第2讲：幂的乘方与积的乘方-教案
七年级数学下册《幂的乘方与积的乘方》教案、教学设计
将学生分成若干小组，针对教师提出的问题，进行小组讨论。讨论过程中，教师巡回指导，引导学生深入探讨幂的乘方与积的乘方的运算规律。
2.教学内容：
（1）讨论幂的乘方与积的乘方的运算规律；
（2）探讨幂的乘方与积的乘方在实际问题中的应用；
（3）分享各自解题的方法和技巧。
（四）课堂练习
1.教学活动设计：
4.针对学生在积的乘方学习中可能遇到的困难，设计具有启发性的例题和练习题，帮助学生逐步突破难点，增强自信心。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：幂的乘方与积的乘方的概念及其运算规律。
2.难点：
（1）理解幂的乘方的意义，能够灵活运用幂的乘方进行计算；
（2）掌握积的乘方的运算规律，解决实际问题中的积的乘方问题；
（3）鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的表达能力和团队合作精神；
（4）定期进行阶段性的评价，了解学生的学习进度，及时调整教学策略。
4.教学反思：
（1）在教学过程中，关注学生的反馈，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度；
（2）注重培养学生的数学思维，提高学生分析问题和解决问题的能力；
（3）课后及时反思教学效果，总结经验教训，不断优化教学方法和策略。
1.关注学生对幂的概念的理解，引导学生从已知的幂的运算规律出发，逐步探索幂的乘方法则；
2.重视学生的个体差异，针对不同学生的学习能力和接受程度，进行分层教学，确保每个学生都能掌握基本概念和运算方法；
3.注重培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，通过丰富的教学活动，激发学生的学习兴趣，提高学生的课堂参与度；
讨论结束后，每组选派一名代表进行课堂分享。
5.预习作业：预习下一节课的内容——整式的乘法法则，为课堂学习做好准备。
幂的乘方与积的乘方教案：深入掌握指数和幂的运算规律
幂的乘方与积的乘方教案：深入掌握指数和幂的运算规律一、教学目标学习指数和幂的乘方、积的乘方规律，掌握指数与幂之间的互相转化方法，培养学生对指数和幂的敏感度，从而提高学生的数学思维能力和应用能力。
二、教学内容1.指数和幂的乘方、积的乘方规律2.指数与幂之间的互相转化方法3.练习与解题三、教学重难点1.指数和幂的乘方、积的乘方规律的应用2.指数与幂之间的互相转化方法的理解和运用四、教学方法1.讲述与演示相结合2.多元素启发式教学方法3.练习与解题五、教学准备1.白板、黑板、笔2.教科书、讲义、试卷3.练习和解题材料4.示范题六、教学过程1.引入从同学们最熟悉的数学公式-乘方式入手，大概介绍指数和幂之间的关系，并且让同学们自己研究一下同底数的幂的乘方有怎样的规律，再加以证明。
2.讲授指数和幂的乘方、积的乘方规律与运用。
2.1.幂的乘方同底数幂的乘方规律：$(a^{m})^{n}$ $=$ $a^{mn}$，即同一底数幂的乘方等于底数不变，指数相乘。
示范题：$(2^{3})^{2}$ $=$ $2^{6}$ $=$ $64$。
2.2.积的乘方如何化简幂的积：$a^{m}$ $\times$ $a^{n}$ $=$ $a^{m+n}$，即相同指数幂的积等于底数不变，指数相加。
示范题：$2^{4}$ $\times$ $2^{3}$ $=$ $2^{7}$。
2.3.指数与幂之间的互相转化方法（1）同底数幂之间的乘和除，可用指数相加、相减：$a^{m} \times a^{n}$ $=$ $a^{m+n}$；$\frac{a^{m}}{a^{n}}$ $=$ $a^{m-n}$。
（2）不同底数幂之间可先化为同底数再变幂：$2^{m}$ $\times$ $3^{m}$ $=$ $(2 \times 3)^{m}$；$\frac{2^{m}}{3^{n}}$ $=$ $\frac{{2^{\left(m-n\right)}}}{3^{n}}$。
初中数学北师大版七年级下册《幂的乘方与积的乘方(第2课时)》课件
（2）－(－2x3y4)3 ＝－(－2)3(x3)3(y4)3 ＝－(－8)x9y12 ＝8x9y12
4．计算：
（1）a2·(－a)3·(－a2)4； （2）(3x4y2)2＋(－2x2y)4；
＝a2·(－a3)·a8 ＝－a2·a3·a8 ＝－a13
＝9x8y4＋16x8y4 ＝25x8y4
（3）
探究新知 （1）(3×5)4＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)×＝(3×3×3×3) ×(5×5×5×5)＝3( ) ×5( )；
4
4
（2）(ab)4＝
＝
＝a( )b( )；
（3）(ab)n＝
＝
＝a( )b( )．
解：（2）(ab)4＝(ab)·(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a·a)·(b·b·b·b)＝a4b4；
1.2
幂的乘方与 积的乘方
数学北师大版 七年级下
学习目标 1.掌握积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题．
2.探索积的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达 能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力．
1．同底数幂的乘法的运算性质： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2．幂的乘方的运算性质： 幂的乘方，底数不变，指数相乘．
( n )个ab
(ab)n (ab) (ab) (ab)
( n )个a
( n )个b
aa abb b
a( n )b( n )；
(ab)n =a( n )b( n （) n是正整数）．
2.把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达． 积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的
＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9
《幂的乘方与积的乘方》教案 (公开课)2022年 (2)
４．幂的乘方与积的乘方〔二〕一、 学生起点分析：学生知识技能根底：学生通过对七年级上册数学课本的学习，已经掌握了用字母表示数的技能，并且了解了有关乘方的知识，根据幂的意义知道了式子：n an a a a a =⨯⨯⨯个的成立，而通过对前一节课的学习，对于幂的运算中“同底数幂的乘法〞与“幂的乘方〞法那么已非常熟悉，而与之有关的延伸题及变形题都有一定的涉及。
学生活动经验根底：在探讨“积的乘方〞的关系式中，学生仍可根据幂的意义的有关计算，经历从特殊到一般的研究过程，感受到知识之间的内在联系，能从具体情境中抽象出数量之间的变化规律，并且能够用字母表达式表达展示这一规律。
同时在学习过程中，给学生足够的合作交流空间，加深对法那么的探索过程及对算理的理解。
二、教学任务分析：教科书通过一组算式的计算入手，深入浅出地把新知识一点一滴的落实下来。
通过前期的数学学习，学生对探讨幂的运算方式方法已经具有一定的体会，由前期工作的铺垫学生对新知识的接受没有太大的疑惑。
在教学中，教师注意引导学生对积的乘方一般规律的探索和表达，鼓励学生通过独立思考与讨论发现关系，给学生留下充分探索和交流的空间。
为此，本节课的教学目标是：1. 经历探索积的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，开展推理能力和有条理的表达能力。
2. 了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
三、 教学设计分析：本节课设计了七个教学环节：复习回忆、探索交流、知识扩充、稳固新知、公式逆用、课堂小结、布置作业。
第一环节：复习回忆：活动内容：复习前几节课学习的有关幂的三个知识点：1．幂的意义：n an a a a a =⨯⨯⨯个 2．同底数幂的乘法运算法那么.n m n m a a a +=⋅〔m 、n 为正整数〕3．幂的乘方运算法那么(a m )n =a m n (m 、n 都是正整数)活动目的：在学习的过程中要让学习者保持思维的连贯性是一件十分重要的事情，因而必要的铺垫是要进行的。
数学教案-幂的乘方与积的乘方(二)
数学教案－幂的乘方与积的乘方(二)一、教学目标1.掌握幂数与幂的概念，能够正确地进行幂数与幂的运算；2.理解和掌握幂的乘方与积的乘方的概念；3.能够灵活运用幂的乘方与积的乘方的性质解决相关问题。
二、教学内容1.幂的乘方的定义与性质；2.积的乘方的定义与性质；3.幂的乘方与积的乘方的关系。
三、教学重点1.幂的乘方的定义与性质；2.幂的乘方与积的乘方的关系。
四、教学难点幂的乘方与积的乘方的关系的理解与应用。
五、教学方法1.讲解与演示相结合的教学方法；2.提问与讨论的教学方法；3.练习与应用相结合的教学方法。
六、教学过程1. 复习回顾上节课我们学习了幂数与幂的概念，以及幂数与幂的运算规则。
请同学们回忆一下幂数与幂的定义与运算规则。
2. 引入新知识让我们来看一个具体的问题：已知$a^2 \\cdot b^3$，如何将其写成一个幂的乘方？请同学们思考一下。
3. 幂的乘方的定义与性质通过同学们的思考，我们可以得出结论：$a^2 \\cdot b^3 = a^{2+3} \\cdotb^{2+3}$。
这就是幂的乘方的定义与性质之一：相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
同理，我们可以推广这个性质：$a^m \\cdot a^n = a^{m+n}$，其中m和n都是整数。
请同学们再思考一个问题：如果已知$(a \\cdot b)^3$，如何将其写成一个幂的乘方？请同学们思考一下。
4. 积的乘方的定义与性质通过同学们的思考，我们可以得出结论：$(a \\cdot b)^3 = a^3 \\cdot b^3$。
这就是积的乘方的定义与性质：一个积的乘方，等于每个因数的乘方。
同理，我们可以推广这个性质：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$，其中n是整数。
5. 幂的乘方与积的乘方的关系现在我们将幂的乘方与积的乘方结合起来看一下：$(a \\cdot b)^m \\cdot (a \\cdot b)^n = (a^m \\cdot b^m) \\cdot (a^n \\cdot b^n)$通过分配律和结合律，我们可以将其简化为：$(a \\cdot b)^m \\cdot (a \\cdot b)^n = a^{m+n} \\cdot b^{m+n}$我们可以得出结论：幂的乘方与积的乘方是等价的。
七年级数学下册1.2.2幂的乘方与积的乘方教案新版北师大版
1.2.2幂的乘方和积的乘方一、教学目标1.探索幂的乘方与积的乘方的运算过程，发展合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力。
2.正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算，并能解决一些实际问题。
3.培养学生学会分析问题、解决问题的良好习惯。
二、课时安排：1课时三、教学重点：幂的乘方运算法则。
四、教学难点：幂的乘方运算法则的灵活运用。
五、教学过程（一）导入新课以课本上有趣的天文知识为引例，让学生从中抽象出简单的数学模型，实际在列式计算时遇到了积的乘方运算形式，给出问题，启发学生进行独立思考，也可采用小组合作交流的形式，结合学生现有的有关积的乘方的运算意义，进行推导尝试，力争独立得出结论.（二）讲授新课探究（一）：列出算式为：思考：你列出的算式是什么运算？2、探究算法（6×103）3=（）×（）×（）=（）×（）=6( )×10( );(-23×a2)2=( )×( )=（）×（）=( )2( )×a( );学生思考并在小组内交流，全班交流。
3、仿照计算，寻找规律①（3×53）4=（）×（）= 3( )×5( )② （32×108）3= = 。
③．=-2)×3m a （ = 。
④．=⨯l n m b a )（ = 。
教师引导学生总结出积的乘方运算法则：积的乘方等于积中的各个因式分别乘方再把所得的幂相乘。
探究（二）：积的乘方逆运算法则:积的乘方逆运算法则:积的乘方运算公式m m m b a ab =)（ 猜想：=nlml b a ?（m 、n 都是正整数） 思考：（1）()12186263623323232⨯=⨯=⨯⨯⨯ ()12183436346323232⨯=⨯=⨯⨯⨯ ()12182629269323232⨯=⨯=⨯⨯⨯ ()()()69346623121832323232⨯=⨯=⨯=⨯ （2） m m m b a ab =)（()m m m ab b a =（3）由此可以猜出：()ln m nl ml b a b a = （三）重难点精讲例一、计算：(1)(2) 82004×0.1252004例二、已知x 10=3,y 10=2 求y x 3210+的值。
幂的乘方与积的乘方(第2课时)同步课件
例题讲授
例2 简便方法计算：
(1)
1
2 5
6
0.254
5 7
6
44
;
(2)0.125 2015×(－8 202X)．
例题讲授
解：（1）
1
2 5
6
0.254ຫໍສະໝຸດ 5 76 44
1
2 5
6
5 7
6
0.254
44
7 5
5 7
6
0.25 44
11
1.
(2)0.1252015×(－8 202X)＝－0.1252015×8 202X
3 (－2a1＋xb2)3＝－8a9b6，则x的值是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
课堂练习
4. 下列计算:
①(ab)2=ab2;②(4ab)3=12a3b3;③(-2x3)4=-16x12;④
其中正确的有( A ) A. 0个 B. 1个 C. 2个
D. 3个
6. 如果(anbm)3=a9b15,那么( B )
= anbn 因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数).
新知探究
积的乘方法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再 把所得的幂相乘.
(ab)n = anbn （n为正整数） 积的乘方 乘方的积
三个或三个以上的积的乘方等于什么？ (abc)n = anbncn （n为正整数）
例题讲授
例1 计算：
＝－0.125 2015×82015×8＝－(0.125×8)2015×8
＝－12015×8＝－8.
课堂练习
1 化简(2x)2的结果是( ) A．x4 C．4x2
B．2x2 D．4x
1.2幂的乘方与积的乘方(2) 教案2022-2023学年北师大版七年级数学下册
1.2幂的乘方与积的乘方（2）教案一、教学目标1.掌握1.2幂的乘方与积的乘方的概念；2.理解1.2幂的乘方与积的乘方的运算规则；3.能够灵活运用1.2幂的乘方与积的乘方解决实际问题。
二、教学重点1.理解1.2幂的乘方与积的乘方的概念；2.掌握1.2幂的乘方与积的乘方的运算规则。
三、教学内容1.2幂的乘方1.2幂的乘方指的是将1.2这个数进行多次连乘。
例如：1.2的3次幂表示为：1.2 × 1.2 × 1.2 = 1.728。
在算式中，1.2被连乘了3次，结果为1.728。
2.积的乘方积的乘方是指将多个数相乘之后再进行幂运算。
例如：(2 × 3 × 4)^2 = 576。
在算式中，2、3、4被相乘，得到24，然后再对24进行2次幂运算，结果为576。
四、教学过程1.引入新知识首先，我会向学生们提问，你们还记得1.2幂的乘方与积的乘方是什么吗？然后，我会在黑板上写下1.2的3次幂的计算过程，并解释给学生们听。
接着，我会让学生们用纸和笔自己计算1.2的4次幂、1.2的5次幂，并找出规律。
2.讲解概念和运算规则在学生们通过计算找出规律后，我会向他们解释1.2幂的乘方与积的乘方的概念，并讲解它们的运算规则。
我会用一些简单的例子来说明，例如：•1.2的3次幂与1.2的4次幂相乘的结果等同于1.2的7次幂；•(2 × 3 × 4)^2与2的2次幂× 3的2次幂× 4的2次幂相乘的结果等同于2的6次幂× 3的6次幂× 4的6次幂。
3.练习与巩固我会给学生们发放一些练习题，要求他们灵活运用1.2幂的乘方与积的乘方的运算规则解决实际问题。
例如：1.小明家的草坪长12米，宽8米。
小明想知道如果面积扩大为原来的1.2倍，草坪的新面积是多少？2.为了举办一场运动会，学校需要搭建一个长为10米、宽为15米的平台。
为了增加可容纳人数，学校计划将平台的长和宽都扩大为原来的1.2倍。
1.2幂的乘方与积的乘方(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“幂的乘方与积的乘方在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调幂的乘方运算规律和积的乘方运算规律这两个重点。对于难点部分，如指数相乘的含义，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与幂的乘方与积的乘方相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。例如，让学生计算一系列幂的乘方和积的乘方的例子，以演示这两个基本原理。
五、教学反思
在本次教学过程中，我重点关注了幂的乘方与积的乘方这两个知识点。通过教学实践，我发现以下几点值得反思：
1.学生对幂的乘方运算规律的理解程度。在讲解过程中，我注意到部分学生对指数相乘的含义理解不够深入。为了帮助学生更好地理解这一概念，我采用了举例和比较的方法，让学生通过具体计算体会指数相乘的实质。在今后的教学中，我还需要进一步关注这部分学生的理解情况，适时调整教学策略，以确保他们能够真正掌握这一知识点。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过幂的乘方与积的乘方运算规律的探究，使学生能够运用所学知识进行逻辑推理，提高解决问题的能力。
2.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算规律，并能运用到实际计算中，提高数学运算速度和准确性。
数学教案-幂的乘方与积的乘方二
数学教案－幂的乘方与积的乘方二教学目标：1.理解幂的乘方与积的乘方的概念。
2.学会运用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1.幂的乘方与积的乘方的法则。
2.运用法则进行计算。
教学难点：1.幂的乘方与积的乘方的法则在实际计算中的应用。
2.理解幂的乘方与积的乘方的概念。
教学过程：一、导入1.复习幂的定义和性质。
2.提问：同学们，上一节课我们学习了幂的乘方和积的乘方，谁能告诉我幂的乘方和积的乘方的概念？二、新课1.幂的乘方（1）定义：幂的乘方是指将一个幂再乘以另一个幂。
（2）法则：幂的乘方等于底数不变，指数相乘。
（3）举例：如\(2^3\times2^2=2^{3+2}=2^5\)2.积的乘方（1）定义：积的乘方是指将一个积再乘以另一个积。
（2）法则：积的乘方等于每个因子的幂相加。
（3）举例：如\((2\times3)^2=2^2\times3^2=4\times9=36\)3.拓展：当幂的乘方与积的乘方同时出现时，如何进行计算？（1）原则：先算乘方，再算乘法。
（2）举例：如\((2^3\times3)^2=(2^3)^2\times3^2=4^2\times9=16\times9=144\ )三、课堂练习1.计算：\(2^4\times2^3\)2.计算：\((2\times3)^3\)3.计算：\((2^2\times3)^3\)4.计算：\((2^3\times3^2)^2\)四、疑难解答1.学生提出问题：在进行幂的乘方与积的乘方计算时，如何避免出错？（1）明确幂的乘方与积的乘方的法则。
（2）按照计算顺序进行计算，先算乘方，再算乘法。
（3）注意底数不变，指数相乘或相加。
五、课堂小结1.回顾幂的乘方与积的乘方的概念和法则。
六、作业布置1.练习册第8页第1-5题。
2.家长签字确认。
教学反思：本节课通过讲解幂的乘方与积的乘方的概念、法则和举例，让学生掌握了幂的乘方与积的乘方的计算方法。
(完整版)《幂的乘方与积的乘方》教案
幂的乘方与积的乘方一、教学目标（一）知识目标1。
经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.2。
了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.（二)能力目标1.在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力.2.学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力.（三）情感目标在发展推理能力和有条理的表达能力的同时,进一步体会学习数学的兴趣,培养学习数学的信心，感受数学的内在美.二、教学重难点（一）教学重点幂的乘方的运算性质及其应用.（二）教学难点幂的运算性质的灵活运用。
三、教具准备投影片三张第一张：做一做,记作（§1。
4.1 A）第二张：例题，记作(§1.4。
1 B)第三张:练习,记作(§1.4。
1 C)四、教学过程Ⅰ。
提出问题,引入新课［师］我们先来看一个问题：一个正方体的边长是102毫米，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的边长扩大为原来的10倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？［生］正方体的体积等于边长的立方.所以边长为102毫米的正方体的体积V=（102）3立方毫米;如果边长扩大为原来的10倍，即边长变为102×10毫米即103毫米,此时正方体的体积变为V1=(103)3立方毫米。
［师］（102)3,(103)3很显然不是最简，你能利用幂的意义，得出最后的结果吗?大家可以独立思考.［生]可以。
根据幂的意义可知（102）3表示三个102相乘，于是就有（102）3=102×102×102=102+2+2=106；同样根据幂的意义可知（103)3=103×103×103=103+3+3=109。
于是我们就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米。
我们还可以计算出当这个正方形边长扩大为原来的10倍时，体积就变为原来的1000倍即103倍.［生］也就是说体积扩大的倍数,远大于边长扩大的倍数.［师］是的！我们再来看(102)3，(103)3这样的运算。
幂的乘方与积的乘方(第2课时)教学课件北师大版中学数学七年级(下)
第一章 整式的乘除
1.2
幂的乘方与积的乘方
第2课时 积的乘方
学习目标
1.经历探索积的乘方运算性质的过程，理解并掌
握积的乘方法则.（重点）
2.会运用积的乘方的运算性质进行运算.（难点）
新课导入
想一想：
若已知一个正方体的棱长为2×103 cm,你能计算出它的体积是多少吗？
V (2 10 ) (cm )
解：(1)原式= · · ( )= .
(2)原式= (-5)3·b3=-125b3.
(3)原式= x2·(y2)2 =x2y4.
(4)原式= (-2)4·(x3)4 =16x12.
注意：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个来自因式都要乘方，尤其是字
母的系数不要漏乘方．
知识讲授
例2
计算：（1） 3 · 4· +( 2)4+(-2 4)2
（2） 2(3)2 · 3－(3 3)3＋(5 )2 · 7
解: (1)原式=
3+4+1+ 2×4+(-2)2 ·( 4)2
= 8+ 8+4 8 =6 8
(2)原式=2 6 · 3－27 9+25 2 · 7
A.1个
B.2个
3 2 3 2
（2） （ x) x
4
4
2 2 3
6 6
（4）
(x y ） x y
C.3个 D.4个
随堂训练
2.判断:
(1)（ab2)3=ab6
( ×)
(2) (3xy)3=9x3y3
( ×)
(3) (-2a2)2=-4a4
幂的乘方与积的乘方二教案
幂的乘方与积的乘方(二)一、教学目标 1．进一步理解积的乘方的运算性质，准确掌握积的乘方的运算性质，熟练应用这一性质进行有关计算．2．通过推导性质进一步训练学生的抽象思维能力，通过完成例2，培养学生综合运用知识的能力．3．培养实事求是、严谨、认真、务实的学习态度． 4．渗透数学公式的结构美、和谐美．二、学法引导1．教学方法：引导发现法、探究法、讲练法．2．学生学法：本节主要学习幂的乘方性质和积的乘方性质，到现在为止，我们共学习了益的三个运算性质．幂的三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据，进行幂的运算，关键是熟练掌握幂的三个运算性质，深刻理解每种运算的意义，避免互相混淆，有时逆用幂的三个运算性质，还可简化运算．三、重点、难点、疑点及解决办法（－）重点准确掌握积的乘方的运算性质．（二）难点用数学语言概括运算性质．（三）解决办法增强对三种运算性质的理解，并运用对比的方法强化训练以达到准确地区分．四、课时安排一课时．五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过一组绦习，以达到复习同底数幂的乘法、益的乘方这两个性质的目的，让学生互问互答．2．推导积的乘方的公式，在推导过程中让学生说出每一步的理由，以便于学生对公式的准确理解．3．通过举例来说明积的乘方性质应如何正确使用，师生共练以达到熟练掌握．4．多种题型的设计，让学生能从不同的角度全面准确地理解和运用该性质．七、教学步骤（－）明确目标本节课重点学习积的乘方的运算性质及其较灵活地运用．（二）整体感知通过对积的乘方运算性质的推导，加深对该性质的理解．掌握该性质的关键仍在于正确判断使用公式的条件．（三）教学过程1．创设情境，复习导入前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个寨的运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质：填空：（1）（2）（3）（4）学生活动：4个学生说出答案，同桌同学给予判断．【教法说明】通过完成本练习，进一步巩固、理解同底数幂的乘法，幂的乘方，同时也为顺利完成本节例2做个铺垫．2．探索新知，讲授新课我们知道表示个相乘，那么表示什么呢？（注意：中具有广泛性）学生回答时，教师板书．这又根据什么呢？（学生回答乘法交换律、结合律）也就是请同学们回答、、、的结果怎样？那么（是正整数）如何计算呢？；____________个运用了________律和________律________个________个学生活动：学生完成填空．（是正整数）刚才我们计算的、是什么运算？（答：乘方运算）什么的乘方？（积的乘方）通过刚才的推导，我们已经得到了积的乘方的运算性质．请同学们用文字叙述的形式把它概括出来．学生活动：学生总结，并要求同桌相互交流，互相纠正补充．达成一致后，举手回答，其他学生思考，准备更正或补充．【教法说明】通过学生自己概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们归纳及口头表达能力．教师根据学生的概括给予肯定或否定，纠正后板书．．运算形式运算方法运算结果提出问题：这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方适用吗？如学生活动：在运算的基础上给出答案．（是正整数）【教法说明】通过教师有意识的引导，让学生在现有知识的基础上开动脑筋、积极思考，这是理解性质、推导性质的关键，教师在对学生回答给予肯定后板书． 3．尝试反馈，巩固知识例1计算：（1）（2）（3）（4）学生活动：每一题目均由学生说出完整的解题过程．解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式【教法说明】对例1的处理，要充分调动学生的参与意识，训练学生运用已有知识去解决新问题的能力，同时，在学生“说”，教师“写”的过程中，教师可随时发现并及时纠正学生解题中出现的问题，如（1）（2）（4）小题中“－”号的处理，并强调解题程序以及幂的乘方性质的运用，同时提出把着做一个数进行运算．练习一（1）计算：（回答）①②③④（2）计算：①②③④（3）下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？①②③学生活动：第（1）题由4个学生口答，同桌或其他学生给予判断．第（2）题在练习本上完成，同桌或前后桌互阅，教师抽查．第（3）题由学生回答．【教法说明】通过第（1）题可检查学生对性质掌握的熟练程度．第（2）题学生互阅主要是让学生相互交流，培养学生的参与意识．若出现问题由同学指出，有时比老师指出效果要好．第（3）题中的错误是学生应用性质时易出现的，所以在学生回答时，教师对每个问题都应予以强调．4．综合尝试，巩固知识例2计算：（1）（2）学生活动：学生分成两组，每组各做一题，各派一个学生板演．【教法说明】学生已具备综合运用性质的能力，让学生尝试解题，目的是训练学生分析问题的能力．分组练习，不仅能激发学生的兴趣，同时也可培养学生的集体荣誉感．学生对知识的印象会更深刻．5．反复练习，加深印象练习二计算：（1）（2）学生活动：学生在练习本上完成，找两个学生板演．【教法说明】此时学生已能准确运用幂的三种运算性质进行计算，但在计算过程中还会出现各种问题，所以在学生板演时，师生共同订正，可减少不必要的错误出现．6．变式训练，培养能力练习三填空：（1）（2）（3）（4）（5）学生活动：四人一组研究，讨论得出结果，然后由小组代表说出答案．【教法说明】此组题主要是训练学生的逆向思维和发散思维，提高学生的应变能力．（四）总结、扩展这节课我们学习了积的乘方的运算性质，请同学们谈一下你对本节课学习的体会．学生活动：谈这节课的主要内容或注意问题等等．【教法说明】课堂归纳总结由学生来说，可以使学生上课听讲精神集中，还可以训练学生归纳总结的能力．八、布置作业P101A组4，5．参考答案4．（1）（2）（3）（4）（5）（6）5．解：（1）原式（2）原式。
北师大版数学七年级下册2 幂的乘方与积的乘方教案与反思
2 幂的乘方与积的乘方路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
屈原《离骚》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！第1课时幂的乘方教学目标一、基本目标1．了解幂的乘方的运算法则，并能解决一些实际问题．2．经历探索幂的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．二、重难点目标【教学重点】会进行幂的乘方的运算．【教学难点】幂的乘方法则的总结及其运用．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P5～P6的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．(1)乘方的意义：32中，底数是3，指数是2，表示2个3相乘.(32)3的意义：3个32相乘；(2)根据幂的意义填空：(32)3＝32×32×32(根据幂的意义)＝32＋2＋2(根据同底数幂的乘法法则)＝32×3，(am)2＝am·am＝a2m(根据am·an＝am＋n)，(am)n＝am·am·…·am(幂的意义)＝am＋m＋…＋m(同底数幂相乘的法则)＝amn(乘法的意义)；(3)幂的乘方法则：(am)n＝amn(m、n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．已知球体的体积公式为V＝43πR3.(1)若乙球的半径为3cm，则乙球的体积V乙＝36πcm3.甲球的半径是乙球的10倍，则甲球的体积V甲＝36_000πcm3，V甲是V乙的103倍；(2)地球、木星、太阳可以近似地看作球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍、100倍，它们的体积分别约是地球的103倍、106倍．3．(教材P6例1)计算：(1)(102)3;(2)(b5)5；(3)(an)3;(4)－(x2)m；(5)(y2)3·y;(6)2(a2)6－(a3)4.解：(1)原式＝106. (2)原式＝b25.(3)原式＝a3n. (4)原式＝－x2m.(5)原式＝y7. (6)原式＝a12.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)(－24)3；(2)(xm－1)2；(3)[(24)3]3；(4)(－a5)2＋(－a2)5.【互动探索】(引发学生思考)确定各式的底数→利用幂的乘方法则计算．【解答】(1)原式＝212.(2)原式＝x2(m－1)＝x2m－2.(3)原式＝24×3×3＝236.(4)原式＝a10－a10＝0.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．(2)在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．(3)幂的乘方的推广：((am)n)p＝amnp(m、n、p都是正整数)．【例2】若92n＝38，求n的值．【互动探索】(引发学生思考)比较等式两边的底数→将等式转化为(32)2n＝38→建立方程求n值．【解】依题意，得(32)2n＝38，即34n＝38，所以4n＝8，所以n＝2.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．【例3】已知ax＝3，ay＝4(x、y为整数)，求a3x＋2y的值．【互动探索】(引发学生思考)将a3x＋2y变形，得a3x·a2y，再利用幂的乘方进行解答．【解答】因为ax＝3，ay＝4，所以a3x＋2y＝a3x·2y＝(ax)3·(ay)2＝33×42＝27×16＝432.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用amn＝(a)n＝(an)m，可对式子进行变形，从而使问题得到解决．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算(－a3)2的结果是( A )A．a6 B．－a6C．－a5 D．a52．下列运算正确的是( B )A．(x3)2＝x5 B．(－x)5＝－x5C．x·x2＝x6 D．x2＋2x3＝5x53．当n为奇数时，(－a2)n＋(－an)2＝0.4．计算：(1)a2·(－a)2·(－a2)3＋a10；(2)x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2.解：(1)原式＝a2·a2·(－a6)＋a10＝－a10＋a10＝0.(2)原式＝x4·x5·(－x7)＋5x16－x16＝－x 16＋5x 16－x 16＝316.活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】请看下面的解题过程：比较2100与375的大小．解：因为2100＝(24)25,375＝(33)25，而24＝16,33＝27,16＜27， 所以2100＜375.请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小．【互动探索】仔细阅读材料，确定例子的解题方法是将指数化为相同，再比较底数的大小来比较所求两个数的大小．【解答】因为3100＝(35)20,560＝(53)20，而35＝243,53＝125,243＞125， 所以3100＞560.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了幂的乘方法则的应用，根据题意得到3100＝(35)20,560＝(53)20是解此题的关键．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)幂的乘方法则⎩⎨⎧ 内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘字母表示：am n ＝amn m 、n 都是正整数推广：am n p ＝amnp m 、n 、p 都是正整数练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 积的乘方教学目标一、基本目标1．了解积的乘方的运算法则，并能解决一些实际问题．2．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．二、重难点目标【教学重点】会进行积的乘方的运算．【教学难点】明确幂的乘方与积的乘方的异同．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min 阅读】阅读教材P7～P8的内容，完成下面练习．【3min 反馈】1．(1)(3×5)4＝3(4 )·5(4 )；(2)(3×5)m ＝3(m )·5(m )；(3)(ab )n ＝a (n )·b (n )；(4)(ab )n ＝(ab )·(ab )·…·(ab n 个ab ＝a ·a ·…·a n 个a ·b ·b ·…·b n 个b ＝anbn .2．积的乘方法则：(ab )n ＝anbn (n 是正整数)，即积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.推广：(abc )n ＝anbncn (n 是正整数)．3．(教材P7例2)计算：(1)(3x )2;(2)(－2b )5；(3)(－2xy )4;(4)(3a 2)n .解：(1)原式＝9x 2. (2)原式＝－32b 5.(3)原式＝16x 4y 4. (4)原式＝3na 2n .环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)(x 4·y 2)3；(2)(anb 3n )2＋(a 2b 6)n ；(3)[(3a 2)3＋(3a 3)2]2；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫991002018×⎝ ⎛⎭⎪⎫100992019； (5)0.12515×(23)15.【互动探索】(引发学生思考)先确定运算顺序，再根据积的乘方法则计算．【解答】(1)原式＝x 12y 6.(2)原式＝a 2nb 6n ＋a 2nb 6n ＝2a 2nb 6n .(3)原式＝(27a 6＋9a 6)2＝(36a 6)2＝1296a 12.(4)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫99100×100992018×10099＝1×10099＝10099. (5)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1815×815＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18×815＝1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)～(3)题按先乘方再乘除后加减的运算顺序计算；(4)、(5)题逆用(ab )n ＝anbn 可使计算简便．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算(x 2y )2的结果是( B )A ．x 6yB ．x 4y 2C ．x 5yD ．x 5y 22．(am )m ·(am )2不等于( C )A ．(am ＋2)mB ．(am ·a 2)mC ．am 2＋am 2D ．(am )3·(am －1)m 3．已知am ＝2，an ＝3，则a 2m ＋3n ＝108.4．计算：(1)－4xy 2·(xy 2)2·(－2x 2)3；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫232018×⎝ ⎛⎭⎪⎫322019. 解：(1)原式＝－4xy 2·x 2y 4·(－8x 6)＝32x 9y 6.(2)原式＝a 6b 12－a 6b 12＝0.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×322018×32 ＝32. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V ＝43πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3) 【互动探索】已知球的体积公式和其半径，代入数据直接计算． 【解答】因为R ＝6×105千米，所以V ＝43πR 3＝43×3×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)． 即它的体积大约是8.64×1017立方千米．【互动总结】(学生总结，老师点评)读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方法则是解此题的关键．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)积的乘方法则⎩⎨⎧内容：积的乘方等于积的每一个因式分 别乘方，再把所得的幂相乘字母表示：ab n ＝anbn n 是正整数逆用：anbn ＝ab n n 是正整数练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】 宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。
(湘教版)七年级数学下册：2.1.2《幂的乘方与积的乘方》教案
(湘教版)七年级数学下册：2.1.2《幂的乘方与积的乘方》教案一. 教材分析《幂的乘方与积的乘方》是湘教版七年级数学下册第2章第1节的内容。
本节课主要让学生掌握幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则，培养学生运用幂的运算性质解决实际问题的能力。
教材通过引入实例，引导学生发现规律，从而得出幂的乘方与积的乘方的运算法则。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了有理数的乘法、幂的定义及简单的幂的运算。
但对于幂的乘方与积的乘方，学生可能存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生发现规律，让学生在理解的基础上掌握运算法则。
三. 教学目标1.理解幂的乘方与积的乘方的运算法则。
2.能够运用幂的运算性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力及运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：幂的乘方与积的乘方的运算法则。
2.教学难点：理解幂的乘方与积的乘方的本质，能够灵活运用运算法则解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实例，让学生在实际问题中发现幂的乘方与积的乘方的规律。
2.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，从而得出幂的乘方与积的乘方的运算法则。
3.实践操作法：让学生在课堂上动手操作，巩固幂的乘方与积的乘方的运算法则。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示幂的乘方与积的乘方的实例及运算法则。
2.教学素材：准备一些实际问题，让学生在解决实际问题的过程中运用幂的运算性质。
3.学生活动材料：为学生提供一些练习题，让学生在课堂上进行实践操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试解决。
例如：计算(23)2，32×33等。
引导学生发现这些问题都可以转化为幂的乘方与积的乘方的问题。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示幂的乘方与积的乘方的实例，引导学生发现规律。
如：(a m)n=a mn，(ab)n=a n b n等。
让学生总结出幂的乘方与积的乘方的运算法则。
初一-第02讲-幂的乘方与积的乘方(提高)-教案
授课主题
学科教师辅导讲义
年 级：七年级 辅导科目：数学
课 时 数：3 学科教师：
第 02 讲---幂的乘方与积的乘方
授课类型 教学目标 授课日期及时段
T 同步课堂
P 实战演练
S 归纳总结
① 进一步体会幂运算的意义及类比、归纳方法； ② 了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
∴x2n=9 ∴原式= （x2n）3﹣3（x2n）2= ×93﹣3×92=﹣162
P(Practice-Oriented)——实战演练
实战演练
课堂狙击
1、计算（﹣x3y）2 的结果是（ ）
A．﹣x5y
B．x6y
C．﹣x3y2
【解析】D
D．x6y2
2、已知 x=240，y=332，z=424，试比较 x，y，z 的大小 【解析】解：x=240=（25）8=328，y=332=（34）8=818，z=424=（43）8=648
T（Textbook-Based）——同步课堂
体系搭建 一、知识框架
二、知识概念
（一）幂的乘方
1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如 (a5)3 是 3 个 a5 相乘，读作 a 的五次幂的三
次方， (am )n 是 n 个 am 相乘，读作 a 的 m 次幂的 n 次方。
2、幂的乘方的运算性质：(am)n amn (m, n 都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的
解：V= πR3
= ×3.14×（6×103）3
= ×3.14×216×109
=904.32×109 =9.0432×1011km3 答：它的体积大约是 9.0432×1011 立方千米
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1.幂的乘方、积的乘方运算法则的灵活运用。
2.幂的乘方、积的乘方运算法则的逆应用。
3.同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方三种运算的混合问题。
【知识导图】
【教学建议】
有关幂的乘方与积的乘方的题目，通常着重计算能力的考查，要求学生对幂的运算方法非常熟悉，可以灵活、正确运用运算法则进行计算。在教学过程中要注意区分幂的乘方、积的乘方和同底数幂乘法的异同，更要对混合运算重点讲解。
1.幂的乘方运算法则： (其中 均为正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
2.幂的乘方的逆运算
1.积的乘方运算法则： （n是正整数）
积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
2.积的乘方的逆运算ห้องสมุดไป่ตู้ （n是正整数）
【题干】计算 的结果是（）
A．a5B．a6C．a8D．3 a2
【答案】B
【解析】运用运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘得：
故选B。
【题干】若 ，则m=_______。
【答案】2
【解析】考查幂的乘方和同底数幂乘法的综合计算，先计算幂的乘方再进行同底数幂的运算。
∴5+3m=11
解得m=2
【题干】若 ，则 的值为（）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【解析】考查幂的乘方的逆运算。
=8
【题干】计算（2x3y）2的结果是（）
符号表示： ,(其中 均为正整数)
2.积的乘方法则：积的乘方等于乘方的积.
符号表示： ，(其中 均为正整数)
1. 的结果是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据运算法则计算。
故选C。
2. 可以写成（）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】解：
故选C。
3.计算：
【答案】
【解析】解：
4.填空：
【答案】2
【解析】解：
故可得：
∴8m=16
m=2
3.已知 ，求 。
【答案】
【解析】解：
∵
∴
∴
4.试判断 的结果是一个几位正整数。
【答案】10位。
【解析】解：
∴ 是一个10位正整数。
1.已知 为正整数，且 ，求 的值。
【答案】368
【解析】解：
2.某市环保局欲将一个长为 dm，宽为 dm，高为 dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，那么请你考虑一下能否有一个正方体贮水池将这些废水正好装完？若有，求出该正方体贮水池的棱长；若没有请说明理由。
2
3.已知 ，求 的值。
【答案】见解析
【解析】解：
∴
∴
解得
1.计算：① ；
②
【答案】见解析
【解析】解：①
②
2.已知 ，比较 的大小。
【答案】
【解析】解：
∵
∴
3.若 ，用 表示 。
【答案】
【解析】解：
故：
即
= -1
4.小明和小颖两人共同计算 ，他们的计算过程分别如下：
小明：
小颖：
如果你和他们是同一个学习小组，你会支持谁？为什么？若你认为他们的计算都不正确，请你把认为正确的计算写下来.
【答案】二人计算都不正确。正确计算过程见解析。
【解析】解：
1.若 ，求x的值。
【答案】36
【解析】解：
∴x=36
2.已知 ，求 的值。
【答案】
【解析】解：∵
∴ ∴
1.马小虎同学做如下计算题：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确的是（）
A、①②③B、②④C、③D、④⑤
【答案】C
【解析】解：根据运算法则判断：①为合并同类项，正确结果应为： ；②不能继续运算；③正确；④正确应为： ；⑤ 。故选C。
2.计算：① ；②
【答案】见解析
【解析】解：①
幂的乘积与积的乘方
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.幂的乘方；
2.幂的乘方法则的逆运用；
3.积的乘方；
4.积的乘方法则的逆运用；
5.幂的混合运算。
教学目标
1.探索幂的乘方运算性质，进一步体会幂的意义。了解幂的乘方的运算法则及逆运算，并能解决实际问题。
1.已知 ，求 的值.
【答案】6
【解析】先将等式左侧化为同底数幂再进行计算。
由题可得：5+3x=23
解得x=6
2.已知x+4y=5，求 的值。
【答案】512
【解析】将幂的底数化为相同再进行计算。
解：
由题知：x+4y=5
∴原式= = =512
3.计算 __________。
【答案】-1
【解析】解：
=
=
【答案】见解析。
【解析】解：有这样的贮水池.设这个正方体贮水池的棱长为 ，
由题意可得：
解得：
答：这个正方体贮水池的棱长为400分米
3.阅读下列解题过程，试比较 与 的大小.
解：因为 ， ，16＜27，所以 ＜ .
请根据上述解答过程解答：比较 ， ， .
【答案】
【解析】解：
∵
∴
1.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
A．4x6y2B．8x6y2C．4x5y2D．8x5y2
【答案】A
【解析】考查积的乘方运算，利用运算法则将每个因式分别乘方再相乘。
故选A。
【题干】如果 ，那么（）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】考查积的乘方逆运算。
∴3n=9,3m=15
解得：n=3，m=5
故选B。
【教学建议】
在学生对幂的三种运算公式有了充分的理解认识之后，通过题目逐步让加大难度，让学生对混合运算问题有所把握，掌握相应的运算方法。
2.探索积的乘方的运算性质，熟练掌握积的乘方的运算法则及逆运算，并要掌握幂的混合运算，提高计算能力。
3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的乐趣。
教学重点
熟练掌握幂的运算的性质，能够解决幂的混合运算问题。
教学难点
对幂的混合运算及逆运算灵活运用并解决实际问题。
【教学建议】本节的教学重点是使学生能熟练掌握幂的乘方和积的乘方运算法则及逆运算。通过对运算法则的探索，让学生能够理解运算法则的推导过程，避免机械的记忆，引导学生产生兴趣从而主动学习，达到能够灵活运用幂的三种运算法则解决问题的程度。