中值定理证明方法总结

令 K f (x0) M (b a), 则对任意 x (a ,b),
f (x) K , 即
在
内有界.
例4. 设函数 在 上连续, 在 内可导,
且
但当
时
求证对任意
自然数 n , 必有 (0, 1) , 使 n f ( ) f (1 ) f ( ) f (1 )
f (a) f (b) f ( ) g(a) g(b) g( ) 0 h(a) h(b) h( )
说明
若取 h(x) 1, g(x) x , f (a) f (b) ,即为罗尔定理;
若取 h(x) 1, g(x) x , 即为拉格朗日中值定理;
若取 h(x) 1, g(x) 0, 即为柯西中值定理;
y
o 1x
y
y
1 o 1 x
o 1x
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2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
lim f (x) lim f (x)
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
上面两式相比即得结论. 错!
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几个中值定理的关系
罗尔定理 f (a) f (b) 拉格朗日中值定理
f ( ) 0
yF (x) y xf (x) f (a) f (b)
f ( ) f (b) f (a)
ba F(x) x y n 0y f (x)
o
柯西a 中值b定x理
要证 f (b) f (a) F( ) f ( ) 0
F (b) F (a)
( )
(x) f (b) f (a) F (x) f (x)
F (b) F (a)
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
证:
作辅助函数
( x)
f (b) F (b)
f (a) F(x) F (a)
f
(x)
f (b) g (b) h(b)
f (x) g(x) h(x)
显然 F(x) 在[a , b] 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且
F(a) F(b) 0, 因此,由罗尔定理知至少存在一点
gf ((aa())a
h(a)
,
bgf)((,bb使))
h(b)
Fgf((()))0 , h(f )(a)
方法1. 直观分析 由图可知 , 设辅助函数
y f (x)
y
F(x) f (x) f (b) f (a) x C ba
(C 为任意常数 )
oa b x
y
f (b) f (a) ba
xC
方法2. 逆向分析 要证 即证
F(x) f (x) f (b) f (a) ba
原函数法 F(x) f (x) f (b) f (a) x
g即(a) hf((ab))
g(b)
hf(b()
f )
(
)
F
(
)
fg((aa)) hh(a(a))
hfgh((b((bbb)))) g (gh)(())
f(a0) g(a)
f (b) g(b)
h( )
设 f (x), g(x), h(x) 都在 (a ,b)上连续 , 且在[a ,b]
内可导, 证明至少存在一点 (a ,b) , 使
内可导, 证明至少存在一点 (a ,b) , 使
f (a) f (b) f ( ) g(a) g(b) g( ) 0 h(a) h(b) h( )
证: 按三阶行列式展开法有
f (a) g(a) h(a)
f (b) g (b) h(b)
f ( ) g( ) h( )
g(a) h(a)
g(b) h(b)
证明 在
内有界.
证: 取点 x0 (a ,b), 再取异于 的点 x (a ,b),
对 f (x)在以x0 , x 为端点的区间上用拉氏中值定理
得
f (x) f (x0) f ( )(x x0)
( 界于 x0 与x 之间)
f (x) f (x0) f ( )(x x0)
f (x0) f ( ) x x0 f (x0) M (b a)
f (b) f (a) f ( x) . g(b) g(a) g( x)
直接积分消不去导数，故变形为 f (b) f (a) g( x) f ( x) . g(b) g(a)
方程两边同时积分 f (b) f (a) g(x) C f (x) . g(b) g(a)
解出积分常数C ，则 C f (x) f (b) f (a) g(x) . g(b) g(a)
方程两边同时积分
f (b) f (a) x C f (x)
ba
解出积分常数C ，则
C f (x) f (b) f (a) x ba
令辅助函数
F(x)
f (x)
f (b) f (a) x
ba
柯西中值定理的结论:
f (b)
f (a)
f ( )
.
g(b) g(a) g( )
将 改写为 x
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
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例2.
设 f (x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
令辅助函数 F(x) f (x) f (b) f (a) g(x) . g(b) g(a)
(2)常数变易法 此法适用于常数已分离出来的命题, 构造辅助函数的步
骤如下:
● 将常数部分设为 k
● 恒等变形, 将等式一端变为由 a 及 f (a)构成的代数式, 另 一端为由b 及 f (b) 构成的代数式.
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点
使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
分析: F(b) F(a) F()(b a) 0 a b
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
注意:
1)Baidu Nhomakorabea定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
●分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式, 若 是,只要把端点 a 改成 x ， f (a) 改成 f (x), 则换变量后的端 点表达式为辅助函数.
5.2 .例题选讲
例1. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
分形式)； ● 利用观察法或不定积分法, 方程两边同时积分；（或解微
分方程） ●解出积分常数C F(x),则 F(x) 即为所求的辅助函数。
以拉格朗日及柯西中值定理为例，说明辅助函数 F(x) 的 构造作法：. 拉格朗日中值定理的结论:
f (b) f (a) f ( )
ba 将 改写为 x
f (b) f (a) f ( x) ba
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二、拉格朗日中值定理 y
y f (x)
满足:
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
o a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
证: 问题转化为证
f ( ) f (b) f (a) 0
b a
( 自己验证 )
中值定理的主要应用与解题方法
原函数的性质
中值定理
反映 反映
导函数的性质
中值定理的主要应用
(1) 利用中值定理求极限
(2) 研究函数或导数的性质
(3) 证明恒等式
(4) 判定方程根的存在性和唯一性
(5) 证明有关中值问题的结论
(6) 证明不等式
注：（1） 几个中值定理中最重要、最常用的是: 罗尔中值定理。 （2） 应用中值定理的关键为： 如何构造合适的辅助函数？（难点、 重点）
f (b) f (a) f ( ) F(b) F(a) F( )
泰勒o 中a 值定理b x
1 n!
f
(n) (x0)(x
x0 )n
证明中值定理的方法
辅助函数法
直观分析 逆向分析
例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) f (a) f ( )(b a)
要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 .
(4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为恒等式 ,先证变式导数为 0 , 再利用 特殊点定常数 .
(6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的 技巧.
构造辅助函数的方法
(1)不定积分求积分常数法.
构造辅助函数 F(x) 的步骤如下: ● 将欲证结论中的 改写为 x ； ● 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式.(即易积
ba
作辅助函数 (x) f((x)) f (b) f (a) x
ba
显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
(a) b f (a) a f (b) (b), 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆b 向a 思维找即出定一理个结满论足成罗立尔定. 证理毕条件的函数
ba 辅助函数
同样, 柯西中值定理要证
即证 设 F(x) f (x) f (b) f (a) g(x)
g(b) g(a) 原函数法 F(x) f (x) f (b) f (a) g( x)
g(b) g(a)
* 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此
可适当减弱.
例如, 设 在 内可导,且 f (a 0) f (b 0),
则至少存在一点
使
证:
设辅助函数
F(x)
f f
(a 0), (x) ,
xa a xb
f (b 0) , x b
显然 在
上连续, 在
内可导, 由罗尔
定理可知 , 存在一点
使 F( ) 0 , 即
f ( ) 0 .
* 中值定理的统一表达式
设 f (x), g(x), h(x) 都在 [a ,b]上连续 , 且在 (a ,b)
解题方法:
从结论入手, 利用逆向分析法, 选择有关中值定 理及适当设辅助函数 .
(1) 证明含一个中值的等式或证根的存在 , 常用 罗尔定理 , 此时可用原函数法设辅助函数.
(2) 若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数,
可考虑用柯西中值定理 .
(3) 若结论中含两个或两个以上中值 , 必须多次 使用中值定理 .
f ( )
f (a) h(a)
f (b) h(b)
g( )
f (a) g(a)
f (b) g(b)
h(
)
利用逆向思维设辅助函数
F(x)
g(a) h(a)
g(b) h(b)
f (x)
f (a) h(a)
f (b) h(b)
g(x)
f (a) g(a)
f (b) g(b)
h(x)
f (a) g(a) h(a)
则(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 且
(a) f (b)F (a) f (a)F (b) (b)
F (b) F (a)
由罗尔定理知, 至少存在一点
使
即
f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F( )
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b) 两个 不 F(b) F(a) F( )(b a), (a, b) 一定相同
中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
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一、罗尔( Rolle )定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
y
y f (x)
o a
bx
(3) f ( a ) = f ( b )
求证存在 (0,1),使 证：设辅助函数 (x) xn f (x)
辅助函数 如何想出来的？
显然 (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0,1) , 使得 ( ) n n1 f ( ) n f ( ) 0
即
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例3. 设函数 在 内可导, 且