专题训练：高中数学直线方程常见重点综合题型训练
直线方程综合大题归类高二数学选择性必修第一册)(原卷版)
专题5直线方程综合大题归类目录一、....热点题型归纳【题型一】求直线方程 (1)【题型二】平行线距离 (2)【题型三】解三角形：求边对应的直线方程 (3)【题型四】解三角形三大线：中线对应直线 (3)【题型五】解三角形三大线：高对应直线 (4)【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线 (4)【题型七】最值：面积最值 (5)【题型八】最值：截距与长度 (5)【题型九】叠纸 (6)【题型十】三直线 (7)【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根 (7)【题型十二】直线应用题 (8)培优第一阶——基础过关练 (9)培优第二阶——能力提升练 (10)培优第三阶——培优拔尖练 (11)【题型一】求直线方程【典例分析】（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点()0,2A 和()4,6,C AB 所在直线的方程为240x y +-=.(1)求对角线BD 所在直线方程；(2)已知直线l 过点()2,1P ，与直线AB 的夹角余弦值为5，求直线l 的方程.1.（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）已知直线1l 的方程为280x y -+=，直线2l 的方程为4310x y +-=.(1)设直线1l 与2l的交点为P ，求过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；(2)设直线3l 的方程为10ax y ++=，若直线3l 与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的取值的集合.2.（2022·全国·高二专题练习）如图，射线OA OB ，与x 轴正半轴的夹角分别为45︒和30︒，过点()10P ，的直线l 分别交OA ，OB于点A B ，．(1)当线段AB 的中点为P 时，求l 的方程；(2)当线段AB 的中点在直线2x y =上时，求l 的方程【题型二】平行线距离【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l 过点()2,3P ，且被平行直线1l ：3470x y +-=与2l ：3480x y ++=所截取的线段长为l 的方程．【变式训练】1.（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线1l ，2l 分别过()1,0A ，()0,5B .(1)1l ，2l 之间的距离为5，求两直线方程；(2)若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围.2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线1l 与2l 的方程分别为7890x y ++=，7830x y +-=，直线l 平行于1l ，直线l 与1l 的距离为1d ，与2l 的距离为2d ，且1212d d =，求直线l 的方程．【题型三】解三角形：求边对应的直线方程【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，顶点A 的坐标为()5,4，直角边BC 所在的直线方程为2360x y +-=，求边AB 和AC 所在的直线方程．1.（2022·全国·高二课时练习）已知在第一象限的ABC 中，()1,1A ，()5,1B ，60A ∠=︒，45B ∠=︒，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边与BC 边所在直线的方程．2.（2022·江苏·高二专题练习）已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于P ，Q 两点，分别过点P ，Q 作直线20x y +=的垂线，垂足分别为R ，S ，求四边形PQSR 的面积的最小值．【题型四】解三角形三大线：中线对应直线【典例分析】（2021·江苏·高二专题练习）已知直线1:0l mx y m -+=，2:(1)0l x my m m +-+=，3:(1)(1)0l m x y m +-++=，记122331l l A l l B l l C ⋂=⋂=⋂=，，．（1）当2m =时，求原点关于直线1l 的对称点坐标；（2）在ABC 中，求BC 边上中线长的最小值．1.（2021·湖北·华中师大一附中高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点(),A m n ，()2,1B ，()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的一般方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为()20x y t t R -+=∈，且ABC 的面积为4，求点A 的坐标.2.（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知ABC 的顶点()0,4A ，()6,0B ，边AB 上的中线CM 的方程为10x y --=，边BC 所在直线的方程为27120x y --=(1)求边AB 所在直线的方程，化为一般式；(2)求顶点C 的坐标.【题型五】解三角形三大线：高对应直线【典例分析】（2022·江苏·高二课时练习）已知ABC 的顶点()1,3A ，AB 边上的中线所在的直线方程为10y -=，AC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=.分别求AC ，AB 边所在直线的方程.1.（2021·湖北黄冈·高二期中）在ABC 中，()1,1A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为60x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为4560x y -+=.(1)求点C 坐标：(2)求直线BC 的方程.2.（2020·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为210x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．(1)求顶点C 的坐标；(2)求直线BC 的方程．【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）已知ABC 的一个顶点()2,4A -，且B Ð，C ∠的角平分线所在直线的方程依次是20x y +-=，360x y --=，求ABC 的三边所在直线的方程.1.（2021·全国·高二专题练习）在ABC ∆中，已知(1,1)A ，(3,5)B --.(1)若直线l 过点(2,0)M ，且点A ，B 到l 的距离相等，求直线l 的方程；(2)若直线:260m x y --=为角C 的内角平分线，求直线BC 的方程.2.（2020·上海·高二课时练习）已知：ABC 的顶点(2,3)A 和(1,1),--∠B ABC 的角平分线所在直线方程为320x y --=，求边BC 所在直线方程．【题型七】最值：面积最值【典例分析】（2022·江苏南京·高二开学考试）已知直线l ：20kx y k -++=()R k ∈.(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程.1.（2022·全国·高二课时练习）在直角坐标系中，已知射线:0(0)OA x y x -=≥，过点()3,1P 作直线分别交射线OA 、x 轴正半轴于点A 、B ．(1)当AB 的中点为P 时，求直线AB 的两点式方程；(2)求△OAB 面积的最小值．2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的方程为()()()120R 1a x y a a a ++--=∈≠-.(1)若直线l 与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l 的方程；(2)若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取得最小值时直线l 的方程.【题型八】最值：截距与长度【典例分析】（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）一条直线经过点()3,4P ．分别求出满足下列条件的直线方程．(1)与直线250x y -+=垂直；(2)交x 轴、y 轴的正半轴于A ，B 两点，且PA PB ⋅取得最小值．【变式训练】1.（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）在平面直角坐标系中，点()2,3A ，()1,1B ，直线:10l x y ++=.(1)在直线l 上找一点C 使得AC BC +最小，并求这个最小值和点C 的坐标；(2)在直线l 上找一点D 使得AD BD -最大，并求这个最大值和点D 的坐标.2.（2022·全国·高二课时练习）已知()2,1P -．(1)若直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．(2)是否存在直线l ，使得直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为6？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【题型九】叠纸【典例分析】（2022·全国·高二单元测试）如图，OAB 是一张三角形纸片，∠AOB ＝90°，OA ＝1，OB ＝2，设直线l 与边OA ，AB 分别交于点M ，N ，将△AOB 沿直线l 折叠后，点A 落在边OB 上的点A '处．(1)设OA m '=，试用m 表示点N 到OB 的距离；(2)求点N 到OB 距离的最大值．1.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，边AB ､AD 分别在x 轴､y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k ，则折痕所在的直线方程为__________.2.（2021·安徽·桐城市第八中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；（2）在（1）的条件下，若108k -≤≤时，求折痕长的取值范围．【题型十】三直线【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）平面上三条直线250x y -+=，10x y ++=，0x ky -=，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数k 的所有可能的取值．【变式训练】1.（2022·江苏·高二课时练习）已知三条直线12:20(0),:4210l x y a a l x y -+=>-++=和3:10l x y +-=，且1l 与2l 的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限的点；②点P 到1l 的距离是点P 到2l 的距离的12；③点P 到1l 的距离与点P 到3l 25若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根【典例分析】（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））已知动点P 与两个顶点(0,0)O ，(3,0)A 的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)过点(0,3)B -且斜率为k 的直线l ，交曲线C 于、N 两点，若9OM ON ⋅=，求斜率k 【提分秘籍】基本规律1.直线与曲线有两个交点，则可以连立方程，消去一个变量后的一元二次方程有两个根。
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专题3直线方程目录【题型一】倾斜角.............................................................................................................................1【题型二】斜率.................................................................................................................................2【题型三】直线平行与垂直.............................................................................................................3【题型四】截距式及截距应用.........................................................................................................4【题型五】动直线（含参）...........................................................................................................5【题型六】动直线与距离最值.........................................................................................................6【题型七】动直线:三角函数型（切线型）................................................................................7【题型八】双动直线.........................................................................................................................8【题型九】平行线之间的距离.........................................................................................................8培优第一阶——基础过关练.............................................................................................................9培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................11培优第三阶——培优拔尖练.. (12)【题型一】倾斜角【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）直线5πcos sin 0,0,6x y θθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的斜率的取值范围为（）A ．(-∞B ．(2,)+∞C ．(D ．(,2)-∞1.（2021·北京市第十二中学高二阶段练习）直线cos 10x y α--=的倾斜角的取值范围是（）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．30,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.（2021·全国·高二期中）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，若k ⎡⎤∈⎣⎦，则α的取值范围为（）A ．20,,43πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．50,,46πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.（2022·江苏·高二专题练习）若,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范围是（）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【题型二】斜率【典例分析】（2021·全国·高二单元测试）已知四边形OABC 各顶点的坐标分别为(0,0)O ，(2,1)A ，()1,3B ，(1,2)C -，点D 为边OA 的中点，点E 在线段OC 上，且DBE ∆是以角B 为顶角的等腰三角形，记直线EB ，DB 的倾斜角分别为α，β，则sin()αβ+=A ．35-B ．45-C ．35D ．451.（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点()()2,3,2,1A B --，若直线():12l y k x =--与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（）A ．1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．()1,5,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭2.（2022·全国·高二课时练习）若直线l 经过点()1,2A ，且在x 轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（）A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭3..（2022·全国·高二课时练习）设集合()3,2,,1y A x y x y R x ⎧⎫-==∈⎨⎬-⎩⎭，(){},4160,,B x y x ay x y R =+-=∈，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为（）A ．()(),44,-∞⋃+∞B ．()(),22,-∞--+∞C ．()()(),22,44,-∞-⋃-⋃+∞D ．()()(),44,22,-∞-⋃-⋃+∞【题型三】直线平行与垂直【典例分析】.（2022·全国·高二单元测试）已知点()1,1A -，()3,5B ，若点A ，B 到直线l 时距离都为2，则直线l 的方程不可能为（）A ．20x y -+-=B ．20x y -++=C ．3y =D ．10x y --=1.（2021·四川绵阳·高二阶段练习（理））已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，()(){},2310B x y ax a y =++-=.若AB =∅，则实数=a （）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．3-或12..（2021·安徽·屯溪一中高二期中）已知0a >，0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则2112a a b+++的最小值为（）A ．2B ．4C ．45D ．953.（2021·全国·高二专题练习）已知直线21cos 20l x α+=：，若12l l ⊥，则2l 的倾斜角的取值范围是（）A ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【题型四】截距式及截距应用【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）过点()3,4P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（）A ．4B ．5C ．6D ．71.（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数()(2)3f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题：①存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；②存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有二条；③存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有三条；④存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有四条．其中，所有真命题的序号是．A ．①②③B ．③④C ．②④D ．②③④2.（2022·全国·高二课时练习）过点()1,3作直线l ，若l 经过点(),0a 和()0,b ，且,a b *∈N ，则可作出这样的直线l 的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．多于33.（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线40kx y k -+-=在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A ．270x y --=B ．270x y -+=C ．260x y +-=D ．260x y +-=【题型五】动直线（含参）【典例分析】2021·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）不论k 为何实数，直线()()()213110k x k y k --+--=恒通过一个定点，这个定点的坐标是（）A ．()5,2B ．()2,3C ．()5,9D ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭1.（2022·全国·高二）无论k 为何实数，直线212()()(0)8k x k y k +---=+恒过一个定点，这个定点是（）A ．(0,0)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,3)-2.（2021·湖北·高二阶段练习）无论m 为何值，直线21y mx m =++所过定点的坐标为（）A ．(2,1)--B ．(2,1)-C ．(2,1)-D ．(2,1)3.已知直线0)2()3(=-++-n y n m x n m 则当m 、n 变化时，直线都通过定点【题型六】动直线与距离最值【典例分析】（2022·江苏·高二单元测试）已知点(2,1)P --和直线:(12)(13)20l x y λλλ++-+-=，则点P 到直线l 的距离的取值范围是（）A ．(B ．⎡⎣C ．(0,D ．0,⎡⎣【变式训练】1.（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）原点到直线l ：()342220x y x y λ+-+++=的距离的最大值为（）A ．25B ．CD 2.（2021·河北·大名县第一中学高三阶段练习）已知点(2,2)P -，直线:(2)(1)460l x y λλλ+-+--=，则点P 到直线l 的距离的取值范围为__________.3.（2021·全国·高二阶段练习）对于任意实数k ，直线()()2120k x k y --＋＋＝与点()22--，的距离为d ，则d 的取值范围是（）A ．0⎡⎣B ．(C ．0⎡⎢⎣⎦D ．0⎛ ⎝⎦【题型七】动直线:三角函数型（切线型）【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）设直线系():cos 2sin 1M x y θθ+-=（02θπ≤≤），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M 中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P 不在M 中的任一条直线上；⑥对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A ．3B ．4C ．5D ．61.（2021·浙江省青田县中学高二期中）在平面直角坐标系xoy 内，点(1,1)M ，集合{}=(,)|cos sin 2,P x y x y R θθθ-=∈，任意的点N P ∈，则||MN 的取值范围是___________.2.（2022·江苏·高二单元测试）已知直线12:10,:10,l ax y l x ay a R -+=++=∈，以下结论不正确的是（）A ．不论a 为何值，1l 与2l 都互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．若1l 与2l 交于点M ．则MO3.（2021·吉林·白城一中高二阶段练习）已知集合S ={直线l sin cos |1,x y m nθθ+=其中,m n 是正常数[)0,2θ∈π}，下列结论中正确的是（）A ．当4πθ=时，S 中直线的斜率为n mB ．S 中所有直线均经过同一个定点C ．当m n ≥时，S 中的两条平行线间的距离的最小值为2nD ．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面【题型八】双动直线【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）设R m ∈，过定点A 的动直线0x my m ++=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．1.（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．62.（2023·全国·高三专题练习）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=相交于点(,P P A B 与不重合），则PAB △面积的最大值是（）AB ．5C ．D ．523.（2022·全国·高二）过定点A 的直线()0x my m R -=∈与过定点B 的直线()30mx y m m R +-+=∈交于点(),P x y ，则22||PA PB +的值为（）AB ．10C ．D ．20【题型九】平行线之间的距离【典例分析】（2022·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，b 是方程20x xc ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A ．1B ，13C ，12D ．11.（2022·全国·高二课时练习）已知(1,0)A 、(4,4)B -，若A 与B 到直线l 的距离都为2，则满足条件的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2.（2022·全国·高二课时练习）若P ，Q 分别为直线34120x y +-=与直线6810x y ++=上任意一点，则PQ 的最小值为（）A ．32B ．135C ．2310D ．523.（2022·全国·高二期末）某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210x y ++=和230x y ++=，另一组对边所在的直线方程分别为1340x y c -+=和2340x y c -+=，则12c c -=（）A ．B ．C ．2D ．4培优第一阶——基础过关练1.（2022·全国·高二）直线sin 10x y α--=的倾斜角的取值范围是（）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．30,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2..（2021·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知两点()3,4A -，()3,2B ，直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是______．3.（2021·新疆·兵团第十师北屯高级中学高二期中（文））“2m =-”是“直线1l ：460mx y +-=与直线2l ：30x my +-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.（2022·江苏·高二课时练习）已知k ∈R ，223b k k =-+，则下列直线的方程不可能是y kx b =+的是（）A ．B ．C ．D ．5.（2022·浙江舟山·高二期末）下列对动直线()()34330m x y m m R ++-+=∈的四种表述不正确的是（）A ．与曲线C ：2220x y +=可能相离，相切，相交B ．恒过定点()3,3-C ．3m =-时，直线斜率是0D ．1m =时，直线的倾斜角是135°6.（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线()():324220l x y λλλ++++-=的距离的最大值为（）A ．5B ．25C ．D ．5广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知实数,x y 满足cos sin 1x y αα+=，则_______．8.（2021·重庆市万州第二高级中学高二期末）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．6D ．39.（2021·河北·沧州市一中高二阶段练习）若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 之间的距离为（）A3B C D ．3培优第二阶——能力提升练1.（2018·四川省资阳中学高一阶段练习（理））已知()11αtanαx x 0,2x ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭为直线的倾斜角，且则倾斜角α的取值范围为_________2..（2022·全国·高二）设点(3,5)A -，(2,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³或3k ≤-B ．31k -≤≤C ．13k -≤≤D ．以上都不对3..（2022·全国·高二课时练习）已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p .则m n p +-等于（）A ．24B ．20C ．4D ．04.（2022·全国·高二专题练习）已知0a b >>0，，直线xy b a+=在x 轴上的截距为1，则9a b +的最小值为（）A ．3B ．6C ．9D ．105.（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（）A ．互相平行B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直6.（2021·江苏·高二专题练习）已知直线:10(00)l Ax By C A B ++-=>>，恒过定点()0m，，若点()22，到直线l 的最大距离为2，则112A C+的最小值为（）A ．14B ．34C ．4D ．927.（2022·全国·高二课时练习）对于直线系:cos (1)sin 2M x y θθ+-=，02θπ≤≤，下列说法错误的有（）．A ．存在定点C 与M 中的所有直线距离相等B ．M 中不存在两条互相平行的直线C ．M 中存在两条互相垂直的直线D ．存在定点P 不在M 中的任意一条直线上8.（2020·湖北省武昌实验中学高一阶段练习）已知m R ∈，动直线1l ：10x my +-=过定点A ，动直线2l ：230mx y m --+=过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于点A ，B ），则PA PB +的最大值为______.9..（2021·湖北·武汉市第十一中学高二阶段练习）若动点()11,M x y ，()22,N x y 分别在直线70x y ++=与直线50x y ++=上移动，则MN 的中点P 到原点的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．培优第三阶——培优拔尖练.1.（2022·全国·高二课时练习）1:1l x =与直线sin cos 1042x y ππααα⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭的夹角是（）A ．αB ．2πα-C ．2πα-D ．πα-2.（2023·全国·高三专题练习）曲线13y =与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是A ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭U B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭3.（2022·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）过坐标原点O 作直线l ：()()2160a x a y ++--=的垂线，垂足为(),H s t ，则22s t +的取值范围是（）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．[]0,8D ．(]0,84.（2022·全国·高二课时练习）已知(1,0)A 、(4,4)B -，若A 与B 到直线l 的距离都为2，则满足条件的直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知直线():22l y k x =-+，当k 变化时，点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．[]0,2C ．[]0,3D ．[)0,36.2023·全国·高三专题练习）已知a ，b ，c 三个数成等差数列，直线0bx ay c -+=恒过定点A ，且A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为（）A ．23B ．43C ．2D ．47.（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）直线系:(3)cos sin 2A x y αα-+=，直线系A 中能组成正三角形的面积等于______.8.（2021·江苏·高二专题练习）设m R ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点()P x y ，，则PA PB +的取值范围是（）A ．B ．C ．⎡⎣D ．5⎡⎣9.（2021·全国·高二课时练习）若倾斜角为45°的直线m 被直线1:10l x y +-=与2:30l x y +-=所截得的线段为AB ，则AB 的长为（）A ．1BC D ．2。
高中直线的方程基础100题
其他1. 已知两条平行直线，分别过点，，且与的距离为，则直线的斜率是_____。
2. 直线的斜率为_____。
3. 已知，则直线：与直线：的距离的最大值为_____ 。
4. 已知直线：，：平行，则_____。
5. 两条直线与互相垂直，则_____。
6. 直线与直线垂直，则实数的值为_____。
7. 经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（写出一般式）_____。
8. 在平面直角坐标系中，三点，，共线，则实数的值为_____。
9. 若直线与直线垂直，则_____。
10. 直线：，直线：，若，则_____。
11. 直线的倾斜角范围是_____。
12. 过点且与原点距离为的直线方程是_____。
13. 点到直线：的距离为_____。
14. 已知直线过点，直线上任意一点到直线的距离都相等，则直线的方程为_____。
15. 若直线：和：平行，则实数_____。
16. 直线的倾斜角大小为_____。
17. 直线的倾斜角为_____。
18. 两平行直线和的距离为_____。
19. 直线经过点，且在第四象限与两坐标轴围成等腰三角形，则直线的方程为_____。
20. 已知的三个顶点，，，则的面积为_____。
21. 经过点，的直线与一倾斜角是的直线平行，则_____。
22. 直线与直线之间的距离为_____。
23. 过点且垂直于直线的直线方程为_____。
24. 已知抛物线的焦点是，则焦点到直线的距离为_____。
（用数字填写）25. 过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
26. 直线与直线互相垂直，则_____。
27. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为，则实数的值是_____ 。
28. 已知直线：，直线：，若直线的倾斜角为，则_____，若，则两平行直线间的距离为_____ 。
29. 两平行直线与的距离是_____。
30. 若直线：与直线：平行，则_____。
31. 已知点，，若直线的斜率为，则_____。
完整版高中数学直线方程练习题
高中数学直线方程练习题一．选择题（共12小题）1．已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）D．（﹣∞，∞）+）∪（2，﹣8相交，与线段AB2x﹣）+1），B（﹣2，﹣1．若直线l：y=k（32．已知点A（1，））则k的取值范围是（[，+∞）D．[﹣2，．C（﹣∞，﹣2（﹣∞，﹣A．[，+∞）B．2]]∪]（含端点）ABm=0x2），若直线l：+my+与线段（1A3．已知点（﹣1，），B2，﹣）相交，则实数m的取值范围是（﹣．D∪．B．2[，] C（﹣∞，﹣2][[﹣，+∞）+．A∪（﹣∞，][2，∞）]2，﹣相交，那1）且与线段MN，﹣过点，43）直线lP（2，14．已知M（，2）N（）k么直线l的斜率的取值范围是（﹣﹣∞，∞）[（﹣∞，﹣A．3]∪2，+] D．（，] C．[﹣32[B．]﹣，∞）+∪[，相交，MN）且与线段，，直线03N），﹣（﹣M23，（，）l过点（﹣12．已知5）则直线的取值范围是（kl的斜率．kA．或≥D．CB． 5，），P2（，（﹣1，1），若直线l过点．已知6A（﹣2P且与线B，）段AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（）．B．A∪DC．．251第页（共页）始终没ABl过点P（1，1）与线段B7．已知点A（2，3），（﹣3，﹣2），若直线）有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（2k＜＞D．2＜k＜B．k＞2或kk＜CA．．且内一点，已知O为△ABC8，若B，O，D三点共线，，．）则t的值为（．CAD．B．．）0，4）两点的直线方程是（9．经过（3，0），（12=03y﹣．4x+4x3x﹣4y+12=0 C．﹣3y+12=0 DA．3x+4y﹣12=0B．），﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（10．过点（33=0+y．x+A．2x+y=0 By=0+3=0或2xx﹣y+3=0D．x+y+C．）1）且在两轴上截距相等的直线是（11．经过点M（1，y=0或x﹣C．x=1或y=1 D．x+y=2A．x+y=2B．x+y=1边上的，则BC3），且三条中线交于点G（4，1）A12．已知△ABC的顶点（2，）中点坐标为（）33）D．（6，﹣，﹣（5，0）B．（61）C．（5，﹣A．小题）4二．填空题（共．的值是y+1）+1=0，若l∥l，则实数a：ax13．已知直线l：+3y+1=0，l2x+（a2211．y=82x+（5+a）平行，则a=：xl14．直线：（3+a）+4y=5﹣3a和直线l21，ll∥，当m=时，3y：x15．设直线l：+my+6=0和l（m﹣2）x++2m=02211．l ⊥lm=时，当21互相﹣1=0+3）y++y4=0与直线（2﹣a）x（a﹣x2a16．如果直线（+5）+（a2）．垂直，则a的值等于小题）三．解答题（共11始AB，﹣11）且与线段过点2B，（﹣2，），直线lP（﹣），（．已知点17A11．的取值范围为kl终有交点，则直线的斜率第2页（共25页）18．已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；时，求的取值范围．，3]）当x∈[1（219．已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．20．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．21．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．22．已知光线经过已知直线l：3x﹣y+7=0和l：2x+y+3=0的交点M，且射到x21轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l的方程．3距离为的直线方程．）求与l（3323．已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．24．已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ 的周长最小．25．已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l；x+y+1=0和l：x+y+6=0截21得的线段之长为5，求直线l的方程．26．已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．第3页（共25页）ACB=，求△ABCOB上，且∠的面积；在线段（1）若点C（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知108=0经过点P84﹣，求直线l的倾斜角．++：直线Lax10y第4页（共25页）高中数学直线方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016秋?滑县期末）已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）D．（﹣∞，∞）+8）∪（2，﹣利用斜率计算公式与斜率的意义即可得出．【分析】，﹣k【解答】解：8==2，k==PBPA∵直线l与线段AB有交点，∴l的斜率的范围是k≤﹣8，或k≥2．故选：C．【点评】本题考查了斜率计算公式与斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2016秋?碑林区校级期末）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k （x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）[，+∞）D．[﹣]（﹣∞，﹣CB+∞）．（﹣∞，﹣2]．2∪2，A．，[]所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与l【分析】由直线系方程求出直线上点的斜率的最小值和最大值得答案．线段AB，2y=k【解答】解：∵直线l：（x﹣）+11），过点P（2，l1AAB连接P与线段上的点（，3）时直线的斜率最小，为．2BABP连接与线段上的点（﹣，﹣l1）时直线的斜率最大，为．k∴的取值范围是．故选：D5第25页（共页）【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．3．（2016秋?雅安期末）已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）﹣，+∞）D．[﹣C．（﹣∞，﹣2]∪A．[（﹣∞，]∪[2，+∞）B．，[2]，﹣2]【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），﹣=k．=k==﹣2，PBPA∵直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，≤≤﹣2∴，．∴．B故选：考查了推【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，理能力与计算能力，属于中档题．，﹣2过点），N（4，3）直线lP（?4．（2016秋庄河市校级期末）已知M（1，2）1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（]3﹣，2]﹣∞，（﹣D．[C]．B[﹣，．23A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∞），[∪+，用或k≥k ≤kk kl【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足PMPN的取值范围．的斜率kl和k直线的斜率公式求出k的值，解不等式求出直线PMPN解：如图所示：【解答】，或≤kk kk满足的斜率由题意得，所求直线lk ≥PMPN，﹣3= ，或=2 即k≥k≤∴k≥2，或k≤﹣3，故选：A．第6页（共25页）本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．【点评】过点（﹣，直线l3，0）NM（﹣2，﹣3），（迎泽区校级月考）已知5．（2013秋?）l的斜率k的取值范围是（1，2）且与线段MN相交，则直线．．5 B．CDA．或k≥求出边界直线的斜率，作出图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得．【分析】，），2P【解答】解：（如图象）即（﹣1，=5=由斜率公式可得PM的斜率k1，=PN直线的斜率k=2，l′xl与轴垂直（红色线）时记为当直线，5k≥PM可知当直线介于l′和之间时，，≤﹣和PN之间时，kl′当直线介于5k≥k的斜率的取值范围是：k≤﹣，或l故直线A故选257第页（共页）涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜率本题考查直线的斜率公式，【点评】的关系，属中档题．，若1）（﹣1，B（2，），P（6．2004秋?南通期末）已知A（﹣2，），）l的倾斜角的范围是（有公共点，则直线直线l过点P且与线段AB．．AB∪CD．．再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角先求出直线的斜率的取值范围，【分析】的范围求出倾斜角的具体范围．αk，直线的倾斜角为l【解答】解：设直线的斜率等于﹣==k==k﹣，或由题意知，PAPB，，tanα=kπ[0，）∈设直线的倾斜角为α，则α180°α＜≤α≤120°或150°≤由图知0°．D故选：258第页（共页）属于基直线的斜率公式的应用，【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，础题．始终没）与线段AB（1，1，﹣（﹣32），若直线l过点P27．已知点A（，3），B）l的斜率k的取值范围是（有交点，则直线2＜D．．kk＞k＜k＜2B．＞2或kC＜A．所在直线的斜率，数形结合得答案．PBPA，【分析】求出，），（1123，﹣），若直线l过点PB，解：点【解答】A（23），（﹣，PA=2的斜率是∵直线．PB=的斜率是直线如图，始终有公共点，∵直线l与线段AB．，的取值范围是（2）∴斜率k．A故选：259第页（共页）考查了数形结合的解题思想方【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，法，是基础题．，若内一点，且，O．（2017?成都模拟）已知为△ABC8）O，D三点共线，则t 的值为（B，．CDA．． B ．E，与BC相交于点E【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF的中AE为BC=2的中点．由，点，可得O=2是直线作的交点．过点O是点．根据BO与AC，B，O，D三点共线，可得点D的中点．即可得出．为ACM，则点MOM∥BC交AC于点，E BC相交于点OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与【解答】解：以OB，的中点．BCE为，∵=2，∴=2的中点．是直线AEO∴点三点共线，，D，B，O∵的交点．AC是BO与D∴点的中点．为ACMAC于点，则点MBCO过点作OM∥交=，则OM=BCEC=，，DM=MC∴第1025页（共页）AM=AC∴，AD=t=∴．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋?沙坪坝区校级期中）经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）A．3x+4y﹣12=0B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=0【分析】直接利用直线的截距式方程求解即可．所以所求直线方程为：两点，，0，4）因为直线经过（3，0），（【解答】解：．12=0+3y﹣即4x．D故选本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力．【点评】）且在两坐标轴上的截距相等的3，﹣6．（2016秋?平遥县校级期中）过点（10）直线的方程是（3=0y+B．x++A．2xy=0y=0或3=02x+3=0+D．x+y+xC．﹣y【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线过原点时，方程为y=﹣2x，即2x+y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可第11页（共25页）得k=﹣3，故直线方程是x+y+3=0．综上，所求的直线方程为x+y+3=0或2x+y=0，故选：D．【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．11．（2015秋?运城期中）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2B．x+y=1C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=0【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或x﹣y=0．故选：D．【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．12．（2013春?泗县校级月考）已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G（4，1），则BC边上的中点坐标为（）A．（5，0）B．（6，﹣1）C．（5，﹣3）D．（6，﹣3）【分析】利用三角形三条中线的交点到对边的距离等于到所对顶点的距离的一半，用向量表示即可求得结果．第12页（共25页）；【解答】解：如图所示，，1）（4，（2，3），三条中线交于点G∵△ABC的顶点A，），则=2边上的中点D（x，y设BC，）y﹣1=2（x﹣4，∴（4﹣2，1﹣3），即，解得；），0即所求的坐标为D（5．A故选：是基本题考查了利用三角形三条中线的交点性质求边的中点坐标问题，【点评】础题．小题）4二．填空题（共，若+1=01）ya，l：2x+（+1=0益阳校级模拟）已知直线13．（2015?l：ax+3y+21．的值是﹣3l∥l，则实数a21【分析】根据l∥l，列出方程a（a+1）﹣2×3=0，求出a的值，讨论a是否满21足l∥l即可．21【解答】解：∵l∥l，21∴a（a+1）﹣2×3=0，2+a﹣6=0即a，解得a=﹣3，或a=2；当a=﹣3时，l为：﹣3x+3y+1=0，1第13页（共25页）；l，满足l∥为：2x﹣2y+1=0l221，++3y1=0a=2时，l为：2x当1重合；l与l+3y+1=0，l为：2x212．的值是﹣3所以，实数a．故答案为：﹣3或者对应系数成比例的应用问题，本题考查了两条直线平行，斜率相等，【点评】是基础题目．）（+5+a（?天津校级期末）直线l：3+a）x+4y=5﹣3a和直线l：2x（14．2015秋217﹣a=y=8平行，则．【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．【解答】解：直线l：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l：2x+（5+a）y=8平行，21则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，2+8a+7=0即a．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5﹣3a≠8是本题的易错点．属于基础题．15．（2015秋?台州期末）设直线l：x+my+6=0和l：（m﹣2）x+3y+2m=0，当21m=﹣1时，l∥l，当m=时，l⊥l．2211【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l：x+my+6=0和l：（m﹣2）x+3y+2m=0，21l∥l，21∴=≠，页）25页（共14第；1解得m=﹣，2m=0x+3y+6=0和l：（m﹣2）∵直线l：x+my+21，⊥ll21，2）+3m=0∴1×（m ﹣；m=解得．，故答案为：﹣1本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意【点评】直线的位置关系的合理运用．+a）xy+4=0与直线（2﹣a2016春?信阳月考）如果直线（2a+5）x+（﹣2）16．（．a=﹣2的值等于a=2或+（a3）y﹣1=0互相垂直，则a的方程可求．a【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于）3a+）x+（a2）y+4=0为直线M；直线（2﹣）【解答】解：设直线（2a+5x+（a ﹣N为直线﹣1=0y时，直，a=2，即a﹣2=0M①当直线斜率不存在时，即直线M的倾斜角为90°互相垂直，所与直线N0°，故：直线M，即直线线N的斜率为0M的倾斜角为时两直线互相垂直．以a=2的斜率都存在时，k=（，N和k要使两直线互相垂直，=②当直线M NM．a=﹣21即让两直线的斜率相乘为﹣，故：斜率不存在时，显然两直线不垂直．③当直线N2a=﹣综上所述：a=2或2﹣故答案为：a=2或a=，应注意斜【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于﹣1率不存在的情况．小题）三．解答题（共11P）（﹣1，），B2，2，直线l过点1A?2016．17（秋兴庆区校级期末）已知点（≤﹣klAB11（﹣，﹣）且与线段始终有交点，则直线的斜率的取值范围为k页（共15第25页）．，或k≥13由题意画出图形，数形结合得答案．【分析】解：如图，【解答】，）1，﹣1），直线l过点P（﹣B∵A（1，1），（﹣2，2，又．k≥1k的取值范围为k≤﹣3，或∴直线l的斜率．k≥1故答案为：k≤﹣3，或本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．【点评】．+2y=6y满足直线l：x18．（2015春?乐清市校级期末）已知x，的坐标；的对称点P）求原点O关于直线l（1的取值范围．时，求1，3]2（）当x∈[l关于直线），根据点的对称即可求原点OP（1）设对称后的点（a，b【分析】的坐标．P的对称点）的两点的斜率2，1）根据斜率公式可知，表示的为动点（（2x，y）到定点（的取值范围．，b）的对称点P的坐标为（a，）设原点【解答】解：（1O关于直线l；，故，解得a=，b=则满足）的斜率的取值范围．，1（3]时，的几何意义为到点C2，x（2）当∈[1，y=y=，当x=3时，时，当x=1，，B（3），，（由可得A1）页（共第1625页）﹣=k从而k，===，ACBC[，∪+∴k∞）的范围为（﹣∞，﹣]【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用．19．（2016秋?浦东新区校级月考）已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．，|AB|＞2解：∵【解答】|AB|，==5∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，﹣xy=的方程为+b时：①当直线l平行直线ABk=，可设直线l AB b=，=2，解得：b=或依题意得：第17页（共25页）故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；﹣y=k，可设直线lAB的中点为（3的方程为，）②当直线l过线段AB中点时：（x ﹣3）k=，解得：，依题意得：=2﹣=0；x﹣2y故直线l的方程为：（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；若2m=|AB|，则有1条；若2m＞|AB|，则有0条，∵|AB|=5，综上：当m＜2.5时，有4条直线符合题意；当m=2.5时，有3条直线符合题意；当m＞2.5时，有2条直线符合题意．【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力20．（2015秋?眉山校级期中）已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．，联立方程组，求）=0+y+m（y2）把直线方程变形得，【分析】（12x+恒过的定点．l得方程组的解即为直线，再由两点间的PQ||PM上的射影为点lM，由题意可得||≤在直线）设点（2P 的距离的最大值lP距离公式求得点到直线2518第页（共页）【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，解方程组，得Q（1，﹣2），∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，=2 的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于．∴点P到直线l【点评】本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题．21．（2010秋?常熟市期中）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x ﹣y﹣4．（3分）得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）OA=∴﹣|..（10|k1）（﹣2）分）=|﹣=S?OA?OB=|（AOB△，0＞，∴﹣＜∵k0k第19页（共25页）（﹣）+（﹣k）]﹣]≥=[4+∴S4=[．AOB△当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）∴△AOB的面积最小值是4，（14分）直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）【点评】本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．22．（2016秋?枣阳市校级月考）已知光线经过已知直线l：3x﹣y+7=0和l：212x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l的方程．3距离为的直线方程．）求与l（33【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．3得，∴M（﹣21解：（，）由1）．【解答】所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．…（4分）（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．α.﹣，所以180°α，则直线l的斜斜角为直线MN的倾斜角为3．的斜率直线l3的方程为：故反射光线所在的直线l分）．即．…（93解法二：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．所以反射光线所在的直线l的方程就是直线PN的方程．3，整理得：．直线PN 的方程为：页（共第2025页）的方程为．…l（9分）故反射光线所在的直线3，（3）设与l平行的直线为3，或b=3，根据两平行线之间的距离公式得：，解得，或．…（所以与l13分）为：3【点评】本题考查了点对称、直线对称问题，考查求直线方程，是一道中档题．23．（2015秋?嘉峪关校级期末）已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2则由，7）．，解得：交点为，）由（2在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点为，所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．24．（2014秋?宜秀区校级期中）已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．第21页（共25页）【分析】本题实际是求点M关于l的对称点M，点M关于y轴的对称点M，21求得直线MM的方程，21与y轴交点为Q，与直线l：x﹣2y+2=0的交点为P．【解答】解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M（5，1）．同1样容易求得点M关于y轴的对称点M（﹣3，5）．2据M及M两点可得到直线MM的方程为x+2y﹣7=0．2121，）得交点P．（，）．Q（0x=0，得到MM与y轴的交点令21解方程组x+2y﹣7=0，x﹣2y+2=0，，）即为所求．Q（（0，）、故点P【点评】本题考查直线关于直线对称的问题，三角形的几何性质，是中档题．25．（2010?广东模拟）已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l；x+y+1=01和l：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．2【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l、l联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=521可求出k的值，从而求得l的方程．法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l的夹角为θ，求1出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l、l之间的距离及l21与l夹角的关系求解．1法三：设直线l、l与l分别相交于A（x，y），B（x，y），211212则通过求出y﹣y，x﹣x的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l2112的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，第22页（共25页）此时与l、l的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），21截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．解方程组得）（．，﹣A得解方程组，﹣）．（B由|AB|=5．222．=5﹣）++）（﹣得（解之，得k=0，直线方程为y=1．综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．=之间的距离为，d=解法二：由题意，直线l、l21且直线L被平行直线l、l所截得的线段AB的长为5，21=，故θ=45°的夹角为θ，则．sinθ=与直线设直线ll 1由直线l：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，1又由直线l过点P（3，1），故直线l的方程为：x=3或y=1．解法三：设直线l与l、l分别相交A（x，y）、B（x，y），则x+y+1=0，x+y+6=0．2122211211两式相减，得（x﹣x）+（y﹣y）=5．①221122=25）．②y+（y﹣）x又（﹣x2211或联立①、②可得由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°．故所求的直线方程为x=3或y=1．第23页（共25页）本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，直【点评】线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法．）且与1（2，+2y3=0，直线l′经过点P26．（2009秋?重庆期末）已知直线l：5x+的一般方程．l'的夹角等于45，求直线l，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求k′设出直线l′的斜率为【分析】出直线的方程．，k′解：设直线l′的斜率为【解答】分）7…（则，分）10…（，分）（…137y﹣13=0；：7x﹣3y﹣11=0和3x+直线l′本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式【点评】与到角公式的区别，考查计算能力．为坐标原点．，O，6）02，），B（027．已知点A（的面积；ABCACB=，求△C（1）若点在线段OB上，且∠，已知||BD，且|PD|=2的对称点为（2）若原点O关于直线ABD，延长BD到P的倾斜角．，求直线l=0经过点P：ax+10y+84﹣108L直线A，点C的坐标，即得边长BC【分析】（1）依据条件求出AC的斜率，可得点的横坐标就是三角形的高，代入三角形的面积公式进行计算．的坐标，的对称点D待定系数法求出原点O关于直线AB）（2利用对称的特点，，把相关向量的坐标代入，利用两个向量相等的条件求出点=2由题意可得的斜率，l的方程，求出la，即得直线的坐标代入代入直线的坐标，再把点PP2524第页（共页）由斜率求直线l的倾斜角．ACO=，故ACACB=，∴∠的解：（1）∵点C在线段OB上，且∠【解答】，倾斜角为1=），由﹣0，b0，即点C（，2），AC的斜率为﹣1，设点C（故得b=2ABC的面积为××42=4．A到BC的距离为2，故△BC=4，点+=1，即3x+y，（c，d）AB﹣的方程6=0，）（2）设D（m，n，点P，）（n=，故由得Dm=，，，）=，c（﹣，﹣d），=（﹣由题意知，，=2﹣d=，，解得d= c=∴﹣c=，﹣，﹣108﹣+84，﹣+，把）P（（）代入直线，﹣l：axP=0，故10ya=10，即得=084+﹣108．得10?+ a?，故直线l的倾斜角为的斜率为∴直线l120°=﹣．【点评】本题考查直线的倾斜角的定义，倾斜角与斜率的关系；点关于直线的对称点的坐标求法，两个向量相等时向量坐标间的关系．第25页（共25页）。
高中数学直线的五种方程同步练习题
直线的方程同步练习题一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1.如果平面直角坐标系内的两点A(a−1,a+1)，B(a,a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()A. x−y+1=0B. x+y+1=0C. x−y−1=0D. x+y−1=02.过点M(−3,2)且与直线x+2y−9=0平行的直线方程是()A. 2x−y+8=0B. x−2y+7=0C. x+2y+4=0D. x+2y−1=03.已知圆C：x2+y2−4x−5=0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是()A. 3x+2y−7=0B. 2x+y−4=0C. x−2y−3=0D. x−2y+3=04.过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线方程为()A. x+2y−5=0B. 2x+y−4=0C. x+3y−7=0D. 3x+y−5=05.下列说法的正确的是()A. 经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示B. 经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示C. 不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示D. 方程(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)表示经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的任意直线6.已知过点A(−2,m)和点B(m,4)的直线为l1，l2:2x+y−1=0，l3:x+ny+1=0.若l1//l2，l2⊥l3，则m+n的值为()A. −10B. −2C. 0D. 8二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）7.下列说法正确的是()A. 截距相等的直线都可以用方程xa +ya=1表示B. 方程x+my−2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线C. 经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y−1=tanθ(x−1)D. 经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线方程(y2−y1)(x−x1)−(x2−x1)(y−y1)=0第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）8.经过点(3,0)且与直线x+y−5=0垂直的直线方程为．9.过且与和距离相等的直线方程为___________．四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）10.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是−1，经过点A(8,−2);2(2)经过点B(4,2)，平行于x轴;(3)在x轴和y轴上的截距分别是3，−3;2(4)经过两点P1(3,−2)、P2(5,−4)．11.已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a−2)y−1=0．(1)若l1⊥l2，求实数a的值；(2)当l1//l2时，求直线l1与l2之间的距离．12.已知点A(2,2)和直线l：3x+4y−20=0．(1)求过点A，且和直线l平行的直线方程；(2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程．13.求满足下列条件的直线l的一般式方程：(1)与坐标轴的交点为(5,0)，(0,−2)；(2)经过点(−1,3)，且倾斜角是直线√3x+y−2=0倾斜角的一半．14.已知直线l经过直线3x+4y−2=0与2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x−3y+1=0．(Ⅰ)求直线l方程；(Ⅱ)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．15.已知直线l过点P(2,3)，根据下列条件分别求直线l的方程：(1)直线l的倾斜角为135°；(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和为0．16.根据下列条件分别写出直线的方程：(1)斜率是√3，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y上的截距为−2；(3)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(4)在x，y轴上的截距分别是−3，−1．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用垂直平分线的性质即可得出．【解答】解：∵k AB=a+1−aa−1−a =−1，线段AB的中点为(2a−12,2a+12)，两点A(a−1,a+1)，B(a,a)关于直线l对称，∴k l=1，其直线方程为：y−2a+12=x−2a−12，化为：x−y+1=0．故选：A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题．由已知的直线方程求出要求直线的斜率，代入直线方程的点斜式，化为一般式得答案．【解答】解：由直线方程x+2y−9=0可得该直线的斜率为−12，则与直线x+2y−9=0平行的直线的斜率为−12，又直线过M(−3,2)，由直线方程的点斜式得直线方程为y−2=−12(x+3)，化为一般式得：x+2y−1=0．故选：D．3.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系和两条直线垂直时斜率的关系，属于基础题． 先分析出当直线l 与圆心和点P 的连线垂直时弦最短，然后求出直线l 的方程即可． 【解答】解：由已知，圆心为(2,0)，则圆心和点P 所在的直线的斜率为2−01−2=−2， 而当直线l 与圆心和点P 的连线垂直时弦最短， 所以直线l 的斜率为12，所以方程为y −2=12(x −1)， 即x −2y +3=0， 故选D ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查用点斜式求直线方程的方法，数形结合判断什么时候距离最大是解题的关键，属基础题．先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式． 【解答】解：要使过点P(1,2)的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线PO 垂直， 由k OP =2−01−0=2，则所求直线l 的斜率为−12， ∴直线l 的方程为y −2=−12(x −1)， 即x +2y −5=0． 故选A ．5.【答案】D【解析】解：A项错误，直线y−y0=k(x−x0)只能表示过点P0(x0,y0)且斜率存在的直线；B项错误，直线y=kx+b只能表示过点A(0,b)斜率存在的直线；C项错误，直线xa +yb=1只能表示在两轴上截距都存在且不为零的直线；D项正确，经过任意两个不同的点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)表示．故选：D．逐一分析研究各个选项，通过举反例等手段，排除不正确选项．本题考查直线方程的适用范围，注意斜率不存在或者截距等于0的情况．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线平行、垂直与斜率的关系，考查了计算能力，属于基础题．利用直线平行、垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵l1//l2，∴k AB=4−mm+2=−2，解得m=−8．又∵l2⊥l3，∴(−1n)×(−2)=−1，解得n=−2．∴m+n=−10．故选A．7.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了直线方程的截距式、点斜式、两点式，一般式．A，截距相等为0的直线都不可以用方程xa +ya=1表示；B，当m=0时，方程x+my−2=0(m∈R)表示平行y轴的直线；C，倾斜角为θ=900的直线方程不能写成点斜式；D，x1≠x2，直线的斜率存在，可以用点斜式表示．【解答】解：对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程xa +ya=1表示，故错误；对于B，当m=0时，方程x+my−2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线x=2，故正确；对于C，经过点P(1,1)，倾斜角为θ=90°的直线方程不能写成y−1=tanθ(x−1)，故错；对于D，∵x1≠x2,∴直线的斜率存在，可写成(y2−y1)(x−x1)−(x2−x1)(y−y1)=0，故正确．故选：BD．8.【答案】x−y−3=0【解析】【分析】本题考查直线方程的求法，两直线垂直的斜率关系等基础知识，解题的关键是由直线x+y−5=0的斜率为−1，得出与直线x+y−5=0垂直的直线斜率为k=1，根据点斜式写出所求直线方程即可．【解答】解：因为直线x+y−5=0的斜率为−1，∴与直线x+y−5=0垂直的直线斜率为k=1，∴经过点(3,0)且与直线x+y−5=0垂直的直线的点斜式方程为y−0=x−3，∴化为一般式方程为x−y−3=0，故答案为：x−y−3=0．9.【答案】4x+y−6=0或3x+2y−7=0【解析】【分析】本题考查直线的方程的求法和直线平行的关系，属于基础题．根据题意到A，B距离相等的直线有两条，与AB平行或过AB的中点，从而求出方程即可．【解答】解：直线AB的斜率为k AB=3+52−4=−4，线段AB的中点坐标为(3,−1)．①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为y−2=−4(x−1)，即4x+y−6=0；②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为2+11−3=−32，故所求直线方程为y−2=−32(x−1)，即3x+2y−7=0．综上所述，所求直线方程为4x+y−6=0或3x+2y−7=0．故答案为：4x+y−6=0或3x+2y−7=0．10.【答案】解：(1)由点斜式得y−(−2)=−12(x−8)，化成一般式得x+2y−4=0．(2)由题意得y=2，化成一般式得y−2=0．(3)由截距式得x32+y−3=1，化成一般式得2x−y−3=0．(4)由两点式得y+2−4−(−2)=x−35−3，化成一般式得x+y−1=0．【解析】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，是基础题．(1)利用点斜式方程求解直线方程．(2)利用直线方程的特殊情况求解．(3)利用截距式方程求解直线方程．(4)利用两点式方程求解直线方程．11.【答案】解：(1)∵l 1:ax +3y +1=0，l 2:x +(a −2)y −1=0，且l 1⊥l 2，∴a ×1+3×(a −2)=0，解得a =32．(2)∵l 1:ax +3y +1=0，l 2:x +(a −2)y −1=0，且l 1//l 2， ∴a(a −2)=3×1且−a ≠1，解得a =3，∴l 1:3x +3y +1=0，l 2:x +y −1=0，即l 1:3x +3y +1=0，l 2:3x +3y −3=0 ∴直线l 1，l 2间的距离为d =√32+32=2√23．【解析】本题考查平面直角坐标系中两直线平行与垂直的充要条件，是基础题． (1)由两直线垂直的充要条件A 1A 2+B 1B 2=0可以列关于a 的方程求解．(2)由两直线平行的充要条件{A 1B 2=A 2B 1A 1C 2≠A 2C 1可求a 的值，然后利用两平行直线的距离公式求解．12.【答案】解：(1)由l ：3x +4y −20=0，得k l =−34．设过点A 且平行于l 的直线为l 1，则k l 1 =k l =−34， 所以l 1的方程为y −2=−34(x −2)， 即3x +4y −14=0．(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2． 因为k l k l 2=−1，所以k l 2=43， 故直线l 2的方程为y −2=43(x −2)， 即4x −3y −2=0．【解析】本题考查了求直线方程的点斜式方程，求直线的斜率问题，属基础题． (1)求出直线l 的斜率，根据点斜式方程求出直线方程即可．(2)求出所求直线的斜率，再根据点斜式方程求出直线方程即可．13.【答案】解：(1)由题意，得直线过点(5,0)和(0,−2)，故斜率k =0−(−2)5−0=25， 由斜截式方程y =kx +b ，得直线方程y =25x −2，故所求直线的一般式方程为：2x −5y −2=0．(2)设直线√3x +y −2=0的倾斜角为α，将直线方程√3x +y −2=0化为斜截式方程：y =−√3x +2，则其斜率为−√3， ∵α∈[0,π)∴α=2π3．因为需求直线的倾斜角是2π3的一半，故倾斜角为π3，其斜率为√3，又经过点(−1,3)，由点斜式得直线方程y +1=√3(x +1)，故所求直线的一般式方程为：√3x −y +√3−1=0．【解析】本题考查求直线方程，属于基础题．(1)求出斜率，利用斜截式方程即可求解；(2)求出倾斜角，得斜率，由点斜式方程即可求解．14.【答案】解：(Ⅰ)由{3x +4y −2=02x +y +2=0，解得{x =−2y =2，∴点P 的坐标是(−2,2)．设直线l 的方程为3x +y +c =0．代入点P 坐标得3×(−2)+2+c =0，得c =4，∴所求直线l 的方程为3x +y +4=0；(Ⅱ)由直线l 的方程3x +y +4=0，得x−43+y −4=1，知它在x 轴、y 轴上的截距分别是−43,−4，∴直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S =12×4×43=83．【解析】(Ⅰ)联立方程组求得已知两直线的交点坐标，设出与x−3y+1=0垂直的直线方程3x+y+c=0，代入交点坐标求得c，则直线l方程可求；(Ⅱ)化直线l的方程为截距式，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线的一般式方程，考查了一般式和截距式的互化，是基础题．15.【答案】解：(1)设直线l的斜率为k，则k=tan135°=−1，又直线过点P(2,3)，所以直线的点斜式方程为y−3=−(x−2)，化为一般形式为x+y−5=0；(2)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，由题意知，a+b=0，即b=−a；①若b=−a=0时，则直线l又过点(0,0)，可得直线l的方程为：3x−2y=0；②若b=−a≠0时，则直线l的方程为xa +y−a=1，将点P(2,3)代入得2a +3−a=1，解得a=−1，可得直线l的方程为x−y+1=0；故直线l的方程为3x−2y=0或x−y+1=0．【解析】本题考查直线的倾斜角与斜率应用问题，考查直线的截距应用问题，属于基础题．(1)利用倾斜角求出直线l的斜率，再利用点斜式写出方程，化为一般式方程；(2)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，讨论①b=−a=0和②b=−a≠0时，分别求出直线l的方程．16.【答案】解：(1)斜率是√3，且经过点A(5,3)的直线方程为y−3=√3(x−5)，即√3x−y+3−5√3=0．(2)斜率为4，在y上的截距为−2的直线方程为y=4x−2，即4x−y−2=0．(3)在y轴上的截距为3，且平行于x轴的直线方程为y−3=0．(4)在x，y轴上的截距分别是−3，−1的直线，用截距式写出方程为x−3+y−1=1，即x+3y+3=0．【解析】本题主要考查用点斜式、斜截式、截距式求直线的方程，属于基础题．(1)用点斜式求出直线方程，并化为一般式．(2)用斜截式求出直线的方程，并化为一般式．(3)由题意直接写出直线的方程．(4)用截距式写出直线方程，并化为一般式．。
直线方程综合训练题集及答案
直线方程综合训练1一、选择题1、三角形中，已知三边a,b,c依次所对应的三内角α,β,γ满足lgsinα+lgsin γ=2lgsinβ, 则直线xsin2α+ysinα=α与xsin2β+ysinγ=c的位置关系是( ) (A) 平行(B) 斜交(C) 垂直(D) 重合2、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是( )(A) (－a,－b) (B) (a,－b) (C) (b,a) (D) (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是( ) (A) 3x+4y－122=0 (B) 3x+4y+122=0(C) 3x+4y－24=0 (D) 3x+4y＋24=04、点(4,0)关于直线5x+4y+21=0对称的点是（）(A) (－6,8) (B) (－8,－6) (C) (6,8) (D) (－6,－8)5、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)46、平面上两点A(4cosα，4sinα)与B(3cosβ，3sinβ)之间的距离的最大值与最小值顺序为（）(A)7与1 (B)6与1 (C)7与2 (D)6与27、直线x+2y-1=0的倾斜角为( )(A)43)D (22arctan )C (22arctan )B (4π-ππ8、经过点A （－3，2）和B （6，1）的直线与直线x ＋3y －6=0相交于M ，M 分AB 所成的比是 ( )（A ）－1 （B ）21 （C ）1 （D ）29、如图所示，直线l 1：ax －y ＋b=0与l 2：bx －y ＋a=0(ab ≠0,a ≠b)的图象只可能是( )10、由方程11-+-y x =1确定的曲线所围成的图形面积是 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）π （D ）411、一平行于y 轴的直线把顶点为(0,0)、(1,1)、(9,1)的三角形分成面积相等的两部分，那么这条直线是 （ ）（A ）x=2.5 （B ）x=3 （C ）x=3.5 （D ）x=412、经过原点，且倾斜角是直线y=22x ＋1倾斜角2倍的直线是 ( )（A ）x=0 （B ）y=0 （C ）y=2x （D ）y=22x13、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ）（A ）(a －b,a ＋b) （B ）(a ＋b, a －b) （C ）(2a,0) （D ）(0,2a)14、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )（A ）k ＞1 （B ）0＜k ＜21 （C ）k ＜21（D ）21＜k ＜115、直线ax ＋by=ab(a ＞0,b ＜0)的倾斜角等于 ( )（A ）π－arctg(－b a ) （B ）π－arctg b a （C ）arctg(－b a ) （D ）arctg ba二、填空题1、过点A （－1，2）且倾斜角正弦值为53的直线方程是______。
专题9.1---直线与直线方程--学生版
专题9.1直线与直线方程练基础1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（）A B C ．D3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）．A ．过点)2-BC ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为14．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）．A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0°6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________.10．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|PA |+|PB |＝a 的取值范围是___________．练提升1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（）A ．8B ．9C ．16D ．182．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,2N ，那么||MN 的最小值为（）A．2B．32C．1D．123．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线l 的倾斜角为θ且过点，其中1sin(22p q-=，则直线l 的方程为()20y --=40y +-= C.0x -=360y +-=4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（）A．B．C．D．5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________.6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1)求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ；(2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，()4,B n -在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式.9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||2AB =，动直线l 过点(1,1)P 与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.练真题1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（）.A．1或3B．1或5C．3或5D．1或22．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 330y --=B 3230x y -=C 3310y --=D ．310x -=4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（）A ．25B ．35C ．45D ．15.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）A.（0，1）B.21122⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， C.21123⎛⎤-⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线。
高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
tan k α=当时，； 当时，； 当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=αk 在。
②过两点的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；21x x =(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为bb kx y +=③两点式：（）直线两点，112121y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1x y a b+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
l x (,0)a y (0,)b l x y ,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）0=++C By Ax 注意：各式的适用范围 特殊的方程如：○1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：（a 为常数）；b y =a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：0000=++C y B x A 00,B A （C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点；()00x x k y y -=-()00,y x （ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 为（为参数），其中直线不在直线系中。
2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)
直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。
高中数学必修二直线与方程典型例题
第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1．1 倾斜角与斜率【知识点归纳】1.直线的倾斜角：2.直线的斜率：3.直线的斜率公式：【典型例题】题型 一 求直线的倾斜角例 1 已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为( ).A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°变式训练：设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则1l 的倾斜角为( )。
A.45α+︒B.135α-︒C.135α︒-D.当0°≤α＜135°时为45α+︒，当135°≤α＜180°时，为135α-︒题型 二 求直线的斜率例 2如图所示菱形ABCD 中∠BAD =60°，求菱形ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-,2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系例3右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ).A .k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2拓展 一 三点共线问题例4 已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．变式训练:若三点P (2，3)，Q (3，a )，R (4，b )共线，那么下列成立的是( ).A ．4,5a b ==B ．1b a -=C ．23a b -=D ．23a b -=拓展 二 与参数有关问题例 5 已知两点A (-2,- 3) ,B (3,0) ,过点P (-1,2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.变式训练：已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.拓展 三 利用斜率求最值例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。
直线与方程题型总结答案
题型一：重点考查直线的倾斜角)2cos10,2sin10，)2cos130,2sin130，则直线．160【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得tan 方法二：根据三角函数定义可知,P Q 在圆160QOM +，由此可得倾斜角.的倾斜角为)0180θ≤<，()()33cos10sin10sin 12010sin102sin1302sin10222cos1302cos10cos 12010cos1033cos10sin1022−+−−==−+−−−()()3sin10cos103sin 1030sin 20sin 202tan 20sin 70cos 2033sin 1060sin10cos102−−==−=−=−++tan160.PQ 的倾斜角为160；方法二：由三角函数的定义可知：点,P Q 在圆24x y +=上，如图所示，为直线PQ 与轴的交点，则10，130QOM ∠，120=，又OQ =，30OQM ∴∠，160QOM +∠，∴直线PQ 的倾斜角为160. 160.2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）直线y ++ 34π⎤⎡⋃⎥⎢⎦⎣精练核心考点3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,4ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：直线l 的斜率为3≤，α∈3,4⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭ππ. ．（2023·全国·高二专题练习）直线,135︒︒⎤⎦【详解】解：直线x y −，则3x =，直线的斜率不存在，倾斜角为90；1≤，可得为不等于90的倾斜角），90135θ︒<≤综合，倾斜角的取值范围是45︒≤．题型二：重点考查直线的斜率19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭）因为点M 在函数)在线段AB ()19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭，记点16,2P ⎛− ⎝16,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以21y +精练核心考点30，则实数D ．323303=两点的直线的方向向量为题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（)30,60)30,90 )60,9060,90⎤⎦B【详解】因为直线:l ，直线23x y +()0,2B ;30； 90；)30,90.·全国·高二专题练习）经过点P10PA k −=且直线l 与连接点如下图所示，则tan PA k ≤α∴∈π[0,4故选：B例题3．（精练核心考点2．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点ABC 的边A ．0,⎡⎢⎣C ．3⎡⎢⎣【答案】D【详解】如图所示，1为ABC 的边BD 斜率k ．（2023·全国·高二专题练习）若实数的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型四：重点考查斜率公式的应用精练核心考点题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围3,7⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：设过点P 且垂直于当直线l 由位置PA 绕点P 此时，11354725PA k k +≥==+当直线l 由位置PC 绕点P 此时，1254PB k k +≤==精练核心考点1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =−的方向向量(3,6CD =因为0AB CD ⋅=，所以AB CD ⊥，所以5．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线60my +=2)30m x y −+=，当m 为何值时，相交； 平行； 垂直．【答案】(1)m ≠−3；题型七：重点考查直线的方程．（2023·全国·高二专题练习）在ABC中，已知点轴上截距是y轴上截距的3⎫，即(−⎪⎭；题型八：重点考查两直线的交点坐标【详解】三条直线不能构成三角形三条直线相交于同一点S的最小值AOBS最小值为AOB题型九：重点考查两点间的距离公式故选：B.xA B'=所以函数的最小值为故答案为：42精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知故选：B2．（2023·全国·高二课堂例题）【答案】32【详解】()2221x x x ++=+()(224824x x x −+=−+=如图，设点(),0A x ，()1,1B −，值．由于AB AC BC +≥，当A ，B 故答案为： 32.3．（2023·全国·高二专题练习）函数为 ．【答案】41【详解】()()219f x x =−+1故答案为：41题型十：重点考查点到直线的距离公式例题2．（2023秋·高二课时练习）求垂直于直线3105的直线l 的方程． 【答案】390x y −+=或3x −【详解】设与直线35x y +−则由点到直线的距离公式知()()2310310⨯−−+−===mm d350y+=.春·上海·高二期中）已知ABC的三个顶点y+=，且60)2,3，所以因此有+24=723+6=0m n m n −−⎧⎨⎩或+24=723+6=0m n m n −−−⎧⎨⎩，解得：=3=4m n ⎧⎨⎩或=3=0m n −⎧⎨⎩， 所以点A 的坐标为：()3,4或()3,0−．题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式精练核心考点。
直线的方程经典题型总结加练习题-含答案
（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即tankα=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[)οο90,∈α时，0≥k；当()οο180,90∈α时，0<k；当ο90=α时，k不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk≠--=所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率概念考查1、已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线1λ与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线2λ互相垂直，求实数a的值。
2、直线baxy+=与abxy+=在同一坐标系下可能的图是（）3、直线3)2(+-=xky必过定点，该定点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（2，–3）D．（–2，3）4、如果直线0=++cbyax（其中cba,,均不为0）不通过第一象限，那么cba,,应满足的关系是（）A．0>abc B．0>ac C．0<ab D．cba,,同号5、若点A（2，–3），B（–3，–2），直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则l的斜率k 的取值范围是（）A．43≥k或4-≤k B．43≥k或41-≤k C．434≤≤-k D．443≤≤k（3）两点间距离公式：设1122(,),A x yB x y，（）是平面直角坐标系中的两个点，则||AB=（4）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200B A CBy Ax d +++=概念考查（1） 求两平行线1l ：3x+4y=10和2l ：3x+4y=15的距离。
（2） 求过点M （-2，1）且与A （-1，2），B （3，0）两点距离相等的直线方程。
专题训练高中数学直线方程常见重点综合题型训练
专题：直线方程常见重点综合题型训练题型一：斜率与倾斜角问题 1．填空：(1)若直线倾斜角α满足 ，则斜率k 的范围是 .(2)若直线斜率k 满足 ，则倾斜角α 的范围是 .2．已知两点A (-4, 3) , B (3, 2) ,过点P (0, -1)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 和倾斜角α 的取值范围.题型二：垂直与平行问题1．已知A （1，1），B （2，2），C （3，-3），若直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD 求点D 坐标．2．已知点P （-1，3）和直线l ：032=+-y x ． (1)求过点P 且与直线l 平行的直线方程； (2)求过点P 且与直线l 垂直的直线方程；3．已知直线1l ：013=++y ax ，2l ：0)2(=+-+a y a x ，问m 为何值时： （1）12l l ⊥； （2）12//l l .题型三：定点问题1．直线mx -y +2m +1=0经过一定点，则该定点的坐标是 .2．已知直线l ： .求证：直线l 必过第三象限.题型四：截距问题1．求过点P （1，2）且满足下列条件的直线方程： (1)过点P 且在两坐标轴上截距相等; (2)过点P 且在两坐标轴上截距之和等于6.2．求过点(3,2)P ，并且与两坐标轴相交所围成的三角形的面积为23的直线方程.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈33,1k [] 120,45∈α07)1()2=-+--+a y a x a （题型五：三角形中直线问题1．三角形ABC的三个顶点A（－3，0）、B（2，1）、C（－2，3），D为BC边的中点，求：(1) BC边所在直线的方程；(2) BC边上中线AD所在直线的方程；(3) BC边上高线AE所在直线的方程；(4) BC边的垂直平分线DF的方程．(5) 角A的角平分线所在的直线方程.题型六：对称问题1．已知直线l：0132=+-yx，点A（-1, -2)，求：(1)点A关于直线l的对称点A1的坐标；(2)直线m：0623=--yx关于直线l对称的直线m1的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l1的方程.题型七：交点问题1．填空：(1)若直线l：y＝kx-1与直线x＋y-1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是.(2)若直线l：y＝2x-b与直线x＋y-1＝0的交点位于第一象限，则实数b的取值范围是.2．求经过直线的交点且平行于直线的直线方程.题型八：最值问题1．已知点P（x，y）在直线3x+4y-12=0上.(1)若[]3,1∈x，求的范围；(2)若O为坐标原点，求|OP| 的最小值；(3)求22)1yx+-（的最小值.2．已知点A（0，4）、B（4,2），点P为x轴上任意一点.(1)当|P A|+|PB|取最小值时，求点P坐标；(2)当|P A|-|PB|取最大值时，求点P坐标；3．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程.323:,0532:21=--=-+yxlyxl32=-+yx12++xy。
高中直线与方程练习题及答案详解
高中直线与方程练习题及答案详解1.高中直线与方程练题及答案详解一、选择题1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A．a+b=√2/2B．a-b=√2/2C．a+b=0D．a-b=02.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y-1=0B．2x+y-5=0C．x+2y-5=0D．x-2y+7=03.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）A．-8B．2C．10D．无法确定4.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°,1B．135°,-1C．90°，不存在D．180°，不存在6.若方程(2m+m-3)x+(m-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（）A．m≠1B．m≠-1/2C．m≠1/2D．m≠0二、填空题1.点P(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是√2/2.2.已知直线.3.若原点在直线l上的射影为(2,-1)，则l的方程为2x-y=0.4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上，则x+y的最小值是4.5.直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4),D(5,0)，则直线l的方程为y=-3x。
三、解答题1.已知直线Ax+By+C=0。
1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；当C=0时，方程变为Ax+By=0，解得y=-A/B*x，即过原点且斜率为-A/B的直线。
2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；当A≠0且B≠0时，直线与x轴和y轴都相交。
3）系数满足什么条件时只与x轴相交；当B=0且A≠0时，直线只与x轴相交。
4）系数满足什么条件时是x轴；当A=0且B≠0且C=0时，直线是x轴。
高考数学一轮复习专题训练—直线的方程
直线的方程考纲要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. (2)计算公式①经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.②若直线的方向向量为a ＝(x ，y )(x ≠0)，则直线的斜率k ＝yx .3．直线方程的五种形式截距式纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线1．直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0 0<α<π2π2 π2<α<π kk >0不存在k <02.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等．2．若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________． 答案 12x －y －18＝0解析 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2,6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0.3．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________． 答案 A ≠0且B ≠0解析 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A ≠0且B ≠0. 4．(2020·衡水模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.5．(2021·西安模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)，且m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π2B ．⎝⎛⎦⎤π2，2π3 C.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3 D ．⎣⎡⎦⎤π6，2π3答案 D解析 ①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3. 综合①②知直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，2π3.6．(2021·合肥调研)过点(－3,4)，在x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______． 答案 4x －y ＋16＝0解析 由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9(舍)．故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0.考点一 直线的倾斜角与斜率【例1】 (经典母题)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 法一 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞， －3]．故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【迁移】 若将例1中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0， 即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 感悟升华 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上并不是单调的． 2．过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在．【训练1】 过函数f (x )＝13x 3－x 2图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴斜率k ＝tan α≥－1，解得倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π，故选B. 考点二 直线方程的求法【例2】 (1)已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)．求BC 边上的中线AD 所在直线的方程．(2)经过点P (2,3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3,2)． 解 (1)由题意得线段BC 的中点D (0,2)，可得BC 边上的中线AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(2)法一 ①当截距为0时，直线l 过点(0,0)，(2,3)， 则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.②当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1.因为直线l 过点P (2,3)，所以2a ＋3a ＝1，所以a ＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0.令x ＝0，得y ＝－2k ＋3.令y ＝0，得x ＝－3k ＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或k ＝－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1,1)，∵直线的方向向量v ＝(－3,2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.感悟升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．【训练2】 (1)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为________________． 答案 (1)D (2)x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 (1)设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ()α＋45°＝2＋11－2×1＝－3，又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. (2)由题意可设直线方程为x a ＋yb＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2. 故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 考点三 直线方程的综合应用【例3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解 由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.感悟升华 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”．若直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，则直线过定点(1,2)．2．求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．3．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．【训练3】 (1)已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： ①若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； ②若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； ③若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________．(2)(2021·武威模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( ) A ．1B ．4C ．2D ．8答案 (1)①(0,3) ②(－3,0) ③(3,0) (2)B解析 (1)①当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0,3)． ②直线方程可化为y ＝k (x ＋3)，故直线过定点(－3,0)． ③当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3,0)． (2)∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，所以a ＋b ＝ab ，1a ＋1b ＝1，因为直线在x 轴的截距为b ，在y 轴上的截距为a ，所以直线在x轴、y 轴上的截距之和为a ＋b ，a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，所以当a ＝b ＝2时取最小值，最小值为4，故选B.基础巩固一、选择题1．如图中的直线l 1， l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.2．(2021·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C.2±52D ．2＋52或0答案 A解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.3．如果A ·B >0，B ·C <0，那么直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D解析 因为直线在x 轴、y 轴上的截距分别为C A <0，－CB >0，所以直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是第四象限．故选D.4．(2020·成都诊断)过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2答案 A解析 直线y ＝－x －1的倾斜角为3π4，则所求直线的倾斜角为π2，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2,1)，所以所求直线方程为x ＝2.5．(2021·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合．6．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1答案 D解析 令x ＝0，y ＝2＋a ，令y ＝0，x ＝2＋a a ，则2＋a ＝2＋a a. 即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝－2或a ＝1. 7．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3C ．⎣⎡⎦⎤π4，π2D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.8．(2021·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( )A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2 D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，∴－2≤k ≤12. 二、填空题9．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是________． 答案 y ＝3x解析 已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点逆时针旋转15°后，得到的直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .10．(2020·沈阳模拟)过点⎝⎛⎭⎫1，14且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________． 答案 x ＋4y －2＝0解析 因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，可设直线方程为x a＋ay ＝1， 因为x a＋ay ＝1过点⎝⎛⎭⎫1，14，所以1a ＋14a ＝1，解得a ＝2， 所以，所求直线方程为12x ＋2y ＝1，化为x ＋4y －2＝0. 11．(2021·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．答案 －13解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3， 从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 12．在平面直角坐标系xOy 中，经过点P (1,1)的直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .若P A→＝－2PB →，则直线l 的方程是________．答案 x ＋2y －3＝0解析 设A (a,0)，B (0，b )，由P A →＝－2PB →，可得a －1＝－2×(0－1)，0－1＝－2(b －1)，则a＝3，b ＝32，由截距式可得直线l 的方程为x 3＋y 32＝1，即x ＋2y －3＝0. B 级 能力提升13．(2020·东北三省三校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．⎣⎡⎦⎤12，1答案 A解析 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1， 故－1≤x 0≤－12. 14．已知A ，B 是x 轴上的不同两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0答案 B解析 因为点P 的横坐标为2，且点P 在直线x －y ＋1＝0上，所以点P 的纵坐标为3，所以P (2,3)．又因为|P A |＝|PB |，所以直线P A ，PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为－1，则直线PB 的方程是y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.故选B.15．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a ＝________.答案 12解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小． 16．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为________．答案 3解析 以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0,4)，B (3,0)，直线AB的方程为x3＋y4＝1.设P(x，y)(0≤x≤3)，所以P到AC，BC的距离的乘积为xy，因为x3＋y4≥2x3·y4，当且仅当x3＝y4＝12时取等号，所以xy≤3，所以xy的最大值为3.。
高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析
专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x−ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C 2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ）ABC．D【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-==故选C.3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）．A．过点)2-BC ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解【详解】点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l的斜率tan k θ==60°，故B ，C 正确；由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误．故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）．A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误；∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m =m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0°【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确；对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误；对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确．故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______.【答案】32-43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距.【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43.故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y =【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可.【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒，又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2，所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =．故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．【答案】-4；2【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //，334a -∴=，解得4a =-；∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________.【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34.因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=，所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|PA |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________．【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围.【详解】因为||AB ==||||PA PB +=，由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1），画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3，所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解.【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=，又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，练提升即2b a =时取“=”，由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,2N ，那么||MN 的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3），所以动点M 在以PQ5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=，所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，，则直线方程为：故选l θ1sin(22p q-=l 20y --=40y +-=0x -=360y +-=122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-23πθ=tan θ=1y x -=-40y +-=B4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________.【答案】240x y -+= (0,1)-【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行，所以设方程为()201x y n n -+=≠，因为直线过点(2,1)M -，代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=.7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1)求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ；(2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2.【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求.【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2），即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m 2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意，综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，()4,B n -在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式.【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4），把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为8y x=，把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2；（2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ，所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==，在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==，而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1，所以144m n-+=，而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2，则A （2，4），B （﹣4，﹣2），设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析．【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=．（2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，=，而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB V 是等腰直角三角形，||AB =l 过点(1,1)P 与AOB V 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN V 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩…，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标；(2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMN S V 的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解.【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k +=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.(2)当1k …时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭，1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭.当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩…，当1k …时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+.综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）.A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】练真题由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5，故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=，所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ）A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d =，故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12），把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=．②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即1122N MB y ⋅⋅=，即 111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-0，求得 b 12＜，故有13＜b 12＜．③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标b a--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ．两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞1，故有1b 13＜．综上可得b 的取值范围应是 112⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；②令直线为：，则直线经过整点，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得：即直线经过整点x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --直线经过无穷多个整点，③正确；④令直线为：，则不过整点，④错误；⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤∴l l 1132y x =+ll y =()0,0。
高中直线方程的综合练习数学班主任整理
高中直线方程的综合练习数学班主任整理高中数学直线方程的综合练习1.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：过点P(2,3)，斜率为-2的直线。
解析：已知直线过点P(2, 3)，斜率为-2、直线的方程一般可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
代入已知条件，得到3 = -2*2 + b，解b得到b = 7、所以直线的方程为y = -2x + 7题目二：过点(4,5)，斜率为1/3的直线。
解析：已知直线过点(4, 5)，斜率为1/3、同样地，直线的方程可以表示为y = kx + b。
代入已知条件，得到5 = (1/3)*4 + b，解b得到b = 19/3、所以直线的方程为y = (1/3)x + 19/32.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：已知直线过点(-1,2)，且与直线y=x-3垂直，求该直线的方程。
解析：已知直线过点(-1, 2)，且与直线y = x - 3垂直。
两条直线垂直可以得到斜率的乘积为-1、所以直线的斜率为-1的倒数，即1、直线的方程可以表示为y = kx + b，代入已知条件得到2 = 1*(-1) + b，解b得到b = 3、所以直线的方程为y = x + 3题目二：已知直线过点(2,4)，且与直线y=-2x+1平行，求该直线的方程。
解析：已知直线过点(2, 4)，且与直线y = -2x + 1平行。
两条直线平行可以得到斜率相等。
所以直线的斜率与直线y = -2x + 1的斜率相等，即斜率为-2、直线的方程可以表示为y = kx + b，代入已知条件得到4 = -2*2 + b，解b得到b = 8、所以直线的方程为y = -2x + 83.求直线的斜率和截距，并写出直线的方程：题目一：已知直线过点(3,1)，且平行于直线y=3x-2，求该直线的方程。
解析：已知直线过点(3, 1)，且平行于直线y = 3x - 2、直线的平行可以得到斜率相等。
直线方程(考题猜想,易错必刷36 题 15种题型)(解析版)—2024-2025学年高二数学上学期
直线方程（易错必刷36题15种题型专项训练）➢ 点斜式方程综合应用 ➢ 截距式方程综合应用➢ 一般式直线理论 ➢ 直线与坐标轴围成面积➢ 含参直线过定点➢ 点到直线距离最值型➢ 平行线距离最值范围➢对称：点关于直线对称➢ 对称：光学性质➢ 对称：最小值➢ 对称：两点距离公式几何意义➢ 对称：将军饮马型➢ 对称：叠纸型➢ 直线关于直线对称➢直线综合一．点斜式方程综合应用 （共3小题）1．（22-23高二上·北京·期中）已知直线11:22l y x =+，直线l 2是直线l 1绕点()2,1P -逆时针旋转45°得到的直线．则直线l 2的方程是（ ）A ．3y x =+B ．23y x =--C ．49y x =+D ．37y x =+2．（21-22高二上·新疆省直辖县级单位·期中）已知ABC V 的三个顶点(3,0),(1,2),(1,3)A B C --，则ABC V 的高CD 所在的直线方程是（ ）A ．550x y +-=B ．250x y ++=C ．250x y +-=D ．250x y --=3．（21-22高一上·江苏南通·期中）已知点(, )P x y 到(0,4)A 和(2,0)B -的距离相等，则24x y +的最小值为A ．2B ．4C ．D ．二． 截距式方程综合应用（共3小题）4．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线l 经过点()1,1A -，在x 轴上的截距的取值范围是()2,1-，则其斜率的取值范围为（ ）A ．()1,+¥B ．1,12æö-ç÷èøC ．()1,01,2æö-È+¥ç÷D ．()1,1,2¥¥æö--È+ç÷5．（23-24高二上·陕西榆林·期中）直线l 经过点()4,3P -，在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且,a b 满足log 2a b =，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．1-C ．3-D ．1-或3-6．（21-22高二上·江苏南通·期中）过点()1,2P ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）A ．4条B ．2条C ．3条D ．1条【答案】C【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案.【详解】当截距为0时，设直线方程为=y kx ，将()1,2P 代入=y kx ，求得=2k ，故方程为2y x =；当截距不为0时，三．一般式直线理论 （共2小题）7．（21-22高二上海浦东新·期中）在平面直角坐标系内，设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122ax by cax by cd ++=++，下面四个命题中的假命题为（ ）A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1d =，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1d =-，则直线经过线段M ，N 的中点；D ．若1d >，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交；8．（21-22高二上·北京·期中）设11(,)M x y ，22(,)N x y 为不同的两点，直线:0l Ax By C ++=.记1122Ax By CAx By Cl ++=++，则下列结论中正确的个数是（）①不论l 为何值，点N 都不在直线l 上；②若1l =，则过,M N 的直线与直线l 相交；③若1l =-，则直线l 经过MN 的中点.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个.四．直线与坐标轴围成面积（共4小题）9．（2022高三·全国·期中）直线20x y b -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[]22-,B ．(][),22,-¥-+¥UC ．[)(]2,00,2-U D ．(,)¥¥-+10．（21-22高二上·安徽·期中）过点(1,2)P 且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．（22-23高二上·河南期中）已知直线l 过点(1,3)M ，且分别交两直线,y x y x ==-于x 轴上方的,A B 两点，O 点为坐标原点，则AOB V 面积的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．D ．20【答案】A【分析】判断直线斜率存在并设直线l 的方程为3(1)y k x -=-，求出,A B 两点的横坐标，表示出三角形的面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知直线l 的斜率一定存在，斜率设为k ，则直线l 的方程为3(1)y k x -=-，故332(11111AOB k k k S k k k ---é=×=+ê+-+ë△当且仅当4(1)111k k k k-+=+-，即13k =故AOB V 面积的最小值为8，故选：A ．12．（21-22高二下·江苏南京·期中）直线:1x yl a b+=中，1357{{48}6}2a b ÎÎ，，，，，，，．若l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．16五．含参直线过定点（共2小题）13．（23-24高二上·河北石家庄·期中）不论k 为任何实数，直线()()()213110k x k y k --+--=恒过定点，若直线2mx ny +=过此定点其中m ，n 是正实数，则312m n+的最小值是（ ）A ．214B ．274C ．212D ．27214．（2023高二上·全国·期中）已知a ，b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点（ ）A ． 1,23æö-ç÷èøB ．11,62æöç÷èøC ．11,26æöç÷D ．12,3æö-ç÷六．点到直线距离最值型 （共3小题）15．（2023高二上·江苏·期中）点()2,1P --到直线()()():131240R l x y l l l l +++--=Î的距离最大时，其最大值以及此时的直线l 方程分别为（）A 20x y +-=B 340x y +-=C 3250x y +-=D 2310x y -+=16．（23-24高二上·北京海淀·期中）点(2,1)P --到直线:10(R)l mx y m m +--=Î的距离最大时，直线l 的方程为（ ）A ．2320x y --=B ．3280x y ++=C ．3250x y +-=D ．2310x y -+=【答案】C17．（23-24高二上·全国·期中）若动点1122()A x y B x y ,,(,)分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为（ ）A ．B ．2C D ．4七． 平行线距离最值范围（共2小题）18．（22-23高二上·四川成都·期中）已知A ，B 两点的坐标分别为()1,0，()1,2-，若两平行直线1l ，2l 分别过点A ，B ，则1l ，2l 间的距离的最大值为（ ）A ．1BC ．2D ．因为12l l ∥，所以1l ，2l 间的距离即点A 当1l ，2l 垂直AB 时，1l ，2l 间的距离取最大值，即最大值为又由两点间的距离公式可知，AB =故选：D ．19．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于A ．2pB ．4pC ．8pD ．12p八． 对称：点关于直线对称（共2小题）20．（23-24高二上·安徽·期中）已知在ABC V 中，顶点()1,1A ，点B 在直线20l x y -+=:上，点C 在x 轴上，则ABC V 的周长的最小值为（ ）AB．C．D则此时ABC V 的周长取最小值，且最小值为解得()1111,1,33x A y=-ì\-í=î，易求得2A 故选：B .21．（22-23高二上·江苏南京期中）已知ABC V 的一条内角平分线CD 的方程为20x y +-=，两个顶点为()1,2A 、()1,1B --，则顶点C 的坐标为（ ）A ．17,33æö-ç÷èøB ．15,33æöç÷èøC ．()3,5-D ．()3,1-九．对称：光学性质（共2小题）22．（23-24高二上·福建三明·期中）已知()()3,0,0,3A B-，从点()1,0P-射出的光线经y轴反射到直线AB 上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为（）A．B．6C．D．故选：C23．（23-24高二上·安徽·期中）如图，已知某光线从点()2,0A -射出，经过直线y x =上的点B 后第一次反射，此反射光线经过直线4x =上的点C 后再次反射，该反射光线经过点()2,10D ，则直线BC 的斜率为（ ）A ．32B ．52C ．85D ．2．故选：十．对称：最小值 （共2小题）24．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线3260x y +-=分别与,x y 轴交于,A B 两点，若直线10x y +-=上存在一点C ，使CA CB +最小，则点C 的坐标为（ ）A ．21,33æöç÷B ．61,55æö-ç÷C ．41,33æö-ç÷D ．41,55æöç÷ç÷【详解】由题直线关于直线10x y +-=对称的点为()111:244AB y x y x -=-Þ=-2125．（23-24高二上·四川达州·期中）已知直线l ：280x y --=和点()2,0A -，点()2,4B ，点P 是直线l 上一动点，当PA PB +最小时，点P 的坐标是（ ）A ．()2,5--B ．()0,4-C ．()2,3-D ．()4,2-【答案】C【分析】根据给定条件求出A 关于直线280x y --=的对称点A ¢坐标，求出直线A B ¢方程，与已知直线方程联立即可求解.十一．对称：两点距离公式几何意义（共3小题）26．（23-24高二上·河北·期中）已知实数x，y满足220x y-+=，最小值为（）A．B．10+C．108D．11727．（23-24高二上·河南新乡·的最小值为（）AB．3C D．28．（23-24高二上·江苏盐城A．25B．C D．【答案】C【分析】根据目标式的几何意义，十二．对称：将军饮马型（共2小题）29．（22-23高二上·江西景德镇·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()1,0B -，若将军从山脚下的点()1,0A 处出发，河岸线所在直线方程为24x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．4B ．5C D ．165【答案】A【分析】作图，求出点A 关于直线24x y +=对称的点A ¢，再由两点间的距离公式即可得解．【详解】如图，设点()1,0A 关于直线24x y +=对称的点为(,)A a b ¢，30．（22-23高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处最小（）A B C．1D．2则当且仅当P¢，S，十三．对称：叠纸型（共2小题）31．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点()0,0和126,55-æöç÷èø点重合，点()7,3和点(),m n重合，则m n+=（）A．345B．365C．283D．323【答案】A32．（22-23高二上·浙江杭州·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点()3,4-与点()4,a -重合，点()1,2-与点2,2b æö-ç÷èø重合，则a b -=（ ）A ．2-B ．1-C ．12D ．1十四．直线关于直线对称 （共2小题）33．（21-22高二上·湖北武汉·期中）已知直线：1:3l y ax=+与2l 关于直线y x =对称，2l 与3:210l x y +-=平行，则a =（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．234．（16-17高一下·安徽阜阳·期中）已知直线1:30l mx y -+=与2l 关于直线y x =对称， 2l 与311:22l y x =-+垂直，则m =A ．12-B ．12C ．2-D ．2十五．直线综合（共2小题）35．（2022高三·全国·期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，E为线段1B C的中点，F是棱11C D 上的动点，若点P为线段1BD上的动点，则PE PF+的最小值为（）A B C2D【答案】A【分析】连接1BC，得出点,,P E F在平面11BC D中，问题转化为在平面内直线1BD上取一点P，求点P到定点E的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E关于直线1BD到直线11C D的距离，从而可得结果.【详解】2设点E 关于直线1BD 的对称点为所以22EE k ¢=，故直线EE ¢为联立①②，解得13223x y ì=ïïíï=ïî，故直线所以对称点252(,)36E ¢，则PE 36．（22-23高三上·浙江绍兴·期中）已知实数0,0a b ><的取值范围是 .。
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专题：直线方程常见重点综合题型训练
题型一：斜率与倾斜角问题 1．填空：
(1)若直线倾斜角α满足 ，则斜率k 的范围
是 . (2)若直线斜率k 满足 ，则倾斜角α 的范围是 .
2．已知两点A (-4, 3) , B (3, 2) ,过点P (0, -1)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 和倾斜角α 的取值范围.
~
题型二：垂直与平行问题
1．已知A （1，1），B （2，2），C （3，-3），若直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD 求点D 坐标．
）
2．已知点P （-1，3）和直线l ：032=+-y x ． (1)求过点P 且与直线l 平行的直线方程； (2)求过点P 且与直线l 垂直的直线方程；
￥
3．已知直线1l ：013=++y ax ，2l ：0)2(=+-+a y a x ，问m 为何值时： （1）12l l ⊥； （2）12//l l .
！
题型三：定点问题
1．直线mx -y +2m +1=0经过一定点，则该定点的坐标是 .
2．已知直线l ： .求证：直线l 必过第三象限.
'
题型四：截距问题
1．求过点P （1，2）且满足下列条件的直线方程： (1)过点P 且在两坐标轴上截距相等; (2)；
(3)过点
P 且在两坐标轴上截距之和等于6.
'
2．求过点(3,2)P ，并且与两坐标轴相交所围成的三角形的面
⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡-∈33,1k [] 120,45∈α07)1()2=-+--+a y a x a （
积为
2
3的直线方程.
—
题型五：三角形中直线问题
1．三角形ABC的三个顶点A（－3，0）、B（2，1）、C（－2，3），D为BC边的中点，求：
(1) BC边所在直线的方程；
(2) BC边上中线AD所在直线的方程；
(3) BC边上高线AE所在直线的方程；
—
(4) BC边的垂直平分线DF的方程．
(5) 角A的角平分线所在的直线方程.
|
题型六：对称问题
1．已知直线l：0
1
3
2=
+
-y
x，点A（-1, -2)，求：
(1)点A关于直线l的对称点A1的坐标；
(2)直线m：0
6
2
3=
-
-y
x关于直线l对称的直线m1的方程；
(3)|
(4)直线l关于点A对称的直线l1的方程.￥
题型七：交点问题
1．填空：
(1)若直线l：y＝kx-1与直线x＋y-1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是.
(2)若直线l：y＝2x-b与直线x＋y-1＝0的交点位于第一象限，则实数b的取值范围是.
2．求经过直线的交点且平行于直线的直线方程.
】
题型八：最值问题
1．已知点P（x，y）在直线3x+4y-12=0上.
(1)~
(2)若
[]3,1∈x，求的范围；
(3)若O为坐标原点，求|OP| 的最小值；
(4)求2
2
)1y
x+
-
（的最小值.
·
3
2
3:
,0
5
3
2:
2
1
=
-
-
=
-
+y
x
l
y
x
l
3
2=
-
+y
x
1
2
+
+
x
y
2．已知点A（0，4）、B（4,2），点P为x轴上任意一点.
(1)当|PA|+|PB|取最小值时，求点P坐标；
(2)当|PA|-|PB|取最大值时，求点P坐标；
3．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程.。