平面波方程

1
1
1
1
O1 r1
y A cos(t kr )
P
2
2
2
2
y y y Acos t
O2 r2
1
2
其中 A2 A2 A2 2 A A cos
1
2
12
kr r
设
1

2
1
2
1 2 2
k r r r r
解满足叠加原理。 •光波在媒质中传播时 弱光 媒质可看作线性媒质 强光 媒质非线性,波的叠加原理不成立
二、波的干涉
１.相干条件 频率相同，振动方向相同，相位差恒定
两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一
些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
见Zlcai
设 y A cos(t kr )
2
1
2
1
当 r r n, n 0,1,2
2
1
A A A I I I 2 I I 相长
1
2
1
2
12
当 r r 2n 1 , n 0,1,2
2
1
2
A A A I I I 2 I I 相消
1
2
1
2
12
例: 两相干机械波，振源相位差的奇数倍， 在p点相遇，若波程差为半波长的偶数倍 问p点是加强还是减弱？
⑴入射波的波动方程;
⑵反射波的波动方程; ⑶入射波与反射波叠加的
y
合成波在0≤x≤10m区间
u
内各波节和波腹处的坐标;
. ⑷合成波的平均能流密度。 o x1
.x
x2
解:⑴波速
u
F
m
10 103
100m s
波长
u 100 2m 50
从参考圆可知:φ1=π/3
y

A cos 2 t

x

11 6
⑶因波节间距离为λ/2=1m,又x2是节点，所以节点坐标: x=0,1,2, …10m
波腹坐:
x=0.5,1.5, …9.5m
⑷I=0
§17－5 平面波的波动方程
各种平面波都满足下列方程
2y
2y
u2
t 2
x 2
称为平面波的波动方程
平面简谐波波动式是它的解
例2 弦上的横波，设线密度m，张力T（不变）
T
T
T 2

1 dx
T
T sin T sin Ttg tg
2
1
2
1
y y 2 y

T

0
dt

u
对于平面简谐波
1
I 2 A2u
2
SI: W m2
球面简谐波的波动式：
r1 r2 o
I1

1 2
A12 2u
I2

1 2
A22 2u
在无吸收时,通过两球面的能流相等
I14πr12=I24πr22
A1 r2 A2 r1
y A0 cos(t kr)
单位体积中的机械能
E 2 A2 sin2 t kx
Sx
1T
1


T
dt
0

2 A2
2
二、波的能流密度 波的强度
单位时间内通过截面的波动能量称为能流 单位时间内通过单位垂直截面的波动能量 称为能流密度
u
S
J

u
波的强度
1T
uT
I

J

T

0
Jdt
1
2
x
x1


0.04 cos 100t

3

2
x
0.5 2

0.04
cos
100t

x

5 6



3
y
3
⑵
y

0.04 cos 100t


3

2
10

0.5 10 2

x




0.04
cos100t
５.能量 波节只有势能，波腹只有动能 当所有各点达到最大位移，全部能量为势能 当所有各点达到平衡位置，全部能量为动能 经1/4T，波节附近势能转化为波腹附近动能
四、简正模式
两端固定的张紧弦中产生驻波

n L n 1,2,3 2
u nu
2L
n = 1,2,3 简正频率
对应的驻波称为弦的简正模或固有振动
n1
n2
例、如图所示，在一根线密度μ=10－3kg/m和张力
F=10N的弦线上,沿x轴正方向传播简谐横波,其频率
ν=50Hz,振幅A=0.04m。巳知弦线上离坐标原点 X负1向=0运.5m动处,当的波质传点播在到t=x02=时1刻0m的处位固移定为端+时A2 ,,被且全沿部y轴反 射。试写出:
解: kr r
1
2
1
2
2k 1
1
2

r r 2n
1
2
2



2k

1

2
n


2k

1

2n
振动减弱
例:
设两相干波源P,Q，相同振幅，PQ

3 2

R为PQ连线上任一点，求R点振动的振幅
3

2
P
QR
解: kr r
2y

T
x

x xdx
x
T
x 2
dx
mdx x 2
2y T 2y

t 2 m x2
T
u m
§17－6 波的能流密度和强度
一、机械波的能流密度
x
设 y Acos(t kx) o u A x
1 y
E mx( )2
k2
t
y B
1
x
1 2
Tx
y x
2
对于平面简谐波
E 1 mx 2 A2 sin2 t kx
k2
E 1 Txk 2 A2 sin2 t kx
p2
T
u k
m
E E (同步变化)
k
p
E xm 2 A2 sin2 t kx
r
三、声波 声强级
频率范围 20 20000Hz
声强级
I L log
I 0
单位：贝尔（bel）
分贝(dB）
I 1012W / m2 0 1
1dB bel 10
声波, 超声波，次声波
§17－8 波的叠加 波的干涉
一、波的叠加原理 １.波的独立性原理 几个波源产生的波，在传播过程相遇时,每个波的 波长，频率，振动方向，传播方向都不因其它波 的存在而改变。即各个波相互间没影响，每个波 的传播就象其单独存在时一样。
x2
y
2
1 2
y 2 2

x 1

x


E p


1
y 2 2

T
x
1


x


x


1 y 2 2 Tx x
E

Ek

E p

1 2
mx(y )2 t

1
2
1
2
3
k 3 减弱
2
A0
三、驻波
当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。
1. 演示： Zlcai
2.表达式
设 y Acost kx 1
y Acost kx 2
y y y 2 Acoskx cost
２.波的叠加原理
当几列波在媒质中某点相遇时，该点的振动是
各个波单独存在时引起该点振动的合振动即该
点位移是各个波单独在该点引起的位移的矢量和。
振动叠加发生在单一质点上
波的叠加发生在波的相叠区域
波动方程的线性决定了波服从叠加原理
波的强度过大非线性波 叠加原理不成立 ★电磁波
麦D可斯韦E和 方程B组 的mH四 个也方是程线都性是关线系性--的----, 如果
1
2
y y y 2 Acoskx cost
1
2
３. 振幅 kx n n 0,1,2 波腹
腹－腹

x 2
kx 2n 1 n 0,1,2 波节
2
节－节

x 2
腹－节

x 4
４.相位
作振幅为 2 Acoskx 的简谐振动
两相邻波节之间的质元相位相同 每一波节两侧各质元相位相反