(完整word版)特征函数(CharacteristicFunction)地性质
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
特征函数随机过程
P ( X > 2 ) = 5 / 16
8
8
2、特征函数与矩的关系
( jux ) n C X ( ju ) = E{e juX } = ∫ f X ( x )(1 + jux + L + + L) dx −∞ n! ( ju ) n mn = 1 + jum1 + L
Y = aX + b （a,b is constant） 则：
CY ( ju ) = e jbu C X (au )
7：相互独立的随机变量之和的特征函数是各特征函数之乘积，即
n
n
Y = ∑ Xi
i =1
CY ( ju ) = ∏ C X i ( ju )
i =1
4
4
例1、设X为(0,1)分布随机变量，其概率分布为：
随机变量的特征函数
1
1
1、特征函数(Characteristic function)定义 随机变量X的特征函数定义为：
∞
C X ( ju ) = E (e
juX
)=∫
−∞
f X ( x)e jux dx
若X为离散型随机变量，则有：
C X ( ju ) = E (e juX ) = ∑ e juxk P{ X = xk }
C X ( ju ) = cos 2 u
求随机变量的分布。 解、（1）由题可得
1 ju Φ X ( ju ) = ( e + e − ju ) 2
由特征函数的定义可知
P( X = 1) = 1 / 2 P( X = −1) = 1 / 2
特征函数
回忆: 所谓可加性，是指若ξ与η相互独立，服从同一 类型分布，则其和ξ+η也服从该类分布，且其分布中 的参数是ξ与η的相应参数之和. 可加性也称再生性.
例8 设X和Y分别服从参数为1和2 的泊松分布, 且二者独立 试证X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布.
f (t) 1 1 it
三、性质
性质1 f (t) f (0) 1 性质2 f (t) f (t) 性质3 设η= aξ+b, a,b是任意常数，则
f (t) eibt f (at)
性质4 若 1 , 2 ,, n 相互独立, 1 2 n ， i
的特征函数为 fi (t) ，则 f (t) f1 (t) f 2 (t) f n (t)
f (t ) e(eit 1) 例4 均匀分布U [a, b] 的特征函数
f (t) eitb eita (b a)it
例5 正态分布 N (, 2 ) 的特征函数
i t 2t 2
f (t) e 2 特别地,标准正态分布的特征函数为
t2
f (t) e 2
例6 指数分布 Exp() 的特征函数
(e it
e it ) =
1 eit 2
1 eit 2
这是分布列为
11/ 2
1/
12
的随机变量的特征函数.
一般，若能把f (t)写成 aneixnt 的形式，其中 an 0,
an 1,
n1
则f (t)是特征函数，它的分布列为 P( xn ) an , n 1,2,
关于分布函数的可加性
证明: 由泊松分布的特征函数知
f X (t ) e1(eit 1) ,
1.5 特征函数
第一章概率论基础1.1 概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3 随机变量的函数1.4 数字特征与条件数学期望1.5 特征函数1.6 典型分布1.7 随机变量的仿真与实验1.5 特征函数(Characteristic Function)特征函数、矩发生函数和概率发生函数在分析随机变量和向量的各种问题中有着非常重要的意义，特别是在分析独立随机变量、向量和的概率与矩特性时，应用它们是十分方便的。
在分析特征函数、矩发生函数和概率发生函数时，我们特别强调了变换分析技术。
由此建立了傅立叶变换、Z变换等分析随机信号与系统的概率、矩特性的关系式，从而形成随机信号概率与矩特性的变换分析理论与技术。
一、特征函数及概率密度函数的傅立叶变换定义1.2随机变量，其特征函数定义为式中，v 为确定的实变量。
1.5 特征函数X ()[]j v X X v E e Φ=()X v Φ1.5 特征函数若随机变量的概率密度函数为，则其特征函数为:c.r.v .d.r.v . X )(x f ()()jvxX v f x e dxΔ+∞−∞Φ=∫1()ikjvxX i i v p e Δ=Φ=∑定理1.4随机变量X 的概率密度函数与其特征函数之间是一对傅立叶变换，或式中，表示傅立叶变换对。
()()X f x v ←⎯→Φ−F ()()X f x v −←⎯→ΦF ←⎯→F随机变量概率密度函数与特征函数关系()f x()X vΦ()j xf x e dx ω−+∞jvx dx+∞举例例:随机变量的特征函数为,求其概率密度函数。
X ()jv v pe q Φ=+)(x f 。
01()X [0],[1]()()(1)jv jv jv v pe q qe pe P X q P X p f x q x p x δδΦ=+=+∴====∴=+−∵随机变量有 解法1：举例-续解法2：()()()(1)()()(1)v f x q x p x x x f x q x p x δδδδΦ=++→−=+−此题亦可直接对进行反傅立叶变化得：将右端，有q p)(x f 0 1例1.20求二项分布Binomial的特征函数。
第七章特征函数
第七章 特征函数7.1 特征函数的定义及基本性质定义1：设X 为维实随机向量，称为n Xit TEe t =)(ϕX 的特征函数(characteristicfunction )。
一些常见分布的特征函数。
例1：，则其c.f.为),(~p n B X .1,)()(p q pe q t n it −=+=ϕ例2：X 服从参数为λ的Poisson 分布，则其c.f.为 ).1(exp )(−=it e t λϕ例3：，则其c.f.为),(~2σµN X .)(2221t t i e t σµϕ−=特征函数基本性质：1) 1)0(=ϕ；2) （有界）n R t t ∈∀≤,1)(ϕ 3) （共轭对称）；_______)()(t t −=ϕϕ4) （非负定）对任意给定正整数，任意t 和任意复数m n m R t t ∈L 21,m αααL 21,，0≥)(11−∑∑==m l mk k l k l t t ααϕ；5) )(t ϕ为n R 上的连续函数。
证明：4) 0)(2111)(11≥==−∑∑∑===−==ml Xit l ml mk k l X t t i ml mk k l k l TlTk l Ee E Ee t t αααααϕ∑∑。
定理1：（Bocher ）n R 上的函数)(t ϕ是某个随机变量的特征函数当且仅当)(t ϕ连续非负定且1)0(=ϕ。
定理2：（增量不等式）设)(t ϕ是X 的特征函数，则对任意t 有n R h ∈,[])(Re 12)()(2h t h t ϕϕϕ−≤−+由此)(t ϕ在n R 上一致连续。
证明：[][]∫∫−=−=−++dP ee dP ee t h t Xih Xit Xit Xh t i T T T T 1)()()(ϕϕ，由Schwarz 不等式[])(Re 121)()(222h dP edP et h t Xih Xit T T ϕϕϕ−=−≤−+∫∫。
第3章 特征函数(20110826)
第3章 特征函数：随机变量的刻画3.1 特征函数定义定义 3.1.1 假设X 是定义在概率空间),,(P F Ω上的随机变量，它的分布函数为)(x F ，称)exp(itX 的数学期望)][exp(itX E 为X 的特征函数，或者分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ϕ或)(t ϕ；此处12-=i 。
对复随机变量的数学期望定义如下：如福随机变量为iY X Z +=，其中Y X ,均为实随机变量，则Z 的数学期望定义为)()()(Y iE X E Z E += （3.1.1）由于)sin()cos()exp(tX i tX itX += （3.1.2）因此，⎰⎰∞∞-∞∞-+=+==)()sin()()cos( )][sin()][cos( )][exp()(x dF tx i x dF tx tX iE tX E itX E t X ϕ⎰∞∞-=)()exp(x dF itx （3.1.3）于是，X 的特征函数也可以称为对分布函数)(x F 的富立埃-斯蒂阶变换。
因为对任意R t ∈， )cos(tX 和)sin(tX 均为有界连续函数，故)][cos(tX E 和)][sin(tX E 均为有限，因此，任意随机变量的特征函数总是存在的。
随机向量的特征函数：如果),,,(21m X X X X =是m 维随机向量，则其特征函数定义为)]}({exp[)(2211n n X X t X t X t i E t +++= ϕ⎰⎰∞∞-∞∞-+++=),,,()](exp[ 212211n n n x x x dF x t x t x t i （3.1.4）● 当X 为离散随机变量时，其特征函数为∑==kk kX p itxitX E t )exp()][exp()(ϕ （3.1.5）此处)(k k x X P p ==。
● 当X 为连续随机变量时，其特征函数为⎰∞∞-== )()exp()][exp()(dx x f itx itX E t X ϕ （3.1.6）显然，随机变量特征函数的计算需要进行复数运算（复数求和）或者进行实变复值函数的积分。
特征函数(Characteristic Function)的性质.
特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤ϕϕt).0(11|||||)(|ϕϕ==≤≤=E e E Ee t itX itX2. )()(t t ϕϕ=-.)()(t Ee e E Ee t itX itX itX ϕϕ====--.3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则).()(at e t X ibtYϕϕ= 4． 若X 的l 阶矩存在，则.1,|)(0l k EX i t dtd kk t k k ≤≤==ϕkk t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dtd t dt d ======000|)(||)(ϕ. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ⎰><>∃>∀Mx dx x p t s M ||)(..,0,0εε⎰∞∞=-=-+|)()1(||)()(|x dF e e t h t itx ihx ϕϕ ⎰∞∞--≤)(|1|x dF e ihx⎰⎰->-+-=MMMx i h xi h xx dF ex dF e||)(|1|)(|1||||2sin |2)(||1|2/2/2/hx hxeee e ihx ihx ihx ihx≤=-=--x hxeeeeihx ihx ihx ihx ∀≤=-=--,2|2sin |2)(||1|2/2/2/⎰⎰>-+≤-+Mx MMx dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|ϕϕ⎰-+≤+≤MMhM x dF hM εε22)(.取,/M εδ=则 对任意实数t ，和),0(δ∈h 有.3|)()(|εϕϕ≤-+t h t所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分).(21210021)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>==⎰∞+π 证明：⎰∞=sin )(1)(dt tta sign a I π以下证明⎰+∞=02sin πdu u u .⎰+∞-=01ds e u us ⎰⎰⎰⎰⎰-+∞+∞-==Tus TT usududse ds e u du uu 00000sin sin sin ⎰∞+-++-+=0222)cos sin 11(ds e Ts T T T s s s⎰+∞-++-=22cos sin 2ds e Ts T T T s sπs s T e e Ts T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2222 2sin lim 0π=⎰∞→TT du u u 。
§1-4 特征函数
三、多元特征函数
多元特征函数的 性质
设随机向量(X1, …,Xn)的各个分量相互独立， 则
X ,, X (t1,, tn ) X (t1 ) X (tn )
1 n 1 n
二．特征函数的性质
二、特征函数的性质
特征函数的 性质
（1）有界性
X (t ) X (0) 1
（2）线性变换
aX b (t ) eibt X (at)
二、特征函数的性质
特征函数的 性质
（3）特征函数与原点矩的关系
（k） k k ( 0 ) i E ( X ) X
（k） E ( X k ) i k X (0)
1 n lim P {| X i μ | ε} 1 n n i 1
或
1 n lim P {| X i μ | ε} 0 n n i 1
二、特征函数的性质
例 题8
运用特征函数证明： Lindeberg – Levy 中心极限定理。
回顾：Lindeberg – Levy 中心极限定 理
（4）离散型随机变量 X 的特征函数为
(t ) E{eitX } pk eitx
k k
k
(costxk ) pk i (sin txk ) pk
k
一、特征函数的概念
(t ) E{eitX } pk eitx
k k
k
例 题1
(costxk ) pk i (sin txk ) pk
（2） X1 ,, X n (t1， ， tn ) ei(t1x1 tn xn ) dFX1 ,, X n ( x1 ,, xn )
§37 特征函数
中南大学数学院 概率统计课程组
§3.6 条件分布与条件期望、 回归与第二类回归
在前一章中，对离散型随机变量，我 们曾经研究了ξ在已知发生的条件下的分布 问题，并称P(ξ =xi|η =yj)为条件分布，类似 的问题对连续型随机变量也存在。
设 ( ξ ,η ) 是二维连续型随机变量，由于
P{Y y} 0, 所以 P{ x | y}
其它.
当0 x 1,
f| ( y | x)
f (x, y) f (x)
1
2x
0,
,
x y x, 其它。
(3)
P{
1 |Y 2
0}
P{ 1 , 0}
2
P{ 0}
y
yx
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
2
1
0 1/2
x
y x
例25 设二维随机变量（，）服从二元正态分布：
~ (ξ,η) N(μ1,μ2,σ12,σ22,r)
[2] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统 计(3版).北京:高等教育出版社,2001,12.
[3] 梁之舜,邓集贤,杨维权,司徒荣,邓永录. 概率论与数理统计(2版).北京: 高等教育 出版社,1988,10.
[4] 韩旭里,王家宝,陈亚力,裘亚峥. 概率 论与数理统计.北京:科学出版社,2004.
f
( x,
y)
1, | y | x, 0, 其它.
0
x
1,
试求：（1） f (x) ; f ( y) （2） f| (x | y) ; f| ( y | x)
(3) P{ 1 | 0}.
2
求：(1) f (x), f ( y); (2) f| (x | y), f| ( y | x)
第08章特征函数
第八章特征函数第一节特征函数一、复随机变量1、定义：设与均为上的一维随机变量,称为上的复随机变量.2、的数学期望: ,假如、均存在.3、相互独立：设()独立，称()独立.4、性质：(1),其中为复常数.证明：.(2).证明：.(3).,如此1 / 262 / 26||||)(,,Z E p iy x p iy xlk kl l k lk kl l k∑∑=+≤+=.(4)|||1|x e ix ≤-, R ∈∀x .证明：|||||1|0x dt e dt e e xitxitix=≤=-⎰⎰.(5)假如k k k iY X Z +=独立,如此.证明：仅证明独立,如此与独立, 从而与,与,与,与.(6)，必存在.证明：仅证连续型. 因,，故与存在,从而存在.二、特征函数 1、定义:设为上的一维随机变量,,规定,称为的特征函数.显然：①.②假如为离散型,如此.3 / 26③假如为连续型,如此.2、性质： (1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续；证明：R ∈∀t ,R ∈∀h ,|])1[(||||)()(|)(itX ihX itX X h t i X X e e E Ee Ee t h t -=-=-++ψψ⎰⎰+∞∞-+∞∞--≤-=dx x edx x e e ihxitxihx)(|1|)()1(ϕϕ⎰∞∞-=dx x hx)(2sin2ϕ 其中：2sin222|1|222hx ie eeex h i x h i x h i ihx=-=--; 由于0>∀ε, 0>∃K ..t s ⎰>Kx dx x ||)(ϕε<, (因为1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ收敛)取0>=Kεδ , 当δ<||h 时,⎰⎰->+≤-+KKK x X X dx x hxdx x hx t h t )(2sin 2)(2sin 2|)()(|||ϕϕψψ⎰⎰⎰-->+<+≤KKKKKx dx x K h dx x hx dx x )(||22)(||2)(2||ϕεϕϕ4 / 26εϕεε4)(22≤++<⎰-KKdx x .(4),为常数；证明：.(5)设()独立, 如此.证明：仅证明时成立即可..(6),假如存在.证明：因.所以.三、常见分布的特征函数 1、离散型 (1)退化分布：. 证明：. (2)：,其中.证明：.(3):.证明：,服从参数为的(0-1)分布,且独立,,所以.(3):.证明：.2、连续型(1)：.特别：①：；②：.证明：(2):.(3):.证明：.5 / 266 / 26(4) ：.证明：222122221 221t t i it itz t t i edz eeσμσσσμπ--+∞-∞---==⎰.其中:.2222)(2σσσμσμσσμit it x x it x z +--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 22222σμσμt it xit x -+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 222221212t t i itx x z σμσμ+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=- 下面计算 πσσ22222==⎰⎰-+∞-∞---it itz Lz dz edz e: ,.,,在上, ,π2022=+→+=⎰⎰⎰⎰+∞∞---dx ex l xxL xx.第二节唯一性定理一、逆转公式1、预备知识(1)设有函数，使得，，收敛,如此在上一致收敛. 于是有；又假如在上连续,如此. 华东师大《数学分析(下)》(2)狄里克莱积分: 华东师大《数学分析(下)》，.(3)设，,如此2、逆转公式：设的分布函数为,特征函数为,又是的连续点，如此7 / 26证明: 不妨设，且,令，因为.又收敛,如此又因为存在,故. 所以.二、唯一性定理1、唯一性定理: 的分布函数由其特征函数为唯一确定.证明:在的每一个连续点上，取也为的连续点,于是有.因由其上连续点唯一确定，故由唯一确定.8 / 269 / 262、设,且,如此⎰∞∞--='=dt t e x F x X itx X )(21)()(ψπϕ.证明: 因,故连续.,,有，又，且 ,于是⎰⎰∞∞--+∞∞-∆+--→∆=∆-=dt t e dt t x it e e X itxX x x it itx x )(21)(lim 21)(0ψπψπ.注意为解析函数,.三、分布函数的再生性 1、，独立,如此: .证明：因，. 由唯一性定理知, .2、，独立,如此:.证明：因，.由唯一性定理知, .3、,独立,如此: .证明：，,由唯一性定理知, .4、,独立,如此: . 证明：，,由唯一性定理知, .第三节维随机变量的特征函数一、特征函数1、定义:设为上的维随机变量,,规定,称为的特征函数.显然：①假如为离散型,如此.②假如为连续型,如此.10 / 2611 / 26注：∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='nk k k n n X t X X X t t t X t 12121) ( 2、性质： (1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续； 证明：,,.其中：2121|||)()(|||X X t t X t '∆'∆≤'∆, 注：∑=∆='∆nk kkXt X t 1,∑=∆∆=∆'∆nk kktt t t 1,∑=='nk k kX XX X 1此式利用了许瓦兹不等式:.因，由判别式可得.为方便起见,以下引入记号： ①，,.12 / 26②，,特别记:,.例：)4(}4,2{N I ⊂=,)1,0,1,0(1=I ,)0,1,0,0(11}3{3==.③,其中,.特别记,为单位矩阵.例：)4(}4,2{N I ⊂=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000000100000I E , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0000010000000000}3{3E E .④t E t I I =, 为t 的取有行的向量,I I I AE E A =, 为的取有行和列的矩阵,例：),,,(4321t t t t t =,)4(}4,2{N I ⊂=,13 / 26⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==43214242100000000010000000),0,,0(t t t t t t t t t I ,⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000010000100000000010000000000000000000444342413433323124232221141312114422a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ④,，但均为非负整数. (4),为常量,为常矩阵. 证明：.注：A B AB ''=')((5) 边缘分布：,,特别，证明：.其中：X t E X E t X E E t X E t E X t I I I I I I I I )()()('='='='='(6),假如存在,.说明：n kn kkkt t t t ∂∂∂=∂ 2121二、逆转公式14 / 261、逆转公式：设的分布函数为,特征函数为,在体面上概率为0,如此⎰∏∈=---=-n kk k k x nk k b it a it X n dt it e e t a F b F R 1)()2(1)()(ψπ.2、唯一性定理:的分布函数由其特征函数唯一确定.⎰∏∈=---∞→-=n kk k k x nk k x it y it X n y dt it e e t x F R1)()2(1lim )(ψπ.三、独立性 1、设()独立, 如此.证明：仅证明时成立即可..2、设为维随机变量，如此 ，独立⇔∏==nk k X X t t k1)()(ψψ.证明:“〞因为，独立，从而, 所以.“〞因为,所以⎰∏∈=---∞→-=n kk k k x nk k x it y it X n y dt it e e t x F R1)()2(1lim )(ψπ15 / 26⎰∏∈=---∞→-=n k kk k k x n k k X k x it y it ny dt t it e e R 1)()2(1limψπ ∏∏⎰==∈---∞→=-=nk k X nk t k k X k x it y it y x F dt t it e e k k k kk k k 11)()(21lim Rψπ.故，独立.第四节n 维正态分布矩阵回顾：(1) 正定,记为;非负定,记为.(2) ,. (3)所有主子式存在,,使得存在,,使得.(4) 所有主子式存在,使得. (5) . 这时即的主子式.(6),如此.(7) 对称合同于对角矩阵,即存在,,使得为对角矩阵.一、n 维正态分布 1、定义：设,,为阶正定矩阵，且,称服从维正态分布，记作.2、验算：验算确实是维随机变量的密度函数. (1)显然：,; (2)因，故存在,,使得，且.令,于是,这样,而，有,那么,从而.于是.3、特别,当时, .二、特征函数1、的特征函数：. 证明：，令,.由于,而,令，, 有,16 / 2617 / 26所以.2、I X 的特征函数：,因此也是正态分布),(~I I I C N X μ. 其中,，为二次型的矩阵,也是正定矩阵. 特别: ,.证明： .三、数字特征 1、设,如此μ=EX .证明：因，从而,,所以.2、设,如此. 因此有.预备工作： (1)设，为含自变量的可微函数,定义: .(2). 证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∑∑==)()(11n j jl kj nj jl kj B A t B A t t AB .(3)设，与无关,如此18 / 26,.下面证明.证明：因)()()(202l k l k t l k X X X E X X E i t t t -==∂∂∂=ψ, 又,而，,kl k l l k lk C C C t t Z -='-'-=∂∂∂111121212, l k Z kl Z k Z l l k X t t Z e t Z t Z e t Z e t t t t ∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂22)(ψ， 于是kl k l t l k X C i i t t t -=∂∂∂=))(()(02μμψ，从而 ,所以.四、独立性设,如此独立,,证明：“〞显然. “〞因,,)(exp()exp()(221121kk k nk k k X C t it Ct t t i t -='-'=∑=μμψ∏∏===-=nk k X n k kk kk k t C t it k 11221)()exp(ψμ. 所以独立.五、线性变换 1、,,,，如此.19 / 26证明：因})()( exp{21t A AC t A t i ''-'=μ,下面证明.因,，,故存在,,使得，且,于是.可见.2、,,服从一维正态分布.证明：“〞取,由1知.“〞①先证明， 当,,时., ,令，,,有,,,那么.故.20 / 26显然，可见, 有,又X X k k 1'=服从一维正态分布,有0),cov(>==k k k kk DX X X C ,可知, 所以. ②再证明一般地也有.由于为实对称矩阵,故存在,,使得为对角矩阵.令,由条件知,,,,也服从一维正态分布,而由知道,,,由①知,又,由1知.3、独立,),0(~E N X .证明:“〞因,那么,故独立,.“〞因,故,,服从一维正态分布.因此,又因独立,，所以.作业：1、设nk X P X 1}{~==,.,,2,1n k =求)(t X ψ2、设X 服从几何分布,求)(t X ψ、EX 与DX .21 / 263、设||21)(~x e x X -=ϕ, 求)(t X ψ.4、itt X -=11)(ψ,求)(),(x x F ϕ.5、)1,0(~N X ,32+=X Y ,求)(t Y ψ.6、设 X 01 3 P2183 81 Y 0 1P 3132X 与Y 独立,求Y X Z +=的概率分布.7、),1,1,0,0(~ρN X ,求)(21X X E .8、证明:假如)(t k ψ,.,,2,1n k =均为特征函数,如此∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.9、)21,1,1,0,0(~N X ,⎩⎨⎧--=++=11211211X X Y X X Y ,求),(21y y Y ϕ.作业：22 / 261、设nk X P X 1}{~==,.,,2,1n k =求)(t X ψ解: )1()1()(1)( 1111itt in it n k k it it n k ikt nk k itx itXX e n e e e n e e n p eEet k--=====∑∑∑=-==ψ )1(1 --=-ittin e n e .2、设X 服从几何分布,求)(t X ψ、EX 与DX . 解:(1) qe pqe pe qe pep qe Eet itit it k k it itk k ikt itXX -=-====-∞=-∞=-∑∑1)()(1111ψ. (2)由于kk k EX i X =)0()(ψ,而22)()()()(q e ipe i e q e p t it it itit X -=---='----ψ, 22)()()(2))(()(q e i e q e ipe q e i ipe t it it it it it it X ---⋅---=''------ψ32)(q e pe pqe it ti it ---=---. 于是p q p i i EX X 1)1()0(22=--='-=ψ. 又2321)1()0(pq q p pq EX X+=----=''-=ψ, 从而2222211)(pq p p q EX EX DX =-+=-=.3、设||21)(~x e x X -=ϕ, 求)(t X ψ.解: ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+===txdx x i txdx x dx x e Eet itxitXX sin )(cos )()()(ϕϕϕψ2020||111)cos sin (cos cos 21t t tx tx t e txdx e txdx e x xx +=+-===+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰.23 / 264、itt X -=11)(ψ,求)(),(x x F ϕ.解: 由于1111)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=λψit it t X ,可见)1(~Exp X .所以⎩⎨⎧≤>=-.0 ,0,0 ,)(x x e x x X ϕ⎩⎨⎧≤>-=-.0 ,0 ,0 ,1)(x x e x F x X另解:⎰⎰⎰∞∞--∞∞--∞∞--++=-==dt t e it dt it e dt t e x itxitx X itxX 21)1(21121)(21)(ππψπϕ ⎰⎰∞∞---∞∞--⎩⎨⎧≤>=+=+++= .0 ,0 ,0 ,121212122x x e iI I dt t te idt t e x itxitx ππ其中:⎪⎩⎪⎨⎧≤>=- .0 ,21 ,0 ,211x e x e I x x ⎪⎩⎪⎨⎧≤->=- .0 ,21,0 ,212x e x e iI x x于是⎩⎨⎧≤>-=- .0 ,0 ,0 ,1)(x x e x F x X5、)1,0(~N X ,32+=X Y ,求)(t Y ψ. 解: 由于2212221 )(t t t i X ee t --==σμψ,而)()(at e t X ibt b aX ψψ=+, 那么222212212323)2(3332)2()()(t t i t t i t t i X t i X Y e eee t e t t ---+=====ψψψ.可见3=EY ,422==DY ,由唯一性定理知:)4,3(~N Y .6、设 X 01 3 Y 0 124 / 26P21 83 81P 3132X 与Y 独立,求Y X Z +=的概率分布. 解: 310818321)(⋅⋅⋅++==it it it itXX e e e Eet ψ, 103231)(⋅⋅+==it it itYY e e Ee t ψ, 因 X 与Y 独立, 于是4321012124141241161)()()(⋅⋅⋅⋅⋅++++==it it it it it itX Y X Z e e e e e Ee t t t ψψψ， 所以,由唯一性定理知Z 01 234P61 2411 41 241 1217、),1,1,0,0(~ρN X ,求)(21X X E .解: 由于) exp()(21Ct t t i t X '-'=μψ,而 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021μμμ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122212121ρρσσρσσρσσC , ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='211221212111)(t t t t t t t t t t Ct t ρρρρ222121212221212t t t t t t t t t t ++=+++=ρρρ, 于是 u t t t t X e e Ct t t =='-=++-)2(2121222121)exp()(ρψ因,而uu X e t t t t e t t )(222)(21211ρρψ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂,25 / 26)()()(1221212t t e t t e t t t u u X ρρρψ+++-=∂∂∂,所以 ρψ=∂∂∂-==021221)()(t X t t t X X E .8、证明:假如)(t k ψ,.,,2,1n k =均为特征函数,如此∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.证明: 设k X 的特征函数为)(t k ψ,.,,2,1n k =且独立,如此∑==n k k X X 1的特征函数为=∏=n k X t k 1)(ψ∏=nk k t 1)(ψ.因此∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.9、)21,1,1,0,0(~N X ,⎩⎨⎧--=++=11211211X X Y X X Y ,求),(21y y Y ϕ.解: 由于 b AX Y+=,因 })()( exp{)()()(21t A AC t A t i e t A e t t b t i X b t i b AX Y ''-'='==''+μψψψ, })()( exp{21t A AC t b A t i ''-+'=μ, 由唯一性定理知 ),(~A AC b A N Y '+μ.而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11b ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11ρρC ， 有 b b A =+μ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='ρρρρ2200221111111111A AC , 从而 1,121-==y y μμ,0,)1(2,)1(22121=-=+=y y y y ρρσρσ,于是 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+++---=ρρρπϕ1)1(1)1(412212221141),(y y ey y26 / 262)1(6)1(2221321+---=y y eπ.参考:,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-------=2222212121212)())((2)()1(21221121),(σμσσμμρσμρρσπσϕy y x x ey x .。
《概率论与数理统计课件》 特征函数
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
14特征函数
2) g(t ) g(t ).
性质2：设随机变量X的特征函数为 g X t ,则 Y=aX+b的特征函数是 gY (t ) e gX (at ).
ibt
Ex.6 设Y～N(μ,σ2 ),求其特征函数. 解：设X～N( 0,1),有Y =σX+μ, 且
问题
能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？
φ(t ) F ( x )
φ(Байду номын сангаас )
F ( x ) ？
函数分别为 F x 和 t ，则对任意的 x1，x2 R1，有：
（1）
（逆转公式） 设随机变量 的分布函数和特征 定理1
F x2 0 F x2 0 2 1 e lim 2 l l
如果f ( t1 , t 2 , , t n )是(1 , 2 , , n )的特征函数 则 a11 a2 2 an n的特征函数为
f (t ) f (a1t , a2t ,, ant )
(3) 性质3
n
如果矩E( )存在，则 kn E (1k1 2k2 n )
T1
T2
T1 T2
Tn
Tn
k 1
n
e
i t k ak
e i tk
i t k bk
f ( t1 , t 2 , , t n )d t1 d t 2 d t n
其中ak 和bk 都是任意实数，但须满足唯一的要求： (1 , 2 ,, n )落在平行体ak xk bk , k 1, 2, , n 的面上的概率等于零
§4.4 特征函数
概率分布的特征函数
概率分布的特征函数概率分布的特征函数（characteristic function）是一个重要的数学工具，它在概率论和统计学中被广泛应用。
概率分布的特征函数是指一个复数变量的函数，其定义为概率分布的随机变量的期望值的指数函数的复合函数。
在这篇文章中，我们将深入探讨概率分布的特征函数的各种特性和应用。
一、定义和性质概率分布的特征函数是指一个复数变量的函数，其定义为：$$\varphi_X(t) = E(e^{itX}),\quad t\in \mathbb{R},$$其中$X$是一个随机变量，$i$是虚数单位，$t$也是一个实数。
注意到上式中的$e^{itX}$是一个复数，其模长为1，因此特征函数是一个复合函数，其在实数轴（$t\in \mathbb{R}$）上的定义域是唯一的。
接下来，我们将探讨概率分布的特征函数的若干重要性质：1.特征函数的连续性。
如果随机变量$X$有一个概率密度函数$f_X(x)$，那么$\varphi_X(t)$对于所有的$t\in \mathbb{R}$都是连续的函数。
2.特征函数的对称性。
对于任意的$t\in \mathbb{R}$，都有$\varphi_X(-t) =\overline{\varphi_X(t)}$，其中$\overline{z}$表示$z$的共轭复数。
3.特征函数的独特性。
一个概率分布的特征函数唯一地决定了这个概率分布，换句话说，没有两个不同的概率分布可以具有相同的特征函数。
4.特征函数的归一性。
对于任意的$t = 0$，都有$\varphi_X(0) = E(e^{i0X}) = E(1) = 1$。
5.特征函数的反演公式。
如果特征函数$\varphi_X(t)$存在一个连续导函数$\varphi_X'(t)$，并且对于所有的$t\in \mathbb{R}$，都有$$ \lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u {\varphi_X(t+iy) - \varphi_X(t-iy) \over 2iy} e^{-ity} dy = f_X(t), $$那么随机变量$X$的概率密度函数$f_X(x)$可以表示为：其中$-\infty < x < \infty$。
第4.5节特征函数
1）当（ ξ 1 , ξ 2 ）为离散型随机变量时
f ( t1 , t 2 ) =
∑e
r ,s
i ( t 1 x1 r + t s x 2 s )
P { ξ 1 = x1 r , ξ 2 = x 2 s }
2)当 ( ξ 1 , ξ 2 ) 为连续型随机变量时
f ( t1 , t 2 ) =
n
(6) 性质6
设η = aξ + b, 这里a , b为常数，则fη ( t ) = e
这是因为
i bt
fξ (at ).
fη ( t ) = E (ei tη ) = E (ei t ( aξ + b ) ) = ei tb E (ei taξ ) = ei tb fξ (at )
三、逆转公式与唯一性定理
iµ t −
σ2 2 t 2
二、性质
(1) 性质1
f (0) = 1
| f ( t ) |≤ f (0)
f ( −t ) = f ( t )
(2) 性质2 特征函数在(-∞,∞)上一致连续.
证明
∞ −∞ ∞
≤ ∫ | e itx || (e ihx −1) | dF ( x ) = ∫ | (e −1) | dF ( x ) = ∫
1 = lim T j →∞ (2 π) n j =1,Ln
∫ ∫
−T1
T1
T2
−T2
L∫
Tn
−Tn
∏
k =1
n
e
− i t k ak
−e i tk
− i t k bk
⋅ f ( t1 , t 2 ,L , t n )d t1 d t 2 L d t n
（完整版）特征函数在极限理论中的应用
（完整版）特征函数在极限理论中的应用1.集合列的特征函数1.1集合E的特征函数定义：对于X中的子集E，作1,x0, x称X E : X 0,1是定义在X上的集合E的特征函数。
由定义知，特征函数X E在一定意义上作为集合E的代表。
借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。
1.2定理：对任意的集合列A，有lim X A = X ^imA niiffi X A n= X lim A n，n n集列A n收敛的充要条件是它的特征函数列X A收敛，且lim X A = X lim A nn n n定理说明了集列A n取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。
集列A n收敛性与数列X A n收敛性等价。
证明：由特征函数的定义，limX&=1或0，x，设l」m X A n=1 有无限个n k，使得XA n k=1，有无限个n k，使得X A n k，x lim A n，nX lim A n=1 （*1）nx，设Hm X A n=0 有无限个n k，使得X A n k=0有无限个n k，使得x A n k，x lim A n，nx 阿A I=0（*2）由( 1)( 2)式，得证2 迭代数列收敛性与特征函数2.1.定义：设F(x)=x f x 在区间I 上有定义，数列x n 满足迭代关系：X n 1= f X n (n = 1,2, .......... ) (*3 )若存在自然数N，使得当n>N时恒有X n I成立，则称F (x)和f (x)分别为迭代数列(*3)在区间I上的特征函数和迭代函数，而迭代数列(*3)称为F(x)在区间I上的生成迭代数列。
引理：设f (x)是在区间I上有定义的单调函数，X。
是I的内点。
若lim f x存在，则fx x(x)在X。
处连续。
证明：不妨设lim f x =A，f (x)在区间I上单调增加。
x x。
故当x< x。
时， f x < f x。
特征函数
具有尺度参数 θ 和形状参数 k 的伽玛分布的特征函数为：
。 现在假设我们有：
且 其中 X 和 Y 相互独立，我们想要知道 X + Y 的分布是什么。X 和 Y 特征函数分别为：
根据独立性和特征函数的基本性质，可得： 。
这就是尺度参数为 θ、形状参数为 k1 + k2的伽玛分布的特征函数，因此我们得出结论： ，
相关概念
相关概念有矩母函数和概率母函数。特征函数对于所有概率分布都存在，但矩母函数不是这样。
特征函数与傅里叶变换有密切的关系：一个概率密度函数 换的共轭复数（按照通常的惯例）。
的特征函数是
的连续傅里叶变
其中 表示概率密度函数 ：
的连续傅里叶变换。类似地，从 可以通过傅里叶逆变换求出
。 确实，即使当随机变量没有密度时，特征函数仍然可以视为对应于该随机变量的测度的傅里叶变换。
期望值。另外，注意到 个独立的观测的样本平均值 具有特征函数 ，利用前一节的结果。这 就是标准柯西分布的特征函数；因此，样本平均值与总体本身具有相同的分布。 特征函数的对数是一个累积量母函数，它对于求出累积量是十分有用的；注意有时定义累积量母函 数为矩母函数的对数，而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。
这个结果可以推广到 n 个独立、具有相同尺度参数的伽玛随机变量：
。
多元特征函数
如果 是一个多元随机变量，那么它的特征函数定义为： 。
这里的点表示向量的点积，而向量 位于 的对偶空间内。用更加常见的矩阵表示法，就是： 。
例子
如果
是一个平均值为零的多元高斯随机变量，那么：
其中 表示正定矩阵 Σ 的行列式。
参考文献
^ P. Levy, Calcul des probabilités, Gauthier-Villars, Paris, 1925. p. 166 ▪ Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350 ▪ Bisgaard, T. M., Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science
特征函数及其应用
特征函数及其应用1 引言在概率论和数理统计中，我们学习了特征函数，发现了它可以更高级、优越、方便的表示出一般的随机变量的统计规律．是研究随机变量的重要工具．本文将向大家详细的阐述特征函数的基本概念，性质以及特征函数的应用和一些相关定理的证明．2 特征函数2.1 特征函数的定义设ξ是定义在样本空间上的随机变量．称ξ的复值函数it eξ=cos ()t ξ+i sin ()t ξ的数学期望E ()it e ξ=E ()()cos t ξ+i E ()()sin t ξ t -∞<<+∞其中，i =ξ的特征函数，记为()t ϕ．特征函数()t ϕ一般为实变量t 的复值函数，它对一切t 有定义．事实上，当ξ是连续型随机变量时，对(),t ∀∈-∞+∞，总有()()1itx e dF x dF x +∞+∞-∞-∞==⎰⎰若ξ为离散型随机变量，则1kitx k kep =∑因此，任一随机变量ξ，必有特征函数存在．2.2 特征函数的性质()1 有界性：()()()01,,t t ϕϕ≤=∀∈-∞+∞ ()2 一致连续性：()t ϕ在(),-∞+∞上一致连续 ()3 非负定[]()1181P 性：对1n ∀>个实数1t ，，n t 及复数1z ，，n z ，总有()0s rs r rstt z z ϕ-≥∑∑()4 ()t ϕ-=()t ϕ，这里()t ϕ表示()t ϕ的共轭()5 若a b ηξ=+，a ，b ，为常数，则()t ηϕ=ibt e ()at ξϕ⋅()6 设12,ξξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅2.3 特征函数与矩的关系在以前的学习中，我们发现求随机变量的各阶矩往往需要作繁难的求无穷级数和或无穷积分的计算，有时应用一定的技巧方可计算出结果．现在我们有了特征函数这一优越的工具后，可以通过对特征函数()t ϕ求导的方法来计算随机变量的矩．设随机变量ξ有l 阶矩存在，则ξ的特征函数()t ϕ可微分l 次，且对k l ≤，有()()0k k k i E ϕξ=设ξ有密度函数()p x ，则()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰由于ξ的l 阶矩存在，即有()lx p x dx +∞-∞<∞⎰从而()itx e p x dx +∞-∞⎰可以在积分号下对t 求导l 次，于是对0k l ≤≤，有()()k t ϕ=()()k k itx k k it i x e p x dx i E e ξξ+∞-∞=⎰令0t =即得()()0k k k i E ϕξ=当ξ是离散型随机变量时，证明也是类似的．由这个性质，在求ξ的各阶矩（如果他们存在的话），只要对ξ的特征函数求导即可．而从定义出发是要计算积分的，大家都知道，求导一般总是要比求积分简单的多，所以可以这样说：特征函数提供了一条求各阶矩的捷径[]()2175176P -．2.4 几种常见分布的特征函数()1 单点分布 设ξ服从单点分布，即()1P c ξ==，则()()()it itc itc t E e e P c e ξϕξ==⋅==()2 两点分布 设()~1,B p ξ，即 ()1P p ξ==，()01P p q ξ==-=，则()01it it it t e q e p q pe ϕ⋅⋅=⋅+⋅=+()3 二项分布 设()k k n k n P k p q C ξ-==，0k n ≤≤，则()t ϕ=0nikt k k n k n k e p q C -=∑()nitpe q=+()4 普哇松分布 设ξ为普哇松分布，即()!kP k e k λλξ-==，0k =，1，2则()t ϕ=0!itkikte k ee e e k λλλλ∞--==⋅∑()5 均匀分布 设ξ在[]0,1上均匀分布，即()011,0,x p x ≤≤⎧=⎨⎩其它则()t ϕ=()1itx itx e p x dx e dx +∞-∞=⎰⎰1it e it-=()6 指数分布 设ξ服从参数为λ的指数分布，即 ()0,0,x x e p x x λλ->⎧=⎨≤⎩故()t ϕ=itx x e e dx λλ∞-⎰由数学分析知道 220sin x ttxe dx t λλ∞-=+⎰22cos x txe dx tλλλ∞-=+⎰由此可得()t ϕ=11it λ-⎛⎫- ⎪⎝⎭()7 正态分布 设ξ服从()2,N μσ分布，把()2,N μσ分布的密度函数代入()t ϕ=()itx e p x dx +∞-∞⎰中，即有()t ϕ=()222x itx edx μσ--+∞-∞⎰222t i t eσμ-=22it zit edz σσ∞---∞-⎰222t i t e σμ-=其中22it zit edz σσ∞---∞-⎰=是利用复变函数中的围道积分求得的．例1 求()2,Nμσ分布的数学期望和方差解 已知()2,Nμσ分布的特征函数为()t ϕ=222t i t eσμ-于是由()()0k k k i E ϕξ= 有()0iE i ξϕμ'==()22220i E ξϕμσ''==--由此即得()222,E D E E ξμξξξσ==-=从这里我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差，要比从定义去证更方便[]()31P ．2.5 特征函数与分布函数的关系逆转公[]()2177P 式 设随机变量ξ的分布函数为()F x ，特征函数为()t ϕ，又1x 与2x 为()F x 的任意两个连续点，则有()()()12121lim2itx itx TT T e e F x F x t dt it ϕπ---→∞--=⎰其中，当0t =时，按连续性延拓定义1221itx itx e e x x it---=- 由特征函数的定义可知，随机变量的分布函数唯一的确定了它的特征函数．反过来，由唯一性定理可知特征函数可以唯一地确定它的分布函数．从而由特征函数来确定分布函数的式子也常常称为“逆转公式”．唯一性定[]()2178P 理 随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定．3 特征函数的应用3.1 特征函数在求独立随机变量和的分布上的应用设1ξ，2ξ的特征函数分别为()1t ϕ，()2t ϕ，又1ξ与2ξ相互独立，则12ξξξ=+的特征函数为()()()12t t t ϕϕϕ=⋅因为1ξ与2ξ相互独立，由以前的知识我们知道1it e ξ与2it eξ也相互独立，于是由数学期望的性质即得()t ϕ=()12it Ee ξξ+()12it it E e e ξξ=⋅12it it EeEe ξξ=⋅()()12t t ϕϕ=⋅利用归纳法，不难把上述性质推广到n 个独立随机变量的场合，若1ξ，2ξ，n ξ是n 个相互独立的随机变量，相应的特征函数为()1t ϕ，()2t ϕ，…，()n t ϕ 则ξ1ni i ξ==∑的特征函数为()t ϕ=()1ni i t ϕ=∏例2 设jξ(1j =，2，)n 是n 个相互独立的，且服从()2,j j N a σ分布的正态随机变量，试求ξ1nj j ξ==∑的分布．解 已知j ξ的分布为()2,j j N a σ，故相应的特征函数为()222j j t ia t j t eσϕ-=由特征函数的性质()t ϕ=()1nj j t ϕ=∏ 可知ξ的特征函数为()t ϕ=()1n j j t ϕ=∏2222111221nnj j j j j j t i a t t nia t j eeσσ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∑∑==∏而这是211,n n j j j j N a σ==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑分布的特征函数，由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从211,n n j j j j N a σ==⎛⎫⎪⎝⎭∑∑分布．这正是我们所熟知的可加性，这里用特征函数作为工具证明了这个可加性．3.2 在普哇松分布收敛于正态分布上的应用连续性定[]()2205P 理 分布函数列(){}n F x 弱收敛于分布函数()F x 的充要条件是相应的特征函数列(){}nx ϕ收敛于()F x 的特征函数()t ϕ．例3 若λξ是服从参数为λ的普哇松分布的随机变量，证明：22lim t xP x e dt λ--∞→∞⎫<=⎪⎭证明 已知λξ的特征函数为()x λϕ()1it e eλ-=，故λη= 的特征函数为()1g t e eλλλϕ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭==对于任意的t ，有2112!t o λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，λ→∞于是221122t t eo λλλ⎛⎫⎛⎫--=-+⋅→- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，λ→∞ 从而对任意的点列n λ→∞，有()22lim n n t g t eλλ-→∞=但是22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理即知有22limntxP x e dtλξλ--∞→∞⎛⎫-<=⎪⎪⎭成立，因为nλ是可以任意选取的，这就意味着22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭成立．即“普哇松分布收敛与正态分布”．3.3在证明辛钦大数定律上的应用若1ξ，2ξ…是独立同分布随机变量序列，且(iE a iξ==1，2，)则11npiianξ=−−→∑，n→∞证明因为1ξ，2ξ…有相同的分布，所以也有相同的特征函数，记这个特征函数为()tϕ，又因为iEξ存在，从而特征函数()tϕ有展开式()()0tϕϕ=+ϕ'()()0t o t+()1iat o t=++再由独立性知11niinξ=∑的特征函数为1n nt t tia on n nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦对任意取定的t，有lim lim1n niatn nt t tia o en n nϕ→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦已知iate是退化分布的特征函数，相应的分布函数为()1,0,x aF xx a>⎧=⎨≤⎩由连续性定理知11niinξ=∑的分布函数弱收敛于()F x，因a是常数，则有11n pi i a n ξ=−−→∑ 故辛钦大数定律成立．3.4 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努里试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为()01P p <<，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则22lim t xn P x e dt --∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭要证明这个式子我们只需证明下面的这个式子，因为它是下面的式子的一个特例，证明了下面的式子，也就证明了它．若1ξ，2ξ，…是一列独立同分布的随机变量， 且 k E a ξ=，()220k D ξσσ=>，k =1，2，…则有22lim n t k xn na P x e dt ξ--∞→∞⎛⎫- ⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑证明 设k a ξ-的特征函数为()t ϕ，则nknk naξ=-=∑的特征函数为nϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为()0k E a ξ-=，()2k D a ξσ-=，所以ϕ'()00=，ϕ''()20σ=-于是特征函数()t ϕ有展开式()()0t ϕϕ=+ϕ'()0t +ϕ''()()2202t o t +()222112t o tσ=-+从而对任意固定的t，有2212nnt ton nϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦22te-−−→，n→∞而22te-是()0,1N分布的特征函数，由连续性定理知22limntkxnnaP x e dtξ--∞→∞⎛⎫-⎪⎪<=⎪⎪⎝⎭∑成立，证毕．我们知道在22limtxnP x e dt--∞→∞⎛⎫<=⎪⎪⎭中nμ是服从二项分布()k k n kn nP k p qCμ-==，0k n≤≤的随机变量，如上3.2中称22limtxP x e dtλ--∞→∞⎫<=⎪⎭为“普哇松分布收敛与正态分布”，我们把上面证明的式子常常称为“二项分布收敛于正态分布”．[]()2210211P-通过上文的讨论，我们加深了对特征函数的认识，对于特征函数的应用也有了大概的了解，而随着理论和实践的不断发展，对特征函数的研究也将会不断深化．。
特征函数
e ikxx (k )dk
也就是说，概率密度函数 f(x) 与其特征 函数 x (k ) 是等价的。
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为什么引入特征函数
问题：既然概率密度函数与特征函数一一对应， 给出任意一个都可以完全确定概率密度函数的 所有性质，为什么还需要引入特征函数？
很多问题直接用概率密度函数不易处理， 但用特征函数处理则非常方便。比如， 1）求独立随机变量之和的分布的卷积变为 乘法运算； 2）求n阶代数矩变为求n阶微分 ......
i 1 n
( xi i ) 2
i2
服从自由度为n的 2分布。
证：首先容易证明yi 概率密度函数为
xi i
i
服从标准高斯分布, 并且z yi 2的
dy 1 g ( z ) 2 ( yi ) e z / 2 f ( z; n 1) dz 2 z 即z服从ndf =1的 2分布，其特征函数为z (k ) (1 2ik ) 1/ 2。 若z yi2，显然特征函数为z (k ) (1 2ik ) n / 2 ,
2
(1 2ik ) n / 2 e |k |
柯西分布
1 1 f ( x) 1 x 2
柯西分布在k=0处不问题：既然概率密度函数与特征函数一一对应， 给出任意一个都可以完全确定概率密度函数的 所有性质，为什么还需要引入特征函数？
很多问题直接用概率密度函数不易处理， 但用特征函数处理则非常方便。比如， 1）求独立随机变量之和的分布的卷积变为 乘法运算； 2）求n阶代数矩变为求n阶微分 ......
i n
此即ndf =n的 2分布的特征函数。
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中心极限定理(1)
特征函数
e cos t j sin t
(t ) E (e jt )
jt
E(cos t )+jE(sin t )
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3. 特征函数的计算
e jt cos t j sin t
cos( tx )dF ( x ) j sin( tx )dF ( x )
E ( Z ) E ( X ) jE (Y )
e jt cos(t ) j sin( t )
(t ) E(e jt )=E[ cos(t )] jE[sin( t )]
cos( tx )dF ( x ) j sin( tx )dF ( x )
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注 意 点(1)
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： (1) 欧拉公式：
eitx cos(tx) i sin(tx)
(2) 复数的共轭： a bi a bi (3) 复数的模：
a bi a 2 b2
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例4.1.1 设随机变量ξ 服从退化分布, 即 P{ c} 1 求X 的特征函数.
定理4.1.2(反演公式) 设随机变量ξ 的分布函数和特征函 数分别为F ( x ) 和 ( t ), 则对于F ( x ) 的任意连续点 x1 和x2 ( x1 x2 ) , 有
1 F ( x2 ) F ( x1 ) lim T 2
x1 x 2 x 2 x1 ,h , 若记 a 2 2
e jtx dF ( x )
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一、定义及例
1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设ξ 是定义在概率空间 (, F , P )上的随机变量, 它 的分布函数为 F ( x ), 称 e jt 的数学期望 E(e jt ) 为ξ 的特征函数. 有时也称为分布函数 F ( x ) 的特征函数, 其中 j 1, t R. 记ξ 的特征函数为 ( t ), 在不会引起混乱的情况下简写为 ( t ).
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特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤ϕϕt).0(11|||||)(|ϕϕ==≤≤=E e E Ee t itX itX2. )()(t t ϕϕ=-.)()(t Ee e E Ee t itXitX itX ϕϕ====--. 3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则).()(at e t X ibt Yϕϕ= 4． 若X 的l 阶矩存在，则.1,|)(0l k EX i t dtd kk t k k ≤≤==ϕkk t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dtd t dt d ======000|)(||)(ϕ. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ⎰><>∃>∀Mx dx x p t s M ||)(..,0,0εε⎰∞∞=-=-+|)()1(||)()(|x dF e et h titxihxϕϕ⎰∞∞--≤)(|1|x dF e ihx⎰⎰->-+-=MMMx ihxihxx dF ex dF e||)(|1|)(|1||||2sin |2)(||1|2/2/2/hx hxeee e ihx ihx ihx ihx≤=-=--x hxeeeeihx ihx ihx ihx ∀≤=-=--,2|2sin |2)(||1|2/2/2/⎰⎰>-+≤-+Mx MMx dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|ϕϕ⎰-+≤+≤M MhM x dF hM εε22)(.取,/M εδ=则 对任意实数t ，和),0(δ∈h 有.3|)()(|εϕϕ≤-+t h t所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分).(212100021)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>==⎰∞+π 证明：⎰∞=sin )(1)(dt tta sign a I π以下证明⎰+∞=02sin πdu u u .⎰+∞-=01ds e u us ⎰⎰⎰⎰⎰-+∞+∞-==Tus TT usududse ds e u du uu 00000sin sin sin ⎰∞+-++-+=0222)cos sin 11(ds e Ts T T T s s s⎰+∞-++-=22cos sin 2ds e Ts T T T s sπs s T e e T s T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2222 2sin lim 0π=⎰∞→TT du u u 。
Th 4.1.3(逆转定理)设F(x)和)(t ϕ分别为随机变量X 的分布函数和特征函数，则对F 的任意两个连续点x 1<x 2，有.)(21lim)()(2112⎰---∞→-=-TTitx itx T dt t ite e x F x F ϕπ证明：记 ⎰---=-TT itx itx T dt t it e e J )(2121ϕπ’则⎰----=T T itXitx itx T dt e ite e E J 2121π ⎰------=TTx X it x X it dt ite e E )()(2121π⎰----+--=Tx X it x X it x X it x X it dtit e e e e E 0)()()()(221121πdt tt x X t x X E T ⎰---=021)sin()sin(1π )]()([21lim 21x X sign x X sign E J T T ---=∞→. 不妨设x 1<x 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧<<==><=---21212121210)()(xX x x X or x X x X or x X x X sign x X sign.2)0()(2)0()()()0()]()([21lim 11221221-+--+=--+=+==→∞x F x F x F x F x F x F x X P x X P J T T 若x 1和x 2 是F(x)的连续点，则定理得证.Th （唯一性定理）分布函数有特征函数唯一确定。
证明：将分布函数的连续点集记为)(F C ，设)(t ϕ是)(x F 的特征函数.当)(,1F C x x ∈时，由反演公式.)(21lim)()(2112⎰---→∞-=-TT itx itx T dt t it e e x F x F ϕπ令1x 在)(F C 中趋于∞-，则有对)(2F C x ∈∀，)(2x F 由)(t ϕ唯一确定。
当)(F C x ∉时，可令2x 在)(F C 中单调减的趋于x ，由)(x F 的右连续性可知，)(x F 由)(t ϕ唯一确定。
Th. 若特征函数)(t ϕ绝对可积，即⎰∞∞-∞<dt t |)(|ϕ则其对应的分布函数)(x F 为连续型，且密度函数为.)(21)(⎰∞∞--=dt e t x p itx ϕπ证明：对R a ∈∀，令a b n ↓，根据反演公式有⎰∞∞--≤-+-≤dt t a b a b F n n |)(|22)0F(F(a))(0ϕπ由定理条件可知，2)0F(F(a))(-+-a b F n 单调减的趋于0，而根据)(x F 的右连续性可知)()(a F b F n →，故有).0()(,02)0F(F(a))(-==-+-a F a F a a F 即亦即)(x F 处处连续。
对0,≠∆∈∀x R x ，根据反演公式得⎰∞∞-∆+--∆-=∆-∆+dt t x it e e x x F x x F x x it itx )(21)()()(ϕπ令0→∆x 得到)()()(x p xx F x x F →∆-∆+；itxx x it itx e x it e e -∆+--→∆-)( 所以，.)(21)(⎰∞∞--=dt e t x p itxϕπ二．多元特征函数 若n 维随机变量T n X X X ),...,(1=的分布函数为),...,,(21n x x x F ，则定义其特征函数为⎰⎰∞∞-∞∞-∑===),...,(...)(11n x t iXit x x dF eEet nk kk T ϕ其中，.),...,,(21T n t t t t =也称为是随机向量T n X X X ),...,(1=的联合特征函数.Th1. 由随机向量T n X X X),...,(1=的联合特征函数可求出任意个子向量的边缘特征函数.例如).0,...,,(),();0,...,0,()(2121,11211t t t t t t X XX ϕϕϕϕ==性质：;),...,(),...,(;1)0(|),...,(|111n n n t t t t f t t ϕϕϕ=--=≤0,...,011...1`11111|),...,(......==+-∂∂∂∑==n n nnj jn t t n nk k k k k k nk t t t t iX EX ϕ 反演公式nn c c nj jb it a itc c c c n n dt dt t t it e eb X a b X a P jj jj n nn ...),...,(...)2(1...),...,(1112n 111111lim lim ϕπ⎰∏⎰-=---∞→∞→-=≤<≤<Th2. 随机变量X 和Y 相互独立的充要条件为)()(),(2121,t t t t Y X Y X ϕϕϕ=三．n 元正态分布随机向量,),...,(1T n X X =X 定义,),...,(1T n EX EX EX =T EX X EX X E X ))(()cov(--=1. 设),1,0(~,,...,1N iid X X n 则其联合密度为nnn n n R x x x x x x x f ∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=),...,(,)...(21ex p )2(1),...,(1222212/1πEX=0,cov(X)=I n 密度函数又可写成}21ex p{)2(1)(2/Ix x x f Tn -=π称之为标准n 元正态分布。
Def 如果A 是n 阶非奇异阵，μ是n 维实向量，而随机变量X 服从n 元标准正态分布，则将随机变量μ+=AX Y所服从的分布成为n 元正态分布.易证：0)cov(,>==TAA Y EY μ.记,T AA =∑用记号 ),(~∑μN Y 表示Y 服从参数是∑,μ的正态分布.TH, n元正态分布),(∑μN 的概率密度为)}()(21ex p{||)2(1)(12/12/μμπ-∑--∑=-x x x f T n .Th. n 元正态分布),(∑μN 的特征函数为n TTR t t t t i t ∈∀∑-=},21exp{)(μϕ证明：首先，对服从标准多元正态分布的随机向量X,其特征函数为};21exp{}21exp{)(}exp{)(121t t t t X it E t T n j j nj j X Ti -=-===∑∏==ϕϕ根据多元正态分布的定义，存在矩阵A ，使得T AA =∑，故所求特征函数为}.21exp{}21exp{)()(t t it t AA t eEeeEet TTT T it AXit it AX it T T T ∑-=-===T +μϕμμμTh. n 元正态分布 ),(∑μN 的任一k 维的边缘分布都是k 元正态分布，其中n k <≤1. 证明：,),...,,(),,(~21Ti i i k n k X X X X N X=∑μ kX 的特征函数可以通过在X 的特征函数中令},...,,{,021k j j i i i t t ∉∀=得到.有令},...,{,0;),...,(11k j Xit n X i i j t Eet t T ∉∀==ϕ.),...,(,),()0,...,,...,0,,0(11T i i X X is i X k k kT ki t t s s Eet t ===其中ϕϕ又根据}21exp{)(t t it t TTX ∑-=μϕ，得到.,...,,...,,),...,(},21exp{)(11****1列形成的矩阵行和第的第是其中k k T i i T TX i i i i s s is s k k ∑∑=∑-=μμμμϕ另外，还可以证明多元正态分布的各种形式的条件分布还是正态分布.Th 设),(~,...,,21∑μn n N X X X ，则它们相互独立的充要条件是它们两两互不相关.证明：必要性是显然的.下证充分性.若n X X X ,...,,21两两互不相关，则,,0),cov(j i X X j i ≠∀=即},...,,{2211nn diag σσσ=∑，所以∏∏∑=-=-==nkk X nkkk k k k k k kk k Tn t t t i t t i t t k ).(}21exp{}21exp{),...,(2121ϕσμσμϕ由多元特征函数的性质可知n X X X ,...,,21相互独立.Th 对于n 维正态随机向量),(~),(21∑=μN X X XT TT，对∑和μ作相应的分块⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2221121121，μμμ 则),,(~),,(~22211111∑∑μμN X N X 且.01221=∑相互独立的充要条件是和X XTh 多元正态分布经过任意的线性变换后依然服从多元正态分布.X C Y N X n m m n ⨯=∑),,(~μ即若,则).,(~T mn C C C N Y ∑μ推论：.,I),N(~X Y ,0),,(~.12/-12/-1分量相互独立的即则Y N X μμ∑∑=>∑∑).,(~),,(~.222I A N AX Y A I N X σμσμ=是正交阵，则Th ).,(~,),(~1a a a N X a R a N X TT T n n ∑∈∀⇔∑⨯μμ。