2015届高考数学总复习第七章 第一节直线的斜率与直线方程精讲课件 文
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第七章
第一节 直线的斜率与直线方程
直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)直线3y＋x＋2＝0的倾斜角是(
A．30° B．60° C．120°
)
D．150°
(2)设直线的斜率k＝2，P1(3,5)，P2(x2,7)，P(－1，y3)是直线上 的三点，则x2，y3依次是( )
A．－3,4
B．2，－3
C．4，－3
π 5π ∴α∈0，6∪ 6 ，π.
答案：(1)D
(2)C (3)A
π 5π 3 (4)－2 (5)0，6∪ 6 ，π
点评：(1)直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为 90° ，直线 垂直于 x 轴． (2)倾斜角和斜率的变化关系，请结合 y＝ tan
解析：(1)因为直线的斜率即倾斜角的正切值，
即为－ .故选D.
y1－y2 (2)利用斜率计算公式k＝ ， x1－x2
可求得x2，y3依次是4，－3.故选C.
Fra Baidu bibliotek
(3)因直线l1与直线l2关于x轴对称，因此两直线的倾斜角互
补，所以两直线的斜率互为相反数．故选A.
y2－y1 3 3 (4)由直线的斜率的定义可知 k＝ ＝－2.故填－2. x2－x1 3 (5)直线的斜率 k＝－ 3 cos α， 3 3 由－1≤cos α≤1⇒－ 3 ≤k≤ 3 ，
围问题，可看成是过动点P(x，y)与定点(m，n)直线的斜
率，用数形结合的方法解决较快捷．
变式探究
2．(1)(2013· 太原段考)直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化 范围是(
π A.0，2 π π C.－4，4
)
B．(0，π)
π 3π D.0，4∪ 4 ，π
C(－6,0)，求它的三条边所在的直线方程． 思路点拨：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点
(2)因为直线 ax＋y＋1＝0 过定点 C(0，－1)，当直线处在 AC 3＋1 2＋1 与 BC 之间时， 必与线段 AB 相交， 应满足－a≥ 2 或－a≤ ， －3 即 a≤－2 或 a≥1.故选 D.
答案：(1)D (2)D
点评：(1)斜率与倾斜角的范围之间不能想当然，要根据 具体情况而定；(2)涉及求 的最大(小)值或取值范
又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1. 当0≤k≤1时，倾斜角的范围是 ，
当－1≤k<0时，倾斜角的范围是
.故选D.
4－a (2)依题意斜率为 ＝1，解得 a＝1.故选 A. a＋2 答案：(1)D 2 (2) A (3)3 －1
求直线的方程
【例 3】 已知△ ABC 的三个顶点是 A(3 ，－ 4) ， B(0,3) ，
直线的斜率公式的应用 【例2】 最大值为(
1 A.2
(1)若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么 y 的 )
3 B. 3 3 C. 2 D. 3
x
(2)(2012· 淮南模拟)直线ax＋y＋1＝0与连接A(2,3)，B(－3,2)
的线段相交，则a的取值范围是( A．[－1,2] B．(－∞，－1)∪[2，＋∞) C．[－2,1] )
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
解析：(1)∵实数 x，y 满足等式(x－2)2＋y2＝3， 而方程(x－2)2＋y2＝3 表示以点(2,0)为圆心， 以 3为半径的圆， 所以点 M(x， y)是圆(x－2)2＋y2＝3 上的点， y y－0 而x即 表示圆(x－2)2＋y2＝3 上的点 M(x， y)与原点 O(0,0) x－0 连线的斜率(如图所示)， 当直线 MO 与圆相切(切点在第一象限)时，斜率最大值为 3. 故选 D.
D．4,3
(3)直线 l1 与直线 l2 关于 x 轴对称，l1 的斜率是－ 7，则 l2 的 斜率是( ) A. 7 7 B．－ 7 7 C. 7 D．－ 7
(4)从直线 l 上的一点 A 到另一点 B 的纵坐标增量是 3，横坐 标增量是－2，则该直线的斜率是________． (5) 直 线 xcos α ＋ 3 y ＋ 2 ＝ 0 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 __________________．
(2)设 P(x，y)，则由 kAP＝2，kBP
＝－2，得 y－2 ＝－2， x－3
y－2 ＝2， x＋1
2x－y＋4＝0， 即 2x＋y－8＝0，
x＝1， 解得 y＝6.
所以点 P 的坐标为(1,6)．
(3)设直线 l 的倾斜角为 α，则直线 AB 的倾斜角为 2α， 3－－ 3 则由题意可知 tan 2α＝ ＝－ 3， － 3－ 1 所以 2α＝120° ，解得 tan α＝ 3，即直线 l 的斜率为 3. 答案：(1)(－2,0) (2)(1,6) (3) 3
π ∪2，π的图象考虑． π x， x∈ 0，2
y2－y1 (3)公式 k＝ (x1≠x2)中的坐标与两点的顺序无关，当 x1 x2－x1 ＝x2，y1≠y2 时，直线的倾斜角为 90° .
变式探究
1 ． (1) 若直线过点 P(4 ， a2 ＋ 1) 与 Q(3,1 － 2a) 两点，且直线 的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是______________．
(2) 过点 M( － 2 ， a) 和 N(a,4) 的直线的斜率为 1 ，则实数 a 的值
为(
)
A．1 B．2 C．1或4 D．1或2
(3)实数x，y满足3x－2y－5＝0 (1≤x≤3)，则 y 的最大值为 ________，最小值为__________．
x
解析：(1)直线xsin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α，
(2) 已知两点 A( －1,2)，B(3,2)，若直线 AP与直线BP的斜率
分别是2和－2，则点P的坐标为__________．
(3)已知两点 A(－ 3，3)，B(1，－ 3)，直线 l 的倾斜角是直 线 AB 倾斜角的一半，则直线 l 的斜率为__________．
解析：(1)因为直线倾斜角为钝角等价于斜率小于0， 从而 <0，即a2＋2a<0，解得－2<a<0.
第一节 直线的斜率与直线方程
直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)直线3y＋x＋2＝0的倾斜角是(
A．30° B．60° C．120°
)
D．150°
(2)设直线的斜率k＝2，P1(3,5)，P2(x2,7)，P(－1，y3)是直线上 的三点，则x2，y3依次是( )
A．－3,4
B．2，－3
C．4，－3
π 5π ∴α∈0，6∪ 6 ，π.
答案：(1)D
(2)C (3)A
π 5π 3 (4)－2 (5)0，6∪ 6 ，π
点评：(1)直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为 90° ，直线 垂直于 x 轴． (2)倾斜角和斜率的变化关系，请结合 y＝ tan
解析：(1)因为直线的斜率即倾斜角的正切值，
即为－ .故选D.
y1－y2 (2)利用斜率计算公式k＝ ， x1－x2
可求得x2，y3依次是4，－3.故选C.
Fra Baidu bibliotek
(3)因直线l1与直线l2关于x轴对称，因此两直线的倾斜角互
补，所以两直线的斜率互为相反数．故选A.
y2－y1 3 3 (4)由直线的斜率的定义可知 k＝ ＝－2.故填－2. x2－x1 3 (5)直线的斜率 k＝－ 3 cos α， 3 3 由－1≤cos α≤1⇒－ 3 ≤k≤ 3 ，
围问题，可看成是过动点P(x，y)与定点(m，n)直线的斜
率，用数形结合的方法解决较快捷．
变式探究
2．(1)(2013· 太原段考)直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化 范围是(
π A.0，2 π π C.－4，4
)
B．(0，π)
π 3π D.0，4∪ 4 ，π
C(－6,0)，求它的三条边所在的直线方程． 思路点拨：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点
(2)因为直线 ax＋y＋1＝0 过定点 C(0，－1)，当直线处在 AC 3＋1 2＋1 与 BC 之间时， 必与线段 AB 相交， 应满足－a≥ 2 或－a≤ ， －3 即 a≤－2 或 a≥1.故选 D.
答案：(1)D (2)D
点评：(1)斜率与倾斜角的范围之间不能想当然，要根据 具体情况而定；(2)涉及求 的最大(小)值或取值范
又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1. 当0≤k≤1时，倾斜角的范围是 ，
当－1≤k<0时，倾斜角的范围是
.故选D.
4－a (2)依题意斜率为 ＝1，解得 a＝1.故选 A. a＋2 答案：(1)D 2 (2) A (3)3 －1
求直线的方程
【例 3】 已知△ ABC 的三个顶点是 A(3 ，－ 4) ， B(0,3) ，
直线的斜率公式的应用 【例2】 最大值为(
1 A.2
(1)若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么 y 的 )
3 B. 3 3 C. 2 D. 3
x
(2)(2012· 淮南模拟)直线ax＋y＋1＝0与连接A(2,3)，B(－3,2)
的线段相交，则a的取值范围是( A．[－1,2] B．(－∞，－1)∪[2，＋∞) C．[－2,1] )
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
解析：(1)∵实数 x，y 满足等式(x－2)2＋y2＝3， 而方程(x－2)2＋y2＝3 表示以点(2,0)为圆心， 以 3为半径的圆， 所以点 M(x， y)是圆(x－2)2＋y2＝3 上的点， y y－0 而x即 表示圆(x－2)2＋y2＝3 上的点 M(x， y)与原点 O(0,0) x－0 连线的斜率(如图所示)， 当直线 MO 与圆相切(切点在第一象限)时，斜率最大值为 3. 故选 D.
D．4,3
(3)直线 l1 与直线 l2 关于 x 轴对称，l1 的斜率是－ 7，则 l2 的 斜率是( ) A. 7 7 B．－ 7 7 C. 7 D．－ 7
(4)从直线 l 上的一点 A 到另一点 B 的纵坐标增量是 3，横坐 标增量是－2，则该直线的斜率是________． (5) 直 线 xcos α ＋ 3 y ＋ 2 ＝ 0 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 __________________．
(2)设 P(x，y)，则由 kAP＝2，kBP
＝－2，得 y－2 ＝－2， x－3
y－2 ＝2， x＋1
2x－y＋4＝0， 即 2x＋y－8＝0，
x＝1， 解得 y＝6.
所以点 P 的坐标为(1,6)．
(3)设直线 l 的倾斜角为 α，则直线 AB 的倾斜角为 2α， 3－－ 3 则由题意可知 tan 2α＝ ＝－ 3， － 3－ 1 所以 2α＝120° ，解得 tan α＝ 3，即直线 l 的斜率为 3. 答案：(1)(－2,0) (2)(1,6) (3) 3
π ∪2，π的图象考虑． π x， x∈ 0，2
y2－y1 (3)公式 k＝ (x1≠x2)中的坐标与两点的顺序无关，当 x1 x2－x1 ＝x2，y1≠y2 时，直线的倾斜角为 90° .
变式探究
1 ． (1) 若直线过点 P(4 ， a2 ＋ 1) 与 Q(3,1 － 2a) 两点，且直线 的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是______________．
(2) 过点 M( － 2 ， a) 和 N(a,4) 的直线的斜率为 1 ，则实数 a 的值
为(
)
A．1 B．2 C．1或4 D．1或2
(3)实数x，y满足3x－2y－5＝0 (1≤x≤3)，则 y 的最大值为 ________，最小值为__________．
x
解析：(1)直线xsin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α，
(2) 已知两点 A( －1,2)，B(3,2)，若直线 AP与直线BP的斜率
分别是2和－2，则点P的坐标为__________．
(3)已知两点 A(－ 3，3)，B(1，－ 3)，直线 l 的倾斜角是直 线 AB 倾斜角的一半，则直线 l 的斜率为__________．
解析：(1)因为直线倾斜角为钝角等价于斜率小于0， 从而 <0，即a2＋2a<0，解得－2<a<0.