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初中数学自主招生模拟试题（一）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1、设a,b,c,d 为整数，且a ＜2b ，b ＜3c ，c ＜4d ，若d ＜100，则a 可能取的最大值为（ ）

A. 2367

B. 2375

C. 2391

D. 2399

2、若方程02022222=−+=++b cx x b ax x 与有一个相同的根，且a,b,c 为一个三角形的三边，则此三角形一定是（ ）。

A. 直角三角形

B. 等腰三角形

C. 等边三角形

D. 等腰直角三角形

3、如果一条直线l 经过不同的三点A(a,b)，B(b,a)，C(a-b,b-a)，那么直线l 经过第（ ）象限。

A. 二、四

B. 一、三

C. 二、三、四

D. 一、三、四

4、如图，AB 是圆的直径，CD 是平行于AB 的弦，

且AC 和BD 相交于E ，∠AED=α，那么△CDE

和△ABE 的面积之比是（ ）

A.αcos

B. α2sin

C. α2cos

D. αsin 1−

5、点P 在锐角△ABC 的内部，若∠PAB+∠PBC+∠PCA=90°，则点P 是△ABC 的（ ）

A. 外心、内心或重心

B. 内心或重心或垂心

C. 外心或内心或垂心

D. 外心或重心或垂心

二、填空题（每小题6分，共30分）

6、若等式e d c b a e

d c b a ,,,,111111中的=++++都是自然数且互不相等。则 a= ，b= ，c= ，d= ，e= 。

7、当m 取遍0至5的所有实数值，满足)83(3−=m m n 的整数n 的个数是 。

8、如图，△ABC 内三个三角形的

面积分别为5,8,10，则四边形AEFD

的面积是 。

9、若凸4n+2边形2421+n A A A （n 为自然数）的每个内角都是30°的整数倍，且︒=∠=∠=∠90321A A A ，则n 的所有可能值是 。

三、解答题（每小题15分，共60分）

11、⑴n m mn n m R n m +=++∈，求，且设13,33的值

⑵求方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==−−)

(232333z y x xyz z y x 的正整数解。

12、半径为a 的半圆材料上，如图截两个正方形ABCD,BEFG ，D 、F 两点在半圆周上，C 、G 在半圆内，试求这样两块面积和，并可得出什么结论。

13、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，△ADC 和△CDB 的

内心分别为2121,,I I I I 与CD 相交于K ，求证：CK

BC AC 111=+

14、如图，在平行四边形ABCD 上，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE=DF ，BE 与DF 交于G 。求证∠BGC=∠DGC