九年级数学下学期三角函数练习题
九年级数学下册《三角函数》专题提优练习(含答案解析)
《三角函数》专题提优练习1．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则cos∠EFG值为（）A．B．C．D．2．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．B．1C．D．3．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1C．D．25．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，tan A＝，则k的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣6D．﹣26．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是．7．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD＝90°，则cos B的值为．11．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．12．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin A ＝．13．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM 上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则cos∠EFG值为（）A．B．C．D．【分析】作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，连接BE，BD．在Rt△DME，Rt△GME，Rt△AGN，Rt△EFB中，根据勾股定理可求DM，ME，AN，EF的长，即可求FN的长，即可得cos∠EFG值．【解答】解：如图：作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，连接BE，BD∵四边形ABCD是菱形，AB＝2∴CD＝AD＝AB＝2，AB∥DC∵AB∥CD∴∠A＝∠MDC＝60°∵E是CD中点∴DE＝1∵ME⊥AD，∠DMC＝60°∴∠MED＝30°，且ME⊥AD∴DM＝，ME＝DM＝∵折叠∴AG＝GE，∠AFG＝∠EFG在Rt△GME中，GE2＝GM2+ME2．∴GE2＝（2﹣GE+）2+∴GE＝在Rt△AGN中，∠A＝60°，GN⊥AB∴AG＝2AN∴AN＝∴GN＝∵BC＝CD＝2，∠C＝60°∴△BCD是等边三角形∵E点是CD中点∴BE⊥CD，DE＝1，∠BDC＝60°∴BE＝∵AB∥DC∴∠ABE＝90°在Rt△EFB中，EF2＝BE2+BF2．∴EF2＝3+（2﹣EF）2．∴EF＝∴AF＝∵NF＝AF﹣AN∴NF＝在Rt△GNF中，GF＝＝∴cos∠EFG＝cos∠GFN＝＝故选：C．【点评】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．2．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．B．1C．D．【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC 为等腰直角三角形，即可求出所求．【解答】解：连接BC，由网格可得AB＝BC＝，AC＝，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，故选：B．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．3．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EH∥CD，∴△AEH∽△ACD，∴＝＝．设EH＝3x，AH＝4x，∴HG＝GF＝3x，∵EF∥AD，∴∠AFE＝∠F AG，∴tan∠AFE＝tan∠F AG＝＝＝．故选：A．【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠F AG的正切值来解答的．4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1C．D．2【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB＝tan∠P＝，进而求出答案．【解答】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，可得∠QMB＝∠P，∵PB′＝2，PQ＝2，B′Q＝4，∴PB′2+QB′2＝PQ2，∴△QPB′是直角三角形，∴tan∠QMB＝tan∠P＝＝＝2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．5．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，tan A＝，则k的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣6D．﹣2【分析】作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，利用反比例函数系数的机会意义得到S△AOD＝1，再根据正切的意义得到tan A＝＝，则OB＝OA，接着证明Rt△AOD ∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S△OBC＝2S△AOD＝2，所以•|k|＝2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．【解答】解：作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，则S△AOD＝×2＝1，在Rt△AOB中，tan A＝＝，∴OB＝2OA，∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOC＝∠OAD，∴Rt△AOD∽Rt△OBC，∴＝（）2＝2，∴S△OBC＝2S△AOD＝2，∴•|k|＝2，而k＜0，∴k＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了相似三角形的判定与性质．二．填空题（共8小题）6．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是．【分析】接AF，由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，证出AB＝FC，BF＝CE，由SAS证明△ABF≌△FCE，得出∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，证△AEF是等腰直角三角形，得出∠AEF＝45°，即可得出答案．【解答】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，∵FC＝2BF，∴BF＝1，FC＝2，∴AB＝FC，∵E是CD的中点，∴CE＝CD＝1，∴BF＝CE，在△ABF和△FCE中，，∴△ABF≌△FCE（SAS），∴∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，∵∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠CFE+∠AFB＝90°，∴∠AFE＝180°﹣90°＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF＝45°，∴cos∠AEF＝；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．7．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于3．【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．【解答】解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，则∠BO′D′＝∠BOD，∴tan∠BOD＝tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B＝，O′D′＝，BD′＝3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE＝，∴O′E＝＝，∴tan BO′E＝，∴tan∠BOD＝3，故答案为：3．方法二：连接AM、NL，在△CAH中，AC＝AH，则AM⊥CH，同理，在△MNH中，NM＝NH，则NL⊥MH，∴∠AMO＝∠NLO＝90°，∵∠AOM＝∠NOL，∴△AOM∽△NOL，∴，设图中每个小正方形的边长为a，则AM＝2a，NL＝a，∴＝2，∴，∴，∵NL＝LM，∴，∴tan∠BOD＝tan∠NOL＝＝3，故答案为：3．方法三：连接AE、EF，如右图所示，则AE∥CD，∴∠F AE＝∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE＝，AF＝，EF＝a，∵，∴△F AE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠F AE＝，即tan∠BOD＝3，故答案为：3．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．8．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝2．【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO＝1：3，即可得OF：CF＝OF：BF＝1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF＝CF＝CK，BF＝BE，CK＝BE，BE⊥CK，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO＝BK：AC＝1：3，∴KO：KF＝1：2，∴KO＝OF＝CF＝BF，在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2，∵∠AOD＝∠BOF，∴tan∠AOD＝2．故答案为：2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为．【分析】先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论．【解答】解：由折叠知，A'E＝AE，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝90°，∴∠BA'C＝90°，在Rt△A'CB中，A'C＝＝8，设AE＝x，则A'E＝x，∴DE＝10﹣x，CE＝A'C+A'E＝8+x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10﹣x）2+36＝（8+x）2，∴x＝2，∴AE＝2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝2，∴sin∠ABE＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段AE是解本题的关键．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD＝90°，则cos B的值为．【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE＝EH，设BE＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝2，AD∥CH，∴∠ADM＝∠H，∵AM＝BM，∠AMD＝∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD＝HB＝2，∵EM⊥DH，∴EH＝ED，设BE＝x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°∵AE2＝AB2﹣BE2＝DE2﹣AD2，∴22﹣x2＝（2+x）2﹣22，∴x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），∴cos B＝＝，故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值．【解答】解：连接AB，∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，∴cos∠AOB＝cos45°＝．故答案为：．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．12．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin A＝．【分析】根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝AC＝2，BC＝2，AD＝3，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC•AD＝AB•CE，即CE＝＝，sin A＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．13．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM 上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为y＝（0＜x≤2）．【分析】作FM⊥BC于M．由△DBE≌△EMF，推出FM＝BE＝x，EM＝BD＝2BE＝2x，由FM∥AB，推出＝，即＝，由此即可解决问题．【解答】解：作FM⊥BC于M．∵∠DBE＝∠DEF＝∠EMF＝90°，∴∠DEB+∠BDE＝90°，∠DEB+∠FEM＝90°，∴∠BDE＝∠FEM．在△DBE和△EMF中，，∴△DBE≌△EMF，∴FM＝BE＝x，EM＝BD＝2BE＝2x，∵FM∥AB，∴＝，∴＝，∴y＝（0＜x≤2）．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)正切函数专题练习(含答案)
人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数之正切函数专题练习一、选择题1.如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于( )A．abB．baC．aa2+b2D．ba2+b22.如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是( )A． 1B． 1.5C． 2D． 33.在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y 的值是( )A． 2B． 8C．－2D．－84.正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，则它与x轴所夹锐角的正切值是( )A．23B．32C．132D．1335.根据图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是( )A． 0.26B． 0.43C． 0.90D． 2.236.如图，在2×3的正方形网格中，tan ∠ACB的值为( )A．223B．2105C．12D． 27.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan ∠APB等于( )A． 1B．3C．33D．128.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )A．12B．13C．14D．249.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，AC＝1，则tan A的值为( )A．12B．32C．33D．310.如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB＝2BC，则tan ∠CBE＋tan ∠DAE的值是( )A． 2B． 2＋3C． 2－3D． 2＋2311.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值( )A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．大小不变12.比较tan 20°，tan 50°，tan 70°的大小，下列不等式正确的是( )A． tan 70°＜tan 50°＜tan 20°B． tan 50°＜tan 20°＜tan 70°C． tan 20°＜tan 50°＜tan 70°D． tan 20°＜tan 70°＜tan 50°二、填空题13.如图，P(12，a)在反比例函数y＝60图象上，PH⊥x轴于H，则tan ∠POH的值为__________．x14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b＝3a，则tan A＝__________.15.在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________．16.已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．17.比较大小：tan 50°________tan 48°.三、解答题18.如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2)，BA⊥x轴于A.求tan ∠BOA的值．19.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan B的值．答案解析1.【答案】B【解析】如图因为第一象限的点P的坐标是(a，b)，所以tan ∠POx＝ba.故选B.2.【答案】B【解析】如图，tanα＝ABOB ＝2，即3t＝2，解得t＝1.5.故选B.3.【答案】D【解析】如图，∵点P(4，y)在第四象限内，∴OA＝4，PA＝－y又OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，∴tan ∠AOP＝2，∴PAOA＝2，∴－y＝2×4，∴y＝－8.故选D.4.【答案】A【解析】如图，过A作AB⊥x轴于B，∵A(3,2)，∴AB＝2，OB＝3，∵正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，∴它与x轴所夹锐角的正切值是tan ∠AOB＝ABOB ＝23，故选A.5.【答案】B【解析】如图，AB≈2.6，OB＝6，tanα＝ABOB ≈2.66≈0.43.故选B.6.【答案】D【解析】如图，过A作AD⊥BC于D，设每个小正方形边长为1，在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，则tan ∠ACB＝ADCD＝2，故选D.7.【答案】A【解析】∵A、B、O是小正方形顶点，∴∠AOB＝90°，∴∠APB＝12∠AOB＝45°，∴tan ∠APB＝1.故选A.8.【答案】B【解析】设每个小正方形边长为1，过C点作CD⊥AB，垂足为D.根据旋转性质可知，∠B′＝∠B.在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝3，故tan B＝CDBD ＝13，则tan B′＝tan B＝13.故选B.9.【答案】D【解析】∵AB＝2，AC＝1，∴CB＝22−12＝3，∴tan A＝BCAC＝3，故选D.10.【答案】【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴tan ∠CBE＝CEBC ，tan ∠DAE＝DEAD，∵AD＝BC，CE＋DE＝CD＝AB＝2AD，∴tan ∠CBE＋tan ∠DAE＝CEBC ＋DEAD＝CDAD＝2ADAD＝2.故选A.11.【答案】D【解析】把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形与原来的三角形相似，则∠B的大小不变，则∠B的正切值不变．故选D.12.【答案】C【解析】由锐角的正切值随角增大而增大，得tan 20°＜tan 50°＜tan 70°，故C符合题意，故选C.13.【答案】512【解析】∵P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，∴a＝6012＝5，∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan ∠POH＝512.14.【答案】23【解析】∵∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，∴tan A＝ab，∵2b＝3a，∴a b ＝23，∴tan A ＝a b ＝23.15.【答案】不变【解析】∵锐角的正切值是该角的对边与邻边的比，∴当各边都扩大为原来的4倍时，比值不变．16.【答案】0＜tan B ≤3【解析】根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°.根据题意，知：0°＜∠B ≤60°.又tan 60°＝3，故0＜tan B ≤3.17.【答案】＞【解析】根据锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，∵50°＞48°，∴tan 50°＞tan 48°.18.【答案】解 tan ∠BOA ＝AB OA ＝24＝12.【解析】19.【答案】解 如图，过点A 作AD ⊥BC 的延长线于D ，S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×AD ＝12，解得AD ＝4，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2−AD 2＝82−42＝43，tan B ＝AD BD ＝443＝33.【解析】过点A作AD⊥BC的延长线于D，利用三角形的面积求出AD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．。
九年级下数学三角函数同步练习
九年级下数学三角函数同步练习1．已知sinA=21，且∠A 为锐角，则∠A=（ ）A.30° B.45° C.60° D.75°2． 45cos 45sin +的值等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 213+3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是（ ）A ． 43 B ． 34 C ．53 D ．54 4．许婧同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（A.40B.30°C.20° D.10°5．在△ABC 中，若|sinA －23|+(1－tanB)2=0，则∠C 的度数是（ ）A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°6．若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°7．在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ）A.△ABC 是等腰三角形B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是一般锐角三角形8．在Rt △ABC 中， 90=∠C ，如果AB=2，BC=1，那么sinB 的值是（ ）A ．21 B ．23 C ．33 D ．3 9．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A /B /C /，那么锐角A 、A /的余弦值的关系为（ ）Ａ．cosA=cosA / Ｂ．cosA=3cosA /Ｃ．3cosA=cosA / Ｄ．不能确定10．化简2130(tan ）-︒＝（ ）A ．331- B ．31- C ．133- D ．13-二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，BC=3，则cosA ＝________.12．对于锐角α，总有 sin 2α+ cos 2α＝ .13．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，135sin =A ，則=B sin _______. 14．在Rt △ABC 中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A =________. 三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）1545sin 60)4︒-︒+； ⑵2sin450＋cos300·tan600—2)3(- 。
苏科版九年级数学下册 7.3 特殊角的三角函数试题 (含答案详解)
7.3 特殊角的三角函数一．单选题1．点关于轴对称的点的坐标是 A ．，B ．，C ．，D ．，2．已知在中，，的值为 A ．BCD3．当300≤a ≤600时，以下结论正确的是 【提示：】A ．12<sin a≤32B ．12<cos a ≤32C ．33≤tan a ≤3 D ．33≤cot a≤34．在中，，，，则的度数为 A ．B ．C．D ．5．为锐角，当无意义时，的值为 A B C D 6．若菱形的两邻角之比为，那么此菱形的较短对角线与较长对角线之比为 A ．B．C ．D ．7．因为，，所以；由此猜想、推理知：当为锐角时有，由此可知： A ．B ．C ．D ．8．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是 A ．1，1B ．1，1C ．1，2D ．1，2，39．某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口(sin 60,cos60)-︒︒y ()12(12(12-1(2-3)2-Rt ABC ∆90C ∠=︒sin B =cos A ()12()1cot tan αα=Rt ABC ∆4AB =AC =90C ∠=︒A ∠()30︒40︒45︒60︒α11tan α-sin(15)cos(15)αα+︒+-︒()1:2()1:21:321cos602︒=1cos 2402︒=-cos 240cos(18060)cos60︒=︒+︒=-︒αcos(180)cos αα︒+=-cos 210(︒=)12-()AB 1l A BE 2l (090)αα︒︒……12////EF l l 1.5AB =2BE =h与车辆的宽度：①当时，小于3.4米的车辆均可以通过该闸口；②当时，等于3.0米的车辆不可以通过该闸口；③当时，等于3.2米的车辆可以通过该闸口．上述说法正确的个数为 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二．填空题10．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值等于 ．11．已知是锐角，，则 ．12．在中，，， ．13．在中，若，，都是锐角，则是 三角形．14．如图，半径为的圆与地面相切于点，圆周上一点距地面高为，圆沿地面方向滚动，当点第一次接触地面时，圆在地面上滚动的距离为 ．15．已知等腰三角形一条腰上的高与腰之比为度．90α=︒h 45α=︒h 60α=︒h ()O OM A A AO B OB sin AOB ∠αtan(90)0α︒--=α=︒Rt ABC ∆90C ∠=︒2AB =BC =sin 2A=ABC ∆21|sin (cos )02A B -+-=A ∠B ∠ABC ∆2cm O B A (2cm +O BC A O三．解答题16．（1）计算：．（2）计算：．17．求下列各式的值：（1）； （2）．18．计算：19．求满足下列条件的锐角：．201()(2020)60|3|2π--+-︒--102021202116cos 45()( 1.73)|5|4(0.25)3-︒++-+-+⨯-sin 45cos 454tan 30sin 60︒︒+︒︒222cos602sin 45tan 60sin 303︒-︒+︒-︒2602cos303tan 45tan ︒︒-+︒α2tan tan 20αα+-=20．求满足下列条件的锐角：．21．对于钝角，定义它的三角函数值如下：，，．（1）求，，的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是，，是这个三角形的两个顶点，，是方程的两个不相等的实数根，求、的值及和的大小．22．一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得：；；；．例如：．α22cos 5tan 20αα-+=βsin sin(180)ββ=︒-cos cos(180)ββ=-︒-tan tan(180)ββ=-︒-sin120︒cos135︒tan150︒1:1:4A B sin A cos B 210ax bx --=a b A ∠B ∠αβsin()αβ+sin()αβ-cos()αβ+cos()αβ-sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=⋅-⋅cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅11sin 90sin(6030)sin 60cos30cos60sin 30122︒=︒+︒=︒⨯︒+︒⨯︒=+⨯=类似地，求：（1）的值．（2）的值．（3）的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，．23．如图，是等腰三角形，，以为直径的与交于点，，垂足为，的延长线与的延长线交于点．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，，求的度数；（3）在（2）的条件下，求图形中阴影部分的面积．sin15︒cos75︒tan165︒[αsin sin(180)αα=︒-cos cos(180)]a α=-︒-ABC ∆AB AC =AC O e BC D DE AB ⊥E ED AC F DE O e O e 1BE =A ∠答案一．单选题1．【详解】解：，，，关于轴对称点的坐标是，．故本题选：．2．【详解】解：在中，，．故本题选：．3．【详解】解：、，，，∴12<sin a ≤32，故此选项正确；、，∴12<cos a ≤32故此选项错误；、，，∴33≤tan a ≤3，故此选项错误；、，∴33≤cot a≤3，故此选项错误．故本题选：．sin 60︒=1cos602︒=(sin 60∴-︒cos60)(︒=12y 1)2A Rt ABC ∆90C ∠=︒90AB ∴∠+∠=︒cos sin A B ∴==C A 3060α︒<︒ …1sin 302︒=sin 60︒=B cos30︒=1cos602︒=C tan 30︒=tan 60︒D cot 30︒= cot 60︒=A【详解】解：如图，在中，，，，则．故本题选：．5．【详解】解：无意义，，即，锐角，．故本题选：．6．【详解】解：如图，菱形的两邻角之比为，较小角为，，，，故本题选：．Rt ABC ∆4AB =AC =cos AC A AB ∴===45A ∠=︒C11tan α-1tan 0α∴-=tan 1α=∴45α=︒sin(15)cos(15)sin 60cos30αα∴+︒+-︒=︒+︒=+=A 1:2∴60︒30ABO ∴∠=︒tan OA ABO OB ∴=∠=2AC OA = 2BD OB =:3AC BD ∴==C【详解】解：，．故本题选：．8．【详解】解：、若三边为1，1，由于，则此三边构成一个等腰直角三角形，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以选项错误；、由1，1，顶角为，所以这个三角形是“实验三角形”，所以选项正确；、若三边为1，2，则此三边构成直角三角形，最小角为，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以选项错误；、由1，2，3不能构成三角形，所以选项错误．故本题选：．9．【详解】解：由题知，限高曲臂道路闸口高度为：，①当时，米，即米即可通过该闸口，故①错误；②当时，米，即米即可通过该闸口，等于3米的车辆不可以通过该闸口，故②正确；③当时，米，即米即可通过该闸口，，等于3.2米的车辆可以通过该闸口，故③正确．故本题选：．二．填空题10．【详解】解：如图，连接，cos(180)cos αα︒+=-cos 210cos(18030)cos30∴︒=︒+︒=-︒=C A 22211+=A B 30︒120︒B C 22212+=30︒C D D B 1.52sin α+⨯90α=︒(1.52)h <+ 3.5h <45α=︒(1.52h <+(1.5h <+3 1.5> h ∴60α=︒(1.52h <+(1.5h <+3.2 1.5<+ h ∴C AB以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，是等边三角形，，．．11．【详解】解：，，，，故本题答案为：30．12．【详解】解：，．故本题答案为：．13．【详解】解：，，，，，是等边三角形．故本题答案为：等边．14．【详解】解：如图，作于，于，O OM A OA OB ∴= A AO B AOB ∴∆60AOB ∴∠=︒sin sin 60AOB ∴∠=︒=tan(90)0α︒-=tan(90)α∴︒-=9060α∴︒-=︒30α∴=︒sin BC A AB == 60A ∴∠=︒1sinsin 3022A ∴=︒=1221|sin (cos )02A B +-=sin A ∴=1cos 2B =60A ∴∠=︒60B ∠=︒ABC ∴∆AD BC ⊥D OE AD ⊥E则，又，，，，则的长为，则圆在地面上滚动的距离为．故本题答案为：．15．【详解】解：由题意知，分两种情况：（1）当腰上的高在三角形内部时，如下图，，，在直角三角形中，顶角；（2）当腰上的高在三角形外部部时，如上图，，，在直角三角形中，，顶角．故本题答案为：．三．解答题16．解：（1）22AE =+=2OA =sin AE AOEOA ∴∠==60AOE ∴∠=︒150AOB ∴∠=︒¶AB 150251803ππ⨯=O 53cm π53cm πAB AC =CD AB ⊥ADC sin CAD ∠==∴45CAD ∠=︒AB AC =CD AB ⊥ADC sin CD CAD AC ∠===45CAD ∴∠=︒180********CAB CAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒45135︒︒或201()(2020)60|3|2π--+-︒--；（2）．．17．解：（1）原式；（2）原式．18．解：原式19．解：（舍去），．20．解：原式413=+-4113=+--1=102021202116cos 45()( 1.73)|5|4(0.25)3-︒++-+-+⨯-20216315(40.25)=++--⨯3151=+++--8=4=+122=+52=221212232=-⨯+⨯-1121232232=-⨯+⨯-111222=-+-1=21=-11=+=(tan 2)(tan 1)0αα+-=tan 20α=-=tan 1α=45α=︒(2cos 1)(cos 2)0αα--=，（舍去）．21．解：（1），，；（2）一个三角形的三个内角的比是，且三角形的内角和为，三角形的三个内角为30、30、120，①当、时，，，，是方程的两个不相等的实数根，，解得：，；②当、时，，，，是方程的两个不相等的实数根，，解得：，；③当、时，，此时，不满足题意．综上，当时，，、时，，．22．解：如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于1cos 2α=cos 2α=60α=︒3sin120sin(180120)sin 602︒=︒-︒=︒=cos135cos(180135)cos 45︒=-︒-︒=-︒=tan150tan(180150)tan 30︒=-︒-︒=-︒= 1:1:4180︒∴30A =︒30B =︒1sin 2A =cos B =sin A cos B 210ax bx --=∴12112b a a⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩a =2b =--30A =︒120B =︒1sin 2A =1cos 2B =-sin A cos B 210ax bx --=∴1122111()22b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪⎩4a =0b =120A =︒30B =︒sin A =cos B =sin cos A B =30A B ==︒a =2b =-30A =︒120B =︒4a =0b =AO CE F M M MN CD ⊥点，为的直径，，，，，，垂足为，设的半径为，则，，解得：或（舍去），，即的半径是5；，由对称性可知，，，连接，则，，过点作于点，，即图中阴影部分的面积是：．故本题答案为：．23．解：如图，当点在点时，作出点关于的对称点，当点在点时，作出点的对称点，连接，，N CD O e AB CD ⊥8AB =142AG AB ∴==:3:5OG OC = AB CD ⊥G ∴O e 5k 3OG k =222(3)4(5)k k ∴+=1k =1k =-55k ∴=O e 15ECD ∠=︒ 30DCM ∠=︒CBM S S =阴影弓形OM 60MOD ∠=︒120MOC ∴∠=︒M MN CD ⊥N sin 605MN MO ∴=︒=g 12025253603OMC OMC S S S ππ∆⨯⨯∴=-==-阴影扇形253π253πP A C BP C 'P D CC ''C C ''BD点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧，线段的扫过的区域面积为扇形的面积和△的面积之和，，，，，，，扇形的面积为：，过点作于点，，线段扫过的区域的面积为．故本题答案为：24．解：（1）；（2）∴1C B BC C C '''∴1CC BC C '''BC C ''2AB=BC=tan CD DBC BC ∴∠==30DBC ∴∠=︒260C BC DBC ''∴∠=∠=︒120C BC '''∴∠=︒∴BC C '''22120143603BC πππ⋅⋅=⨯⨯=C ''C F BC ''⊥F sin sin 603C F BC C BC ''''''∴=∠=︒=11322C CB S BC C F ''''∴=⋅=⨯=V ∴1CC 4π+4π+sin15︒sin(4530)=︒-︒sin 45cos30cos 45sin 30=︒⋅︒-︒⋅︒12==cos75︒cos(4530)=︒+︒cos 45cos30sin 45sin 30=︒⋅︒-︒⋅︒；（3）．．．25．（1）证明：如图，连接、，是直径，，，是的中点，又是的中点，，，，12==sin165sin(18015)sin15tan165cos165cos(18015)cos15︒︒-︒︒︒===︒︒-︒-︒cos15︒cos(4530)=︒-︒cos 45cos30sin 45sin 30=︒⋅︒+︒⋅︒12==tan1652︒==-AD OD AC AD BC ∴⊥AB AC = D ∴BC O AC //DO AB ∴DE AB ⊥ DO DE ∴⊥又点在上，是的切线；（2）解：由（1）知，，，，，解得：，，，；（3）解：如上图，连接，，，是等边三角形，，同理可得：是的中位线，四边形是平行四边形，，，，，，，平行四边形的面积，． D O e DE ∴O e //DO AE FOD FAE ∴∆∆∽∴FO DO FA AE =∴FC OCDO FC AC AB BE +=+-∴22441FC FC +=+-2FC =6AF ∴=411cos 62AE AB BE A AF AF --∴====60A ∴∠=︒OM AB AC = 60A ∠=︒ABC ∴∆224OF OC CF =+=+=OM ABC ∆∴ODBM 60FOD ∴∠=︒60MOD ∠=︒120COM ∴∠=︒sin 604DF OF =︒==11222DOF S DO DF ∴==⨯⨯=V g 11222DB BC AC === ∴sin 602DE DB =︒==g 2120423603COM S ππ=⋅=扇形∴ODBM 2DO DE ===g 4433S ππ∴=-=-阴影。
(完整版)九年级数学下学期三角函数练习题
九年级数学下学期三角函数测试卷班级： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC = 1，AB = 4 ， 则sinA 的值是 A ．1515 B ．41 C ．31 D ．4152．当锐角α>30°时，则cosα的值是 A ．大于12 B ．小于12C 3D 33．如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，现在从AC 上取一点B ，使得∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，要使A 、C 、E 在一条直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米；D ．o55tan 500米4. 如图1，在Rt △ABC 中，ACB ∠90=o，CD ⊥AB 于D ，若3BC =，4AC =，则tan BCD ∠的值为 （ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．455. 在△ABC 中，90C ∠=o，2B A ∠=∠，则cos A 等于（）Ａ．32Ｂ．123Ｄ．336. 如图2所示，旗杆AB 在C 处测得旗杆顶的仰角为30o， 向旗杆前进12m 到达D ，在D 处测得A 仰角为45o， 则旗杆的高AB 等于（ ）m ． Ａ．12 Ｂ．14Ｃ．16Ｄ．187. 在△ABC 中，90C ∠=o，12sin 13A =，周长为45，CD 是斜边AB 上的高，则CD 的长是（ ） Ａ．5613Ｂ．12613Ｃ．7613Ｄ．17128.△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 32sin 30B A +=（），则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形ＡＣＤＢ图1ＡＣＤＢ图2CE二、填空题：（每小题3分，共30分）1. 如图3，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD AB ∥．则α∠的余弦值为 2．已知：∠α是锐角，︒=36cos sin α，则α的度数是 。
初三数学下册三角函数练习题
初三数学下册三角函数练习题一、填空题1. 在单位圆上，角度为60°的点的坐标是（_______，_______）。
2. sin45°的值是________。
3. cos30°的值是________。
4. tan60°的值是________。
5. 在直角三角形ABC中，边AC=5，边AB=3，cos∠B的值是________。
二、单选题1. 在单位圆的第一象限上，点P的坐标是（√2/2，√2/2）。
则∠P 的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 三角函数tan(-120°)的值等于：A. tan(120°)B. tan(-60°)C. -tan(60°)D. -tan(-60°)3. sin30°的值等于：A. 1/2B. √3/2C. 1D. √2/24. 当sin∠A=1/2，∠A的值为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 在三角形ABC中，边AB=8，∠A=60°，则边AC的长度为：A. 4B. 4√3C. 6D. 8三、解答题1. 在单位圆上，角度为45°的点的坐标是多少？2. 求解下列三角函数的值：a) cos60°b) sin120°c) tan30°3. 在直角三角形ABC中，边AC=12，边AB=15，求cos∠B和sin∠B的值。
4. 已知三角形ABC中，∠A=45°，AB=6，BC=8，求sin∠B和tan∠B的值。
5. 解方程sinx=1/2，其中x∈[0,360]。
四、应用题1. 太阳抛物线是指一个物体在重力作用下沿抛物线运动。
已知抛物线的顶点坐标为(0, 4)，抛物线与x轴交于点A，角度∠AOB为45°（O 为抛物线的焦点，B为顶点）。
初中数学人教版九年级下册 28.1 锐角三角函数同步练习(共3课时,无答案)
28.1 锐角三角函数第一课时一、填空题1. 如图所示, B、B'是∠MAN的AN 边上的任意两点, BC⊥AM于 C 点, B'C'⊥AM于 C'点,则△B'AC'∽ , 从而B ′C′BC =AB′()=()AC,又可得①B ′C′AB′=¯,即在Rt△ABC中(∠C=90°), 当∠A 确定时, 它的与的比是一个值；②AC ′AB′=¯,即在Rt△ABC中(∠C=90°), 当∠A确定时, 它的与的比也是一个值；③B ′C′AC′=¯,即在Rt△ABC中(∠C=90°), 当∠A确定时, 它的与的比还是一个值.2. 如图所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°.①sinA=¯,sinB=¯;②cosA=¯,cosB=¯;③tanA=¯,tanB=¯.3. AE、CF是锐角△ABC的两条高, 如果 AE: CF=3: 2, 则 sinA: sinC 等于 .4. 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 若a=3, b=4, 则c= ,sinA=____________,cosA=_______________,tanA=______________.sinB= , cosB= , tanB= .5. 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 若∠B=30°, 则∠A= ,sinA= , tanA= , cosA= ,sinB= , cosB= , tanB= .6. 在Rt△ABC中, ∠C=90°, 若a=1, b=2, 则c= ,sinA= , cosA= , tanA= ,sinB= , cosB= , tanB= .二、选择题7.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A'B'C',那么锐角A,A'的余弦值的关系为( ).A. cosA=cosA'B. cosA=3cosA'C. 3cosA=cosA'D. 不能确定8. 如图3, 点A为∠B边上的任意一点, 作AC⊥BC于点C, CD⊥AB于点D, 下列用线段比表示cosα的值，错误的是 ( )A.BDBC B.BCABC.CDACD.ADAC9. 在△ABC中, ∠C=90°, ∠A, ∠B, ∠C的对边分别是a, b, c,则下列各项中正确的是 ( ).A. a=c·sinBB. a=c·cosBC. a=c·tanBD. 以上均不正确10. 在Rt△ABC中,∠C=90°, cosA=23,则 tanB 等于 ( ).A 35B.√53C.25√5D.√5211. ⊙O的半径为R, 若∠AOB=α, 则弦AB的长为 ( ).A.2Rsinα2 B. 2RsinαC.2Rcosα2D. Rsinα12. 如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点, 则cos∠ABC等于 ( ).A.√5B.√55C.2√55D.3√510三、解答题13. 已知: 如图, Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, CD⊥AB 于 D 点,AB=4, BC=3. 求: sin∠ACD、cos∠ACD、tan∠ACD.14. 已知: 如图, Rt△ABC中, ∠C=90°. D是AC边上一点, DE⊥AB 于E点. BC:AC=1:2.求: sin∠ADE、cos∠ADE、tan∠ADE .15. 如图, 在矩形纸片 ABCD 中, AB=6, BC=8. 把△BCD 沿对角线 BD折叠, 使点C 落在 C'处, BC'交 AD 于点 G; E、F 分别是 C'D和BD上的点, 线段EF交AD 于点H, 把△FDE沿E F折叠, 使点D落在 D'处, 点D'恰好与点 A 重合.(1) 求证: △ABG≌△C' DG; (2) 求 tan∠ABG的值;(3) 求EF的长.第二课时一、填空题1. sin30°= , sin60°= , sin60°= ;cos30°= , cos45°= , cos60°= ;tan30°= , tan45°= , tan60°= .2. 已知: α是锐角, cosα=12√2,tanα=¯.3. 已知∠A 是锐角, 且tanA=√3,则sin A2=¯.4. 已知: ∠α是锐角, sinα=cos36°, 则α的度数是 .5. 小明同学遇到了这样一道题：√3tan(a+20∘)=1,则锐角．α的度数应是 .6. 已知∠α为锐角, 若sinα=cos30°, tanα= ; 若tan70°·tanα=1, 则∠α= .二、选择题7. 当锐角A 的cosA>√22时, ∠A的值为( ).A 小于45°B 小于30°C 大于45°D 大于60°8.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sinA=12,cosB=√32,则此三角形形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不能确定9. 在△ABC中, ∠C=90∘,sinA=√32,则cosB等于 ( ).A. 1B.√32C.√22D 1210. 在平面直角坐标系内 P 点的坐标(cos30°, tan45°), 则 P 点关于x轴对称点 P'的坐标为 ( ).A.(√32,1)B.(−1,√32)C.(√32,−1)D.(−√32,−1)11. 下列不等式成立的是 ( ).A.tan45°<sin60°<cos45°B. cos45° <sin45° <tan45°C. cos45° <tan60° <tan45°D.cos45°<sin60°<tan60°12. 若√3tan(α+10∘)=1,则锐角α的度数为( ).A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°三、解答题13. 计算:(1)(−2)−1−|−√8|+(√2−1)0+4cos45∘(2)(√2+1)0−2−1−√2tan45∘+|1−√2|14. 我们定义：等腰三角形中底边与腰之比叫做顶角的正对( sad)，在△ABC中，AB=AC ,顶角 A 的正对记作 sadA, 这时已知sinα=35(α为锐角) , 计算sadα的值.15. 如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin²A₁+sin²B₁=;sin²A₂+sin²B₂=;sin²A₃+sin²B₃=________.(1) 观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°,都有sin²A+sin²B=.(2) 如图④, 在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想.第三课时一、填空题1. 化简: √(tan30∘−1)2=¯.2. 计算: sin²30°+cos²30°=,sin²45°+cos²45°=sin²60°+cos²60°=.3. 化简: √1−2sinα⋅cosα(其中( 0°<α<90°)=.4. 已知: 如图, Rt△ABC中, ∠C=90°, 按要求填空:(1)∵sinA=ac,∴a=c·sinA,c= ;(2)∵cosA=bc,∴b= , c= ;(3)∵tanA=ab,∴a= , b= ;(4)∵sinB=√32,∴cosB=¯,tanB=¯;(5)∵cosB =35,∴sinB =¯,tanA =¯;(6) ∵tanB=3, ∴sin B = , sinA= .5. 如图, ⊙O 的半径OA=16cm, OC ⊥AB 于C 点, sin ∠AOC =34.则AB= . 6. 已知: 如图, △ABC 中, AB=9, BC=6, △ABC 的面积等于9, 则 sinB =.二、选择题7. 如图，梯子(长度不变) 跟地面所成的锐角为A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是 ( ) A. sinA 的值越大, 梯子越陡 B. cosA 的值越大, 梯子越陡 C. tanA 的值越小, 梯子越陡 D. 陡缓程度与∠A 的函数值无关8. 如图,在等边△ABC 中, D 为BC 边上一点, E 为AC 边上一点, 且∠ADE=60°, BD=4, CE =43,则△ABC 的面积为( ) .A.8√3B. 15C.9√3D.12√39.如图,直径为10的⊙A 经过点 C(0,5)和点O(0,0),B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).A 12 B 34 C.√32 D 4510. 如图, △ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形, 点B, C, D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC =BCCD ;②S △ABC+S △CDE ≧S △ACE;③BM ⊥DM; ④BM=DM, 正确结论的个数是 ( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个11. 如图, △ABC中,BC=7,cosB=√22,sinC=35,则△ABC的面积是 ( )A. 12B. 12C. 14D. 2112. 已知: 如图, AB是⊙O的直径, 弦AD、BC相交于P点, 那么DCAB的值为( )A. sin∠APCB. cos∠APCC. tan∠APCD.1tan∠APC三、解答题13. 阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题: 在 Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=22.5°, 则t an22.5° =小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形(如图1)，他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角 45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题. 于是小天尝试着在 CB 边上截取 CD=CA, 连接AD(如图2), 通过构造有特殊角(45°) 的直角三角形,经过推理和计算使问题得到解决.请回答：tan22.5°=.参考小天思考问题的方法，解决问题：如图3, 在等腰△ABC 中, AB=AC, ∠A=30°, 请借助△ABC, 构造出15°的角, 并求出该角的正切值.̂上的两点，∠AOD>∠AOC,求证：14. 已知: 如图, ∠AOB=90°, AO=OB, C、D是AB(1) 0<sin∠AOC<sin∠AOD<1;(2)1>cos∠AOC>cos∠AOD>0;(3) 锐角的正弦函数值随角度的增大而；(4) 锐角的余弦函数值随角度的增大而 .15.已知:如图,在△ABC中,. AB=AC,AD⊥BC于D, BE⊥AC于E,交AD于H点.在底边BCS HBC的值是保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积SABC′否随着变化?请说明你的理由.。
九年级数学 三角函数50道练习题
九年级数学三角函数50道练习题（以上为标题，不计入800字）1. 已知一个角的补角是60度，求该角的大小。
2. 求解sin45°的值。
3. 已知tanθ = 1/√3，求θ的度数。
4. 求解cos30°的值。
5. 若sinθ = cos(180° - θ)，求θ的度数。
6. 求解tan60°的值。
7. 若secθ = 2，求cosθ的值。
8. 若tanθ = 2，求cotθ的值。
9. 求解sin60°的值。
10. 若sinθ = cos90° - θ，求θ的度数。
11. 已知sinθ = 1/2，求θ的度数。
12. 求解tan30°的值。
13. 若cscθ = 4/3，求sinθ的值。
14. 已知cosθ = 1/√2，求θ的度数。
15. 求解cos45°的值。
16. 若secθ = -2，求cosθ的值。
17. 如果tanθ = 4/3，求cotθ的值。
18. 求解sin30°的值。
19. 若sinθ = cos(90° - θ)，求θ的度数。
20. 已知cosθ = 1/2，求θ的度数。
21. 求解tan45°的值。
22. 若secθ = -1/2，求cosθ的值。
23. 如果tanθ = 3/4，求cotθ的值。
24. 求解sin120°的值。
25. 若sinθ - cosθ = 0，求θ的度数。
26. 已知tanθ = √3，求θ的度数。
27. 求解cos60°的值。
28. 若secθ = -√2，求cosθ的值。
29. 如果tanθ = -2/3，求cotθ的值。
30. 求解sin150°的值。
31. 若sinθ + cosθ = 1，求θ的度数。
32. 已知cotθ = 4/3，求θ的度数。
33. 求解cos75°的值。
34. 若secθ = -1/√3，求cosθ的值。
九年级数学下册三角函数的应用练习题
九年级数学下册三角函数的应用练习题题目一：已知直角三角形ABC，其中∠B为直角，AB = 12cm，BC = 5cm。
计算以下各题：1. 计算∠ACB的正弦值、余弦值、正切值；2. 计算∠ACB的余弦值、余割值、正切值；3. 若点D在线段BC上，且BD = 3cm，计算∠ADB的正弦值、余弦值、正切值；4. 若点D在线段BC上，且BD = 3cm，计算角度∠ADB的正弦值、余弦值、正切值。
解答：1. ∠ACB的正弦值：sin(∠ACB) = 对边/斜边 = AB/BC = 12/5；∠ACB的余弦值：cos(∠ACB) = 临边/斜边 = BC/AB = 5/12；∠ACB的正切值：tan(∠ACB) = 对边/临边 = AB/BC = 12/5。
2. ∠ACB的余弦值：cos(∠ACB) = 临边/斜边 = BC/AB = 5/12；∠ACB的余割值：cosec(∠ACB) = 斜边/对边 = AB/BC = 12/5；∠ACB的正切值：tan(∠ACB) = 对边/临边 = AB/BC = 12/5。
3. ∠ADB的正弦值：sin(∠ADB) = 对边/斜边 = BD/AB = 3/12；∠ADB的余弦值：cos(∠ADB) = 临边/斜边 = AD/AB = (AB-BD)/AB = (12-3)/12 = 9/12；∠ADB的正切值：tan(∠ADB) = 对边/临边 = BD/AD = 3/(12-3) = 3/9 = 1/3。
4. ∠ADB的正弦值：sin(∠ADB) = 对边/斜边 = BD/AB = 3/12；∠ADB的余弦值：cos(∠ADB) = 临边/斜边 = AD/AB = (AB-BD)/AB = (12-3)/12 = 9/12；∠ADB的正切值：tan(∠ADB) = 对边/临边 = BD/AD = 3/(12-3) = 3/9 = 1/3。
题目二：一支标枪离地面的水平距离为20m，离地面的高度为5m。
2024年数学九年级下册三角函数基础练习题(含答案)
2024年数学九年级下册三角函数基础练习题（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知sinA = 0.6，cosA = 0.8，那么tanA的值为（）A. 0.75B. 0.75C. 0.75D. 0.752. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，若sinB = 3/5，则cosA 的值为（）A. 4/5B. 3/4C. 4/3D. 3/43. 若0°＜θ＜90°，且cosθ = 4/5，则sin(90° θ)的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/34. 已知tanα = 1，则sinα和cosα的值分别为（）A. 1, 1B. 1, 0C. 1, 1D. 1, 05. 在直角坐标系中，点P(3, 4)位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 若sinθ = 0.5，则θ的终边可能位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 已知sinα = √3/2，且α为锐角，则cosα的值为（）A. 1/2B. √3/2C. 1/√2D. 1/28. 若0°＜θ＜180°，且cosθ = 1/2，则sinθ的值为（）A. √3/2B. √3/2C. 1/2D. 1/29. 在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为1/2，则这个锐角的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°A. sinAB. cosAC. tan(90° A)D. cotA二、判断题：1. 若一个角的正弦值等于它的余弦值，则这个角为45°。
（）2. 在直角三角形中，锐角的正弦值随着角度的增大而增大。
（）3. 若sinA = 0，则A为90°。
（）4. 对于任意锐角α，sinα和cosα的值都在0到1之间。
（）5. 在直角坐标系中，第二象限的点的横坐标为正，纵坐标为负。
(完整)初中数学三角函数练习题
(完整)初中数学三角函数练习题初中数学三角函数练题1. 求下列三角函数的值：a) sin 30°b) cos 45°c) tan 60°2. 在直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 5 cm，BC = 12 cm。
求 sin A、cos A 和 tan A 的值。
3. 如果 sin x = 0.6，求 x 的值（0° ≤ x ≤ 180°）。
4. 已知 sin y = 0.8，求 cos y 的值（0° ≤ y ≤ 180°）。
5. 在直角三角形 DEF 中，∠E = 30°，EF = 6 cm，DE = 8 cm。
求 sin F、cos F 和 tan F 的值。
6. 如果 cos z = 0.4，求 z 的值（0° ≤ z ≤ 180°）。
7. 已知 cos w = 0.7，求 sin w 的值（0° ≤ w ≤ 180°）。
8. 在直角三角形 GHI 中，∠H = 60°，GH = 9 cm，HI = 3 cm。
求 sin G、cos G 和 tan G 的值。
9. 如果 tan v = 1.5，求 v 的值（0° ≤ v ≤ 180°）。
10. 已知 tan u = 2，求 sin u 的值（0° ≤ u ≤ 180°）。
11. 在直角三角形 ___ 中，∠K = 45°，JK = 6 cm，KL = 6 cm。
求 sin L、cos L 和 tan L 的值。
12. 如果 cot t = 0.75，求 t 的值（0° ≤ t ≤ 180°）。
13. 已知 cot s = 4，求 sin s 的值（0° ≤ s ≤ 180°）。
14. 已知cos α = 0.6，求sin^2 α 和cos^2 α 的值。
北师大版九年级数学下册《1.1锐角三角函数》同步测试题及答案
北师大版九年级数学下册《1.1锐角三角函数》同步测试题及答案1.如图，在Rt ABC △中，AC=4，BC=3，90C ∠=︒则sin A 的值为( )A.34B.53C.43D.352.在Rt ABC △中90C ∠=︒ 3cos 5A =，AB=10，则BC 的( ) A.3 B.4 C.6 D.83.在Rt ABC △中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角A 的余弦值( )A.扩大4倍B.保持不变C.缩小4倍D.扩大2倍4.如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列正确的是( )A.3tan 4DCB ∠=B.5tan 3DCB ∠=C.4cos 5DCB ∠=D.4sin 5DCB ∠= 5.已知A B ∠∠=︒+90，且3cos 5A =，则tanB 的值为( ). A.45 B.35 C.34 D.43 6.ABC △中，A ∠和B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c .已知6810a b c ===，，，则cos A ∠的值为( )A.35B.34C.45D.43 7.如图,在44⨯网格正方形中,每个小正方形的边长为1,顶点为格点,若ABC △的顶点均是格点,则cos BAC ∠的值是( )A.55B.105C.255D.458.如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin BAC∠的值为( ) A. B.55C. D.2539.已知ABC△中，90C∠=︒和3cos5A=，AC=6，那么AB的长是___________.10.在等腰三角形ABC中10AB AC==，BC=12，则tan B=_____________.11.如图，在44⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC△的顶点均是格点，则sin∠的值为_____.12.如图，在ACD中90C∠=︒，15A∠=︒点B在边AC上，且2AB BD==，则BC= _______________，tan CAD∠=_______________.ABC△51213.如图，在四边形ABCD 中90ABC ∠=︒ 45C ∠=︒ 2CD 3BD =.(1)求sin CBD ∠的值；(2)若3AB =，求AD 的长.14.如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(10,0)，点B 在第一象限内5BO = 3sin 5BOA ∠=求：(1)点B 的坐标；(2)cos BAO ∠的值.参考答案及解析1.答案：D解析：=4AC =3BC 90C ∠=︒∴2222345AB AC BC =++= ∴3sin 5BC A AB ==； 故选：D.2.答案：D解析：如图在Rt ABC △中 3cos 5AC A AB ==10AB =6AC ∴=在Rt ABC △中 22221068BC AB AC =-=-=. 故选：D.3.答案：B解析：在Rt ABC △中，各边的长度都扩大4倍 ∴各角的大小不变，即A ∠大小不变.一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关∴锐角A 的余弦值保持不变.故选：B.4.答案：D解析：Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，AC=3，CB=4 5AB ∴= DCB DBC DBC A ∠+∠=∠+∠DCB A ∴∠=∠4tan tan 3DCB CAD ∴∠=∠=，故A 选项不正确； 4tan 3DCB ∴∠=，故B 选项不正确；3cos 5DCB ∴∠，故C 选项不正确； 4sin 5DCB ∴∠=，故D 选项正确 故选：D.5.答案：C解析：如图A B ∠∠=︒+90∴90C ∠=︒3cos5A =∴设3AC x = 5AB x =∴224BC AB AC x =-=∴33tan 44xB x ==故选：C.6.答案：C解析：在ABC △中6a = 8b = 10c =2222683664100a b ∴+=+=+=2100c = 222a b c ∴+=ABC ∴△是直角三角形84cos 105b A c ∴===.故选：C.7.答案：C解析：过点C 作AB 的垂线交AB 于一点D ,如图所示∵每个小正方形的边长为1∵5AC = 10= 5AB =设AD x =,则5BD x =-在Rt ACD △中 222DC AC AD =-在Rt BCD △中 222DC BC BD =-∵2210(5)5x x --=-解得2x =∵25cos 55AD BAC AC ∠=== 故选：C.8.答案：B解析：如图，过B 作BD AC ⊥于点D根据勾股定理得：22345AB =+= 223635AC =+=11111546313463,22222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△ 5BD ∴=5sin 5BD CAB AB ∴∠== 故选：B.9.答案：10解析：在Rt ABC △中3cos 5AC A AB == 6AC = 10AB ∴=故答案为：10.10.答案：43解析：本题易因忽略求tan B 的前提是将B ∠放在一个直角三角形中而出错. 11.答案：55解析：延长AC 到D ，连接BD ，如图：220AD = 25BD = 225AB = 222AD BD AB ∴+=90ADB ∴∠=︒55sin 525BD BAC AB ∴∠===. 故答案为：55. 12.答案：323/32解析：2AB BD ==∴15A ADB ∠=∠=︒∴30DBC A ADB ∠=∠+∠=︒ 90C ∠=︒∴112CD BD ==在Rt DBC △中，由勾股定理得：2222213BC BD CD =--= ∴23AC AB BC =+= ∴tan 2323CD CAD AC ∠===-+ 故答案为：3 3.13.答案：(1)1sin 3CBD ∠= (2)23AD =解析：(1)如图，过点D 作DE BC ⊥于点E .在Rt CED △中45C ︒∠= 2CD = 1CE DE ∴==.在Rt BDE △中1sin 3DE CBD BD ∠==. (2)如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，则90BFD BED ABC ∠=∠=∠=︒. ∴四边形BEDF 为矩形.1BF DE ∴==.2AF AB BF ∴=-= 2222DF BD BF =-=2223AD AF DF ∴=+.14.答案：(1)(4,3)B (2)2cos 55BAO ∠= 解析：(1)如图，过点B 作BC OA ⊥于点C . 3sin 5BCBOA BO ∠==.22534OC ∴=-=. .(2)易知10OA =.4OC = . 226335AB ∴=+5BO =3BC ∴=(4,3)B ∴6AC ∴=2cos 5535AC BAO AB ∴∠===。
(完整版)精编三角函数练习题(九年级下)
类型一：锐角三角函数本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小．1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那么( )A．B．C．D．思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可．解析：解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出，∴．∴．解法2：直接利用勾股定理求出，在Rt△ABC中，．答案：A总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可．2．计算：(1)________；(2)锐角A满足，则∠A=________．答案：(1)；(2)75°.解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可．(1)．(2)由，得，∴．∴A=75°．总结升华：已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角．3．已知为锐角，，求．思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出，再利用，使可求出．解析：解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，可设，．则，∴．解法2：由，得，∴．总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或利用，来求．类型二：解直角三角形解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形的边角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，注意三角函数的选择使用，避免计算麻烦，化非直角三角形为直角三角形问题是中考的热点．4．已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，．求：(1)DC的长；(2)sinB的值．思路点拨：题中给出了两个直角三角形，DC和sin B可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD=BC，图中CD=BC-BD，因此可列方程求出CD．解析：(1)设，在Rt△ACD中，，∴，∴．∵AD=BC，∴．又，∴，解得．∴．(2)BC=BD+CD=4+6=10=AD．在Rt△ACD中，．在Rt△ABC中，．∴．总结升华：借助三角函数值，设出其中两边，根据已知条件，列出方程，求出解，再求出其要求的问题．举一反三【变式1】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，．(1)求证：AB=DC；(2)若，，求边BC的长．思路点拨：要证AB=DC，只需证明ABC=BCD．由AC∥DE，AD∥BC，可得四边形ADEC为平行四边形，所以∠E=∠DAC．由CA平分∠BCD，可得∠BCD=2∠BCA=2∠E，所以∠B=∠BCD，问题得证，由(1)可知AD=CD=，过点A作AF⊥BC，在Rt△ABF，可求得BF=1，所以．解析：(1)证明：∵DE∥AC，∴∠BCA=∠E．∵CA平分∠BCD，∴∠BCD=2∠BCA，∴∠BCD=2∠E．又∵∠B=2∠E，∴∠B=∠BCD．∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC．(2)解：如图所示，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F、G，则AF∥DG．在Rt△AFB中，∵tan B=2，∴AF=2BF．又∵，且，∴，得BF=1．同理可知，在Rt△DGC中，CG=1．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．又∵∠ACB=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD．∴AD=DC．∵，∴．∵AD∥BC，AF∥DG，∴四边形AFGD是平行四边形．∴，∴BC=BF+FG+GC=．【变式2】已知：如图所示，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．(1)求证：△CPB≌△AEB；(2)求证：PB⊥BE；(3)PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值．思路点拨：(1)在△CPB和△AEB中，∠PBC=∠ABE，BP=BE，要证△CPBC≌△AEB，只要BC=AB即可，而四边形ABCD恰好是正方形，所以得证．(2)只要证∠PBE=90°，而∠ABC=90°，即证出．(3)要求cos∠PAE的值，需判断∠PAE所在的三角形是否是直角三角形，因此需连结PE，借助(1)(2)，求出∠PBE=，而∠APB=135°，因此∠APE=90°．解析：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB．∵∠CBP=∠ABE，BP=BE，∴△CPB≌△AEB．(2)证明：∵∠CBP=∠ABE，∴∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，∴BP⊥BE．(3)解：连结PE，∵BE=BP，∠PBE=90°，∴∠BPE=45°．设AP=k，则BP=BE=2k，∴，∴．∵∠BPA=135°，∠BPE=45°，∴∠APE=90°，．在Rt△APE中，．类型三：利用三角函数解决实际问题直角三角形应用非常广泛，是中考的重要内容之一．近年来，各地中考试题为体现新课标理念，设计了许多面目新颖、创意丰富的新型考题．运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关的应用题是近几年中考的热点．虽然解直角三角的应用题题型千变万化，但设法寻找或构造出可解的直角三角形是解题的关键．5．如图所示，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光与水平线成50°角时，测得该树在斜坡的树影BC的长为7 m，求树高．(精确到0.1m)思路点拨：树所在直线垂直于地面，因此需延长AB交水平线于一点D，则AD⊥CD，在Rt△BCD中，BC=7m，∠BCD=15°，所以求出CD、BD．而在Rt△ACD中，∠ACD=50°，利用求出AD，所以AB=AD-BD 即可求出．解析：如图，过点C作水平线与AB延长线交于点D，则AD⊥CD．∵∠BCD=15°，∠ACD=50°，在Rt△CDB中，CD=7cos15°，BD=7sin15°．在Rt△CDA中，．∴．答：树高约为6.2m．总结升华：解这类问题一般构造直角三角形，借助角与边的关系，求得未知边，再解另一个直角三角形得到问题答案．举一反三【变式1】高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB(如图所示)．(1)某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度．(2)用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：①在下图中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标在图上(长度用字母m、n表示，角度用希腊字母…表示)；②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB的高度(用字母表示)．思路点拨：本题主要考查解直角三角形的有关知识，并且让学生根据所提供的信息设计测量方案．解析：连结AC、EF(图略)．(1)∵太阳光线是平行线，∴AC∥EF，∴∠ACB=∠EFD．∵∠ABC=∠EDF=90°，∴△ABC∽△EDF．∴．∴．∴AB=4.2．答：大树AB的高是4.2米．(2)如图所示，MG=BN=m，，∴米．总结升华：本题将解直角三角形的相关知识与测量方案设计结合在一起，联系生活实际，让学生自己设计测量方案，得出结果，培养动手实践操作能力．同时，引导学生结合生活实际建立数学模型，促使大家进一步认识数学就在身边，会用数学知识解决现实生活中的问题．【变式2】2008年6月以来某省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生．北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC=65°．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．(1)求坡顶与地面的距离AD等于多少米?(精确到0.1米)(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米?(精确到0.1米)解析：(1)在Rt△ADB中，AB=30m，∠ABD=65°，．所以AD=AB·sin∠ABD=30×sin65°≈27.2(米)．答：AD等于27.2米．(2)在Rt△ADB中，，所以DB=AB·cos∠ABD=30×cos65°≈12.7(米)．连结BE，过E作EN⊥BC于N，因为AE∥BC，所以四边形AEND为矩形，则NE=AD≈27.2．在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，当∠EBN=45°时，BN=EN=27.2．所以AE=ND=BN-BD=14.5(米)．答：AE至少是14.5米．类型四：锐角三角形函数与斜三角形6．数学活动课上，小敏、小颖分别画出了△ABC和△DEF，数据如图所示，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么( )A．B．C．D．不能确定解析：此两图一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形，因此解决此问题，关键作高构造直角三角形，如图所示，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H，在Rt△ABG中，由得，∴．在Rt△DHE中，∠DEH=180°-130°=50°，∴得，从而也求得，∴．答案：C总结升华：解斜三角形时往往作高把斜三角形转化为直角三角形，利用直角三角形边边、边角、角角关系求出问题答案．举一反三【变式1】已知如图所示，(1)当△ABC为锐角三角形时，AB为最长边，三边分别为a、b、c，①试判断与的大小关系．②用a、b、c，表示出cosB．(2)当△ABC为钝角三角形时，∠C为钝角，①判断与的大小关系？②用a、b、c表示cosB．思路点拨：解此类问题需作高线构造直角三角形，通过观察发现构造的两直角三角形有一条公共边，借助它列方程，设CD=x，则在图(1)中，图(2)中，则图(1)方程为．图(2)方程为，先求出，再进一步求．解析：(1)①如图(1)，过点A作AD⊥BC于点D，设，则，在Rt△ACD和Rt△ABD中，有，．∴，解得．而，∴，∴．②在Rt△ABD中，.(2)①如图(2)，同样过A点作AD⊥BC，垂足为D，设，则．在Rt△ACD和Rt△ABD中，，∴，解得．而，∴，∴．②此时在Rt△ABD中，。
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题(附答案)
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题（附答案）一、解答题1．（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°．2．计算tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°的值．3．（1）计算：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°；（参考公式：sinα=sin(180°−α)）（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根，求2√2bcos260°−√2的S值．4．如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G H AG=AH．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AG=2EG=1．①求sin∠BAE；②求▱ABCD的面积．5．如图在Rt△ABC中∠ACB=90°D是BC上一点过点C作CE⊥AD垂足为E．连接BE并延长交AC于点F．(1)求证：CD2=ED⋅AD；(2)若D为BC的中点ACBC =23求sin∠CEF的值．6．如图一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A其正下方水平面上的点记作点B) 小李站在附近的水平地面上他想知道自己到古塔的水平距离便利用无人机进行测量但由于某些原因无人机无法直接飞到塔顶进行测量因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°点A B C O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处再调整飞行方向继续匀速飞行8秒到达塔顶已知无人机的速度为5米/秒∠AOC=75°求小李到古塔的水平距离即BC的长．7．在综合实践课中小明同学利用无人机测量小山AB的高度．如图CD是小明同学无人机飞到小山AB的右上方时测得山顶A的俯角为37°,AP=10米测得小明同学头顶C的俯角为53.5°,PC=80米．已知小明的身高CD为1.8米求小山AB的高度．（已知AB,CD分别与水平线BD垂直且在同一平面内参考数据：sin37°≈0.60cos37°≈0.80tan37°≈0.75sin53.5°≈0.80cos53.5°≈0.59tan53.5°≈1.35）8．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间小刚站在雕像前自C处测得雕像顶A的仰角为53°小强站凤栖堂门前的台阶上自D处测得雕像顶A的仰角为45°此时两人的水平距离EC为0.45m已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．9．如图甲、乙两艘货轮同时从A港出发分别向B D两港运送物资最后到达A港正东方向的C港装运新的物资甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：√2≈1.41√3≈1.73√6≈2.45）(1)求B C两港之间的距离；(2)若甲货轮的速度为20海里/小时乙货轮的速度为30海里/小时（停靠B D两港的时间相同）哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．10．冬季是滑雪的最佳时节亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图其中的两条初级滑雪道的线路为：①A→B→C→D；②A→E→D．点A是雪道起点点D是雪道终点点B、C、E是三个休息区．经勘测点B在点A的南偏东30°方向1800米处点C 在点B的正南方向2000米处点D在C的西南方向点E在点A的西南方向1300米处点E在点D的正北方向．（参考数据：√2≈1.414√3≈1.732）(1)求CD的长度；（精确到1米）(2)小外一家周末去亚布力滑雪小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D．11．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时将细线一端固定在量角器圆心O处另一端系小重物G测量时使支杆OM、量角器90∘刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①）绕点O转动量角器使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②）此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等请写出这两个角相等的证明过程．(2)拓展应用：公园高台上有一凉亭为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④）同学们经过讨论决定先在水平地面上选取观测点E、F E、F、H在同一直线上分别测得点P的仰角a=45∘、β=30∘测得E、F间的距离2米点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH的长（结果保留根号）12．如图Rt△ABO中∠ABO=90°AB=2反比例函数y=−8x的图象经过点A．(1)求点A的坐标．(2)直线CD垂直平分AO交AO于点C交y轴于点D交x轴于点E求线段OE的长．13．随着南海局势的升级中国政府决定在黄岩岛填海造陆修建机场设立雷达塔．某日在雷达塔A 处侦测到东北方向上的点B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域且以30 海里/时的速度往正南方向航行我方与其进行多次无线电沟通无果后这艘渔船行驶了1 小时10 分到达点A 南偏东53°方向的C 处与此同时我方立即通知（通知时间忽略不计）与A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截其中海警船位于与A 相距100 海里的D 处．(1)求AC的距离和点D 到直线BC的距离；(2)若海警船航行速度为40 海里/时可侦测半径为25 海里当海警船航行1 小时时是否可以侦测到菲律宾渔船为什么？（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）14．综合实践活动中某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物AB和CD的高因为这两栋建筑物高度相同于是这个小组设计出一种简捷的方案如图所示：（1）把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上调整位置使直角尺的两边EM EN所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部A和C；（2）用皮尺度量BE和DE的长度；（3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A B C D E M N均在同一平面内．测得BE=9m DE=36m．请求出这两栋建筑的高度．15．图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的底座下方是台阶台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面DE的坡度i=1:√3坡面DE的长为2.4m．(1)计算坡面DE的铅直高度；(2)如图3 为了测量纪念碑的高度亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高1.64m的测角仪GH测得纪念碑碑身顶端A的仰角是35°继续向纪念碑前进8.1m到达点K处此时测得纪念碑顶端45°求纪念碑的实际高度AC．（结果精确到0.01参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）16．如图1是超市的手推车如图2是其侧面示意图已知前后车轮半径均为5cm两个车轮的圆心的连线AB与地面平行测得支架AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°CD=50cm．(1)求扶手前端D 到地面的距离；(2)手推车内装有简易宝宝椅 EF 为小坐板 打开后 椅子的支点H 到点C 的距离为10cm DF =20cm EF∥AB ∠EHD =45° 求坐板EF 的宽度．（本题答案均保留根号） 17．千厮门大桥是重庆最具特色的斜拉桥之一 也是重庆的“网红打卡地”之一 某校数学兴趣小组的同学们欲测量千厮门大桥桥塔的高度 如图2 他们在桥下水平地面上架设测角仪CM （测角仪垂直于地面放置） 此时测得桥塔最高点A 的∠ACE =30∘ 然后将测角仪沿MB 向前水平移动132米达到点N 处 并测得桥塔最高点A 的∠ADE =45∘ 测角仪高度CM =DN =1.6米．（点M N B 在同一水平线上 AB ⊥BM ）（结果保留整数 参考数据：√2≈1.41 √3≈1.73）(1)求桥塔的高度AB 约为多少米？(2)如图3 在（1）的条件下 小语同学在洪崖洞的某地Q 处测得千厮门大桥桥塔最高点A 的∠AQG =30∘ 最低点B 的∠BQG =60∘ 则小语同学所在地Q 与AB 的水平距离约为多少米？ 18．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.9945 sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.0018 sin29°+sin 261°≈0.482+0.872=0.9873 sin37°+sin 253°≈0.602+0.802=1.0000 sin 245°+sin 245=(√22)2+(√22)2=1．据此 嘉嘉猜想：对于任意锐角α β 若α+β=90° 均有sin 2α+sin 2β=1．(1)当α=30°β=60°时验证sin2α+sin2β=1是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立请结合如图所示Rt△ABC给予证明其中∠A所对的边为a∠B所对的边为b斜边为c；若不成立请举出一个反例；(3)利用上面的证明方法直接写出tanα与sinαcosα之间的关系．19．阅读与思考阅读下列材料并解决后面的问题．在锐角△ABC中∠A∠B∠C的对边分别是a b c过C作CE⊥AB于E（如图1）则sinB=CEa sinA=CEb即CE=asinB CE=bsinA于是asinB=bsinA即bsinB=asinA．同理有csinC =asinAcsinC=bsinB所以asinA=bsinB=csinC．即：在一个锐角三角形中各边和它所对角的正弦的比相等．运用上述结论和有关定理在锐角三角形中已知三个元素（至少有一条边）就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料完成下列各题：(1)如图1 在△ABC中∠A=60°∠C=45°BC=30则AB=______；(2)如图2 一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向距离灯塔50海里的A处它沿正北方向航行一段时间后到达位于灯塔北偏东45°方向上的B处此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）(3)在（2）的条件下试求75°的正弦值．（结果保留根号）20．如图1 正方形ABCD中P是边AD上任意一点Q是对角线AC上的点且满足∠PBQ=45°．(1)①求证：△PDB∽△QCB；②DPCQ=；(2)如图2 矩形ABCD中AB=12AD=5P、Q分别是边AD和对角线AC上的点∠PBQ=∠ACB DP=3求CQ的长；(3)如图3 菱形ABCD中DH⊥BA交BA的延长线于点H．若DC=5对角线AC=6P、Q分别是线段DH和AC上的点tan∠PBQ=34PH=85求CQ的长．参考答案：1．解：（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°=(sin230°+cos230°)+2sin60°+tan45°−tan60°=1+2×√32+1−√3=2+√3−√3=2；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°=√(1−tan60°)2−√3=√(1−√3)2−√3=√3−1−√3=−1．2．解：tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°＝（tan1°•tan89°）（tan2°•tan88°）…（tan44°•tan46°）•tan45°＝1．3．（1）解：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin2150°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin230°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2 =2×(12)2−6×(√3)2×4×[1−(12)2]2×1+4×(√22)214×√32=−107√348；（2）解：∵a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根∴(x+3)(x−1)=0解得a=−3b=1或b=−3a=1当a=−3b=1时则2√2bcos260°−√2=12×(−3)+√2 14×1−√2=−26+20√231；当b=−3a=1时则2√2bcos260°−√2=12×1+√2 14×(−3)−√2=−26+4√223；4．（1）证明：∠AE⊥BC AF⊥CD∠∠AEB＝∠AFD＝90°∠∠BAG＝90°−∠ABE∠DAH＝90°−∠ADF ∠四边形ABCD是平行四边形∠∠ABE＝∠ADF∠∠BAG＝∠DAH∠AG＝AH∠∠AGH＝∠AHG∠∠AGB＝∠AHD∠在△ABG 和△ADH 中{∠AGB ＝∠AHD∠BAG ＝∠DAH AG =AH∠△ABG≌△ADH∠AB ＝AD∠▱ABCD 是菱形；（2）①解：∠AD∥BC∠△ADG ∽△EBG∠AD BE =AG EG∠AG =2,GE =1∠AD BE =AG EG =2∠在菱形ABCD 中 AB =AD∠BE AB =12 ∠AE ⊥BC∠sin∠BAE =BE AB =12； ②∠sin∠BAE =12∠∠BAE =30°∠cos∠BAE =cos30°=AE AB =√32∠AB =2√3=BC∠S ▱ABCD =BC ×AE =2√3×3=6√3．5．（1）证明：∵ CE ⊥AD ∠ACB =90°∴∠CED =∠ACB =90°∵∠CDE +∠DCE =90°,∠DCE +∠ACE =90°∴∠ACE =∠CDE∴△CDE∽△ADC∴CD AD =DE CD∴ CD 2=ED ⋅AD ；（2）解：∵D为BC的中点∴BD=CD∵CD2=ED⋅AD∴BD2=ED⋅AD∴BDAD =DEBD∵∠ADB=∠ADB∴△ABD∽△BED∴∠ABD=∠BED∴∠AEF=∠BED=∠ABD ∵∠AEF+∠CEF=90°∴sin∠CEF=cos∠ABD∵∠ACB=90°ACBC =23设AC=2k,BC=3k∴AB=√AC2+BC2=√13k∴cos∠ABD=BCAB =√13k=3√1313∴sin∠CEF=3√1313．6．解：过点O作OD⊥BC交BC的延长线于点D过点O作OE⊥AB垂足为E如图所示：由题意得：AO=8×5=40米OC=4×5=20米OE=BD OE∥BD∴∠EOC=∠OCD=45°∵∠AOC=75°∴∠AOE=∠AOC−∠EOC=30°在Rt△OCD中CD=OC⋅cos45°=20×√22=10√2米在Rt△AOE中OE=AO⋅cos30°=40×√32=20√3米∴OE=BD=20√3米∴BC=BD−CD=20√3−10√2米∴小李到古塔的水平距离即BC的长为20√3−10√2米．7．解：如图过点C作CE⊥AB于点E过点P作PF⊥CE于点F过点A作AG⊥PF于点G则四边形BECD和四边形AEFG都是矩形∴AE=FG BE=CD.在Rt△APG中由题意知∠PAG=37°,AP=10米∠PG=sin∠PAG⋅AP=sin37°×10≈0.60×10=6（米）在Rt△PCF中由题意知∠PCF=53.5°,PC=80米∠PF=sin∠PCF⋅PC=sin53.5°×80≈0.80×80=64（米）∴AB=AE+BE=FG+CD=PF−PG+CD=64−6+1.8=59.8（米）．答：小山AB的高度约为59.8米．8．（1）解：∠凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∠DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∠由题意得四边形NFDE是矩形∠FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∠FD=MF=(x−0.15)m∠NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∠tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．9．（1）解：过点C作CM⊥AB于点M∠甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港∠∠ADC=90°∠DAC=∠DCA=45°AD=40海里∠AD=CD=40海里∠AC=√AD2+DC2=40√2海里∠乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．∠∠CAM=∠ABN=30°∠CBN=90°−15°=75°∠∠ABC=∠CBN−∠ABN=45°在Rt△ACM中∠CAM=30°∴CM=12AC=40√2×12=20√2（海里）AM=AC⋅cos30°=20√6（海里）在Rt△BCM中∠ABC=45°∴CB=CMsin45°=40（海里）BM=CM=20√2海里∴B C两港之间的距离约为40海里；（2）解：乙货轮先到达C港理由如下：∠甲货轮航行的路程=AD+DC=40+40=80（海里）∠甲货轮航行的时间=8020=4（小时）∠乙货轮航行的路程=AB+BC=20√6+20√2+40（海里）∠乙货轮航行的时间=20√6+20√2+4030=2√6+2√2+43≈3.91（小时）∵3.91<4∴乙货轮先到达C港．10．（1）解：过B作BL⊥DE于L交AN于N过作EK⊥AN于K过C作CM⊥DE于M∵点E在点A的西南方向∴∠EAK=45°∴△AEK是等腰直角三角形∴EK=AK=√22AE=√22×1300≈919.38（米）∵∠BAN=30°∠ANB=90°∴BN=12AB=12×1800=900（米）∵DE∥BC CM⊥DE BL⊥DE EK⊥AN NL⊥DE ∴四边形ELNK BCML是矩形∴BC=BL NL=EK EL=KN ML=BC∵BL=NB+NL=900+919.38=1819.38（米）∴MC=1819.38米∵∠MCD=45°∴△MCD是等腰直角三角形∴CD=√2MC≈2573（米）；（2）解：滑雪道线路①全程=AB+BC+CD=1800+2000+2572.6=6372.6（米）∴小外滑行的时间是6572.6÷5≈1274.5（秒）≈21.2（分钟）∵小外途经的每个休息区都各休息了5分钟∴小外在滑雪道线路①共用时21.2+5×2=31.2（分钟）∵AN=√3NB≈1558.8（米）∴NK=AN−AK=1558.8−919.38=639.42（米）∴EL=KN=639.42米∴ME=ML+EL=2000+639.42=2639.42（米）∵△CDM是等腰直角三角形∴MD=MC=1819.9米∴滑雪道线路②全程=AE+ME+MD=1300+2639.42+1819.9=5759.32（米）∴小外的爸爸滑行的时间是5759.32÷3≈1919.8（秒）≈32.0（分钟）∵小外的把爸爸比小外又晚出发2分钟∴小外先到达终点D．11．解：（1）目标P的仰角是图②中的∠POC目标P的仰角与图②中的∠NOG相等证明∵∠COG=90∘∠AON=90∘∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON；（2）解：由题意可得O1O2=2O1E=O2F=DH=1.5米由图可得tanβ=PDO2D tanα=PDO1D∴O2D=PDtanβO1D=PDtanα∵O1O2=O2D−O1D=2∴2=PDtanβ−PDtanα∴PD=2tanαtanβtanα−tanβ∴PH=PD+DH=2tan45∘tan30∘tan45∘−tan30∘+1.5=(52+√3)米．故PH的值为(52+√3)米．12．（1）解：∵AB=2∴点A的横坐标为−2∵A点在反比例函数y=−8x的图象上∴y=−8−2=4∴A(−2,4)．（2）解：∵A(−2,4)∠AB=2BO=4∠AO=√22+42=2√5∠CD垂直平分AO∠OC=12AO=√5CD⊥AO∠∠DOE=90°∠∠1+∠3=90°=∠2+∠3∠∠1=∠2∠sin∠1=sin∠2∠OC OE =ABOA即：√5OE=2√5解得：OE=5．13．（1）解：作DE⊥BC于E AF⊥BC于F=35设AF=x海里由题意得BC=30×76∠∠BAF=45°,∠ACF=53°x∠BF=AF=x，FC=AF÷tan53°=34x=35∠x+34解得x=20x=15∠34∠AC=√AF2+CF2=25∠CD=AD−AC=75∠DE=CD⋅sin∠ECD=CD⋅sin53°=60答：AC的距离为25海里点D到直线BC的距离为60海里；（2）能理由如下：设1小时后海警船到达点G菲律宾渔船到达点H则DG=40CH=30由（1）知CE=CD⋅cos53°=45∠HE=CE−CH=15GE=DE−DG=20由勾股定理得：GH=√HE2+GE2=25故可以侦测到菲律宾渔船．14．解：如图由题意得AB⊥BD CD⊥BD∴∠BEA+∠BAE=90°∠ECD+∠DEC=90°∵∠MEN=90°∴∠BEA+∠DEC=90°∴∠BAE=∠DEC∴tan∠BAE=tan∠DEC即BEAB =CDED设AB=CD=x可得9x =x36解得x=18经检验x=18是原方程的解答：两栋楼的高度为18m．15．（1）解：如图所示：过点D作DH⊥FE于点H∠i=DHEH =√3∠设DH=xm EH=√3xm∠∠DHE=90°,DE=2.4m∠DH2+HE2=DE2∠x2+(√3x)2=2.42解得：x=±1.2（负值舍去）∠CF=DH=1.2m∠坡面DE的铅直高度为1.2m；（2）设AM=ym∠∠AMI=90°,∠AIM=45°∠∠MAI=45°∠∠MAI=∠AIM∠MI=AM=ym∠∠AHM=35°，∠AMH=90°∠tan35°=AMMH≈0.700∠yMH∠MH≈y0.7∠MH−MI=8.1−y=8.1∠y0.7∠y=18.9∠AM=18.9m∠AF=AM+MF=18.9+1.64=20.54(m)∠AC=AF−CF=20.54−1.2=19.34(m)．∠纪念碑的实际高度AC为19.34m．16．（1）解：如图2 过C作CM⊥AB垂足为M又过D作DN⊥AB垂足为N过C作CG⊥DN垂足为G则∠DCG=60°．则四边形CMNG为矩形CM=NG∵AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°∴∠A=∠B=30°AC=30cm．则在Rt△AMC中CM=12∵在Rt△CGD中sin∠DCG=DGCD=50cmCD=25√3(cm)．∴DG=CD⋅sin∠DCG=50⋅sin60°=50×√32又GN=CM=30cm前后车轮半径均为5cm∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5=25√3+30+5=(35+25√3)(cm)；（2）解：∵EF∥CG∥AB∴∠EFH=∠DCG=60°∵CD=50cm椅子的支点H到点C的距离为10cm DF=20cm∴FH=20cm如图2 过E作EQ⊥FH垂足为Q设FQ=x在Rt△EQF中∠EFH=60°∴EF=2FQ=2x EQ=√3x在Rt△EQH中∠EHD=45°∴HQ=EQ=√3x∵HQ+FQ=FH=20cm∴√3x+x=20解得x=10√3−10．∴EF=2(10√3−10)=20√3−20(cm)．答：坐板EF的宽度为(20√3−20)cm．17．（1）解：如图所示延长CD交AB于点F由题意得：CD=MN=132DF=BN∠AFD=90°CM=DN=BF=1.6设DF=x则CF=x+132在Rt△ADF中∠ADF=45°∴AF=x在Rt△ACF中∠ACE=30°tan30°=AFCF =xx+132≈0.58∴x≈182经检验x≈182是原方程的解且符合题意∴AB=AF+BF=182+1.6≈184米∴桥塔的高度约为184米（2）解：延长QG交AB于点M由题意可知QM⊥AB AB=184∵∠AQG=30°∠BQG=60°∠A=60°∠B=30°设AM=y则BM=184−ytan∠A=tan60°=QMAM≈1.73tan∠B=tan30°=QMBM≈0.58tan30°tan60°=AMBM=y184−y=0.581.73解得：y≈46.2∴QM=AM·tan60°=46.2×√3=80故Q处与AB的水平距离约为80米18．（1）解：∠sin30°=12sin60°=√32∠sin2α+sin2β=(12)2+(√32)2=1结论成立；（2）解：成立．理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac sinβ=bc且a2+b2=c2∠sin2α+sin2β=(ac )2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1故结论成立；（3）解：tanα=sinαcosα理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac cosα=bctanα=ab∠tanα=acbc=sinαcosα∠tanα=sinαcosα．19．（1）解：由题意可知：asinA =bsinB=csinC∠∠A=60°∠C=45°BC=30∠BC sin60°=ABsin45°即√32=√22∠AB=10√6故答案为：10√6．（2）解：如图：由题意可知∠APE=60°，∠BPF=45°AB∥EF AP=50海里asinA =bsinB=csinC∠∠A=∠APE=60°，∠B=∠BPF=45°∠BP sin60°=APsin45°即√32=√22∠BP=25√6∠B处与灯塔的距离为25√6海里故答案为：25√6．（3）解：如图：由题可知PA=50海里PC⊥AB∠∠EPC=∠FPC=90°∠∠APE=60°∠BPF=45°∠∠APC=30°∠bPC=45°∠∠APB=∠APC+∠BPC=75°在Rt△APC中AC=12PA=25海里PC=√32PA=25√3海里在Rt△BPC中BC=PC=25√3海里∠AB=AC+BC=(25+25√3)海里由前面定理可知：ABsin∠APB =PAsin∠B则25+25√3sin75°=50sin45°∠sin75°=25+25√350×√22=√2+√64∠75°的正弦值√2+√64．20．（1）解：①∵四边形ABCD为正方形BD AC是对角线∴∠PDB=∠QCB=∠DBC=45°∴∠QBC+∠DBQ=45°∵∠PBQ=45°∴∠PBD+∠DBQ=45°∴∠QBC=∠PBD∴△PDB∽△QCB；②∵四边形ABCD为正方形∴BC=DC∠BCD=90°∴BD=√BC2+DC2=√2BC∵△PDB∽△QCB∴DPCQ =BDBC=√2BCBC=√2；故答案为：√2；（2）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为矩形∴AD∥BC OA=OD∠DAB=90°∴∠ACB=∠OAD=∠ODA=∠OBC∵∠PBQ=∠ACB∴∠PBQ=∠OBC∴∠PBD+∠DBQ=∠QBC+∠DBQ∴∠PBD=∠QBC ∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AB=12AD=5∴BD=√AB2+AD2=13∵BC=AD=5DP=3∴QC3=513∴QC=1513；（3）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为菱形AC BD是对角线∴AC⊥BD∴AO=OC=12AC=3∴BO=√BC2−OC2=√52−32=4∴tan∠DBC=OCOB =34∵tan∠PBQ=34∴∠DBC=∠PBQ∴∠DBQ+∠PBD=∠DBQ+∠QBC ∴∠PBD=∠QBC∵DH⊥BH AC⊥BD∴∠DBC+∠ACB=90°∵四边形ABCD为菱形BD是对角线∴∠ABD=∠CBD∴∠HDB=∠ACB∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AC=6∴OC=OA=12AC=3∵AB=BC=DC=5∴OB=OD=4即BD=8∵12AC⋅BD=AB⋅DH∴5DH=12×6×8∴DH=245∵PH=85∴DP=DH−PH=245−85=165∴165QC=85∴QC=2．。
1.1 锐角三角函数 北师大版九年级数学下册课时同步练习(含答案)
北师大版九下 1.1 锐角三角函数一、选择题（共12小题）1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=4，AC=2，则tan A等于( )A. 12B. 2 C. 55D. 52. 若∠A是锐角，且sin A=cos A，则∠A的度数是( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘3. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=35，则cos B的值为( )A. 35B. 45C. 34D. 434. 梯子跟地面的夹角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )A. sin A的值越小，梯子越陡B. cos A的值越小，梯子越陡C. tan A的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关5. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tan C等于( )A. 34B. 43C. 35D. 456. 如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A的值为( )A. 55B. 255C. 225D. 1057. 如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则tanα的值为( )A. 12B. 43C. 34D. 28. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =3BC ，则 tan B 的值为 ( )A. 13B. 3C. 24D. 229. 在 Rt △ABC 中， ∠C =90∘ ，下列各式中正确的是 ( )A. sin A =sin BB. tan A =tan BC. sin A =cos BD. cos A =cos B10. 如图所示，△ABC 的项点在正方形网格的格点上，则 tan A 的值为 ( )A. 12B. 22C. 2D. 2211. 如果 ∠A 为锐角，且 cos A =14，那么 ( )A. 0∘<∠A <30∘B. 30∘<∠A <45∘C. 45∘<∠A <60∘D. 60∘<∠A <90∘12. 规定：sin (―x )=―sin x ，cos (―x )=cos x ，cos (x +y )=cos x cos y ―sin x sin y ，给出以下四个结论：（1）sin (―30∘)=―12；（2）cos2x =cos 2x ―sin 2x ；（3）cos (x ―y )=cos x cos y +sin x sin y ；（4）cos15∘=6―24．其中正确的结论的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共5小题）13. 在△ABC中，∠C=90∘，AB=13，BC=5，则sin A的值是．14. 在平面直角坐标系中，请任意写出一个y轴上的点的坐标．15. 在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tanα的值是．16. 如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“>”“=”或“<”）17. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长为．三、解答题（共7小题）18. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=8，AC=4，求tan A和cot B的值．19. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90∘，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形说明a2+b2=c2．20. 如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线BD所在直线上的两点，且DE=BF，求证：四边形AECF是平行四边形．21. 实验中学八年级数学兴趣小组进行活动时，姚老师在黑板上给出了这样一道题目：设 A =333，B =222，C =111，试比较 A ，B ，C 的大小．同学们议论纷纷，共得出了三种答案：（1）A >B >C ；（2）B >A >C ；（3）C >A >B ．那么你认为哪种答案正确呢?请说出你的理由．22. 比较下列个组函数值的大小：sin19∘ 与 cos70∘．23. 已知在 △ABC 中，∠BAC =90∘，D ，E 在 BC 上，且 BD =DE =BC ．（1）设 AB =AC ，求证：tan ∠BAD ⋅tan ∠CAE =14；（2）设 AB ≠AC ，第（1）题中结论是否仍成立?如成立，请证明；如不成立，请说明理由．24. 矩形 ABCD 中，AB =5，BC =4，E 为 BC 边上一点，将 △AEB 沿 AE 翻折得 △AEBʹ，点 Bʹ恰好落在 CD 边上，求 ∠BAE 的余切值．答案1. B【解析】在Rt△ABC中，∠C=90∘，所以tan A=BCAC=2．2. B3. A【解析】在Rt△ABC中，sin A=BCAB =35，∴cos B=BCAB =35．4. B5. B6. A【解析】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，如图，可构造格点直角三角形ABD，由勾股定理可得AD=25，BD=5，AB=5，∴sin A=BDAB =55．7. C8. D9. C10. A【解析】如图所示，连接BD，由网格的特点可得BD⊥AC，AD=22+22=22，BD=12+12=2，在Rt△ABD中，tan A=BDAD =222=12．11. D12. C【解析】（1）sin(―30∘)=―sin30∘=―12，故此结论正确；（2）cos2x=cos(x+x)=cos x cos x―sin x sin x=cos2x―sin2x，故此结论正确；（3）cos(x―y)=cos[x+(―y)]=cos x cos(―y)―sin x sin(―y)=cos x cos y+sin x sin y,故此结论正确；（4）cos15∘=cos(45∘―30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘=22×32+22×12=64+24=6+24,故此结论错误所以正确的结论有3个．13. 51314. (0,―1)15. 3416. >【解析】方法1：如图1所示，连接BC，在AD上取一网格点G，在网格点处取点F，构建等腰直角三角形AFG，∵tan∠BAC=BCAC=1，tan∠EAD<1，∴∠BAC>∠EAD．方法2：如图2所示，在AD上取网格点H，在AE上取网格点N，连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，则S△ANH=2×2―12×1×2×2―12×1×1=12AH⋅NP，∴PN=35．在Rt△ANP中，sin∠NAP=PNAN =355=35，在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAB =222=22．∵22>35，∴∠BAC>∠DAE．17. 4或1418. tan A=2，cot B=2．19. ∵大正方形的面积为c2，一个直角三角形的面积为12ab，小正方形的面积为(b―a)2，∴c2=4×12ab+(b―a)2=2ab+b2―2ab+a2，即c2=a2+b2．20. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=CB，∴∠ADE=∠CBF，∵DE=BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴AE=CF，∠DEA=∠BFC，∵∠DEA+∠AEF=∠BFC+∠CFE=180∘，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．21. （2）正确．理由：∵A =333=(2―1)―333=2333=(23)111=8111，B =222=(3―1)―222=3222=(32)111=9111，C =111=(5―1)―111=5111，而 9111>8111>5111，∴B >A >C ．22. 因为 cos70∘=cos (90∘―20∘)=sin20∘，而 sin19∘<sin20∘，所以 sin19∘<cos70∘．23. （1） tan ∠BAD =tan ∠CAE =12（2） 仍成立，tan ∠BAD =12⋅ACAB ，tan ∠CAE =12⋅ABAC ．24. 2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学下学期三角函数测试卷
班级： 姓名： 座号： 成绩：
一、选择题
1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC = 1，AB = 4 ， 则sinA 的值是 A ．15
15 B ．41 C ．3
1 D ．
4
15
2．当锐角α>30°时，则cosα的值是 A ．大于
1
2 B ．小于12
C 3
D 33．如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，现在从AC 上取一点B ，使得∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，要使A 、C 、
E 在一条直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是
A ．500sin55°米
B ．500cos55°米
C ．500tan55°米；
D ．o
55tan 500米
4. 如图1，在Rt △ABC 中，ACB ∠90=，CD ⊥AB 于D ，若3BC =，4AC =，
则tan BCD ∠的值为 （ ）
Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45
5. 在△ABC 中，90C ∠=，2B A ∠=∠，则cos A 等于（
）
Ａ．
3
2
Ｂ．
12
3
Ｄ．
3
3
6. 如图2所示，旗杆AB 在C 处测得旗杆顶的仰角为30， 向旗杆前进12m 到达D ，在D 处测得A 仰角为45， 则旗杆的高AB 等于（ ）m ． Ａ．12 Ｂ．14
Ｃ．16
Ｄ．18
7. 在△ABC 中，90C ∠=，12
sin 13
A =，周长为45，CD 是斜边A
B 上的高，则CD 的长是（ ） Ａ．56
13
Ｂ．126
13
Ｃ．7
6
13
Ｄ．17
12
8.△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2
|tan 32sin 30B A +=（），则△ABC 是（ ）
A ．直角（不等腰）三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等腰（不等边）三角形
D ．等边三角形
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
图1
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
图2
C
E
二、填空题：（每小题3分，共30分）
1. 如图3，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD AB ∥．则α∠的余弦值为 2．已知：∠α是锐角，︒=36cos sin α，则α的度数是 。
3. 如图4所示，某校课外活动小组测量旗杆的高度AD ，在离 旗杆3m 的E 处，测得旗杆顶的仰角为
30，测角仪CE 高
1.5m ，则AD =
．
4．已知∠A 是锐角，且______2
sin ,3tan ==A
A 则 。
5. 如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB 的 坡度为AB 的水平宽度为，基面AD
宽为2m ，则AE = m ，α∠= ，BC =
m ． 6.某山路的路面坡度ⅰ=1:399,沿此山路向前走200米,则人升高了___ __米.
7．在△ABC 中，若AC=3，则cosA=________．
8.学校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30，90BCA ∠=，台阶的高BC 为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶。
（结果精确到0.1m ，取
1.414= 1.732=
9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，sinB=5
3,AD 分∠CAB ，那么sin ∠CAD=_________.
10．如图,D 是△ABC 的边AC 上一点,CD=2AD,AE⊥BC 于点E,若BD=8,sin∠CBD=4
3,
则AE 的长为_______ ___。
C
D
α
A
B
O
30
图3
A
图4
图5
B
30
第10题图
题图
第9题图
河
水
B A
C
D 三、解答题：（共50分）
1.计算：（1）
30cos 45sin 60tan 30sin 2
2
2
+-+ (2)0
00
045tan 30tan 145tan 30tan ⋅-+
2．学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园1m 2
造价30元，学校建这个花园需要投资多少钱？（精确到1元）？
3. 一条水渠的横断面是等腰梯形，坡角为
60，渠深为2m ，渠底宽3m ，求水渠的上口宽和横断面的面积（保留四个有效数字）．
4．为了测量汉江某段河面的宽度，秋实同学设计了如下图所示的测量方案：先在河的北岸选一定点A ，再在河的南岸选定相距a 米的两点B 、C （如图），分别测得∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，请你根据秋实同学测得的数据，计算出河宽AD.（结果用含a 和含α、β的三角函数表示）
Ｃ
3m
Ａ
120
5、如图10，在电线杆上离地面高度5米的C点处引两根拉线固定电线杆．一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC与地面成45°角，试求两根拉线的长度．
6、如图11为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？
7、如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m 米至D处时测得峰顶A的仰角为β(此时C、D、B三点在同一直线上).
(1)用含α、β和m的式子表示h ；
(2)当α=45°，β=60°，m=50米时，求h的值.
（精确到0.1m，2≈1.41，3≈1.73）
8.一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东68.7°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东26.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，
距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈9
25
，tan68.7°≈
2
5
，tan21.3°≈
2
5
，sin63.5°≈
9 10，tan26.5°≈
2
1
，tan63.5°≈2）
A B
C
北
东。