理论力学虚位移原理(课堂PPT)

dri
k
j 1
ri q j
dq
j
dri dt
i 1,2, , n
（2） 位移满足约束条件和初始条件
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虚位移：在实位移概念的基础上，不考虑主动力的作用（产生位 移的动力）和初始条件，仅仅满足约束条件的位移。
与实位移的物理意义比较，虚位移是一种假设的、可能产生的 位移。两者的共同点是：在一定的条件下（定常、完整约束） 实位移必是虚位移中的一组。
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自由度和广义坐标
自由度：描述在几何约束条件下质点系位形的独立参变 量的个数。
对于n个自由质点组成的质点系，可用3n个直角坐标（xi ，yi，zi）
i=1，2，3…n，描述每一个质点所在的位置称为质点系的位形。整
个系统有3n个自由度。
对于n个质点组成的非自由质点系，设其有S个约束方程，表明描 述质点系位形的3n个直角坐标不独立。这时，可以选取独立的k个 参数表示质点系的位形，而
虚位移与时间无关，对应k个自由度的质点系统，质点位置矢径
ri ri (q1, q2 , , qk ) 虚位移表示如下：
i 1,2, , n
ri
k
j 1
ri q
q j
j
i 1,2, , n
显然，虚位移与时间无关。
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确定系统中质点间虚位移的关系
如前所述，具有k个自由度的，由n个质点组成的质点系统， 质点间的位置关系不是完全独立的，因此，每一个质点的虚位移 并不完全独立。把每一个质点的虚位移用独立的广义坐标表示， 分析中通常需要建立非独立的质点虚位移之间的关系，方法如下：
k 3n S
设 q1, q2 qk 为描述系统位形的独立参数，称为广义坐标。
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两个质点组成质点系
Z
(x2 , y2 , z2 )
约束方程
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 l 2
Y
自由度数 k 3 2 1 5
(x1, y1, z1)
X
广义坐标，取
x1, y1, z1,,
试确定D、B、E、C点虚位移与广义坐标 的关系。
设AD=DB=BE=EC=l
B
D
E
A
C
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解：系统是单自由度，取θ为广义坐标。
1、解析法
建立图示坐标系统
xD yD
l l
cos sin
xB yB
2l 2l
cos sin
由于AB=BC
Y
B
D
E
xE yE
2l cos 2l sin
滑块 B 的约束方程 x v
v f (x,t)
当v=0时，约束方程 x 0 或 x A
当v=C（常数）时，约束方程 x C 或 x Ct A
当v=f（x，t）不可积分函数时，约束方程
x f (x,t)
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约束的分类
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。 定常约束：约束条件与时间无关，即约束方程中不显含时间t。 非定常约束：约束条件与时间有关，即约束方程中显含时间t。 完整约束：包括几何约束和可化成几何约束的运动约束。 非完整约束：不可化成几何约束的运动约束。 理想约束：约束力做功恒等于零的约束。
l cos 3l cos l sin l sin
x1 l1 cos1 y1 l1 sin 1
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 ) y2 l1 sin1 l2 sin(1 102 )
实位移与虚位移
实位移：质点系发生的为约束允许的真实位移。
设一个具有k个自由度的，由n个质点组成的的质点系统，每一个 质点由矢径 ri 表示其位置，而ri可以用广义坐标表示如下：
本章仅仅阐述虚位移原理在求解静力平衡问题中的应用。事实 上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动 与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。
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虚位移原理用于建立约束系统的平衡条件
质点系的位形、约束方程及分类
质点系中全部质点空间位置的坐标描述，称为该质 点系的位形。
质点系的位形可以由直角参考坐标系统确定， 也可以由与质点系自由度对应的广义坐标确定。
虚位移原理
虚位移原理——建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。
牛顿力学体系——矢量力学。描述的力学量都用矢量表示 如：矢径，速度，加速度，角速度， 角加速度，力，力偶等。
分析力学体系——标量力学。描述的物理量为标量。如广义坐标， 能量，功等。
虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件， 比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。
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Y
xB
B
xA
A
yB
yA
O
X
平面一般运动，3自由度，广义坐标： xA, yA,
定轴转动，单自由度，广义坐标：
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约束与约束方程
对物体运动的限制称为约束。用数学方程表示，称为约束方程。
滑块—滑道
y
约束方程 y 0
质点被限制在某曲面上运动，约束方程为该曲面方程
f (x, y, z) 0
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y xB
1、虚速度法：方法等同于“平面运动刚体上两点间的速度关系”。 把“点的虚位移”视为“点的速度”，应用“基点法”、“速度 投影定理”和“速度瞬心法”以及“复合运动速度关系”，确定 两点间的虚位移关系。
2、解析法：在固定参考系中，将确定点的位置的直角坐标表示 为选定的独立广义坐标的函数，对其求变分。
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ri ri (q1, q2, , qk ,t) i 1,2, , n
在t时刻，外力作用下，经历无限小时间间隔t 质点系中每一 个质点产生微小位移dri（i=1，2，…，n）。显然，表示系统位形 的广义坐标也将产生一组微小增量 dqj （j=1，2，…，k）。 称为 系统广义实位移。满足条件
（1）
注意，一般情况下，广义坐标是时间 t 的函数。
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约束方程
M1
:
x2 1
源自文库
y2 1
l2
1
z1 0
1
M2 : (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 l22
z2 0
X
Y
M1(x1, y1, z1)
2
M2 (x2 , y2 , z2 )
系统自由度 k 3 2 4 2
取广义坐标 1,2
质点的直角坐标:
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一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri ri (q1, q2 , , qk )
i 1,2, , n
其中
q1, q2, , qk 即为选定的k个广义坐标
表示每个质点的直角坐标 xi xi (q1, q2 , , qk ) yi yi (q1, q2 , , qk ) zi zi (q1, q2 , , qk )