(稳恒磁场)习题课

例1.如图所示,有一长直导体圆筒,内外半径分别为R1 和R2,它所载的电流I1均匀分布在其横截面上.导体旁 边有一绝缘的无限长直导线,载有电流I2,且在中部绕了 一个半径为R的圆圈.设导体管的轴线与长直导线平行,
相距为d,且与导线圆圈共面,求圆心O点处的磁感应强
度.
1.解: 圆电流在O点产生的磁场
m dm ab 1 r2dr a b3 a3
a2
6
m的方向：
当 0 时， m的方向垂直纸面向内； 0
时， m的方向垂直纸面向外。
例5 如图所示, 载有电流I1 的无限长直导线旁边有一
载流正三角形线圈, 其边长为b, 一边与直导线的距离
为a, 电流为I2 , 二者共面, 求三角形线圈受到无限长
r F
qvr
r B
v
B
匀速圆周运动
R mv qB
T 2πm qB
1 qB
T 2πm
2. 安培力 （电流元在磁场中所受磁力）
dF Idl B
四 磁矩 磁力矩 磁力矩的功：
1. 磁矩
m ISen
2. 磁力矩
M
m
B
3. 磁力矩的功 W IΔΦ
五 安培环路定理
真空中
n
B dl L
r dr
(2 ) 磁矩m ;
O aA
b
B
（1）解 ：在带电细线离O点r处取线元dr，其带
电量 dq dr，旋转时相当于一圆电流
dI dq dq dr T 2 2
它在O点产生的磁感应强度值为
dB 0dI 0 dr 2r 4 r
r dr
dB 0dI 0 dr 2r 4 r
O aA
稳恒磁场 习题课
一 两个基本方程：
1.
磁场的高斯定理（磁通连续定理）
B dS 0
磁场是无源场。
S
2. 安培环路定理
B dl
L
0
n
Ii
磁场是非保守场。
i 1
二 毕奥—萨伐尔定律
——电流元在空间某场点产生的磁感应强度B
dB
0
4π
Idl
r
r3
任意载流导线在场点 P 处的磁感强度
B =0
2. 圆电流轴线上的磁场.
I
R
ox
B
*x
B
0 IR2
（2 x2 R2）32
1）若线圈有 N 匝
B
N （ 2 x2
0 IR2
R2）32
2）环心处 x 0
B 0I
2R
3）x R
B
0IR 2
2x3
，
B
0 IS
2π x3
（1） I
R
B0
x
o
（2 ） I R
o
（3） I R o
圆环中心
0
Ii
i 1
存在磁介质时：
LH dl I i
两类基本问题
一.已知电流分布，求磁感应强度 二、已知磁感应强度，求磁场对电流和运动电荷的作用
一.已知电流分布，求磁感应强度
两种方法： 1.利用磁场的叠加原理求磁感应强度：毕 奥－萨伐尔定律
2.利用安培环路定理求磁感应强度
电流密度
1. 利用磁场的叠加原理求磁感应强度：毕 奥－萨伐尔定律
步骤: 1.选取Idl，写出dB的大小，方向．
2.建立坐标系，写出dB的分量式．
3. 统一积分变量，确定上下限， 求积分求出Bx， By， Bz，写出合磁感应强度．
2. 利用安培环路定理求磁感应强度
条件：只有电流分布（磁场分布）具有对称性 时才可利用安培环路定理求磁感应强度。
步骤: 1. 分析磁场分布的对称性；
2. 作适当的闭合回路L，确定L绕向(积分路径走 向)； 3. 确定回路包围的电流，求得B的大小
二．载流导线和运动电荷所受磁场力
1． 洛伦兹力: 特征:方向垂直于v和B所构成的平 面；不作功，不改变电荷的速率和动能．
2． 安培力: F LdF LIdl B
3． 磁力矩: 磁矩 m=ISen 磁力矩 M m B
B0
0I
2R
半圆环中心
B0
0I
4R
1
圆环中心
4
B0
0I
8R
（4）
（5） I
d *A
R1
R2
*o
BA
0I
4π d
B0
0I
4R2
0I
4R1
0I
4π R1
3.长直载流螺线管（或细螺绕环）
内部： B 0nI
外部：B=0
B 半长直载流螺线管：
1 2
0nI
三 磁力 1. 洛伦兹力：运动的带电粒子在磁场中所受磁力
有均匀电流I。今取一矩形平面S(长为1 m, 宽为2
R) , 如图中斜线阴影部分所示, 求通过该矩形平面的
磁通量。
解： 本题的电流分布满足安培环
路定理求磁场的条件，由安培环
路定理易求得圆体内外的磁感应
强度值的分布为
B
0I
2R 2
0
I
2r
,
r
,
r R r R
在离圆柱体轴线r处的斜线平面上取宽dr的面积条， 其磁通量为
B1
0I2
2R
方向×
长直导线电流在O点产生的磁场
B2
0I2 2R
方向×
导体管在O点产生的磁场由安培环路定理求得，
B3
0 I1 2 (d
R)
方向×
圆心O点处的磁感应强度
B
B1
B2
B3
0 2
R
d 1 I2 RR d
RI1
磁场方向×。
例2.一无限长圆柱形导体( 磁导率μ0 ) , 半径为R, 通
b
B
整条带电线产生的磁感应强度为
B dB 0 ab dr 0 ln a b
4 a r 4
a
B的方向：
当 0 时，B的方向垂直纸面向内；当 0
时，B的方向垂直纸面向外。
（2）解 ：上述带电线元旋转产生的磁矩值为
dm r 2dI 1 r 2dr O
2
r dr
aA
b
B
整条带电线旋转产生的磁矩值为
解 圆电流的磁场
dI dq 2 π rdr rdr T 2
dB 0dI 0 dr
2r
2
B 0
R
dr
0R
20
2
o
R
r
dr
例4. 均匀带电细直线AB, 电荷线密度为λ, 绕垂直于
直线通过O 点的轴以角速度ω 匀速转动( 线形状不
变, O 点在A B 延长线上) , 求: (1 ) O点的磁感应强度B;
I dS
dr r
1m
S
2R
解图5-A-19
d BdS B 1 dr
d Bdr
R 0
0I 2R2
rdr
2R 0I dr R 2r
0I 0I ln 2 4 2
例3 半径 为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度
为 , 并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转
动 ，求圆盘中心的磁感强度.
B
dB
0I
4π
dl Fra Baidu bibliotek
r
r3
几种典型的磁感应强度B
1. 载流直导线
（1）有限长载流直导线：
电流流入与位矢之间夹角
B
4π0 Ir（cos1
cos
）
2
z
D 2
I
o
x 1
C
电流流出与位矢之间夹角
Py
几种特殊情况 （a）无限长载流直导线：
B 0I
2πr
（b）半无限长载流直导线：
B 0I
4πr
（c）P点位于直导线延长线上：