空间曲面及其方程.
2021研究生考试-高等数学考点解读及习题特训
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋ 飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求 ｛匕 的 交 线 C
案 UA抽
zx＝ ． fl4111、
y 2 － 叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一 个立体由上半球面 z＝ 乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e
高等数学第七章：曲面及其方程
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
空间曲面及其方程
116 .
3
3 9
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c x
同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x, z) 0 绕
z 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f x2 y2 , z 0.
同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x, z) 0 绕
x 轴旋转一周的旋转曲面方程为 f x, y2 z2 0.
例6 yoz坐标面上的直线 z a,绕y(za轴旋0)转，试求所得 旋转曲面方程。
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z
轴，半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz 面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x 2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M ( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
的准线为xoz平面上的抛物线x2=4z,这类柱面为抛物
柱面。
旋转曲面： 一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成 的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直 线L称为旋转曲面的轴。
在这里只研究坐标平
面内的曲线绕该平面内 的坐标轴旋转产生
的曲面。
问题： 设f ( y, z) 0是yoz平面内的一条曲线，绕
平面实际上也是一个柱面，是以xoy平面上的直线 x+y-1=0为准线，而母线平行于oz轴的柱面。
空间中曲线与曲面方程
空间中曲线与曲面方程在三维空间中，曲线和曲面是几何学中重要的概念，在数学和物理学等领域有广泛的应用。
曲线是指在空间中表示为一系列点的集合，而曲面是在空间中表示为一系列点的集合的一个二维面。
本文将就空间中曲线与曲面方程进行探讨。
一、空间曲线的方程在三维空间中，曲线可以用参数方程或者一般方程来表示。
参数方程是指将曲线的坐标用参数表示，例如(x(t), y(t), z(t))。
每个参数t对应曲线上的一个点。
一般方程则是通过给出曲线上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
参数方程的优势在于可以轻松描述曲线的形状，通常直接从曲线的定义出发，选择合适的参数方程。
而一般方程则更适合用于描述曲线的性质和特征。
二、空间曲面的方程空间中的曲面可以用参数方程、一般方程或者隐函数方程来表示。
参数方程类似于曲线的参数方程，将曲面上的点用参数表示，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
每个参数对应曲面上的一个点。
一般方程则通过给出曲面上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
隐函数方程则将曲面的方程化简为一个关于x、y、z的方程，例如F(x, y, z) = 0。
选择曲面的方程格式取决于具体的问题和需求。
参数方程可以直观地描述曲面的形状，适用于绘制和计算曲面上的点。
一般方程和隐函数方程更适合用于分析曲面的性质和特征。
三、曲线和曲面的方程求解对于空间中的曲线和曲面方程，求解其解析式是数学中一个重要的问题。
有时可以通过直接求解得到解析式，有时需要借助计算机和数值方法进行求解。
对于一些简单的曲线和曲面方程，可以通过代数运算得到解析式。
例如对于一条直线，可以通过给出直线上两点的坐标，然后通过两点间的直线方程求解出直线的解析式。
对于一些复杂的曲线和曲面方程，可以通过数值方法进行求解，如迭代法、线性插值等，以获得近似解。
四、曲线和曲面方程的应用曲线和曲面方程在数学和物理学中有广泛的应用。
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5
第三节 空间曲面及方程
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。 例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:
8_3空间曲面.
P0 d
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1) A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
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6.平行平面间的距离 有两个平行平面:
Ax + By + Cz+D1 = 0, Ax + By +Cz+ D2 = 0,
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
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例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0 (1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)Biblioteka y两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
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例7. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
第三节 空间曲面
一、空间曲面的方程
二、空间平面 三、几种常见的空间曲面
第八章
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
第四节曲面及其方程
1 h2 b2
— —椭圆
y h
(b h b)
YZc z h
y
-b
a XY
b
x
-c
1
. S位椭置：ax
2 2
by一22、椭球cz面22 1
3. 注意
(1)椭球面可以看成由一变形椭圆运动所产生的轨迹，这椭 圆两对顶点分别在一对有共同顶点的两个正交椭圆ΓXY、ΓYZ上 运动，且 这个动椭圆的平面总是垂直于Y轴；
4
4
S是由曲线y2 z2 1绕Y轴而成的旋转曲面。 4
z
y x
2. 在ZOX 平面内曲线Cf：(x, z) 0
y0
①绕X轴旋转
②绕Z轴旋转
f (x, y2 z2 ) 0
f ( x2 y2 , z) 0
例：作S：x2 y2 z2 1的草图。
xz
解：原式 x2 ( y2 z2 )2 1
2. 截痕(作图) S椭关于各坐标面、轴和原点对称。
S椭
YOZ
交线
YZ
： by
2 2
z2 c2
1
x 0
YZc z h y
S椭
XOY
交线
XY
： ax
2 2
y2 b2
1
z 0
-b x
a XY -c
b
一、椭球面S椭：ax
2 2
y2 b2
z2 c2
1
S椭
：y
h
交线
h： ax
2 2
z2 c2
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
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空间区域在坐标平面上的投影草图画法
高等数学7.4曲面及其方程
设柱面的准线方程：F（x, y) 0, z 0,母线 / / z轴，求柱面方程
z
解：柱面上M ( x, y, z)，则准线上M（0 x0 , y0 , z0 )，
M
使得MM0 / / z轴 ，从而x x0 , y y0
由于F（x0 , y0 ) 0,从而F（x, y) 0
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
x
2
a2
柱面
例3
以曲
线
x a
2 2
z2 c2
1
为母线,
y 0
绕 z 轴旋转而成的曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1，
即
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1 ——
旋 转 单 叶双曲面
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
例3
以曲线
x2 a2
z2 c2
1 为母线,
y 0
o
的点都在S上;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
曲面方程
旋转曲面
柱面
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质空间曲线和空间曲面是高等数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和空间曲面的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是指在三维空间中的一条曲线，可由参数方程、一般方程或向量方程来描述。
1. 参数方程空间曲线的参数方程给出了曲线上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)的曲线在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))。
2. 一般方程空间曲线的一般方程为F(x, y, z) = 0。
例如，x^2 + y^2 + z^2 = 4表示一个球面。
3. 向量方程空间曲线的向量方程用向量表示曲线上任一点，用参数表示向量的方向。
例如，r(t) = ai + bj + ck表示一个向量r在三维空间中随参数t改变的轨迹。
二、空间曲线的性质空间曲线有着一些重要的性质，包括弧长、切向量和曲率等。
1. 曲线的弧长曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。
利用参数方程，可以通过积分计算曲线的弧长。
2. 曲线的切向量曲线的切向量表示曲线在某点的切线方向，其方向是曲线在该点的切线方向，模为单位长度。
切向量与曲线的切线垂直。
3. 曲线的曲率曲线的曲率衡量了曲线的弯曲程度。
曲率的倒数称为曲率半径，表示曲线上某点处的曲线在该点的局部半径。
三、空间曲面的基本概念空间曲面是指在三维空间中的一个二维曲面，可由一般方程或参数方程来描述。
1. 参数方程空间曲面的参数方程给出了曲面上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)的曲面在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v))。
2. 一般方程空间曲面的一般方程为F(x, y, z) = 0。
空间中的曲面和曲线及二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线 曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面 当a = b = c = R时——半径为R的球面
23
8.4曲面、曲线及其方程
z2
1
旋 转 椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
(ii)抛物线 y2 2 pz绕 z 轴； ( Ellipsoid )
x 0
旋转抛物面
x2 y2 2 pz
( Paraboloid )
例9 . 试求顶点在原点且包含3个坐标轴的圆锥面方程.
解:所求的圆锥面可以看成是由 x 轴绕“过原点的旋转 轴,其旋转轴的方向为 OS (1，1，1) 旋转而成的.
f y, x2 z2 0.
绕哪个 轴旋转,该轴所对应的变量不变, 另一个变 量用其它两个变量的平方和的算术平方根(加±号) 代替。
例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z轴,半顶角
为 的圆锥面方程.
z
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z轴旋转时,圆锥面的方程为
L
M1(0, y1, z1)
第四、五节 空间曲面、空间曲线 及其方程
一、空间曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、空间曲线方程的概念 五、空间曲线在坐标面的投影
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z),则 AM BM ,即 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
其中: OM (x, y, z),OM1 (t,0,0) 代入上式得
| OS OM | | OS OM1 | | OS || OM | | OS || OM1 |
化简得 2x 6 y 2z 7Fra bibliotek 0说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.
几种常见的曲面及其方程
x2 y2 + =z 2 p 2q 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 x2 y2 x2 y2 + 2 + 2 =1 = 1 2 2 a b a b 2 2 x y 椭圆锥面: + 2 = z2 a2 b
( p, q同 ) 号
三,曲线 1,空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
�
z
2
x y z + 2 2 =1 ( a, b, c 为 数) 正 2 a b c 平 z = z1 上 截 为椭圆. 面 的 痕
平面 y = y1上的截痕情况:
2
2
x
y
1) y1 < b 时, 截痕为双曲线:
a c y = y1
2 y1 x z 2 =1 2 2 2 2
b
(实轴平行于x 轴; 虚轴平行于z 轴)
z
C : f ( y, z) = 0
o x
y
f ( y, ± x + z ) = 0
2 2
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L
α
M(0, y, z)
y
两边平方
x
2
z =a (x + y )
2 2 2
l
z
x y = 0 经过z 轴的平面 平面. 平面
o
以上的柱面母线 都平行于Z轴
o
y
y
x
x
一般地,在三维空间
z
y
方 F(x, y) = 0 表 柱面, 程 示 母线 平行于 z 轴;
曲面与空间曲面的总结
曲面与空间曲线的总结椭圆柱面；12222=+yx 122=-y x曲面与空间曲线一.曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0，而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。
例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。
解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得此即所求点的规迹方程，为一平面方程。
2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy 的方程：z=0②过点（a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程：z=c③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程：①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R 为半径 的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。
例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。
4.母线平行于坐标轴的柱面方程：一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。
其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面 的准线。
本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。
此时有以下结论：若柱面的母线平行于z 轴，准线c 是xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。
分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。
几种常见的曲面及其方程(精)
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
8.2空间解析几何与向量代数 曲面方程(4)
z
M 0
y
M'
x=x(t), y=y(t), z=z(t).
x
0
y
解: 设时间 t 为参数. 初始时刻 (t = 0)，动
点在 A(a, 0, 0) 处，经 时刻 t , 动点运动到 M(x, y, z).
z M
0
x A
y = | OM' | sin t = a sin t.
y
x A
参数方程
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义： 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 轴. 例如 : 该定直线称为旋转
表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面. 表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
准线 xoz 面上的曲线 l3.
例 设 yz 平面有一已知曲线 C，它的方程为 f (y, z)=0. 将曲线绕 z 轴旋转一周，得一曲面. 求此旋转面的方程。 设旋转面上任一点 M(x, y, z).
x = acos t, y = asin t , z = vt.
在讲直线与平面之关系时，曾介绍过如何求空 间直线在某平面上的投影. 下面介绍一般的空间曲 线在坐标面上的投影. 设空间曲线 C: F1(x, y, z)=0, F2(x, y, z)=0,
z C
若点 M(x, y, z)满足(5.7)， 则 (x, y) 满足(5.8). 故 C 上的点均在柱面(5.8)上. 即 C 是柱面 (5.8)上的 一条曲线. 故 C 在 xy 平 面的投影为 H (x , y ) = 0 z=0 (5.9) 投影方程
例5.4 若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速 度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升 (其中, v 都是常数). 则点 M 构成 的图形为螺旋线. 试建立其方程.
空间曲面及其方程
空间曲面及其方程空间曲面是指在三维空间中由一组点构成的曲线、曲面或曲体。
在几何学中，研究空间曲面的形状、性质以及其方程是一项重要的课题。
一、曲面的基本概念曲面可以用数学语言进行描述，其具体形式取决于其类型和特性。
常见的曲面包括球面、圆柱面、抛物面、双曲面等。
1. 球面：球面是以一个固定点为球心，以一定半径为半径的点的集合。
球面方程可表示为(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
2. 圆柱面：圆柱面由一条直线L（母线）沿着一条平面曲线C（母线曲线）平行移动形成。
圆柱面方程可表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
3. 抛物面：抛物面是一个像开口碗一样的曲面。
抛物面方程可表示为z=ax²+by²，其中a和b为常数。
4. 双曲面：双曲面分为单叶双曲面和双叶双曲面。
单叶双曲面的方程可表示为(x/a)²+(y/b)²-(z/c)²=1，双叶双曲面的方程可表示为(x/a)²+(y/b)²-(z/c)²=-1。
二、空间曲面的方程表示空间曲面的方程描述了曲面上的所有点的几何特征。
不同类型的曲面有不同的方程形式。
1. 参数方程：使用参数方程可以表示曲面上的每个点。
例如，曲线的参数方程可以写为x=f(u)，y=g(u)，z=h(u)，其中u为参数。
2. 一般方程：一般方程是通过将曲面上的点的坐标表示为x、y和z 的函数来定义。
例如，一般方程可以写为F(x,y,z)=0，其中F是一个关于x、y和z的函数。
3. 隐函数方程：隐函数方程是通过将曲面上的点的坐标表示为一个或多个变量的函数来定义。
例如，隐函数方程可以写为F(x,y,z)=0，其中F是关于x、y和z的方程。
三、空间曲面的性质和应用空间曲面的性质和应用广泛，涉及到几何学、物理学、工程学等领域。
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3
3 9
柱面： 平行于定直线,并沿曲线C移动的直线L形成的轨迹称 为柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的 母线。
本课程只研究母线平行于坐标轴，准线在坐标 面上的柱面。
设柱面其准线为xoy面上 C : F ( x, y) 0,母线平行z轴,
求柱面方程.
如图 x x0 , y y0
例 6 求与原点O 及 M0(2,3,4)的距离之比为1 : 2的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为
x
22
y
12
z
42
116 .
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
球面的方程
z
例 4 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、 半径为 R的球面方程.
只含 x, z 而缺 y 的方程 F ( x, z) 0 ，在空间
直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线
为 xoz 面上曲线 C .
只含 y, z 而缺 x 的方程 F( y, z) 0 ，在空间
直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱面，其准线
为 yoz 面上曲线 C .
实 例
y2 b2
第七章 第五节
空间曲面及其方程
本节主要内容
一、空间曲面方程的概念 二、几种常见曲面的方程
1、球面
2、柱面 3、旋转曲面
曲面的实例：
z
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被
•P(x, y, z)
看成是点的几何轨迹．
o
y
曲面方程的定义：
x
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
解 设M( x, y, z)是球面上任一点， o
M(x, y, z)
M0 ( x0 , y0 , z0 )
y
根据题意有 | MM0 | R x
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
x2 y2 z2 2x0 x 2 y0 y 2z0z x02 y02 z02 R2 0
由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到
x
A 2
y
B 2
z
C
2
1
A2 B2 C 2 4D
z2 c2
1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
椭圆柱面：
方程
x2 a2
y b
2
2称为1母线平行于z轴的椭圆柱面。
双曲柱面：
方程
y2 b2
x a
2
称2 为1母线平行于z轴的双曲柱面;
抛物柱面： 方程 x2=2py 称为母线平行于z轴的抛物柱面。
的准线为xoz平面上的抛物线x2=4z,这类柱面为抛物
柱面。
旋转曲面： 一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成 的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直 线L称为旋转曲面的轴。
例：x y 1表示什么曲面？
x2 z2 1表示什么曲面？ 解：x y 1表示与z轴平行的平面。
x2 z2 1表 示 母 线 与y轴 平 行 的
圆 柱 面.
z
z
x y1
o
y
x
x2 z2 R2
y
o
x
例 方程 x2= 4z 表示怎样的柱面？
解：方程中仅含x、z，故此柱面的母线平行于y轴，它们
又F ( x0 , y0 ) 0
故柱面方程： F( x, y) 0 x
z
柱面举例
z
F(x, y) 0
•
o
y
•
C M 0( x0 , y0 ,0)
M(x, y, z)
z
y2 2x
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
y x
例3 方程 x2 y2 表 R示2怎样的曲面？
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其 准线为 xoy 面上曲线 C .
2 2 2 4
当 A2 B2 C 2 4D 0 时,是球面方程.
例5：方程 4x2 4y2 4z2 8x 16y 24z 16 0表示什么曲面？
解 ： 方 程化 为
x2 y2 z2 2x 4y 6z 4 0
配方化为
方程表示以点(1,2,3）为
（x 1）2 （y 2）2 (z 3)2 18. 球心，半径为3 2的球面.
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
解析几何的两类基本问题: (1)已知几何图形,求其方程; (2)已知方程分析图形的形状及其位置.
几种常见曲面举例
例1 xOy坐标面的方程 : z=0
上、下半球面的方程分别是： 球心在原点的上、下
z z0
R2 (x x0 )2 ( y y0 )2
半球面的方程分别是：
z R2 x2 y2
z z0 R2 (x x0 )2 ( y y0 )2
z R2 x2 y2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 即
与 xOy坐标面平行的平面的 方程 : z=c
x
z
zc
z0
o
y
例 2 已知 A(1,2,3)，Bபைடு நூலகம்2,1,4)，求线段 AB的
垂直平分面的方程.
解
设M( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |, A
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
M(x, y, z)
B
例3 方程z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆