ϕ=-+--由罗尔定理可知，存在12(1,0),(0,1)ηη∈-∈，使12()0,()0ϕηϕη''==又因为(0)0ϕ'=，再由罗尔定理可知，存在1122(,0),(0,)ξηξη∈∈，使得12()0,()0ϕξϕξ''''== 再由罗尔定理知，存在1212(,)(,)(1,1)ξξξηη∈⊂⊂-，使 ()()30f ϕξξ''''''=-= 即 ()3f ξ'''=.九【详解】如图，曲线()y y x =上点(,)P x y 处的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=-所以切线与x 轴的交点为,0'y x y ⎛⎫-⎪⎝⎭由于'()0,(0)1,y x y >= 因此()10y x >>(0)x >于是 211.2'2'y y S y x x y y ⎛⎫=--=⎪⎝⎭又 20()xS y t dt =⎰根据题设1221,S S -= 得22()1,2'x y y t dt y ⋅-=⎰ 两边对x 求导并化简得()2"'yy y =这是可降阶的二阶常微分方程，令,p y '= 则dp dp dy dp y p dx dy dx dy''==⋅=， 上述方程化为2,dp ypp dy =分离变量得dp dy p y =，解得1p C y =，即1,dyC y dx= 从而有 12xy C e C =+，根据(0)1,'(0)1,y y ==可得121,0,C C ==故所求曲线得方程为 xy e =.十【详解】利用单调有界必有极限的准则来证明.先将n a 形式化简， 因为123111211()()()()()n nnk n kk f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -+-==+++=∑⎰⎰⎰⎰⎰所以 ()11111()()n n k n ki k a f k f n f x dx --+===+-∑∑⎰()111[()]()n k kk f k f x dx f n -+==-+∑⎰又因为()f x 单调减少且非负，1k x k ≤≤+，所以有()111[()]0()0n k k k f k f x dx f n -+=⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩∑⎰，故0n a ≥；又因为 ()()()()1111111[][]n nn nn n i i a a f k f x dx f k f x dx +++==-=---∑∑⎰⎰()()()()111111[][]n nn ni i f k f k f x dx f x dx ++===---∑∑⎰⎰1(1)()n nf n f x dx +=+-⎰1[(1)()]0n nf n f x dx +=+-≤⎰所以{}n a 单调减少，因为单调有界必有极限，所以lim n n a →∞存在.十一【详解】题设条件 *12A X A X -=+上式两端左乘A ，得 *12AA X AA AX -=+因为*1,AA A E AA E -==，所以 2(2)A X E AX A E A X E =+⇒-=根据可逆矩阵的定义：对于矩阵n A ，如果存在矩阵n B ，使得AB BA E ==，则称A 为可逆矩阵，并称B 是A 的逆矩阵，故(2),A E A X -均是可逆矩阵，且1(2)X A E A -=-又 111111111A -=--111210203120-+行行行+行011113020220--⨯行行 001112020220--⨯行行4= 因为常数k 与矩阵A 相乘，A 的每个元素都要乘以k ，故4004040004A E E ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2222222222A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以2A E A -2(2)E A =-222222222-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1112111111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(对应元素相减)1111111111(2)21111112111111X A E A ---⎛-⎫-⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎝⎭(111()kA k A ---=)用初等行变换求逆，当用初等行变换将矩阵A 化为单位矩阵时，经过相同的初等行变换，单位矩阵E 化成了1A -，即()()1AE E A -→初等行变换111100111010111001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1111002102211031002101-⎡⎤-⎢⎥--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦行行行行 11110023020011002101-⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦行行11111002201001/21/2130011/201/22-⎡⎤⨯⎢⎥⎢⎥⨯⎢⎥⎣⎦行行1101/201/21301001/21/20011/201/2--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行行1001/21/201201001/21/20011/201/2⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦行行故 1/21/201101101/21/2011241/201/2101X ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦十二【概念】向量组1234,,,αααα线性无关⇔以,1,2,3,4i i α=为列向量组成的线性齐次方程组[]112233441234,,,0x x x x X αααααααα+++==只有零解向量α能否由向量组1234,,,αααα线性表出⇔以,1,2,3,4i i α=为列向量组成的线性非齐次方程组11223344x x x x ααααα+++=是否有解【详解】作方程组11223344x x x x ααααα+++=，并对增广矩阵作初等行变换，[]12341132413261,,,,151********p p ααααα--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦1132421021433106412241304762p p --⎡⎤-⎢⎥----⎢⎥-⎢⎥--⨯⎢⎥-+-⎣⎦行行行行行行11324323021430070742200928p p --⎡⎤⎢⎥+⨯----⎢⎥⎢⎥--+⨯⎢⎥---⎣⎦行行行行 113240214313()00101700928p p --⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦行113240214343(9)0010100021p p p --⎡⎤⎢⎥----⎢⎥-⨯-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦行行 (1) 当2p ≠时，12341234(,,,)(,,,,)4r r ααααααααα==，方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知量的个数，故1234,,,αααα线性无关，且方程组1234(,,,)X ααααα=有唯一解，其同解方程组为1234234343242431(2)1x x x x x x x x p x p-+-=⎧⎪ ++=⎪⎨ =⎪⎪ -=-⎩，解得12343412,,1,22p p x x x x p p --====-- 代入11223344x x x x ααααα+++=中，即α可由1234,,,αααα线性表出，且表出式为1234341222p pp p ααααα--=+++-- (2) 向量组1234,,,αααα线性相关⇔以,1,2,3,4i i α=为列向量组成的线性齐次方程 组[]112233441234,,,0x x x x X αααααααα+++==有非零解当2p =时，[]12341132413261,,,,151106314210ααααα--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦11324021430010100001--⎡⎤⎢⎥----⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 初等变换不改变向量组的秩，1234(,,,)3r αααα=，系数矩阵的秩小于未知量的个数，[]112233441234,,,0x x x x X αααααααα+++==有非零解，故向量组1234,,,αααα线性相关，列向量组经过初等行变换，其对应的部分列向量组具有相同的线性相关性. 在11324021430010100001--⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦中，由11302120001---=-≠或1320144001---=≠知，123,,ααα(或134,,ααα)线性无关，是其极大线性无关组.。
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准
由格林公式，前一部分 I1
D
(b a)dxdy
2
a2 (b a) ,
„„1 分 „„3 分
1999 年 • 第 2 页
其中 D 为 L L1 所围成的半区域. 直接计算后一积分可得
I2
2a (bx)dx 2a2b .
0
„„4 分
从而
I
I1
I2
2
a2 (b
a)
2a2b
( 2
2)a2b
解：曲线 y y(x) 上在点 P(x, y) 处的切线方程为Y y y(x)( X x) .
它与 x 轴的交点为 (x y , 0) .由于 y(x) 0, y(0) 1 ，从而 y(x) 0 ， y
于是 S1
1 2
y
x (x
y) y
y2 2 y
.
又 S2
dz dx
f
xf Fx
.
由此解得 dz ( f xf )Fy xf F x
dx
Fy xf F z
( Fy x f Fz 0 ) .
„„5 分
（注：不写出条件 Fy x f Fz 0 不扣分）.
四、(本题满分 5 分)
求 I (ex sin y b(x y)) dx (ex cos y ax) dy ，其中 a, b 为正的常数， L 为从点 L
A(2a, 0) 沿曲线 y= 2ax x2 到点 O(0, 0) 的弧.
解一：添加从点 O(0, 0) 沿 y 0 到点 A(2a, 0) 的有向直线段 L1 ，
I (ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L L1
(ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L1
《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案
《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟、选择题（每题2分，共20分）1. 设论域为全总个体域，M(x)：x 是人，Mortal(x)：x 是要死的，则“人总是要死的”谓词公式表示为( )（A ）)()(x Mortal x M → （B ）)()(x Mortal x M ∧（C ）))()((x Mortal x M x →?（D ）))()((x Mortal x M x ∧?2. 判断下列命题哪个正确？( )（A ）若A∪B＝A∪C，则B ＝C （B ）{a,b}={b,a}（C ）P(A∩B)≠P(A)∩P (B)（P(S)表示S 的幂集）（D ）若A 为非空集，则A ≠A∪A 成立3. 集合},2{N n x x A n∈==对( )运算封闭（A ）乘法（B ）减法（C ）加法（D ）y x -4. 设≤><,N 是偏序格，其中N 是自然数集合，“≤”是普通的数间“小于等于”关系，则N b a ∈?,有=∨b a ( )（A ）a（B ）b（C ）min(a ，b)（D ） max(a ，b)5. 有向图D=，则41v v 到长度为2的通路有( )条（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. 设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有( )个顶点（A ）10 （B ）4 （C ）8 （D ）127. 下面哪一种图不一定是树？（）（A ）无回路的连通图（B ）有n 个结点n-1条边的连通图（C ）每对结点间都有通路的图（D ）连通但删去一条边则不连通的图 8. 设P ：我将去镇上,Q ：我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）（A ）P →Q （B ）Q →P （C ）P Q （D ）Q P ?∨? 9. 下列代数系统中,其中*是加法运算,（）不是群。
《离散数学》题库及标准答案
《离散数学》题库及标准答案《离散数学》题库及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z（考察定义在公式?x A和?x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在?x A和?x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和?z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案与解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案与解析一、填空题（本题5小题，每小题3分，满分15分。
把答案填在题中横线上。
） （1）曲线sin 2,cos x e t y e t'=⎧⎨'=⎩在点()0,1处的法线方程为___________。
【思路点拔】本题的考点是曲线的法线方程。
欲求曲线的法线方程，需先求曲线法线斜率，即与曲线方程的一阶导数值乘积为-1的数，然后由直线的点斜式即可求曲线的法线方程。
【解题分析】cos sin sin 22cos 2x y t t ty x t t t'-'=='+。
()(),0,1x y =对应0t =，012xt y ='=，所求法线方程为12y x -=-。
即21x y +=。
（2）设函数()y y x =由方程()23ln sin x y x y x +=+确定，则x dy dx==_________。
【思路点拔】本题的考点是隐函数求导。
隐函数求导有两种方法：解法一，直接求导法；解法二，利和我函数的求导公式求解。
【解题分析】解法一：方程两边对x 求导得32223cos x y x y x y x x y'+'=+++。
以0x =代入原方程得ln 0y =，1y =；以0x =，1y =代入32223cos x y x y x y x x y'+'=+++。
得01x y ='=。
解法二：令()()23ln sin F x y x y x y x ⋅=+--22123sin Fx x x y x x y=⋅--+ 321Fy x x y=-+ dy Fxdx Fy=()()()2223223cos 1x x y x y x x y x x y -+-+=--+由题意：0x =时，1y =∴1x dy dx==。
（3）25613x dx x x +=-+⎰______________。
1999年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
(B)低阶无穷小
(C)同阶但不等价的无穷小
(D)等价无穷小
(3) 设 f (x) 是连续函数， F x 是 f (x) 的原函数，则 ( )
(A) 当 f (x) 是奇函数时， F x 必是偶函数.
(B) 当 f (x) 是偶函数时， F x 必是奇函数.
(C) 当 f (x) 是周期函数时， F x 必是周期函数.
2x y 3x2 y x3 y cos x ， x2 y
把 x 0 和 y 1代入得 y(0) dy 1 dx x0
(3)【答案】 1 ln(x2 6x 13) 4 arctan x 3 C
2
2
【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即
x2
x 5 dx 6x 13
(
x)
1
cos x
x
,x
0
，其中
g
x
是有界函数，则
f (x) 在 x 0 处
(
)
x2g x,x 0
(A) 极限不存在.
(B) 极限存在，但不连续.
(C) 连续，但不可导.
(D) 可导.
(2) 设 x
5x sin t dt, x
sin
x
1
t
1
t
dt
，则当
x
0
时
x
是
x
的
(
)
0t
0
(A)高阶无穷小
x5
(3)
dx x2 6x 13
(4) 函数 y
x2 x2
在区间
1 2
,
3 2
上的平均值为
(5) 微分方程 y 4 y e2x 的通解为
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是 符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)
离散数学习题答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版离散数学习题答案习题一：P121.判断下列句子哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？(1)中国有四大发明。
(2)5是无理数。
(3)3是素数或4是素数。
(4)x2+3<5，其中x是任意实数。
(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数。
(7)刘红与魏新是同学。
(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘π。
(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
(13)2025年元旦下大雪。
1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。
在上面的命题中，1、2、7、10、13是简单命题；1、2、10是真命题；7的真值现在还不知道。
2.将上题中是简单命题的命题符号化。
(1)p：中国有四大发明。
(2)q：5是无理数。
(7)r：刘红与魏新是同学。
(10)s：圆的面积等于半径的平方乘π。
(1)t：2025年元旦下大雪。
3.写出下列各命题的否定式，并将原命题及其否定式都符号化，最后指出各否定式的真值。
“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。
解：原命题可符号化为：p：5是有理数。
其否定式为：非p。
非p的真值为1。
4.将下列命题符号化，并指出真值。
(1)2与5都是素数。
(2)不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。
(3)虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。
(4)3是偶素数。
(5)4既不是素数，也不是偶数。
a：2是素数。
b：5是素数。
c：π是无理数。
d：e是无理数。
f：2是最小的素数。
g：2是最小的自然数。
h：3是偶数。
i：3是素数。
j：4是素数。
k：4是偶数。
解：（1）到（5）的符号化形式分别为a∧b，c∧d，f∧非g，h∧i，非j∧非k。
这五个复合命题的真值分别为1，1，1，0，0。
5.将下列命题符号化，并指出真值。
a：2是偶数。
b：3是偶数。
c：4是偶数。
1999考研数学二真题解析【无水印】
(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：
f (x) = x2 是偶函数，但其原函数 F= (x) 1 x3 +1不是奇函数，可排除(B)； 3
f (x) = cos2 x 是周期函数，但其原函数 F (= x) 1 x + 1 sin 2x 不是周期函数，可排除 24
(C)；
f (x) = x 在区间 (−∞, +∞) 内是单调增函数，但其原函数 F (x) = 1 x2 在区间 (−∞, +∞) 2
sin
2
tdt
6
π
∫ =(
3 +1)
π 3 π 6
(1 2
−
1 2
cos
2t)dt
=(
3
+
1)
1 2
t
−
1 2
sin
2t
3 π
= 3 +1π 12
6
(5)【答案】 y=
C1e −2 x
+
C2
+
1 4
x
e2x
,
其中
C1, C2
为任意常数.
【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.
❤
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)
(1)
曲线
x y
= =
et et
sin 2t cos t
，在点
(
0,
1)
处的法线方程为
( ) (2) 设函数 y = y ( x) 由方程 ln x2 + y = x3 y + sin x 确定，则 dy = dx x=0
离散数学试题带答案(二)
离散数学试题带答案一、选择题1、G 是一棵根树，则（ ）。
A 、G 一定是连通的B 、G 一定是强连通的C 、G 只有一个顶点的出度为0D 、G 只有一个顶点的入度为12、下面哪个语句不是命题（ ）。
A 、中国将成功举办2008年奥运会B 、一亿年前地球发生了大灾难C 、我说的不是真话D 、哈密顿图是连通的3、设R 是实数集合，在上定义二元运算*：a ，b ∈R ，a*b=a+b-ab ，则下面的论断中正确的是（ ）。
A 、0是*的零元B 、1是*的幺元C 、0是*的幺元D 、*没有等幂元4、下面说法中正确的是（ ）。
A 、所有可数集合都是等势的B 、任何集合都有与其等势的真子集C 、有些无限集合没有可数子集D 、有理数集合是不可数集合5、无向完全图K 3的不同构的生成子图有（ ）个。
A. 6B.5C. 4D. 36、下面哪一种图不一定是无向树?A 、无回路的连通图B 、有n 个顶点n-1条边的连通图C 、每对顶点间都有通路的图D 、连通但删去一条边则不连通的图7、设集合A ＝{{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，则下列各式为真的是( )。
A.1∈AB.{{4,5}}⊂AC. {1,2,3}⊆AD.∅∈A8、在有界格中，若一个元素有补元，则补元( )。
A 、必惟一B 、不惟一C 、不一定惟一D 、可能惟一9、设集合A={1,2,3,…,10}，下面定义的哪种运算关于集合A 是不封闭的？（ ）A 、 x*y=max{x,y}B 、 x*y=min{x,y}C 、 x*y=GCD(x,y)，即x,y 的最大公约数D 、 x*y=LCM(x,y)，即x,y 的最小公倍数10、集合X 中的关系R ，其矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011101M ，则关于R 的论述中正确的是（ ）。
A 、R 是对称的B 、R 是反对称的C 、R 是反自反的D 、R 中有7个元素11. 下列各组数中，哪个可以构成无向图的度数列（ ）。
离散数学期末复习试题及答案(二)
第二章 二元关系1. 设A={1,2,3,4},A 上二元关系 R={(a,b)|a=b+2}, S={(x,y)|y=x+1 or y=2x }求R ⋅S,S ⋅R,S ⋅R ⋅S,S 2,S 3,S ⋅R c 。
R ⋅S={(3,2),(4,3),(4,1)} S ⋅R={(2,1),(3,2)} S ⋅R ⋅S={(2,2),(3,3),(3,1)} S2={(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,2),(4,1),(4,3)} S3={(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)} S ⋅R c ={(1,4),(2,3),(4,4)}2．A={a,b,c,d,e,f,g,h}，给定A 上关系R 的 关系图如下：图3－14求最小正整数ｍ，ｎ，ｍ＜ｎ，使Ｒm ＝Ｒn 。
Ｒ1＝Ｒ16这是因为R 15是8个顶点以及8个自回路，相 当于左图的点各走了5圈，左图的点各走了3圈， R 16就成了原来的R ．３．证明：.I )b ,b (,A b ,I )b ,b (,I )a ,a (,...,I )a ,a (,A a ,I )a ,a (I )I )(1(A nA nA 2A A AnA ∈∈∈∀∈∈∈∈∀=.R I R ,;R R I ,,R I )b ,a (,R )b ,a (,R I )b ,a (;I R R ,R I R ,I R )b ,a (,R I )b ,a (,I )b ,b (,I )a ,a (,A b ,a ,R )b ,a (RI R R I )2(A A A A A A A A A A A A ⊆⋅⊆⋅⋅∉∉⋅∈∀⋅⊆⋅⊆⋅∈⋅∈∴∈∈∈∈∀=⋅=⋅同理得矛盾则若即事实上，当|A|有限时，R 与I A 复合，相当于矩阵与 单位矩阵相乘，不会变化。
1k k2A k2A 1k 2A k2A 1k A k 2A kA A A n2A nA R R ...R R I )R ...R R I ()R...R R ()I R )(R ...R R I ()I R (R ...R R I )I R (;R I )I R (1n R ...R R I )I R )(3(+++======= 设４．判断下列等式是否成立（Ｒ,Ｒ1,Ｒ2均是Ａ到Ｂ的 二元关系）c2c1c2c12121c21c2c1c21R R )b ,a (R )b ,a (or R )b ,a (R )a ,b (or R )a ,b (R R )a ,b ()R R ()b ,a (,R R )R R )(1( ∈⇔∈∈⇔∈∈⇔∈⇔∈=对c2c1c2c12121c21c2c 1c 21R R )b ,a (R )b ,a (and R )b ,a (R )a ,b (and R )a ,b (R R )a ,b ()R R ()b ,a (R R )R R )(2( ∈⇔∈∈⇔∈∈⇔∈⇔∈=对c2c 1c2c1c2c12121c21c21c2c 1c 21R R R R )b ,a (R )b ,a (,R )b ,a (R )a ,b (,R )a ,b (R R )a ,b ()R R ()R R ()b ,a (R R )R R )(3(-=∈⇔∉∈⇔∉∈⇔∈⇔=-∈-=- 对)}2,4(),1,4(),2,3(),1,3{()B A ()}4,2(),4,1(),3,2(),3,1{(B A },4,3{B },2,1{A :,B A )B A )(4(cc=⨯=⨯==⨯=⨯例否.,,)5(cc值域对换了一下的定义域与否φφφ=φcccccR )b ,a (R )b ,a (R )a ,b (R )a ,b ()R ()b ,a (,)R ()R )(6(∈⇔∉⇔∉⇔∈⇔∈=对.R R ,R R )R R )(7(12c1c 2c 21的值域相同的定义域不一定与否⋅=⋅.R )b ,a (,R R )a ,b (,R )b ,a (,R R ,R R )8(c221c1c2c121∈⊆∈∈∀⊆⊆对则如果.R )c ,d (,R )c ,d (,R )d ,c (,R )d ,c (,R R ,R )b ,a (,R R )a ,b (,R )b ,a (,R R ,R R )9(c1c21221c221c1c2c121∉∈∉∈∃⊂∈⊂∈∈∀⊂⊂而对则如果.R R ,R R R R )10(121221的值域相同的定义域不一定与否⋅=⋅5. 设R 1,R 2是集合A 上的二元关系，如果12R R ⊆，其中r ,s,t 分别是自反闭包，对称闭包，传递闭包的 记号。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案离散数学是一门涉及离散结构和逻辑推理的数学学科。
它在计算机科学、信息技术和其他领域中具有重要的应用价值。
离散数学考试试题涵盖了离散数学的各个方面，包括集合论、图论、逻辑、代数结构等。
本文将为大家提供一些离散数学考试试题及答案，希望能帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
一、集合论1. 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A与B的交集、并集和差集。
答案：A与B的交集为{3,4,5}，并集为{1,2,3,4,5,6,7}，A与B的差集为{1,2}。
2. 设集合A={x|x是正整数，1≤x≤10}，B={x|x是偶数，2≤x≤8}，求A与B的笛卡尔积。
答案：A与B的笛卡尔积为{(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),...,(10,2),(10,4),(10,6),(10,8)}。
二、图论1. 给定图G，其邻接矩阵如下：| 0 1 1 0 || 1 0 0 1 || 1 0 0 1 || 0 1 1 0 |判断图G是否是连通图，并给出其连通分量。
答案：图G是连通图，其连通分量为{1,2,3,4}。
2. 给定图G，其邻接表如下：| 1 | 2 || 3 | 2 4 || 4 | 3 |判断图G是否是树，并给出其生成树。
答案：图G是树，其生成树为{1-2, 2-3, 3-4}。
三、逻辑1. 判断命题逻辑公式((p∨q)→r)∧(¬p∨¬q)的真值。
答案：命题逻辑公式((p∨q)→r)∧(¬p∨¬q)的真值为真。
2. 判断命题逻辑公式∀x(P(x)∧Q(x))→(∀xP(x)∧∀xQ(x))的真值。
答案：命题逻辑公式∀x(P(x)∧Q(x))→(∀xP(x)∧∀xQ(x))的真值为假。
四、代数结构1. 设集合S={0,1,2,3,4}，定义运算*如下：a*b = (a+b)%5其中%表示取余运算。
中国科学院离散数学1999真题
中科院计算机技术研究所1999年硕士研究生入学考试试题离散数学一.(8分)求与公式(x2 or not x1)->x3 逻辑等值的主合取范式和主析取范式.二.(8分)判断下列各公式是: 1.永真式 2.永假式 3.其它(1) (p->(q->r))->(q->(p->r))(2) (not p or q)<->(p and(p and q))(3) (not p or q)and not(q or not r)and not(r or not p or not q)(4) (q and p)->(p or q)三.(9分)问any x exist y P(x,y)->exist y any x P(x,y)是否谓词演算的有效式?证明你的结论.四.(9分)将下列推理符号化并给出形式证明:鸟会飞,猴子不会飞;所以,猴子不是鸟.五.(12分)令X={x1,x2,...,xm},Y={y1,y2,...,yn},问:(1) 有多少不同的由X到Y的关系?(2) 有多少不同的由X到Y的影射?(3) 有多少不同的由X到Y的单射，双射?六.(8分)设e是奇数阶交换群G的单元位,试证:G的所有元素之积为e.七.(15分) ①<G,*>是个群,H,K 是其子群,在G上定义二元关系R:any a,b in G,aRb <=>存在h,k in k,使得b=h*a*k,证明:R是G上的等价关系.②在①中,若|H|=m,|K|=n,|G|=mn,m与n互素,且R的某个等价类在G的乘法运算下构成G的一个子群,则R=G*G.八.(8分)把平面分成β个区域,每两个区域都相邻,问β最大为几?九.(11分)设G为非平凡有向图,V(G)为G的结点集合,若对V(G)的任意非空子集S,G中起始结点在S中,终止结点在V(G) S中的有向边都至少有k条,则称G是k边连通的.证明:非平凡有向图G是强连通的充要条件是他是1边连通的.十.(12分)设G是一无向加权图且各边的权不相等,V,E分别是G的结点集合和边的集合, (V1,V2)是V 的划分,即V1 or V2 = V, V1 and V2=null,且V1!=null,V2!=null,则V1与V2间的最短边一定在G的最小生成树上.。
离散数学考试题详细答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（P⇄Q）(P⇄R S)b)我今天进城，除非下雨。
设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：Q→P或P→Q c)仅当你走，我将留下。
设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：x(R(x) Q(x)) 或x(R(x) →Q(x))b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1))))c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）(P→(Q→R))(R→(Q→P))（P Q R）(P Q R)(（P Q R）→(P Q R)) ∧((P Q R) →（P Q R）).(（P∧Q∧R） (P Q R)) ∧ ((P∧Q∧R) （P Q R）)(P Q R) ∧(P Q R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为（P∧Q∧R)（P∧Q∧R)（P∧Q∧R)（P∧Q∧R)（P∧Q∧R)（P∧Q∧R)2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)a) T b) F3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
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9
(12 分) 求解 hn，它满足下列关系。
。
中国科学院自动化研究所 1999 年研究生入学考试 离散数学试题
1
(10 分)
设 f(n)和 g(n)分别是定义在自然数集上的函数，并满足以下条件。 (1) f(1)≤g(1)； (2) 对任意自然数 n，有 f(n)-f(n-1)≤g(n)-g(n-1)。 试证：f(n)≤g(n)。 并证明下列不等式
。 2 (12 分) 如各顶点的最短路径，并写出它们的权。 3 (12 分) 记 Nk={0,1,2,...,k-1}，Nk 上的二元运算 定义为
其中 a,bNk。 试证：在代数系(Nk,)中， 是可结合运算。
4
(10 分) 试证：在 n+1 个小于等于 2n 的不相等正整数中，一定存在两个是互质的。
5
(10 分)
有 8 个小孩在旋转木马上，如果让他们交换座位，使得每一个小孩的前边都不是原来 在他前边的小孩，问有多少种方法。 6 (12 分) 设 a1,a2Z(整数集合)，且 a1,a2 不全为零，则 a1,a2 的最大公因数是集合 Q={b1a1+b2a2 | b1,b2Z} 中的最小正整数。 7 (12 分) 设 G 是一个群，a,bG。由 a 生成的循环群(a)，其周期为质数 p，且 a(b)。 试证：(a)∩(b)={e}。 注：(b)表示由 b 生成的循环群，e 表示单位元。 8 (10 分) 计算 n 阶行列式