概率论与数理统计第4章 随机变量的数字特征与极限定理

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定义4.1 设离散型随机变量X的分布律为
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4.1.2 几个常用分布的数学期望 1.0—1分布 设随机变量X服从以p为参数的（0—1）分布，则X 的数学期望为
２.二项分布 设随机变量X～B（n,p），则X的数学期望为
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3.泊松分布 设随机变量X～P（λ）分布，则X的数学期望为
（1）ρXY≤1; （2）ρXY=1的充要条件是X与Y以概率1线性相关， 即存在常数a≠0和常数b，使得P（Y=aX+b）=1. （证明从略）．
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4.3.3 矩 定义4.6 设X和Y是随机变量，如果
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4.4 大数定律与中心极限定理
本节的结论在概率论与数理统计的理论和应用中起 着十分重要的作用．描述随机试验的稳定性态及研究随 机现象在什么条件下服从正态分布的几个基本定理是要 介绍的主要内容．
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4.2.2 常用分布的方差 1.0—1分布
２．二项分布 由4.1.2节知，E（X）=np，
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4.2.3 方差的性质 随机变量的方差具有如下性质（假定下面所遇到的 随机变量的方差均存在）： （1）设C为常数，则D（C）=0； （2）设X为随机变量，C为常数，则 （3）设X与Y是相互独立的随机变量，则
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4.３ 协方差、相关系数及矩
4.3.1 协方差 对于二维随机变量（X，Y），除了分量X，Y的数 字特征外，还需要找出能体现各分量之间的联系的数字 特征．
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4.3.2 相关系数 定义4.5 设（X,Y）为二维随机变量，cov （X,Y）,D（X）,D（X）均存在，且D（X）>0,D（X） >0，称
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4.1.3 随机变量函数的数学期望 定理4.1 设X是一个随机变量，y=g（x）是连续函 数或分段连续函数． （1）如果X是离散型随机变量，其分布律为
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这个定理说明，在求Y=g（X）的数学期望时，不 必求出Y的分布而只需要知道X的分布即可． 例4.6 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯 于每个整点的第5分，25分和55分从底层起步，假设游 客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X～U［0， 60］，求该游客等候电梯时间的数学期望． 解 由X～U［0，60］，知X的概率密度为
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4.4.1 大数定律 1.依概率收敛 为了寻求随机试验的统计规律性，我们常将随机试 验重复地做下去，对于每次试验的结果用一个随机变量 来描述，这样得到一串随机变量X1，X2，…，Xn，…， 称为随机变量序列，记为｛Xn｝． 定义4.7 设｛Ｘn｝为一随机变量序列，X为随机变 量，若对任意充分小的正数ε，有
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概率论中，把描述随机变量数量方面的特征的量称 为数字特征。随机变量的数字特征在概率论与数理统计 的理论研究和实际应用中都具有重要的意义． 本章将重点讨论随机变量的一些常用的数字特征： 数学期望、方差、协方差和相关系数．本章还将简要介 绍大数定理和中心极限定理．
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4.1 数学期望
4.1.1 随机变量的数学期望 例4.1 一批钢筋共有10根，抗拉强度（kg/mm2）为 120和130的各有2根，125的有3根，110，135，140的 各有1根，则这10根钢筋的平均抗拉强度为
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4.2.4 切比雪夫不等式和马尔科夫不等式 定理4.3（切比雪夫不等式） 设随机变量X的数学 期望E（X）和方差D（X）均存在，则对任意ε>0, 有
证 设X是连续型随机变量（离散型情形由读者自己 证明），其概率密度为f（x），则对任意实数ε>0，有
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定理4.4（马尔可夫不等式） 设X为非负随机变量， 则对任意实数a>0，有
第4章 随机变量的数字特征与极 限定理
由前面的讨论知道，随机变量的概率分布完整地描 述了它的统计规律．但在一些实际问题中，要确定一个 随机变量的概率分布是比较困难的．另一方面，在有些 实际问题中并不需要知道全面的概率分布，而只需要知 道随机变量的某些数字特征．例如，考察某地区水稻产 量时，只需要知道水稻的平均亩产量；在投资决策中， 不但需要关心投资项目未来的收益水平，还要关心收益 水平围绕长期平均收益的波动状况，即风险程度．
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定理4.2 设（X,Y）是二维随机变量，z=g（x,y） 是一个连续函数． （1）如果（X,Y）为离散型随机变量，其联合分布 律为
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4.1.4 数学期望的性质 数学期望有如下常用性质（以下的讨论中，假设所 遇到的数学期望均存在）：
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4.2 方 差
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2.几个主要大数定律 定义4.8 对随机变量序列｛Xn｝，若对任意ε＞0，
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定理4.5（切比雪夫大数定律） 设｛Xn｝满足 1）｛Xn｝为独立随机变量序列； 2）D（Xi）都存在（i=1,2,…），且存在常数C，使 D（Xi）≤C（即方差一致有界）． 则｛Xn｝服从大数定律． 证 只需证明式（4.24）成立即可． 由于D（Xi）均存在，从而E（Xi）存在．
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切比雪夫大数定律说明，两两不相关的随机变量序 列，若方差一致有界，则该数列是服从大数定律的. 定理4.6（贝努里大数定律） 设nA为n重贝努里试 验中事件A发生的次数，P（A）＝p，则对任意ε＞0， 有
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定理4.7（辛钦大数定律） 设｛Xn｝满足 1）诸Xi为相互独立同分布； 2）E（Xi）存在,即E（Xi）＝a＜+∞， 则｛Xn｝服从大数定律． 辛钦大数定律的结论说明：对于独立同分布的随机 变量序列而言，只要其期望存在，则该序列必服从大数 定律。辛钦大数定律提供了应用中确定随机变量数学期 望E（X）近似值的方法。设想对随机变量X独立重复的 观测n次，每次的观测值为Xi（i=1，2，…，n），则 X1,X2，…,Xn为相互独立的，且与X同分布的随机变量， 在E（X）存在时（应有诸E（Xi）=E（X），i=1， 2，…，n）,根据辛钦大数定律：
4.2.1 随机变量方差的概念 数学期望是随机变量重要的数字特征．但是，在 刻画随机变量的性质时，仅有数学期望是不够的．例如， 有两批钢筋，每批各10根，它们的抗拉强度指数如下：
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定义4.3 设X是随机变量，若E［X－E（X）］2存 在，则称它为X的方差，记为D（X），即
由定义4.2，随机变量X的方差反映了X的可能取值 与其数学期望的平均偏离程度．若D（X）较小，则X的 取值比较集中，否则，X的取值比较分散．因此，方差 D（X）是刻画X取值离散程度的一个量．