高三数学 05基本初等函数

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基本初等函数知识点归纳

基本初等函数知识点归纳1.常值函数：常值函数是指在定义域上的值始终相同的函数。

常见的常值函数有恒等于0的零函数和恒等于1的单位函数。

常值函数的图像是一条与x轴平行的直线。

2.幂函数：幂函数是指形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。

当n 为正偶数时，函数的图像在原点右侧递增；当n为正奇数时，图像在全定义域递增；当n为负数时，图像在全定义域递减。

特殊地，当n为0时，函数为常值函数13.指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为正实数且a≠1、指数函数的图像可以是递增或递减的曲线，具体取决于底数a的大小关系。

当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减。

指数函数特点是它们的图像都经过点(0,1)。

4. 对数函数：对数函数是指形如y = log_a(x)的函数，其中a为正实数且a ≠ 1、对数函数是指数函数的反函数，因此它们的图像是关于y = x对称的。

对数函数的图像在定义域上递增，对数函数的唯一一个特殊点是(1,0)。

5. 三角函数：三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)、余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)。

这些函数在三角学中起着重要的作用，并且它们的图像都是周期性的。

正弦函数和余弦函数的图像是一条在[-1,1]之间往复的波浪线，而正切函数和余切函数的图像是一条通过原点的无数个波浪线。

6. 反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数。

反三角函数包括反正弦函数asin(x)、反余弦函数acos(x)、反正切函数atan(x)等。

它们的定义域和值域与所对应的三角函数的范围正好相反。

反三角函数的图像和所对应的三角函数的图像关于y = x对称。

以上是基本初等函数的主要内容，它们是数学中最常见的函数，不仅在实际问题中有着广泛的应用，而且还在高中数学的教学中起到了重要的作用。

通过对这些函数的学习与理解，可以更好地掌握数学知识，提高数学解题的能力。

基本初等函数

基本初等函数初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。

基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。

不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。

有两种分类方法：数学分析有六种基本初等函数，高等数学只有五种。

基本初等函数包括以下几类：(1)常数函数y=c（c为常数）（2）幂函数y=x^a（a为常数）(3)指数函数y=a^x（a>0,a≠1）(4)对数函数y=log(a)x（a>0,a≠1，真数x>0）(5)三角函数和反三角函数(如正弦函数:y=sinx反正弦函数：y=arcsinx等）幂函数定义：一般来说，形状如y=xα(α具有理数的函数，即以底数为自变量，幂为变量，指数为常数的函数称为幂函数。

例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/xy=x0时x ≠0)等等都是幂函数。

一般形式如下：（α它是常数，可以是自然数、有理数，也可以是任复数。

指数函数定义：指数函数是数学中的一个重要函数。

应用于值e的函数写为exp(x)。

也可以等价写作ex，e是数学常数，是自然对数的底数，近似等于2.718281828，又称欧拉数。

一般形式如下：（a>0,a≠1）对数函数定义：一般来说，函数y=logax（a>0，且a≠1)称为对数函数，即以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量函数，称为对数函数。

x是自变量，函数定义域为(0、∞），即x>0.它实际上是指数函数的反函数，可以表示为x=ay。

因此，指数函数中对a的规定也适用于对数函数。

一般形式如下：（a>0,a≠1，x>0,特别当α=e时，记为y=lnx）常见的三角函数主要有以下六种：正弦函数：y=sinx余弦函数：y=cosx正切函数：y=tanx余切函数：y=cotx正割函数：y=secx余割函数：y=cscx此外，还有正矢、余矢等罕见的三角函数。

高考数学中基本初等函数的图像及性质总结

高考数学中基本初等函数的图像及性质总结数学作为一门基础学科，在高中阶段的学习中占据非常重要的地位，而在高考数学中，基本初等函数更是赫赫有名。

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等，除了常数函数外，每个函数都有其特点的图像及性质，下面将对其进行总结。

幂函数幂函数是指函数y=x^a，其中a为常数，当a>0时，函数的图像经过(1,1)，在第一象限上单调递增；当a<0时，在第一象限上单调递减。

当a=1时，函数为y=x，图像为一条直线。

此外，当a为偶数时，函数在第一象限上为关于y轴对称的，当a为奇数时，函数在第一象限上为关于坐标原点对称的。

指数函数指数函数是指函数y=a^x，其中a为正实数且不等于1。

当a>1时，函数的图像在x轴右侧单调递增，当0<a<1时，在x轴右侧单调递减。

其图像在y轴上通过(0,1)，在x轴上不存在渐近线。

对数函数对数函数是指函数y=loga x，其中a为正实数且不等于1，且x>0。

当a>1时，函数在x轴右侧单调递增，当0<a<1时，在x轴右侧单调递减。

其图像在y轴上通过(0,0)，在x轴上不存在渐近线。

三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数和余弦函数的图像均为周期函数，其周期为2π，其函数值均在[-1,1]之间。

正弦函数的图像在点(π/2,1)和(3π/2,-1)处取得极值；余弦函数的图像在点(0,1)和(π,-1)处取得极值。

正切函数是一个奇函数，其在点π/2、3π/2、5π/2等处有无穷大趋势。

反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

反正弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]；反余弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]；反正切函数的定义域为实数集，值域为[-π/2,π/2]。

以上是基本初等函数的图像及性质总结，希望能够对数学学习者有所帮助。

基本初等函数知识点总结

基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。

下面将对基本初等函数的知识点进行总结。

一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。

它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。

多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。

二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。

指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。

三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。

对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。

四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。

三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。

五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。

反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。

基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。

基本初等函数

●
当0<a<1, b>1时，y=logab<0;
●
当a>1, 0<b<1时，y=logab<0。
● 注意：负数和0没有对数。
● 4.三角函数 ● 以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为
因变量的函数叫三角函数 ● 不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观
或者计算得出，称为三角恒等式。 ● 常见三角函数主要有以下 6 种：
● （4）单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；0<a<1时，在定义域上为单调减函数；
● （5）奇偶性：非奇非偶函数
● （6）周期性：不是周期函数
● （7）零点：x=1
● （8）若y=logab （其中a>0,a≠1，b>0）
●
当0<a<1, 0<b<1时，y=logab>0;
●
当a>1, b>1时，y=logab>0;
End
● 7.常数函数 y=C（C为常数） ● 常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数 ● f(X)是一个常数函数,f(X)与其他任何函数的复合函数仍是一个常数函数。 ● 任一定义域和值域相同的常数函数是等幂的。任一拓扑空间上的常数是连续的。在一个
连通集合中，当且仅当f是常数时，它是局部常数
● 3.对数函数 y=loga x（a>0且a=/1，x>0）
● （1）定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1.
● （2）值域：实数集R，对数函数无界；

高考《基本初等函数》完整版课件PPT

第3页
高考调研 ·新课标 ·数学（必修一）
要点2 根式的性质 (1)当n为任何正整数时，(n a)n＝a. (2)当n为奇数时，n an＝a.
当n为偶数时，n an＝|a|.
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修一）
要点3 分数指数幂的概念
(1)正数的正分数指数幂：a
m n

＝
n
am
(a＞0，m，n∈N*，且n
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修一）
思考题1 求下列各式的值.
3 (1)
－27；
4 (2)
（－9）2.
【答案】 (1)－3 (2)3
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修一）
例2 求使等式（a－3）（a2－9）＝(3－a) a＋3成立的实数a的取值范围.
【解析】 ∵3a＋－3a≥ ≥00，，∴aa≤ ≥3－，3，∴－3≤a≤3.
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修一）
3 【解析】 (1)－(－a)2. (2)原式＝(yx2)12·(xy3)14·(xy36)112 ＝y1－14＋12×x－12＋34－14
5 ＝y4.
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课后巩固
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修一）
1.已知（a－b）2＝a－b，则( )
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修一）
【解析】原式＝（ 3－ 2）2＋（ 3＋ 2）2 ＝| 3－ 2|＋| 3＋ 2| ＝ 3－ 2＋ 3＋ 2 ＝2 3.
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修一）
思考题3 求值 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2. 【解析】 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2 ＝（ 3＋ 2）2＋（ 3－2）2－（2－ 2）2 ＝ 3＋ 2＋2－ 3－(2－ 2) ＝2 2. 【答案】 2 2

高等数学第五讲初等函数

总结
四则运算
初等函数
（一个解析式）复合运算（有限次）
分段函数
（多个解析式）
简单函数基本初等函数
（六大类）
复合函数
谢谢
有理数集
分段函数一般不是初等函数
判断下列函数是否为初等函数
(1) y arcsin 5 x
y = arcsinu， u=5-x
(2) y ln x 1 x
1 x, x 0 (3) y 1 x, x 0
(4)
y
x,
x,
x0
x0
x2
简单函数分段函数
y = u，u=x2
基本初等函数经过有限次四则运算得到的函数称为简单函数
3.5,
0 x3 x3
8
在不同范围内需要不同的式子表示
03
x
分段函数
x2 1, x 0
f
x
0,
x0
x
1,
x0
y
0
1x
-1
分段函数的图像也是分段的
分段函数
1, x 0
y
符号函数
sgn
x
0,
x0
11, x 00 Nhomakorabeax
狄利克雷函数（Dirichlet）
D
x
0, 1,
xQ xQ
-1
没有图像
初等函数
目录
01 基本初等函数 02 初等函数 03 分段函数
基本初等函数
y = arcsinx y = arccosx y = arctanx y = arccotx
y = sinx y = cscx y = cosx y = secx y = tanx y = cotx

高等数学初等函数ppt课件

无限地接近,向右与x轴无限地接近.
•当为奇数时, 幂函数为奇函数;当为偶数时,
幂函数为偶函数.
•当 0 时, 函数为常数函数 y 1
5
指数函数
定义:函数 y a x 叫做指数函数, a 其中是一个大于0,且不等于1的常量,函
数的定义域是R.
y a x (a 0,a 1) x R
2
ymin= 1
f(x)= 0 x k (k Z )
R [1,1]
x 2k (k Z ) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
x k (k Z ) 11
2
f(x)=sinx
f(x)= cosx
图象
x
x
周期性奇偶性
在 (0,) 上是减函数在 (0,) 上是增函数 9
三角函数
三角函数常用公式
10
f(x)=sinx
f(x)= cosx
y
y
图1
1
象
0
-1 -

2

3
2 x 0
2
-1

2

3
2 x
2
定义域值域
最值
R
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
商 f: g
( f )(x) f (x) , x D \{x | g(x) 0, x D}Biblioteka gg(x)29
三. 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .

基本初等函数初等函数

基本初等函数初等函数初等函数是指可以用有限次加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数、函数互反和常数的四则运算来表示的函数。

它是高中数学中的一种函数类型，是数学研究和应用中最基本、最常见的一类函数。

最基本的初等函数包括：1.常数函数：y=C，其中C为任意常数。

常数函数在整个定义域上都保持不变。

2. 一次函数：y = mx + b，其中m和b为任意常数，m表示斜率，b 表示截距。

一次函数的图像为一条直线。

3.幂函数：y=x^r，其中r为任意的实数。

幂函数是由自变量的幂指数决定的。

4.指数函数：y=a^x，其中a为一个正常数且不等于1、指数函数的图像呈现指数增长或指数衰减的形式。

5. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为一个正数且不等于1、对数函数是指数函数的反函数，可以解决指数方程。

6. 三角函数：包括正弦函数y = sin(x)，余弦函数y = cos(x)，正切函数y = tan(x)等。

三角函数是周期性的函数。

除了以上基本初等函数外，复合函数也属于初等函数的范畴。

例如，将两个初等函数通过运算符号连接在一起形成的函数仍然属于初等函数。

例如加、减、乘、除、复合函数、互反函数等等。

初等函数在数学的研究和应用中起着非常重要的作用。

它们广泛应用于科学、工程、经济、物理、化学、生物学等领域中的数学模型建立和问题求解。

通过使用初等函数，我们可以更好地描述和分析变量之间的关系，从而更好地理解和预测实际问题。

初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、初等函数的图像、定义域、值域、对称性、奇偶性、单调性、极值等特征都可以通过数学工具和方法进行研究和分析。

总之，初等函数是数学中最基本和常见的一类函数。

它们通过有限次的四则运算、函数互反和常数的运算构成，在数学的研究和应用中起着重要的作用。

初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、通过学习初等函数，我们可以更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。

函数基本初等函数

当$n=-1$时，幂函数为$y=x^{-1}$，表示反比例函数。
当$n=0.5$时，幂函数为$y=x^{0.5}$，表示一个半次函数。
应用场景
在数学领域，幂函数广泛应用于代数、几何和微积分等领域。
在物理领域，幂函数可以描述一些自然现象，如电磁波的传播、
热传导等。
在工程领域，幂函数可以用于建模和预测一些实际问题的结果，
函数基本初等函数
目录
• 常数函数 • 指数函数 • 三角函数 • 对数函数 • 幂函数 • 反三角函数
01 常数函数
定义与性质
定义
常数函数是指函数表达式中不含有自变量，因变量始终等于某个常数的函数。
性质
常数函数具有水平渐近线，即当自变量趋于无穷时，因变量始终等于该常数。
举例
常数函数y=5
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数学
在数学中，三角函数用于证明定理、解决方程和不等式等问题，以及与其他数学领域进行交叉研究。
04 对数函数
定义与性质
定义
对数函数是数学中的一种函数，它以幂运算为基础，表示为 y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，其中 x > 0。
性质
对数函数具有反函数性质、运算性质、换底公式等基本性质，这些性质在数学和实际应用中具有重要意义。
在物理学中，对数函数被用于描述声学、光学和热力学等领域的现象。
05 幂函数
定义与性质
定义
幂函数是形如$y=x^n$（$n$为实数）的函数，其中$x$是自变量，$n$是实数指数。
性质
幂函数具有非负性、递增性、递减性、奇偶性等性质，具体性质取决于指数$n$的取值。

基本初等函数初等函数

基本初等函数初等函数初等函数是指可以用基本初等函数表示和运算的函数。

基本初等函数是指常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

常数函数是指函数的值恒为一些常数的函数，例如f(x)=3幂函数是以x为底数的幂指数函数，可以表示为f(x)=x^n，其中n是一个常数。

指数函数是指以指数形式表示的函数，例如f(x)=a^x，其中a是一个常数。

对数函数是指以对数形式表示的函数，例如 f(x) = log_a(x)，其中a 是一个常数。

三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

它们都是周期函数，周期为2π。

反三角函数是三角函数的反函数，例如正弦函数的反函数是反正弦函数（arcsin），余弦函数的反函数是反余弦函数（arccos），正切函数的反函数是反正切函数（arctan）。

例如，用加法和乘法运算可以生成多项式函数，多项式函数是指以多项式形式表示的函数，例如f(x)=3x^2+5x+2用加法、乘法和除法运算可以生成有理函数，有理函数是指以多项式分式形式表示的函数，例如f(x)=(3x^2+5x+2)/(2x+1)。

用加法、乘法、除法和根号运算可以生成代数函数，代数函数是指通过代数运算得到的函数，例如f(x)=√(3x^2+5x+2)。

例如，两个初等函数的和、差、积和商仍然是初等函数。

两个初等函数的复合函数也是初等函数。

例如，f(x) = sin(x^2) 是正弦函数和幂函数的复合函数。

需要注意的是，初等函数是一个相对的概念。

一些函数在特定的领域内可以表示为初等函数，但在其他领域内则可能无法表示为初等函数。

例如，f(x)=e^x在实数域上是一个指数函数，但在复数域上则无法用基本初等函数表示。

初等函数在数学和科学领域中有着广泛的应用。

它们可以描述和研究自然界中的各种现象和规律，为科学家和工程师提供了强大的工具。

此外，初等函数还在数学分析、微积分、概率论、统计学等许多数学学科中发挥着重要的作用。

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点1.函数的定义与性质函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的运算关系。

函数可以通过一条或多条有序对来表示，其中每个有序对由自变量和对应的函数值组成。

常见的函数表示方法有显式函数、隐式函数和参数方程等。

函数的性质有定义域、值域、奇偶性、增减性等。

其中，定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。

奇偶性描述了函数图像的对称性，增减性描述了函数在定义域的变化趋势。

2.常见初等函数常见的初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。

-多项式函数是形如f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀的函数，其中aₙ,aₙ₋₁,...,a₁,a₀是常数，x是自变量，n是非负整数。

-指数函数是形如f(x)=aᵢx的函数，其中a是一个正常数，x是自变量。

- 对数函数是指数函数的逆运算，形如 f(x) = logₐx 的函数，其中a 是正常数，x 是自变量。

-三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

-双曲函数是以指数函数为基础构造的一类函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数等。

3.函数的运算函数之间可以进行四则运算、函数的复合和逆函数的求解等运算。

-四则运算是指两个函数之间进行加减乘除的运算。

加法运算表示两个函数的对应值相加，减法运算表示两个函数的对应值相减，乘法运算表示两个函数的对应值相乘，除法运算表示两个函数的对应值相除。

-函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

复合函数可以通过符号f(g(x))表示，其中f和g是两个函数。

-逆函数是指将一个函数的自变量和函数值交换后得到的新函数。

逆函数可以通过符号f^(-1)(x)表示，其中f是一个函数。

4.函数的图像与性质函数的图像是函数关系在一些坐标系中的几何表现。

函数的图像可以用来研究函数的性质和变化趋势。

-函数的图像可以用点集、曲线或面积等形式来表示。

-函数的对称性可以通过图像来判断，如关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称等。

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。

基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。

本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。

二、常数函数定义：常数函数 $ f(x) = c $，其中 $ c $ 是一个实数常数。

性质：常数函数的图像是一条平行于 $ x $ 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 $ c $。

图像：见附录图1。

三、幂函数定义：幂函数 $ f(x) = x^n $，其中 $ n $ 是实数。

性质：幂函数的性质取决于指数 $ n $ 的值。

当 $ n $ 为正整数时，函数图像是 $ n $ 次幂的曲线；当 $ n $ 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。

图像：见附录图2。

四、指数函数定义：指数函数 $ f(x) = a^x $，其中 $ a > 0 $ 且 $ a\neq 1 $。

性质：指数函数的底数 $ a $ 决定了函数图像的形状。

当 $ a > 1 $ 时，函数是增长的；当 $ 0 < a < 1 $ 时，函数是衰减的。

图像：见附录图3。

五、对数函数定义：对数函数 $ f(x) = \log_a(x) $，其中 $ a > 0 $ 且$ a \neq 1 $。

性质：对数函数是指数函数的逆函数。

当 $ a > 1 $ 时，函数是单调增加的；当 $ 0 < a < 1 $ 时，函数是单调减少的。

图像：见附录图4。

六、三角函数1. 正弦函数 $ \sin(x) $2. 余弦函数 $ \cos(x) $3. 正切函数 $ \tan(x) $定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。

性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 $ 2\pi $。

基本初等函数

基本初等函数在数学中，基本初等函数是指一组常见且重要的函数，它们在解决实际问题和数学建模中起着关键作用。

这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

本文将介绍这些基本初等函数的定义、性质和应用。

1. 常数函数常数函数是最简单的函数之一，它的定义域中的每个数对应着同一个数值。

常数函数可以用以下形式表示：f(x) = c其中c为常数。

常数函数在数学建模中常用于表示恒定的数值，例如表示物体的质量、温度等。

2. 幂函数幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n为整数或有理数。

当n为正整数时，幂函数表示将x连乘n次。

当n为负整数时，幂函数表示将x连除|n|次。

幂函数还可以表示开方运算，当n为1/2时表示平方根，n 为1/3时表示立方根等。

幂函数在物理学和工程学中广泛应用，如描述电路的功率特性、物体的速度随时间的变化等。

3. 指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。

指数函数的图像通常呈现出曲线的形状，随着自变量x的增大或减小，函数值急剧增加或减少。

指数函数在财务学、生物学、经济学等领域中有广泛的应用，如描述投资的复利增长、细菌的繁殖规律等。

4. 对数函数对数函数是指形如f(x) = log_a(x)的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。

对数函数是指数函数的反函数，它描述了一个数以某个底数为底的幂的指数是多少。

对数函数在计算复杂度、音乐领域、数据压缩领域等有广泛的应用。

5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们是单位圆上的点对应的y坐标、x坐标和y/x之间的关系函数。

三角函数在物理学、工程学、地理学等领域中广泛应用，如描述波动的特性、建筑物的结构设计等。

6. 反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

它们可以用来解决三角方程，求解角度或与角度有关的问题。

反三角函数在几何学、物理学、导航系统等领域有广泛的应用。

基本初等函数初等函数

基本初等函数初等函数基本初等函数是指那些可以用加减乘除及有限次数的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数组合而成的函数。

这些函数在数学中具有重要的地位和广泛的应用。

本文将详细介绍一些常见的基本初等函数及其性质。

1.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x(a>0,a≠1)的函数，其中a称为底数，x称为指数。

幂函数具有以下性质：-若a>1，则f(x)随着x的增大而迅速增大，随着x的减小而迅速减小；-若0<a<1，则f(x)随着x的增大而迅速减小，随着x的减小而迅速增大；-当x为负数时，若a为正数，则f(x)为定义良好的正数，若a为负数，则f(x)为定义良好的负数；-当x为零时，f(x)的值始终为12.指数函数指数函数是形如f(x)=a^x(a≠0,a≠1)的函数。

指数函数具有以下性质：-若a>1，则f(x)随着x的增大而迅速增大，随着x的减小而迅速减小；-若0<a<1，则f(x)随着x的增大而迅速减小，随着x的减小而迅速增大；-当x为负数时，f(x)的值可能为定义良好的正数或负数，具体取决于a的值；-当x为零时，f(x)的值始终为13.对数函数对数函数是形如f(x) = logₐ(x) (a>0, a≠1)的函数。

其中a为对数的底数，x为实数。

对数函数具有以下性质：-若x为正数，且a>1，则f(x)的值为正数；-若x为正数，且0<a<1，则f(x)的值为负数；-若x为零，则f(x)的值为负无穷大；- 对于任意的正数a和b，有logₐ(ab) = logₐ(a) + logₐ(b)的性质。

4.三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

正弦函数和余弦函数的定义域是整个实数集，而正切函数的定义域是除去π/2的奇倍数的实数集。

反三角函数是正弦函数、余弦函数、正切函数的逆函数，分别记作sin^(-1)(x)、cos^(-1)(x)、tan^(-1)(x)。

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

它们在数学和科学领域应用广泛，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍基本初等函数的定义、性质和应用，以帮助读者全面理解和掌握这些知识点。

一、常数函数常数函数是指函数的函数值始终保持不变的函数。

它的定义域是全体实数，通常表示为f(x) = c，其中c为常数。

常数函数的图像是一条水平的直线，平行于x轴。

无论自变量取何值，函数值始终为常数。

常数函数在数学中的应用较少，但在物理、经济学等学科中有时会用到。

二、幂函数幂函数是指自变量的指数和函数值之间的关系为幂关系的函数。

幂函数的表达式可以写作f(x) = x^a，其中a为实数。

幂函数的图像形状与指数a的正负、大小有关。

当a为正数时，函数图像是递增的曲线；当a为负数时，函数图像是递减的曲线；当a为0时，函数图像是一条常数函数的直线。

三、指数函数指数函数是自变量为指数的函数。

指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。

指数函数的图像是一条递增或递减的曲线。

当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。

指数函数在经济学、生物学、物理学等领域有广泛的应用。

四、对数函数对数函数是指自变量和函数值之间的关系为指数关系的函数。

对数函数的一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且不等于1。

对数函数的图像是一条递增或递减的曲线。

当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。

对数函数在科学计算、数据处理等领域被广泛运用。

五、三角函数三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。

常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

三角函数的图像是周期性曲线。

它们的性质和图像形态与角度或弧度的取值范围有关。

三角函数在物理学、几何学、信号处理等领域具有重要应用价值。

专题05函数的概念及表示--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(原卷版)

专题05函数的概念及表示--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力通过函数概念和函数解析式的学习，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。

学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，逐步养成学习者的数学抽象能力。

二、教学建议在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。

求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数：2,,,,log (),sin ,cos x a cx dy ax b y ax bx c y y y a y mx n y x y x ax b+=+=++====+==+求简单函数的值域中，简单函数指下列函数：2,,,log ,sin ,cos x a y ax b y ax bx c y a y x y x y x =+=++====，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。

函数概念需要多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。

三、自主梳理1．函数的定义（☆☆☆）一般地，设A ，B 是非空数集，如果按照某种确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应；那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ． 2．函数的定义域、值域（☆☆☆）在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，其中所有x 组成的集合A 称为函数y ＝f (x )的定义域；将所有y 组成的集合叫做函数y ＝f (x )的值域．3．函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．（☆☆☆） 4．表示函数的常用方法有：列表法、图象法和解析法．（☆☆☆） 5．分段函数（☆☆☆）在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．四、真题感悟1.(2014浙江)已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f -=-=-≤≤，则A ．3≤cB ．63≤<cC ．96≤<cD ．9>c2.(2014江西)已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=aA ．1B ．2C ．3D ．-1 3．（2020北京11）函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 4.（2017新课标Ⅲ）设函数1,0()2,0xx x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是___．5. (2014浙江)设函数若，则实数的取值范围是___.6.（2017浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 7.（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是．8.(2013北京)函数的值域为．五、高频考点+重点题型考点一、定义域例1.（1）函数）A ．B ．C ．D ．（2）（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f ()()2≤a f f a 12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩1()lg(1)f x x =++[2,2]-[2,0)(0,2]-(1,0)(0,2]-⋃(-1,2][)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．对点训练1.（2021江西省临川高三押题预测卷）已知集合{A x y ==,{}24x B x =>,则A B =（）A ．()2,+∞B ．[)1,-+∞C ．[]2,4D ．(]2,4对点训练2.（2021湖北省荆州中学高三下学期四模）定义域是一个函数的三要素之一,已知函数()Jzzx x 定义域为[211,985],则函数 ()shuangyiliu x (2018)(2021)Jzzx x Jzzx x =+的定义域为（） A ．211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211985,20212018⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．211985,20182018⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．211985,20212021⎡⎤⎢⎥⎣⎦对点训练3.若函数212x y x ax -=++的定义域为R ,则实数a 的取值范围为________；【答案】((),22,-∞-+∞；【解析】(1) 212x y x ax -=++的定义域为R ,则22x ax -+恒不为零,即220x ax -+=没有实数根,所以280a ∆=-<,所以实数a 的取值范围为((),22,-∞-+∞；总结：1、给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．注意定义域是一个集合,要用集合或区间表示.常见基本初等函数定义域的基本要求为：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y ＝tan x ,x ≠k π＋π2(k ∈Z )；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求2、抽象函数的定义域要求：寻找内在的隐含条件考点二、函数值域与最值例2．（2021山东省济南市高三二模）（多选题）下列函数求值域正确的是（）A ．()1f x x =+[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C ．()h x =(0D ．()w x =[2对点训练1.（2021陕西省西安市高三下学期适应性考试）已知集合(){}2ln M y y x e ==+,集合{N t s ==,则MN =（）A ．{}01x x ≤≤B ．{}02x x ≤≤ C ．{}12x x ≤≤ D ．{}2x x x e ≤≥或对点训练2.函数23)y x x =->的值域为__________．考点三、解析式例1、求下列函数的解析式（1）已知f (x ＋1)＝x ＋2x ,则f (x )= ________．（2）已知()f x 是三次函数,且在0x =处的极值为0,在1x =处的极值为1,则()f x =______．（3）已知f (x )的定义域为{x |x ≠0},满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1,则函数f (x )=________．（4）已知函数()1f x +是偶函数,且1x <时()24f x x x =-,则1x >时f (x )=________．对点训练1.已知函数 f （x ）＝2x ﹣1，g （x ）={x 2，x ≥0−1，x ＜0，求f [g （x ）]和g [f （x ）]的解析式．对点训练2.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.考点四、分段函数例4．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈对点训练1、（2021江西省高三5月联考）已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则不等式()()324f x f x +<-的解集为（）A ．(),3-∞-B ．3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),1-∞对点训练2.（2020•河西区三模）已知实数a ≠0，函数f(x)={2x +a ，x ＜1−x −2a ，x ≥1，若f （1﹣a ）＝f （1+a ），则a 的值为（） A ．−34 B ．34C ．−35D ．35考点五、复合函数例5.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.对点训练1.(多选题)已知定义域内的函数f (x )满足f (f (x ))-x >0恒成立,则f (x )的解析式不可能是 ( ) A.f (x )=2 019xB.f (x )=e xC.f (x )=x 2D.f (x )=lg √1+x 2对点训练2.【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f x g x ≤考点六、函数概念：对应法则例1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4对点训练1.（上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（） A ．√3 B ．√32C ．√33D ．0对点训练2.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A ,B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ,在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应,那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”,则下列对应法则f 满足函数定义的有（） A ．()2f x x =B ．()2f xx =C ．(cos )f x x =D ．()xf ex =巩固训练一、单选题 1.函数的值域为（） A ．B ．C ．D ．2.（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数1y x =+是相等函数的是（） A．2y =B．1y =C ．21x y x=+D．1y =3.已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+2f （﹣x ）＝x 2﹣x ，则f （x ）＝（） A ．x 2+2x 3B ．2x 23+x C ．2x 2+2x3D ．x 23+x4．（2020秋•渝中区校级月考）对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（） A ．f （cos x ）＝sin2x B ．f （sin2x ）＝sin x C ．f （sin x ）＝sin2xD ．f （sin x ）＝cos2x5（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形ABCD 中，2AB =点M 从点A 出发，沿A B C D A →→→→向，以每2个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动；点N 从点B 出发，沿B C D A →→→方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动.点M 与点N 同时出发，运动时间为t (单位：秒)，AMN 的面积为()f t (规定,,A M N 共线时其面积为零，则点M 第一次到达点A 时，()y f t =的图象为（）A ．B ．C ．D ．()()10f x x x x=+<[)2,+∞(][),22,-∞+∞(],2-∞-R6.(2020山东潍坊一模)函数f (x )={√x +1,-1<x <0,2x,x ≥0,若实数a 满足f (a )=f (a -1),则f (1a )=( )A.2B.4C.6D.8二、多选题7.（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x +-，则f (x )满足的关系有（）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x - C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x ) D ．1()()f f x x-=-8.（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(1,)+∞，值域为R ，则（） A ．函数()21f x +的定义域为RB ．函数()211f x +-的值域为RC ．函数1x x e f e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域和值域都是R D ．函数(())f f x 的定义域和值域都是R三、填空题 9.若函数y =R ,则实数a 的取值范围为________.10.（2021·全国高一课时练习）已知f 1-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=x 2+21x ，则函数f (x )=_______，f （3）=_______．四、解答题11．（2021内蒙古巴彦淖尔市高三月考）已知函数,.（1）求的解析式.（2）若方程有实数根,求实数a 的取值范围.()23log 24f x x x =-+1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()233f x a a =-+12．某农家小院内有一块由线段OA ,OC ,CB 及曲线AB 围成的地块,已知,点A ,B 到OC 所在直线的距离分别为1 m,2 m, ,建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,已知曲线OAB 是函数的图象,其中曲线AB 是函数图象的一部分．（1）求函数的解析式；（2）P 是函数的图象上的动点,现要在如图所示的阴影部分（即平行四边形PMCN 及其内部）种植蔬菜,求种植蔬菜区域的最大面积．12m 5OC =45,AOC ∠=︒tan OCB ∠54=-()y f x=y b =()y f x =()y f x =。

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