秦九韶算法教案

1.3 案例2 秦九韶算法

一、基本信息

设计者：***

学生：*****

教材：人教版，必修3第一章“算法初步”的第3节“算法案例”中的秦九韶算法。

二、教材分析

为解决一个问题而采取的方法和步骤，称为算法。算法是数学的重要组成部分，是计算机理论和技术的基础。随着现代信息技术的飞速发展，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养，新课标已将算法列为高中数学的必修内容。秦九韶算法既能体现新课程、新理念、新课标，又可以结合旧知识，调动学生的积极性，培养学生的自主探索能力及学习兴趣。

三、学情分析

从学生的认知基础看，学生在已经学习了程序框图、算法语句的相关知识，积累了研究算法的基本方法与初步经验。学生的基础较好，能够在一节课中掌握框图和算法语句。

从学生的思维发展看，高二学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构秦九韶算法中的循环结构有一定的困难。

四、教学目标

【知识与技能】

1、了解秦九韶算法的计算过程。

2、理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

【过程与方法】

1、模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。

2、了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算

法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。

【情感、态度与价值观】

1、通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。

2、通过对秦九韶算法的广泛应用、丰富其联想的空间，懂得“来龙去脉”。

3、充分认识信息技术对数学的促进。

五、教学重点和难点

重点：理解秦九韶算法的思想。

难点：用循环结构表示算法步骤。

六、教学方法

学生探究、教师引导。

七、教学流程

八、教学过程

1、

逐渐渗透算法意识，为算法学习铺路

【思考1】求当5x = 时多项式5432()1f x x x x x x =+++++的值。

学生自己提出一般的解决方案：将5x =代入多项式进行计算即可。

教师点评：上述算法一共做了10次乘法运算，5次加法运算，优点是简单，易懂。缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高。

设计意图：使学生在自己操作的过程中体会求多项式值的一般思路方法。

【思考2】有没有更高效的算法?

教师引导学生分析、推理：可以先计算2x 的值，然后依次计算2x x *，

2(*)*x x x ，2((*)*)*x x x x 的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果。这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算。

教师点评：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法更快地得到结果。

设计意图：帮助学生改进方法，提高计算效率。

【思考3】能否探索更好的方法，来解决任意多项式的求值问题？

刚才提高计算效率的方法只对求多项式5432()1f x x x x x x =+++++当5

x =时的值而言的，那么再举一例：求多项式5432()23245f x x x x x x =+++++当2x =时的值？

教师引导学生解答：利用思考2总结出来的方法，每次计算利用上一次结果。想要解决这一问题，可以将原式变形如下：

5432()23245f x x x x x x =+++++

432322(23241)5

((2324)1)5

(((232)4)1)5

((((23)2)4)1)5

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++++=+++++

将2x =代入上式，从内往外依次计算

12342237

72216

162436362173

v v v v =⨯+==⨯+==⨯+==⨯+=

设计意图：用具体实例练习，让学生在实例中体会上述运算方法，进一步探索具有一般意义的算法。

【思考4】一个n 次多项式()f x 1110...n n n n a x a x

a x a --=++++的值？

教师引导学生解答：将原式变形得 1110

12110

110()...(...)......

((...()...)n n n n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ------=++++=++++=++++

求多项式的值时，类推练习的方法。首先计算最内层括号内的一次多项式的值，即：

011

n

n n v a v a x a -==+ 然后由内往外逐层计算一次多项式的值，即

212

323

10......

n n n n v v x a v v x a v v x a ---=+=+=+ 教师点评：上述方法为秦九韶算法。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法。

同时介绍秦九韶——秦九韶（约1202--1261），中国南宋数学家，字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类。其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

设计意图：这里将问题由特殊上升到一般，得出用秦九韶算法求多项式的值的一般方法，说明秦九韶算法的通用性。同时，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献。