弹塑性力学作业

第一次作业

高轩 2014312070109

1.利用指标记法证明()φ∇⨯∇=0。

证明：()12,,...,n x x x ϕϕ= ,i i φϕ∇=e

()(),,,,()i i i i j j ij i ij kji k j φe x ϕϕϕϕ∂∇⨯∇=∇⨯=⨯

=⨯=∂e e e e e e

将i,j 对换后值不变，即 ,,,ij kji k ji kij k ij kji k e e e ϕϕϕ==-e e e

所以()φ∇⨯∇=0。证毕。

2.证明im jm ij l l δ=和mi mj ij l l δ=。 证明：i m im i m im i m

l δ⋅==⋅=e e e e e e ，同理可以得到：jm jm l δ= 故im jm ij l l δ=。同理可得mi mj ij l l δ=。证毕。

3.证明ϕ∇垂直于123(,,)x x x ϕ=常量的曲面。 证明：设123(,,)r x x x 为曲面123(,,)x x x ϕ=常量上任一点123(,,)x x x 的矢径（从原点出发，到123(,,)x x x 的矢量）。那么对于123(,,)()i i i i dr x x x d x dx ==

e e ，其必然平行于此平面在123(,,)x x x 点处的切平面。对于123(,,)x x x ϕ=常量的平面，123(,,)0i i d x x x dx x ϕϕ∂==∂，又i i x ϕϕ∂∇=∂e ，所以123(,,)0i i j i ij i j j i dr x x x dx dx dx x x x ϕϕϕϕσ∂∂∂⋅∇=⋅===∂∂∂ e e 。 故ϕ∇垂直于123(,,)x x x ϕ=常量的曲面。证毕。