几何证明起步教学的探索

几何证明起步教学的探索

发表时间：2012-04-12T14:08:13.257Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2012年第26期供稿作者：陈先毅[导读] 总之，以上措施是紧密相连的，在整个几何证明起步教学过程中它们构成一个统一的整体。

陈先毅

摘要：本文主要就几何证明起步教学的有关问题进行分析，主要阐述了三个方面的问题：学习几何证明的背景和现状；影响学生几何学习的障碍及学生的常见表现；使几何证明起步教学获得成功的几条基本措施。关键词：几何证明；起步教学；背景；常见障碍；基本措施作者简介：陈先毅，任教于陕西省汉阴中学。

一、探索背景和问题

随着新课程改革的不断深入，我国的数学基础教育取得了可喜的成绩。数学教学理念发生了很大的变化，即人人学有用的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，人人学社会生活必须的数学。这些呼声一浪高过一浪，正悄然改变着数学课程内容。新课程对数学课程内容作了大幅度的调整，在强化数学知识应用价值的基础上，删除了部分远离实际生活的内容，弱化了解题技巧和解题形式，更注重知识的发生形成过程和学生动手动脑探索、体验过程，以培养学生自觉使用数学工具解决实际问题的能力。

但是，在实际教学中我们注意到这样一个难以忽视的事实：许多学生随着年级的升高，对数学的喜爱程度越来越低。他们虽然付出了很多努力，但往往是事倍功半。他们在数学科目上获得的成就感总体上呈下降趋势。是什么原因造成学生对数学的态度发生如此大的变化呢？为什么八年级学生数学成绩会出现严重的分流呢？如何改变这种现状呢？这些问题促使笔者一直在教学中思考和总结。

二、几何证明的障碍分析

通过走访询问、调查分析发现，学生对代数的兴趣远远超过了几何。数学测试中失误最多的往往是几何题目。学生的错误主要有以下几种表现：(1)不能准确分辨命题的题设和结论；(2)难以根据文字语言表达的命题画出相应的几何图形；(3)不会用数学符号语言表达命题；

(4)不会使用基本的逻辑推理思维方法；(5)难以掌握几何证明的基本书写格式；(6)在推理论证中不能正确使用推理依据，经常出现凭借主观想像进行证明；(7)不知道如何作辅助线，不重视辅助线在几何证明过程中的作用。

学生在这些方面的困惑是有其存在原因的：首先，初中几何证明对学生的心理发展水平而言是一个极大的挑战。在小学阶段，数学内容侧重于加减乘除等具体运算，包括几何内容也仅仅局限在基本图形的识别，角度的测量，周长、弧长、面积等计算上。这符合小学生认知处在具体运算阶段的心理特征。七年级是几何证明的起步阶段，它对学生的抽象思维能力有了更高的要求。而学生对几何证题完全是陌生的。过去的学习经验和思维方式在新的学习中发挥不了作用。很多学生就是在这个心理发展质变阶段对几何证明产生了不适应或者恐惧感。

其次，实际教学处理不当也会造成学生几何学习的失败。如教师过高估计了学生的接受能力和基础，不注重基础知识和基本技能的练习和巩固，教学内容过多过深都会使学生对初中几何感到越来越困惑。

三、几何证明起步教学措施

教学是教与学的双边活动。教师的指导和学生的学习生成共同决定教学的实际效果。教和学紧密联系，忽视任何一方都会造成教学的失败。因此，从教学过程和要素入手，帮助学生建立新的认识结构，初步形成几何证明模式是几何证明起步教学成功的根本途径。

第一，不同的教师面对的学生水平是不同的，即使同一个班级的学生，他们的学习风格和学习能力也存在很大的差异。因此，在教学前应对所教学生的心理发展水平和学习水平有足够的准确的估计，使教学在学生的“最近发展区”中进行。这样做可以事半功倍。

第二，在具体教学中充分重视几何学习的基本方面： 1.教学中讲清楚各个几何概念的内涵和外延，注意区分类似概念间的关系。如“垂直”相对于“相交”而言属于下位概念，点到直线的距离和垂线段的区别等等。只有准确把握高度抽象的几何概念，学生才有可能正确地适时地使用这些概念为证明服务。

2.加强命题结构的分析教学。几何命题通常由题设和结论两部分组成。学生在初学命题时，经常弄不清楚哪部分是题设，哪部分是结论。因此，在教学中应该注意让学生区分定理、推论、性质中的题设和结论。另外，对于某些题设和结论不明显的命题，如“对顶角相等”类的命题，可以通过命题的改写练习，即将命题改写成“如果……，那么……”的形式，让学生逐步掌握命题的题设和条件之间的紧密联系。复杂几何命题的证明也是从条件渐渐过渡到结论，基本命题是复杂命题证明过程中的一个小步骤，因此，正确区分几何基本命题的条件和结论是证明复杂命题的基础。

3.要教会学生看图和作图，培养学生准确地把用语言文字表述的命题转化为用相应图形与数学符号表述的形式的能力。图形是几何研究的主要对象。基本几何图形能够反映命题的题设和结论。几何图形作为实际物体的抽象，保存了其中各个要素间的位置关系和数量关系，兼顾了直观和抽象。另一方面，根据题设条件画出相应的图形也是几何证明的基本功之一。没有图形，几何证明问题往往难以解决。因此，准确作图和读图对于几何证明有重要意义。

对学生作图和读图能力的培养，可以从以下几方面进行：（1）分析基本命题的题设和结论，指导学生作图；（2）根据教学目标或目的，让学生练习将若干用语言文字描述的命题转化为用图形和数学符号表示的形式；（3）课堂教学中有意识演示将复杂命题转化为几何图形的成图过程，让学生逐渐认识到几何图形是文字命题的有机反映；（4）作图示范要规范并且要求学生在作业中也规范作图。

4.训练学生正确使用论据。几何证明主要是依据学生学习过的几何概念、公理、定理、性质、推论进行命题证明的。离开这些依据，几何证明就无从谈起。使学生明确这些依据在几何证明中的作用，指导学生正确选用依据，要防止学生罗列与证明无关的依据，或者主观捏造依据，或者直接使用从图形中观察到的现象作为依据进行证明。正确选用依据，还可以从优化证明表达过程入手，把与证明无关的论据逐渐删除。

5.在解决几何问题时，要注意训练学生选用适当的解题策略。解题策略的核心是几何证明的一般思维方法。几何证明中基本的思维方法主要有分析法、综合法。分析法是从待证命题的结论出发，通过命题的不断转化，逐步定向寻找使转化后命题得以成立的条件。综合法是从待证命题的条件出发，通过演绎推理，逐步揭示待证命题题设和结论间的关系。综合法因其发散性，不太容易找到题设和结论间的关系，但找到证明思路后用综合法表达很容易使读者看清其中的逻辑推理思路。因此，在解决几何问题时，常用分析法寻找复杂命题中题设和结论间的关系，而用综合法来表达证明过程。