01-电场的积分方程

2
将其从源点区域挖掉，挖掉的区域为球体 P ，边界为球面 P 。球面上边界的法线方向和 源点到场点距离方向一致。格林定理表达式左侧因区域少了 P 而变为 1-13。
P
G G d Gd 4 R d
0 2 0 2 P 0
1-16
图 1-1 在区域中挖掉一点
图 1-2 被挖掉的区域及其边界
代回到格林定理表达式整理得区域内任一场点电位的积分公式，如式 1-17。
G P = Gd + 0 G 0 d n n e e 1 = d + [ ( 0 ) ( 0) R n 2]d 4 0 R 4 0 R n 4 0 R
1-1
式 1-1 是体电荷电场强度积分公式，具有一般性。面电荷、线电荷和点电荷是体电荷的 特例（极限情况） 。式中 R 是源点到场点的距离， e R 是源点到场点方向的单位矢量。 根据亥姆霍兹定理， 矢量场由矢量的散度和旋度以及切向或法向边界条件唯一确定。 对 式 1-1 进行旋度和散度运算，得电场强度的基本方程，如 1-2 和 1-3。
1-15
针对格林定理表达式右侧的第二项积分中的第二部分，设在 P 上 为场点的电位 P ， 当 R 0 ，有
lim
R 0 P
1 1 d en d P lim e en d P lim P 2 R R 0 R 0 4 R 4 R 4 R2 P P
e e 1 + [ (0 ) (0) R n 2 ]d 40 R n 40 R P
当 R 0 ，积分公式 1-20 右侧最后一项积分为 因此可得边界积分方程，如式 1-21。
1-20
1 P 。 2
P =

e e 1 d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d+ P 40 R 40 R n 40 R 2 P
P =

e e 1 d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d+ P 40 R 40 R n 40 R 2 P
e e 1 + [ (0 ) (0) R n 2 ]d 40 R n 40 R C e R e n e R e n ]d= ]d 0 2 40 R 4 C R 2
1
电场的积分方程
1、 静电场强度的基本方程 静电场的基本物理量是电场强度。 产生电场的源是电荷。 电荷在电场中受到电场力的作 用。库仑定律描述了电荷之间的电场力。根据库仑定律，结合电场强度 E 的定义，可得出 自由空间（无限大真空空间）中电场强度的积分公式，如式 1-1。
E
1 4 0

V
e R dV R2
G
1 4 0 R
1-11
格林函数是两点之间距离的函数。将其中一点规定为场点，则另一点就为源点。当源点 固定时，格林函数是场点的函数，当场点固定时，格林函数是源点的函数。 5、 区域内电位积分公式 格林函数相当于放在源点处单位电荷在场点处的电位的表达式。 若场点固定， 则除了与 场点重合的一点外， 其它源点处都有 G 0 。 如图 1-1 和图 1-2， 针对区域 内的场点 P ，
1-21
图 1-5
图 1-6 边界积分方程 1-19 和 1-21，实际上完全相同。
7、 导体表面积分方程 当区域内存在导体时，可将导体从区域内挖掉，导体表面成为区域边界的一部分。导体 表面的区域边界是闭合面，其法线方向指向导体内部，如图 1-7。 （1） 场点在导体表面以外的边界上 这时电位积分公式中增加一项导体表面的边界积分项。
v
1-9
若令函数 u 为静电场的标量电位 ， 则标量格林定理重新表述为 1-10。 v 是格林函数 G ，
G G G d
0 2 0 2

0
G 0 d n n
1-10
在三维问题中，格林函数表述为 1-11。
1-24
图 1-7 （2） 场点在导体边界上 此时积分公式也要增加一项导体表面的边界积分。
P =

e e 1 d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d 40 R 40 R n 40 R e e 1 + [ (0 ) (0) R n 2 ]d 40 R n 40 R C
lim
R 0 P
1 1 1 ln ( 0 )d lim(max R 0 2 0 R n 2 0 n e R en d d = lim =P 2 0 R 2 R 0 P R
P
Rln R R ) 0
d

1-13
格林定理表达式右侧因区增加了 P 而变为 1-14。
G


0
G G 0 0 d+ G0 d n n n n P G 1 1 0 en d G0 d+ n n 4R n R P
1-14
针对格林定理表达式右侧的第二项积分中的第一部分，设在 P 上
u 为有限值，当 n
R 0 ，有
R d R d lim lim (max ) lim R(max )0 2 2 R 0 R 0 4 R 0 4 n R n R n P P
lim ( 0)
R 0 P
借鉴三维场推导过程，对二维场进行相似的推导，可得积分公式，如式 1-31。
P =

e e 1 1 1 ln d+ [ ln (0 ) (0) R n ]d 20 R 20 R n 20 R P
1-32
1-26
图 1-8 8、 二维情况下电场的积分方程 平行平面电场，是三维场的特例，可表述成二维电场。格林函数为
G
1 1 ln 2 0 R
1-30
边界处源点变化时，格林函数的法向导数为
G 1 G e n e R e n n 2 0R
1-31
当挖掉区域内一场点时，区域减少一圆面积，边界增加一圆周。如图 1-9 和 1-10。增 加边界的法线方向指向圆心。 在圆周上进行积分，当 R 0 得
1-18
当 R 0 ，格林定理表达式右侧第二项积分为 因此可得边界积分方程，如式 1-19。
1 P 。 2
e e 1 1 P = d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d 2 40 R 40 R n 40 R P
1-19
1-22
因导体是等电位面，且为闭合面，场点在闭合面之外，最后一项积分中的第二部分
(0)
C
1-23
故可得积分方程
e e P 1 1 = d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d+ (0 )d 2 40 R 40 R n 40 R 40 R n P C
1-5
e 1 = R2 ，对照式 1-1 和 1-4，得自由空间中标量电位的积分公式， R R

1 4 0
RdV
V

1-6
3、 边界条件 针对亥姆霍兹定理， 用电场强度来表述边界条件， 即电场强度的切向分量已知或法向分
量已知。转化为标量电位表述的边界条件为 1-7 和 1-8。
0en
1
-17
6、 电位的边界积分方程 （1） 如图 1-3，简单的将场点放到边界上，区域中挖掉场点只需挖掉半个球体，增加的
边界面为半球面。如图 1-4，半球面上边界的法线方向和源点到场点距离方向一致。 格林定理表达式右侧因区增加了 P 而变为 1-18。
P
G

0
G G 0 0 d+ G0 d n n n n P G G 0 0 G0 d+ G0 d n n n n P P
E 0 0 E
2、 电位的基本方程 由电场强度旋度为零的方程 1-2 和矢量恒等式 =0 ，引入标量电位 。令
1-2 1-3
E
将式 1-4 代入高斯通量定理 1-3，得电位的基本方程
1-4
来自百度文库
0 2
借助矢量恒等式 如式 1-6。
1-25
从图 1-8 可以看出，绕过导体表面的场点后，导体表面仍为一闭合面，导体表面为等电 位面，因此最后一部分积分为零。得积分方程
P =

e e 1 1 d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d+ (0 )d 40 R 40 R n 40 R 40 R n P C
4、 标量格林定理
1
f1 0 n
2
1-7
2
f2
1-8
在区域 内及其边界 上，有函数 u 和函数 v ，则标量格林定理的表达式如 1-9。
va ua d va u ua v d n n
2 2

u
图 1-3
图 1-4 （2）如图 1-5，也可以将区域内的积分公式用到边界点上，这时边界要从外部绕过场 点。半球面上边界的法线方向和源点到场点距离方向相反。
P =

e e 1 d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d 40 R 40 R n 40 R P