高斯函数有关的高考压轴题

董永春
(成都戴氏高考中考肖家河总校数学组, 四川成都，611000)
1 高斯函数问题的提出
早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设x ∈R ，用 [x ]或int (x )表示不超过x 的最大整数，并用"{}x "表示x 的非负纯小数,则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。

高斯函数[x ]的定义域是R ,值域为Z ,其图象是不连续的水平线段。

在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。

笔者在高三复习时发现欧拉常数问题[1]
在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。

下面从一些考题去体会高斯函数。

2 高斯函数有关的准备
我们只提出本文需要的一些性质[]{}x x x =+，[]1x x x -<≤[]1x <+，
1101010n n x x -⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦表示取x 的各分位小数。

3 高斯函数有关问题的解决
例 1 （2012四川16）记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，
[0.3]1-=-。

设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[
][
]()2
n n
n a
x x x n N *++=∈，现有下
列命题：
①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2； ②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥
时，1n x >；
④对某个正整数k ，若1k k x x +≥
，则n x =。

其中的真命题有_①__③___④______。

（写出所有真命题的编号）
分析：①显然成立，对于②，取3a =，12343,1,3,1,...x x x x ====为摆动数列，②错。

对于③，由题意知n a x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
和n x 都是整数，故1[]1[
]222n n n n n a a
x x x x x +⎡⎤++⎢⎥
⎣⎦=≥-
1
2
n n
a x x +->
12
-
1≥
-1=，对于④，当1n n x x +≥时，[
][
]2
n n
a x x +n x ≥，
从而[
][
]02
n n
n a x x x +-≥即0n n a x x ⎡⎤-≥⎢⎥⎣⎦n n
a
x x ⇒-≥0n n a x x ⎡⎤-≥⎢⎥⎣⎦，即0n n a x x ⎡⎤-≥⎢⎥⎣⎦
n x ⇒≤
分析：此题涉及了高斯函数的性质[]1x x x -<≤，借助均值不等式，比较复杂。

其实可以考虑特殊值法进行验证。

例2 （2012成都三诊12）设x 是实数，定义[]x 为不大于x 的最大整数，如[]2.32=，
[]2.33-=-，已知函数[]1
()312f x x =++，21,10()(1)2,03
x x g x g x x -⎧--≤≤=⎨
-+<<⎩。

若方程()20f x x -=的解集为M ，方程()20g x x -=的解集为N ，则集合M N ⋃中的所有元
素之和为
()1A - ()0B ()1C ()2D
分析：[]131202x x ++
-=[]13312312x x x x ⇒<+=-≤+3122
x ⇒-<<-， 713122x ⇒-<+<-，[]311,2,3,4x ⇒+=----，若1212x -=-1
4x ⇒=-（舍）
；若1222x -=-34x ⇒=-，
；若1232x -=-54x ⇒=-；若1242x -=- 7
4
x ⇒=-（舍）；知35,44M ⎧⎫=-
-⎨⎬
⎩⎭
，数形结合知
{}0,1,2N =所以答案为C 。

点评：本题涉及了竞赛数学的解含有高斯函数的方程，一般的处理方法是利用性质
[]1x x x -<≤很关键
例3（2008湖南10,2010南充二诊12）设[]x 表示不超过x 的最大整数，（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
）
,对于给定的*
n N ∈，定义[][](1)...(1)(1) (1)
x
n n n n x C x x x x --+=
--+，[1,)x ∈+∞，则当3
[,3)2
x ∈时，
函数8x
C 的值域是
16()[,28]3A 16()[,56)3B 1628()(4,](,28]33C ⋃ 28
()(4,][28,56)3
D ⋃
分析：3,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1x =，88x
C x =
为减函数，知8164,3x
C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
；[)2,3x ∈，[]2x =，887(1)x C x x ⨯=
⋅-为减函数，知828,283x
C ⎛⎤∈
⎥⎝⎦
，选C 点评：本题体现了高斯函数的分段特色，组合数的整数问题又是一个热点研究课题。

拓展变式（2011泸州诊断16）设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义
[][](1)...(1)(1) (1)
x n n n n x C x x x x --+=
--+，给出下列命题：
（1）3=；（2）[]2log 31-=-；（3） 1.532C =；
（4）当3
[,3)2
x ∈时，函数8x
C 的值域是1628
(4,
](,28]33
⋃. 其中正确命题的序号为 （3） （4） .(填上所有正确命题的序号) 分析：此题实际就是上题的改编与拓展。

例4（2012成都4中三诊12）[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 、{}n b 分别满足
1
101010n n n a x x -⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，111 1.01n n n a a b k k ++⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥
++⎣⎦⎣⎦
，其中k N ∈，10k <。

n S 为数列{}n b 的前n 项和，当1
,77
x k =
=时，则100S =（ ） ()16A ()32B ()33C ()34D
分析：由110101077n n n a -⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，1n =时，0111101010177a ⎡⎤⎡⎤
=⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2n =时，21211101010477a ⎡⎤⎡⎤=⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；3n =时，32311101010277a ⎡⎤⎡
⎤=⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦；．．．这些式子
是有意义的,
1
0.142857142857 (7)
=,1,4,2,8,5,7,1,4,2,...n a =为周期数列。

带入易知0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,...n b =，故10016S =
点评：1
101010
n
n n a x x -⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦
就是取x 的各分位小数，在数论[2]
中应用很广。

例5（2012乐山一诊16）.定义函数[][]()f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：
[][]1.51, 1.32=-=-当[)0,(*)x n n N ∈∈时，设函数()f x 的值域为
A ，记集合A 中的元素
个数为n a ，则式子
90
n a n
+的最小值为 分析：当[)0,1x ∈时，[][]()00f x x x x ⎡⎤==⋅=⎣⎦；[)1,2x ∈时， []()f x x x ⎡⎤=⎣⎦
[][]11x x =⋅==；[)2,3x ∈时，将[)2,3等分为两段，52,2x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭时，[]()f x x x ⎡⎤=⎣⎦
[]24x =⋅=；5,32x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，[]()f x x x ⎡⎤=⎣⎦
[]25x =⋅=，类似的，将[)3,4等分为三段，会得到3个函数值，将[)4,5等分为四段，会得到4个函数值，．．．，[)0,(*)x n n N ∈∈时有，函数的值域中元素的个数为1123...(1)n a n =+++++-(1)
12
n n -=+
，90n a n +=11821()22
n n +
-，易知当13n =或14n =时90
n a n +的最小值为13． 点评：关键是[][]x x 的变化将相应的区间分段是很关键的，可以通过尝试取得。

例6（2011成都五校联考16）设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[],x x x =-若
已知a =⎪⎪⎩
⎭
，b =⎣
⎦
，c =，给出下列结论：①2ln ln ln b a c =+；②2ln ln ln b a c =⋅；③ln ln ln 0a b c ++=；④ln ln ln 1a b c ⋅⋅=；⑤ln ln ln 1a b c ++=.
其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）
分析：借助{}[],x x x =-得112b ⎤==⎥
⎣⎦，知1111222a ⎫⎪
==-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，易知①③正确。

综上，初等数学研究已经渗透到高考和数学竞赛中，我们应该去追溯问题的本原，让学生感受数学之美，从文化的角度去培养学生的数学素养。

参考文献:
[1]董永春，与Euler 常数有关的高考压轴题[J]．中学数学研究，2012，3（15-17） [2]董永春，对形如k n l n ++2
的十分位问题的讨论[J]．四川理工学院学报，2010，1（36-37）
[3]陈传理张同君，竞赛数学教程[M]．高等教育出版社， 2008
[4] 李文林，数学史概论[M]．高等教育出版社，2011(2)．
[5] 匡继昌，常用不等式[M]．山东科学技术出版社，2010
[6]姜照华，初中数学竞赛中的高斯函数问题[J]．中等数学，2010，11（2-5）。