12第十二章动能定理

§12－2 质点和质点系的动能
动能是一恒为正的标量，它的值取决于各质点质量及速 度的大小，而与速度方向无关。因此计算质点系动能时不 必考虑各质点速度的方向，这给计算带来很大方便。
1、 质点的动能 2、质点系的动能
1 m v2 2
T
1 2
mivi2
通常用字母T 表示质点系动能。
动能的单位：焦耳（ J ）。
vC 2vrivCvri
则有
T 1 2 m iv i 2 1 2m iv C 2 1 2m iv r 2 im iv C v r i
T 1 2 m iv i 2 1 2m iv C 2 1 2m iv r 2 im iv C v r i
式中
mivC 2 mvC 2
m i v C v r i v C m i v r i v C m v r C ?
对于刚体，也可以将力系向刚体的质心简化，一般简化为 一个力和一个力偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作 的元功等于力系中所有力所作元功的和，有
δ W δ W i F R 'd r C M C d
平面运动刚体
δW F R'drCM C d
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1 ~ 2 时,力系的功为
（4）摩擦力的功 摩擦力方向与其作用点的运动方向相反，摩擦力作负功； 摩擦力方向与其作用点的运动方向相同，摩擦力作正功。
摩擦力的功与力的作用点运动路径有关。
FT
作用在纯滚动圆轮上的摩擦力的功：
? δWFsdr Fs vdt 0
（5）任意运动刚体上力系的功
刚体在任意运动过程中，力系所作的总功，等于各分力 所作功的代数和。
W 12C C 12F'RdrC12M Cd
说明:1.对任何运动的刚体，上述结论都适用; 2.C点不是质心，而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
(6) 质点系内力的功
AF
δ W F d r A F ' d r B F d r A F d r B
1 2
m
i
v
2 ri
质点系相对质心运动的动能
证明： T12mvC 2 12mivr2i
设质点系质心的速度为vC ，任一质点 Mi 相对于质心运动的速
度为vri，则质点的绝对速度为 vi = vC + vri于是有
v i2 v iv i (v C v r i)(v C v r i)
v C v C v riv ri v C v ri
T
1 2
m
iv
2 i
(1 2
m
i ri2
2)பைடு நூலகம்
1 2
2
m iri2
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
T
1 2
JC2
C'为通过速度瞬心，且与运动平面垂直的轴。
JC JCmd2
T
1 2
(JC
md 2 ) 2
1 2
J C 2
1 2
md
2 2
T12mvC2 12JC2
例 计算物体系统的动能。已知：m, r, P,
4
例 计算OA杆的动能。已知：m, l,
O
T
1 2
J O 2
1 (1 ml2 )2
23
A
1 ml22
6
§12-3 动能定理
1、质点的动能定理：
m
dv dt
Ft
F
mdv dt
ds
Ft
ds
mvdvFt ds
d( 1mv2) δW ——微分形式的质点动能定理 2
即质点动能的微分等于作用在质点上力的元功。
W M m 2 g s in s
开始时动能为零，圆柱体中心运动路程为s时，系统动能为
v r C 是质心相对于质心的速度，其值为零
故有
m iv C v r i v C m v r C 0
于是有
T12mvC 2 12mivr2i
证毕
T12mvA 2 12mivr2i 对吗？
3、刚体的动能
（1）平动刚体的动能
T 1 2m ivi21 2v2 m i1 2m vC 2
（2）定轴转动刚体的动能
d( 1mv2) δW
F
2
两边积分得：
12mv2212mv12 W12 ——积分形式的质点动能定理
即质点某个运动过程中, 动能的改变量等于作用在质点 上的力所作的功。
2、质点系动能定理：
设质点系有 n个质点，在其中任取一质点，据质点动能定理:
d(
1 2
mivi2)
δWi
对每个质点都可列出上面的方程式，将n个方程相加有:
T
1 2
JO2
1 2
Pv2 g
O
T11mr221Pr22
22
2g
1(m2P)r22
4
g
P
例 计算只滚不滑圆轮的动能。已知：m, r,
T12mvC2 12JC2
1 mr22 1 (1 mr2)2
C
2
22
I
3 mr22
4
或
T1 2JI21 2(JCmr2)21 2(1 2mr2mr2)2
3mr22
例 卷扬机鼓轮在常力偶矩作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知
鼓轮的半径为R1,质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱体的半 径为R2，质量为m2，质量均匀分布。斜面的倾角为θ，圆柱体 沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱体中心的速度
与其路程之间的关系。
解：取整体研究
做功的主动力有M， m2g。 系统受到的约束是理想约束。
d(12mivi2) δWi
即: d
(1 2mivi2) δW i
1
2
mivi2
T
——质点系的动能
即有: dT δWi ——微分形式质点系动能定理
两边积分
T2T1 Wi ——积分形式质点系动能定理
质点系由起始位置运动到终了位置，质点系动能的变化等 于作用在质点系上的所有力（主动力、约束力或内力、外力） 在此过程中所作功的代数和。
rAB F' B
rA
F ( d r A d r B ) F d ( r A r B ) F d r A B
rB
O
A、B两点之间距离发生改变，则内力功之和不为零。
故质点系内力的功之和一般不为零。
4、理想约束
约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束。 （1）光滑固定面 （2）光滑铰链或轴承约束 （3）刚性连接的约束 （4）联结两个刚体的铰 （5）不可伸长的柔索约束
质点系的运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的运动。
质点系的动能等于随质心平动的动能和相对质心运动的 动能之和。 （取质心为平移动系的坐标原点）
T 1 2m ivi21 2m vC 2 1 2m ivr2 i
柯尼西定理
式中： v r i
1 2
m
v
2 C
质点 Mi 相对于质心运动的速度 质点系随同质心平动的动能