12第十二章动能定理
第十二章---动能定理
∴力 F的元功为 δW = Mzd x
ω
F
o1 Fz Fr
A
Ft
or y
刚 力体F从作角的功1转为到2时，W12
2 1
M
z
(F
)d
⒋力偶的功
M
M=Fr
δW = Fds+F’ ·0 = Fr d
F ds
d r
F'
即力偶M的元功为
当刚体转过角时,
δW = FR'·drc +MC d
•平面运动刚体上力系的功
W12
M d 2
1
C
C2 C1
FR'
drC
结 平面运动刚体上力系的功等于力系向 论 质心简化所得的力和力偶作功之和。
⒍纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 ω
δW = F'·drD =F ·vD dt=0
• drD----接触点的位移； • D为速度瞬心， vD=0 • 静滑动摩擦力F----阻碍滑
力偶M的功为
δW = Md
W12
Md
0
⒌平面运动刚体上力系的功
• 设刚体在力系F1、F2、…Fn作
用下作平面运动，
在dt内，刚体质心位移drc，转角d ，
则Mi的位移 dri = drC +driC
Fi
dric θ
d
Mi
δWi = Fi ·dri = Fi ·drc + Fi ·driC
drc C
W12
2 1
M C d
C2 C1
FR'
drC
§12-2 质点和质点系动能 与动量比较?
动能定理
第十二章动能定理12-1 功和功率2、变力在曲线运动中的功Mvr Fr dsM ′rr ∆rr r r ′为弧的路程上所作的总功在力21M M F r∫=21M M W W δ∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx rd F M M rr ∫⋅=21F W r ⋅δrd F W M M rr ∫⋅=21∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx W ds F W M M ϕcos 21∫=dtv F W M M ∫⋅=21rr影为重力在三坐标轴上的投运动到沿曲线轨迹设质点,21M M M mgG Z Y X −=−===,0δδk F F =成正比。
弹簧变形的大小与在弹性极限内，弹性力r)(212221δ−δ=k W 上式表明，当初始变形大于末变形时，弹性力作功为正。
反之为负。
的无限小增量。
点的距离点相对于为AB A B r d AB τr AB B r d F ⋅=的无限小增量。
点的距离点相对于为AB A B r d AB τr221ii V m T ∑=1、刚体平动的动能221k k V m T ∑=设瞬心在P点2)(21ωk k r m ∑=2221kk r m ∑=ω221ωz J =均质圆柱体作纯滚动时的动能RCCV r r得到两边同乘以,dt V r d r r =2121由动力学基本方程有FdtVd mr r=W r d F δ=⋅r r FdtV m d r r=)(或r d F dt V dtV m d rr r r⋅=⋅)()21()(2)(2mV d V V d m dt V dt V m d =⋅=⋅r r r r W mV d δ=⇒)21(2力的元功。
用于质点上微分等于作质点动能的W mV d δ=)21(2δ二、质点的动能定理的积分形式质点动能在某一路程上的改变量，等于作用于质点上力在同一路程上所作的功。
§12-5 质点系的动能定理)21(2i i V m d ∑∑=)21(2i i V m d *ii W W δδ∑+∑=质点系动能的微分等于作用在该质点系的全部外力和内力的元功的总和。
理论力学 第十二章 动能定理
2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
第十二章 动能定理
理论力学东北大学理学院力学系张英杰综合运用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。
动量定理动能定理动量矩定理用矢量法研究动力学问题从能量的角度分析质点(系)的动力学问题—4123力的功质点和质点系的动能功率、功率方程、机械效率动能定理5势力场· 势能· 机械能守恒定律6普遍定理的综合应用（代数量）常力在直线运动中的功：变力在曲线运动中的功：元功θsF力在全路程上作的功等于元功之和：θrd sd 一、功—力在一段路程内所积累的效应s F W⋅=W δ⎰=ssF W 0d cos θsF ⋅=θcos sF d cos ⋅=θM 1M 2FM 单位:J （焦耳） 1 J = 1 N·m M'r Fd ⋅=元功作用力F 在质点从M 1到M 2的运动过程中所作的功：kF j F i F F z y x++=kz j y i x rd d d d ++=rF Wd δ⋅=zF y F x F z y x d d d ++=⎰++=21)d d d (M M z y x z F y F x F 一、功—力在一段路程内所积累的效应（代数量）θrd sd M 1M 2FM M'取固结于地面的直角坐标系为质点运动的参考系，为三个坐标轴的单位矢量。
k j i,,⎰=21δ12M M W W 当力始终与质点位移垂直时，该力不作功。
质点系1、重力的功2z gm1z O yxz M 1M 2—质心始末位置高度差二、常见的功mg F F F z y x -===;0z mgz z d 21-⎰=)(21z z mg -=)(2112i i i z z g m W -∑=∑ii C z m mz ∑=)(21C C z z mg -=⎰++=21)d d d (12M M z y x z F y F x F W 重力作功只与运动始末位置有关,与运动轨迹形状无关弹性力2、弹性力的功二、常见的功r e l r k F)(0--=⎰⋅=21d 12A A rF W⎰⋅--=21d )(0A A r re l r kr r r r e rd d ⋅=⋅)(d 21r r r⋅=)(d 212r r =r d =()[]⎰--=21d 0r r rl r k ])()[(21202201l r l r k ---=)(212221δδ-=k 弹簧刚度系数k(N/m)2δF 1δr e 1r 2r r r d δrd OA 0A 2A 1A l 0弹性力的功)(2222112δδ-=k W 弹性力的功只与弹簧始末的变形量δ有关，而与力作用点A 的轨迹形状无关。
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
第12章动能定理(删——新)
P 刚体的平面运动动能就等于随质心C的平动动能与绕质心 C转动的动能之和。
思考：图示圆轮只滚不滑，此瞬时轮心速度为vO，则园 轮的动能T=?
1 1 2 T M O ＋ J O 2 2 2 1 1 3 2 2 2 ＝ M O ＋ M O ＝ M O 2 4 4
O
vO
思考：图示圆轮边缘B点绞接杆AB，A端放在水平地面 上，轮与地面只滚不滑，此瞬时A端速度为vA，B点位 于轮上最高点，则系统的动能T=? 1 1 1 2 2 T M A ＋ M O ＋ J O 2 2 2 2 1 1 1 11 2 2 2 2 ＝ M A ＋ M A ＋ M A ＝ M A 2 8 16 16 B vB AB杆瞬时平动
ω
3、平面运动刚体的动能
该瞬时瞬心为P，角速度为ω ，
· v· · v m ·· C · ·
i
i
c
1 2 2 T J P J P＝J C＋Md 2 1 1 2 2 2 T J P ＝ （J C＋Md ） 2 2 1 1 2 ＝ J C ＋ Md 2 2 2 2 1 1 2 2 ＝ J C ＋ M C 2 2
aA
P M
练习题:长为l、重为Q的均质杆AB的A端与一半径为 R、重为P 的均 质圆轮的轮心 绞接在一起，轮与地面间只滚不滑，墙与杆间无摩擦， 系统初始静止，θ0=450，而后自由下落，求轮心A在初瞬时的加速 度。 B D 解： T1 0
1 1 1Q 2 2 2 T2 J P P J C C vC 2 2 2 g 3 P 2 1 1 Q 2 vA 2 vA l ( ) 4g 2 12 g l sin vA 1 Q l vA 2 ( ) 2 g 2 l sin 1 2 3 P 1Q 1 v A[ ] 2 2 2 g 3 g sin l W Q (sin 0 sin ) 2
12第十二章动能定理
ri
mi
vi ri
vC d
15
例．摆：杆m1, l,圆盘：m2 , R，杆与圆轮均质。 求：摆的动能。 解： 组合刚体作定轴转动
1 T J O 2 2
JO JO杆 JO盘
1 1 2 m1l m2 R 2 m2 (l R ) 2 3 2
2) D 物速度与 B 轮角速度关系：
v 2 r B v C r B
T TA TB TD
2v C v
22
３、运动分析： 2 1 P r v 2 1 2 ( ) Ａ：TA J O A 2 2g r 2 1 2 1 2 Ｂ：TB mvC J C B 2 2
8
5．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和。 平面运动刚体上力系的功，也等于力系向质心简化所得的力与力
偶作功之和。
A
c1
F
c2
C
A
W12 W12 ( F '.R ) W12 ( M C )
FR 'drC M C d
C1 C2
2
r r0 r
单位矢量
2
M1 r 1 1 F r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr. 2r r 2r r2 r2 k W12 k ( r l0 ) dr d ( r l0 ) 2 2 r1 r1 k 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0 [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] 2 k 2 2 即 W12 ( 1 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
第十二章动能定理
△ 理想约束力之功
约束反力作功等于零的约束称为理想约束，即
dW 0
常见的理想约束有
（1）光滑固定面和辊轴约束 其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。 （2）光滑铰链或轴承约束 由于约束力的方向恒与位移的方向垂直， 所以约束力的功为零。
★ 平面运动刚体上力系的功
★ 内力与理想约束力的功
★ 力的功定义
在一无限小位移中力所做 的功称为元功，以 dW表示
dW F dr Fds cos
直角坐标形式
dW Fx dx Fy dy F zdz
在一般情况下，dW不是功函数的全微分，仅仅为点积 F dr的记号。
力在有限路程 M 1 M 2 上的功为力在此路程上元功的定积分。 即 M2 s
F R M z ( F ) M z
于是
dW M z d
W12 M z d
1 2
力在有限转动中的功为
★ 平面运动刚体上力系的功
刚体上任意一点Mi的无限小位移可写为
dri drC driC
其中 drC为质心的无限小位移， driC为Mi 点绕质心C的无限小转动位移 作用于点Mi上的力Fi的元功为
O m1
C m2
vC
v vi vi v v 2 vC vir
2 i 2 C 2 ir
z vir mi
z´
vi vC y´
vC mi vir ?
i
根据质心定义
m r
i i
ir
m rcr
m v
i i
ir
m vcr 0
理论力学第十二章 动能定理
§12－1 力的功
II. 弹性力的功
一端固定的弹簧与一质点M相连接，弹簧的原始长 度为l0,在弹性变形范围内，弹簧弹性力F的大小与其 变形量δ成正比，即
F=kδ
当质点M由M运动时，弹性力的功仍按上式计算，即弹性力的功也 只决定于弹簧初始位置与终了位置的变形量，而与质点的运动轨迹无关。
由于功只有正负值， 不具有方向意义，所 以功是代数量。
§12－1 力的功
II. 变力的功
设质点M在变力F作用下作曲线运动，当质点从M1 沿曲线运动到M2时,力F所做的功的计算可处理为： (1)整个路程细分为无数个微段dS；(2)在微小路程上, 力 F 的 大 小 和 方 向 可 视 为 不 变 ； (3)dr 表 示 相 应 于 dS 的微小位移，当dS足够小时,∣dr∣=dS。根据功的 定义，力F在微小位移dr上所做的功(即元功)为
直角坐标形式为
力F在曲线路程 上所做的功等于该力在各微段的元功之和，即
§12－1 力的功
Ⅲ. 合力的功
合力在任一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即
常见力的功
I. 重力的功
设有一重力为G的质点,自位置M1沿某曲线运动至M2 ,
上式表明,重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置 的高度差的乘积,且与质点运动的轨迹形状无关.
第十二章 动能定理
主要研究内容
力的功 功率与机械效率 动能 动能定理
§12－1 力的功
功的概念
功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用 的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。力的功包含力和路程 两个因素。
I. 常力的功
设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的 作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的投 影Fcosα与位移的大小S的乘积称为力F在位移S上所 做的功，用W表示，即 W=S·Fcosa 。可知，当a<90 度时，功W为正值，即力F做正功；当a>90度时，功 W为负值，即力F做负功；当a=90度时，功为零，即 力与物体的运动方向垂直，力不做功。
第十二章 动能定理
③ 作用在纯滚轮上的摩擦力的功 接触点为瞬心，滑动摩擦力 作用点没动，此时滑动摩擦 力也不做功。
W F d rp 0
如果不是纯滚动，有相对滑 动，则摩擦力作负功。
13
§13 - 2 质点和质点系的动能 1 质点的动能
T
2 2
1 2
mv
2
动能是恒正的标量，
单位:
是瞬时量。
2
kg m / s kg m / s m N m J
( mi ri )
2
所以，刚体定轴转动的动能为:
Jz
T
1 2
J z
2
15
(3) 平面运动刚体的动能
设刚体作平面运动，如图。
C
由定轴转动刚体动能的公式
T
1 2
1
J p
2
rc p
2 C
由平行轴定理，有: 所以:
2
J p JC m r
1 2
2 C 2
T J C m r
m2g
2
d T [] 2vB d vB
Wi m3 g d s
2
vB
ds
m3g
d vB ds 两边同除d t，得: []v m3 g B dt dt m3 所以: a g B []
29
例 3
已知：两相同均质杆, m, l , 水平面光滑。初始静 止，高为h。设杆在铅垂 面内落下。 求：铰链D与地面接触时 的速度。
1
FDy
vo
F
m1g
FDx m2g m3g
2
vB
FN
受力如图。 求加速度可用动能定理的微分形式。
计算一般位置的动能
第12章动能定理
二．势能 在势力场中，任选一点M0令其势能为零，称为零势能点。 则质点从点M 运动到点M0过程中有势力所作的功称为质点在 点M的势能，用Ep 表示。即
Ep
具有相对性。
M0 __
M
F d r ( Fx dx Fy dy Fz dz)
M
__
M0
显然，势能只取决于质点的位置M和零势能点M0的选取，势能 下面计算几种常见的势能。 1. 重力场中的势能 质点： Ep mg( z z0 ) 质点系： Ep mg( zC zC 0 ) z0 − 零势能点的 z 坐标 zC0 −质点系零势能位置质心
作用在转动刚体上的力的功率为：
δW d P Mz Mz dt dt
上式表明：作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴 的矩与角速度的乘积。
功率的单位：瓦特（W）或 千瓦（kW），1W = 1 J/s 。
二．功率方程 将质点系动能定理的微分形式 dT δWi的两边同除以dt 得 Wi dE k Pi dt dt 上式称为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于
§12-4
一．功率
功率 · 功率方程 · 机械效率
单位时间内力所作的功称功率。它是衡量机器工作能力的
一个重要指标。功率是代数量，并有瞬时性。
δW P dt
注意到 δW F d r ，则
δW F d r P F v Ft v dt dt
上式表明：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
z
1
如果刚体上作用的是力偶，则力偶所 作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶 对z 轴的矩。 若Mz = 常量， 则 W12 M z (2 1 )
5．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的 力（主矢）与力偶（主矩）作功之和。 首先可以证明，刚体上力系的全部力所作的元功之和为
理论力学第12章(动能定理)
理论力学
20
§12-3
动能定理
一、质点的动能定理： dv m F 牛顿定律 dt dv dr F dr 两边点乘以 dr ，有 m dt
3.刚体沿固定面作纯滚动 4.联接刚体的光滑铰链（中间铰）
dW F
R
dr FR dr FR dr 0 dr FR
5.柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
理论力学 10
[ 例 1] 如图所示滑块重 P ＝ 9.8 N ，弹 簧刚度系数 k ＝ 0.5 N/cm ，滑块在 A 位置时弹簧对滑块的拉力为 2.5 N， 滑块在 20 N 的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置 A 运动到位置 B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
理论力学
1 2
3 2
1 6
4 3
7 2
19
[例5]滑块A以速度 vA在滑道内滑动，其上铰接一质量 为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度 绕A转动，如 A 图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
vA
j
l
vC v A vCA
速度合成矢量图如图。由余弦定理
AB
O1
AB作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式 求动能：
J O1 J C mAB O1C 2
1 2m (2a)2 12
vC
8 3
C
2m a 2 ma 2
第12章 动能定理
1.2 变力的功
这时可将路程 s 分为无限多个微段 ds，则微段路程 ds 可以近似为直线，且力 F 在位移 dr 中
可视为常力，dr 可视为沿点 M 的切线。力 F 在该微小路径上所做的功称为元功，用W 表示，且
有
W F dr
（12-3）
质点 M 沿曲线由 M1 运动到 M2 的过程中，变力 F 做的功为
迹无关。
1.4 几种常见力的功
3．摩擦力的功
如图 12-6 所示，由于质点受到的滑动摩擦力 F μFN 的方向总是与质点运动的方向相反，所 以滑动摩擦力做功恒为负，且有
W M2 Fds M1
M2 M1
μFNds
（12-10）
式（12-10）为曲线积分，因此，滑动摩擦力的功，不仅与起止位置有关，还与路径有关。
图12-6
02
质点和质点系的动能
质点的动能 质点系的动能 刚体的动能
2.1 质点的动能
动能是指物体由于本身的运动而具有的能量。实践表明，物体动能的大小与物体的质量及 运动速度有关。一切做机械运动的物体，质量越大，运动速度越快，其动能也就越大。因此， 动能是度量物体机械运动强度的物理量。
研究表明，质点的动能等于它的质量 m 与速度 v 平方的乘积的一半，即质点的动能为 mv2 /2 。 动能是一个恒为正值的标量。在国际单位制中，动能的单位与功的单位相同，都为 J。
的单位来决定。在国际单位制中，功的单位是 J。
如果路程用矢量 s 表示，则力 F 的功可以写成
W Fs
（12-2）
图12-1
1.2 变力的功
如图 12-2 所示，设质点 M 在变力 F 作用下，沿曲线从位置 M1 运动到位置 M2 ，现求力 F 在 路径 M1M 2 上做的功。由于从 M1 运动到 M2 的过程中，力 F 的大小和方向在不断变化，因此，力 F 的功不能直接用式（12-1）来计算。
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d( 1mv2) δW
F
2
两边积分得：
12mv2212mv12 W12 ——积分形式的质点动能定理
即质点某个运动过程中, 动能的改变量等于作用在质点 上的力所作的功。
2、质点系一质点，据质点动能定理:
d(
1 2
mivi2)
δWi
对每个质点都可列出上面的方程式，将n个方程相加有:
T
1 2
m
iv
2 i
(1 2
m
i ri2
2)
1 2
2
m iri2
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
T
1 2
JC2
C'为通过速度瞬心，且与运动平面垂直的轴。
JC JCmd2
T
1 2
(JC
md 2 ) 2
1 2
J C 2
1 2
md
2 2
T12mvC2 12JC2
例 计算物体系统的动能。已知：m, r, P,
W M m 2 g s in s
开始时动能为零，圆柱体中心运动路程为s时，系统动能为
rAB F' B
rA
F ( d r A d r B ) F d ( r A r B ) F d r A B
rB
O
A、B两点之间距离发生改变，则内力功之和不为零。
故质点系内力的功之和一般不为零。
4、理想约束
约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束。 （1）光滑固定面 （2）光滑铰链或轴承约束 （3）刚性连接的约束 （4）联结两个刚体的铰 （5）不可伸长的柔索约束
1 2
m
i
v
2 ri
质点系相对质心运动的动能
证明： T12mvC 2 12mivr2i
设质点系质心的速度为vC ，任一质点 Mi 相对于质心运动的速
度为vri，则质点的绝对速度为 vi = vC + vri于是有
v i2 v iv i (v C v r i)(v C v r i)
v C v C v riv ri v C v ri
质点系的运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的运动。
质点系的动能等于随质心平动的动能和相对质心运动的 动能之和。 （取质心为平移动系的坐标原点）
T 1 2m ivi21 2m vC 2 1 2m ivr2 i
柯尼西定理
式中： v r i
1 2
m
v
2 C
质点 Mi 相对于质心运动的速度 质点系随同质心平动的动能
对于刚体，也可以将力系向刚体的质心简化，一般简化为 一个力和一个力偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作 的元功等于力系中所有力所作元功的和，有
δ W δ W i F R 'd r C M C d
平面运动刚体
δW F R'drCM C d
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1 ~ 2 时,力系的功为
§12－2 质点和质点系的动能
动能是一恒为正的标量，它的值取决于各质点质量及速 度的大小，而与速度方向无关。因此计算质点系动能时不 必考虑各质点速度的方向，这给计算带来很大方便。
1、 质点的动能 2、质点系的动能
1 m v2 2
T
1 2
mivi2
通常用字母T 表示质点系动能。
动能的单位：焦耳（ J ）。
T
1 2
JO2
1 2
Pv2 g
O
T11mr221Pr22
22
2g
1(m2P)r22
4
g
P
例 计算只滚不滑圆轮的动能。已知：m, r,
T12mvC2 12JC2
1 mr22 1 (1 mr2)2
C
2
22
I
3 mr22
4
或
T1 2JI21 2(JCmr2)21 2(1 2mr2mr2)2
3mr22
v r C 是质心相对于质心的速度，其值为零
故有
m iv C v r i v C m v r C 0
于是有
T12mvC 2 12mivr2i
证毕
T12mvA 2 12mivr2i 对吗？
3、刚体的动能
（1）平动刚体的动能
T 1 2m ivi21 2v2 m i1 2m vC 2
（2）定轴转动刚体的动能
（4）摩擦力的功 摩擦力方向与其作用点的运动方向相反，摩擦力作负功； 摩擦力方向与其作用点的运动方向相同，摩擦力作正功。
摩擦力的功与力的作用点运动路径有关。
FT
作用在纯滚动圆轮上的摩擦力的功：
? δWFsdr Fs vdt 0
（5）任意运动刚体上力系的功
刚体在任意运动过程中，力系所作的总功，等于各分力 所作功的代数和。
d(12mivi2) δWi
即: d
(1 2mivi2) δW i
1
2
mivi2
T
——质点系的动能
即有: dT δWi ——微分形式质点系动能定理
两边积分
T2T1 Wi ——积分形式质点系动能定理
质点系由起始位置运动到终了位置，质点系动能的变化等 于作用在质点系上的所有力（主动力、约束力或内力、外力） 在此过程中所作功的代数和。
例 卷扬机鼓轮在常力偶矩作用下将圆柱体沿斜面上拉。已知
鼓轮的半径为R1,质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱体的半 径为R2，质量为m2，质量均匀分布。斜面的倾角为θ，圆柱体 沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱体中心的速度
与其路程之间的关系。
解：取整体研究
做功的主动力有M， m2g。 系统受到的约束是理想约束。
4
例 计算OA杆的动能。已知：m, l,
O
T
1 2
J O 2
1 (1 ml2 )2
23
A
1 ml22
6
§12-3 动能定理
1、质点的动能定理：
m
dv dt
Ft
F
mdv dt
ds
Ft
ds
mvdvFt ds
d( 1mv2) δW ——微分形式的质点动能定理 2
即质点动能的微分等于作用在质点上力的元功。
vC 2vrivCvri
则有
T 1 2 m iv i 2 1 2m iv C 2 1 2m iv r 2 im iv C v r i
T 1 2 m iv i 2 1 2m iv C 2 1 2m iv r 2 im iv C v r i
式中
mivC 2 mvC 2
m i v C v r i v C m i v r i v C m v r C ?
W 12C C 12F'RdrC12M Cd
说明:1.对任何运动的刚体，上述结论都适用; 2.C点不是质心，而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
(6) 质点系内力的功
AF
δ W F d r A F ' d r B F d r A F d r B