2018清华大学中学生学术能力标准测试理科数学试题及答案
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3 P 0 C 10
0 3 1 3 0
3
343 7 1000 ， 10
2
3
441 37 P 1 C 1000 ， 10 10 189 3 7 P 2 C32 10 10 1000 ， 3 P 3 C 10
中学生标准学术能力诊断性测试 理科数学科目参考答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 B 11 D 12 A
二、填空题（每题 5 分） 13.
1 5
14.
4 [3， ] 3
15. 4
16.
13 2
三、解答题 17. （12 分） 解： （1）因为������������������2 ������ = ������������������2
1 3 ，即 z ( 3 3x y) ；所以 2 2
所以 ( 3x y 2 z )
1 d x y z [(2 3) x y 3] ； 2
1
x 0 又由于 x, y 满足条件： y 0 1 ( 3 3x y) 0 2
A B x O C E P z
如图， 以 O 为原点， 以 OB, OD, OP 分别为 x 轴、
y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
3
Dy
1 1 A(0, 1,0) B(1,0,0) C (1,1,0) D(0,1,0) E ( , ,1) P(0,0, 2) 2 2 1 1 AB (1,1,0) DE ( , ,1) ， AB DE 0 ，所以������������ ⊥ ������������ ．……6 分 2 2
…4 分
（Ⅱ） AC (1, 2,0) ， PC (1,1, 2) ， 设平面 PAC 的法向量为 m ( x, y, z) ， 则 令 ，得 ． ……8 分
又 BD PO 0 ， BD OC 0 ，所以平面 POC 的法向量 BD (1,1,0) ， ……10 分
，所以 AB DE . 内过点 作
（Ⅱ） 在平面 ， 因为 平面
பைடு நூலகம்
，所以平面 POC 平面 平面 POC ，
2
，
平面 POC 平面 ABCD=CO，所以
PC 平面 POC ，所以
；
因PO=AD,AO=DC,可证Rt∆POA ≅ Rt∆ADC ,故 在 所以 所以 中， 平面 ， 是 ，则 中点，故 ． ……10 分 ；
所以有 95% 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济 损失是否到 4000 元有关。…………………5 分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000 元居民的频 率为 0.3，将频率视为概率. 由题意知 的取值可能有 0,1, 2,3 ， ~ B(3, ) ， 10
3 3 3 2 1
1
27 7 1000 ， 10
0
……………9 分
5
从而 的分布列为
E ( ) np 3
3 0.9 10 3 7 D( ) np(1 p) 3 0.63 10 10
， …………………12 分
20. （12 分） 解： （1）设 F (c,0) ， P(t ,
42 ， 7 42 ． 7
所以二面角 A PC O 的余弦值为 19.（12 分） 解：
……12 分
（Ⅰ） 由频率分布直方图可知， 在抽取的 100 人中， 经济损失不超过 4000 元的有 70 人，经济损失超过 4000 元的有 30 人，则表格数据如下
4
K2
100 (60 10 10 20) 2 =4.762 .因为 4.762 3.841， p(k 3.841) 0.05 . 80 20 70 30
3
（2）设点 P 到 AB 边的距离为 z ，则有：
1 SABC SPBC SPAC SPAB ( 3x y 2 z ) ； 2
注意到： AB2 AC 2 BC 2 ，所以 ABC 是直角三角形；从而
SABC
1 2
1 3 ； BC • CA 2 2
是二面角 A PC O 的平面角．
设 PO AD 2BC 2CD 2 ， 而
AE 14 2
， ，则 ，
42 ． 7
所以二面角 A PC O 的余弦值为 ……12 分 解法二：
（Ⅰ） 连接 OB， 可证得四边形 OBCD 为菱形， OB//DC OD⊂平面 ABCD, 因为 PO⊥平面 ABCD. 0B， 所以 PO OB, PO OD,又因为 OB∥DC,DC ⊥AD,所以 OB⊥AD ……2 分
3 3 ) ，则 Q(t , ) ，…………………1 分 7 7
t2 3 4 2 1 ，即 t 2 a 2 ，① a 7 7
3 3 9 PF QF ， 7 7 1 ，即 c 2 t 2 ，②………………3 分 t c t c 7
������ +������ 2
，所以 cos 2 A cos( B C) 0 ，
1 2
即 2cos2 A cos A 1 0 ．解得： cos A 或 cos A 1 ；又因为 A (0, ) ，所 以 A ；由余弦定理得： BC AB2 AC 2 2 AB • AC cos A 3 ．……6 分
故 d 在 P 与 C 点重合时最小,最小值为 大值为 . ……12 分
;d 在 P 与 B 点重合时最大,最
18. （12 分） 解法一： （Ⅰ）设 分别是 、 ，连接 , ， …1 分
的中点，则
因为 PO 平面 ABCD ， 所以 又 在 又 又 平面 平面 平面 中， ，所以 ， ，所以 ， 平面 ， ……6 分 交 的延长线于 ， 连接 ， ； ……3 分 ；
0 3 1 3 0
3
343 7 1000 ， 10
2
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441 37 P 1 C 1000 ， 10 10 189 3 7 P 2 C32 10 10 1000 ， 3 P 3 C 10
中学生标准学术能力诊断性测试 理科数学科目参考答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 B 11 D 12 A
二、填空题（每题 5 分） 13.
1 5
14.
4 [3， ] 3
15. 4
16.
13 2
三、解答题 17. （12 分） 解： （1）因为������������������2 ������ = ������������������2
1 3 ，即 z ( 3 3x y) ；所以 2 2
所以 ( 3x y 2 z )
1 d x y z [(2 3) x y 3] ； 2
1
x 0 又由于 x, y 满足条件： y 0 1 ( 3 3x y) 0 2
A B x O C E P z
如图， 以 O 为原点， 以 OB, OD, OP 分别为 x 轴、
y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
3
Dy
1 1 A(0, 1,0) B(1,0,0) C (1,1,0) D(0,1,0) E ( , ,1) P(0,0, 2) 2 2 1 1 AB (1,1,0) DE ( , ,1) ， AB DE 0 ，所以������������ ⊥ ������������ ．……6 分 2 2
…4 分
（Ⅱ） AC (1, 2,0) ， PC (1,1, 2) ， 设平面 PAC 的法向量为 m ( x, y, z) ， 则 令 ，得 ． ……8 分
又 BD PO 0 ， BD OC 0 ，所以平面 POC 的法向量 BD (1,1,0) ， ……10 分
，所以 AB DE . 内过点 作
（Ⅱ） 在平面 ， 因为 平面
பைடு நூலகம்
，所以平面 POC 平面 平面 POC ，
2
，
平面 POC 平面 ABCD=CO，所以
PC 平面 POC ，所以
；
因PO=AD,AO=DC,可证Rt∆POA ≅ Rt∆ADC ,故 在 所以 所以 中， 平面 ， 是 ，则 中点，故 ． ……10 分 ；
所以有 95% 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济 损失是否到 4000 元有关。…………………5 分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000 元居民的频 率为 0.3，将频率视为概率. 由题意知 的取值可能有 0,1, 2,3 ， ~ B(3, ) ， 10
3 3 3 2 1
1
27 7 1000 ， 10
0
……………9 分
5
从而 的分布列为
E ( ) np 3
3 0.9 10 3 7 D( ) np(1 p) 3 0.63 10 10
， …………………12 分
20. （12 分） 解： （1）设 F (c,0) ， P(t ,
42 ， 7 42 ． 7
所以二面角 A PC O 的余弦值为 19.（12 分） 解：
……12 分
（Ⅰ） 由频率分布直方图可知， 在抽取的 100 人中， 经济损失不超过 4000 元的有 70 人，经济损失超过 4000 元的有 30 人，则表格数据如下
4
K2
100 (60 10 10 20) 2 =4.762 .因为 4.762 3.841， p(k 3.841) 0.05 . 80 20 70 30
3
（2）设点 P 到 AB 边的距离为 z ，则有：
1 SABC SPBC SPAC SPAB ( 3x y 2 z ) ； 2
注意到： AB2 AC 2 BC 2 ，所以 ABC 是直角三角形；从而
SABC
1 2
1 3 ； BC • CA 2 2
是二面角 A PC O 的平面角．
设 PO AD 2BC 2CD 2 ， 而
AE 14 2
， ，则 ，
42 ． 7
所以二面角 A PC O 的余弦值为 ……12 分 解法二：
（Ⅰ） 连接 OB， 可证得四边形 OBCD 为菱形， OB//DC OD⊂平面 ABCD, 因为 PO⊥平面 ABCD. 0B， 所以 PO OB, PO OD,又因为 OB∥DC,DC ⊥AD,所以 OB⊥AD ……2 分
3 3 ) ，则 Q(t , ) ，…………………1 分 7 7
t2 3 4 2 1 ，即 t 2 a 2 ，① a 7 7
3 3 9 PF QF ， 7 7 1 ，即 c 2 t 2 ，②………………3 分 t c t c 7
������ +������ 2
，所以 cos 2 A cos( B C) 0 ，
1 2
即 2cos2 A cos A 1 0 ．解得： cos A 或 cos A 1 ；又因为 A (0, ) ，所 以 A ；由余弦定理得： BC AB2 AC 2 2 AB • AC cos A 3 ．……6 分
故 d 在 P 与 C 点重合时最小,最小值为 大值为 . ……12 分
;d 在 P 与 B 点重合时最大,最
18. （12 分） 解法一： （Ⅰ）设 分别是 、 ，连接 , ， …1 分
的中点，则
因为 PO 平面 ABCD ， 所以 又 在 又 又 平面 平面 平面 中， ，所以 ， ，所以 ， 平面 ， ……6 分 交 的延长线于 ， 连接 ， ； ……3 分 ；