空间曲面及其方程.

例：x y 1表示什么曲面？
x2 z2 1表示什么曲面？ 解：x y 1表示与z轴平行的平面。
x2 z2 1表 示 母 线 与y轴 平 行 的
圆 柱 面.
z
z
x y1
o
y
x
x2 z2 R2
y
o
x
例 方程 x2= 4z 表示怎样的柱面？
解：方程中仅含x、z，故此柱面的母线平行于y轴，它们
3
3 9
柱面： 平行于定直线,并沿曲线C移动的直线L形成的轨迹称 为柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的 母线。
本课程只研究母线平行于坐标轴，准线在坐标 面上的柱面。
设柱面其准线为xoy面上 C : F ( x, y) 0,母线平行z轴,
求柱面方程.
如图 x x0 , y y0
第七章 第五节
空间曲面及其方程
本节主要内容
一、空间曲面方程的概念 二、几种常见曲面的方程
1、球面
2、柱面 3、旋转曲面
曲面的实例：
z
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被
•P(x, y, z)
看成是点的几何轨迹．
o
y
曲面方程的定义：
x
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
的准线为xoz平面上的抛物线x2=4z,这类柱面为抛物
柱面。
旋转曲面： 一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成 的曲面称为旋转曲面。曲线C称为旋转曲面的母线，直 线L称为旋转曲面的轴。
又F ( x0 , y0 ) 0
故柱面方程： F( x, y) 0 x
z
柱面举例
z
F(x, y) 0
•
o
y
•
C M 0( x0 , y0 ,0)
M(x, y, z)
z
y2 2x
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
y x
例3 方程 x2 y2 表 R示2怎样的曲面？
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其 准线为 xoy 面上曲线 C .
例 6 求与原点O 及 M0(2,3,4)的距离之比为1 : 2的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为
x
22
y
12
z
42
116 .
与 xOy坐标面平行的平面的 方程 : z=c
x
z
zc
z0
o
y
例 2 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段 AB的
垂直平分面的方程.
解
设M( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |, A
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
2 2 2 4
当 A2 B2 C 2 4D 0 时,是球面方程.
例5：方程 4x2 4y2 4z2 8x 16y 24z 16 0表示什么曲面？
解 ： 方 程化 为
x2 y2 z2 2x 4y 6z 4 0
配方化为
方程表示以点(1,2,3）为
（x 1）2 （y 2）2 (z 3)2 18. 球心，半径为3 2的球面.
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
球面的方程
z
例 4 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、 半径为 R的球面方程.
z2 c2
1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2
Biblioteka Baidu
y2 b2
1
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
椭圆柱面：
方程
x2 a2
y b
2
2称为1母线平行于z轴的椭圆柱面。
双曲柱面：
方程
y2 b2
x a
2
称2 为1母线平行于z轴的双曲柱面;
抛物柱面： 方程 x2=2py 称为母线平行于z轴的抛物柱面。
上、下半球面的方程分别是： 球心在原点的上、下
z z0
R2 (x x0 )2 ( y y0 )2
半球面的方程分别是：
z R2 x2 y2
z z0 R2 (x x0 )2 ( y y0 )2
z R2 x2 y2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 即
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
M(x, y, z)
B
例3 方程z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
只含 x, z 而缺 y 的方程 F ( x, z) 0 ，在空间
直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线
为 xoz 面上曲线 C .
只含 y, z 而缺 x 的方程 F( y, z) 0 ，在空间
直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱面，其准线
为 yoz 面上曲线 C .
实 例
y2 b2
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
解析几何的两类基本问题: (1)已知几何图形,求其方程; (2)已知方程分析图形的形状及其位置.
几种常见曲面举例
例1 xOy坐标面的方程 : z=0
x2 y2 z2 2x0 x 2 y0 y 2z0z x02 y02 z02 R2 0
由上述方程可得球面的一般式方程为：
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到
x
A 2
y
B 2
z
C
2
1
A2 B2 C 2 4D
解 设M( x, y, z)是球面上任一点， o
M(x, y, z)
M0 ( x0 , y0 , z0 )
y
根据题意有 | MM0 | R x
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2