中国科学院离散数学1999真题 (2)

中国科学院自动化研究所1999年研究生入学考试离散数学试题

1 (10分)

设f(n)和g(n)分别是定义在自然数集上的函数，并满足以下条件。

(1) f(1)≤g(1)；

(2) 对任意自然数n，有f(n)-f(n-1)≤g(n)-g(n-1)。

试证：f(n)≤g(n)。

并证明下列不等式

。

2 (12分)

如图所示

图3 习题2图

求V1到各顶点的最短路径，并写出它们的权。

3 (12分)

记N k={0,1,2,...,k-1}，N k上的二元运算⊕定义为

其中a,b∈N k。

试证：在代数系(N k,⊕)中，⊕是可结合运算。