SARS的传播模型

……(3)
并按此往后类推。这也就是附件 1 结果的公式化。 可以看出，该模型是十分简单，计算也非常简单，是对 SARS 传染病的初步
研究。而且该模型做了一些简化的假设和近似,是一个宏观的平均性质的模型， 没有考虑微观个体的作用。但是抓住了主要的因素，采用数据模型用于定性分析 SARS 的一些主要特征，并且使用的数据可靠，可以对 SARS 的传播做出大致的估 计，提醒人们做出必要的预防和控制，该模型所给出的分析在定性方面具有一定 的实用性，在短期内有一定的预测价值。但该模型由于要求初始时刻的病例数， 但是该参数很难确定，且传染期限也不确定；再者采用半模拟循环法也不精确， 人群可分为易感者、潜伏者、感染者、移除者四种，并且周围环境的改变，人们 对 SARS 病毒的认识以及所采取的预防措施等对模型的建立也会有很大的影响， 促使长期预测不准确。
S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=N(常数)
………(4)
由此得到 SARS 流行病动力学的 SEIR 模型为： dS = − α SI dt dE = α SI − β E dt dI = β E − γ I dt dR = γ I dt dS + dE + dI + dR = 0 dt dt dt dt
感谢您对网站建设一如既往的支持与关心
欢迎光临中国数学建模网 ―――
图（十一） 由分析图（十一）可以看出，1 天内入院和 3 天内入院，发病总人数减少了 800 多人。据报道，病人发病后 3-5 天感染性最强。如果入院时间很晚，可想而知， 发病人数将大大增加，甚至达到疫情无法控制的地步。因此各级主管部门应当加 强宣传力度，发动群众对出现疑似症状的人尽早去指定医院查明情况，切不可因 为害怕等原因耽误治疗，害人害己。 3、感染率对疫情的影响 感染率主要由病人接触人数、防范意识、预防措施等因素决定。减少公共活动， 比如暂停节假日的休假、推迟取消公共活动，加大宣传力度、供应充足的防护用 品，注意个人卫生等都对感染率的下降有显著作用。
（2）要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模 型：1、必须有充足的数据支持，且数据要可靠准确。比如病毒的传播感染规律、 潜伏时间等等。2、SARS 流行病的病理特性。如：传播途径；感染期限；各种预 防措施对 SARS 是否有实际的预防作用及具体影响强度；各种个人习惯和社会习 俗及特定的某些行为是否会对 SARS 起一些作用等等。3、在实际中，每个城市、 国家有不同的地理、人为环境，他们对 SARS 做出的具体预防、控制措施也不同， 这些都要反映到模型中。4、由于所谓的“超级传染事件”的存在，增加了疫情 发展的不确定性，在模型中也要考虑。因此影响建模的因素方方面面。
三、符号约定
α ：单位时间内每个易感者与病人的接触率。 β ：单位时间内处于潜伏期的病人的发病率。 γ ：染病者的恢复率（治愈率与死亡率之和）。
四、问题的分析与求解
（1）
原题附件 1 提供的模型
N N (t) = (1+ k)t (t<L) 0
……(1)
是假定有一个初始爆发时间，最初有 N0 个病人突然发现，在 L 天之内（t<L）则 N(t-L)=0。
五．模型的建立
（一） 根据 SARS 流行病的特点可以将人群分为易感者(susceptible)，潜伏者 (exposed)，感染者(infectious )，移除者(removed)四类。各类 t 时刻人数分别用 S(t),E(t),I(t),R(t)表示，用 N(t)表示 t 时刻人口总规模。根据流行病感染过程，易
通过对曲线的拟合，发现各地 SARS 传染有其自身的规律性，利用现有的数据求 出各个参数，以此对以后 SARS 的发展趋势做出评估，为各级主管部门制定预防 SARS 方案提供了有力的参考。
（二） 为了说明政府相关部门采取的措施对疫情的影响，我们特别建立了第二 个模型，定性的来评估各种措施。
我们以系统动力学原理为基础，采用计算机模拟整个过程。其中使用了如下 的可控参量： SARS 潜伏期天数 隔离措施强度（%） 感染率(由接触人数、防范措施决定) （人/天） 病人发病后入院的延迟时间 (天) 系统动力学概念模型图（见图（八））
拟合图形如下图(二)到图(七)所示:
感谢您对网站建设一如既往的支持与关心
欢迎光临中国数学建模网 ―――
图(二)
图(三)
感谢您对网站建设一如既往的支持与关心
欢迎光临中国数学建模网 ―――
图(四) 图(五)
感谢您对网站建设一如既往的支持与关心
欢迎光临中国数学建模网 ―――
感谢您对网站建设一如既往的支持与关心
欢迎光临中国数学建模网 ―――
才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型， 这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的数据 供参考。 （3）收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。 附件 3 提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
感谢您对网站建设一如既往的支持与关心
欢迎光临中国数学建模网 ―――
感者受到感染后先变为潜伏者，潜伏者发病后变为感染者，感染者转变为移除者 （包括被治愈者和死亡者）。如图一表示：
S →E→I →R
图（一）
若只考虑 SARS 死亡、康复的人，而不考虑人的自然死亡与死亡人数，则
SARS 的 传 播 模 型
一．问题重述
SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非 典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的暴发和蔓延给 我国的经济和发展带来了很大影响，我们从得到的经验和教训中认识到定量的研 究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。 题目中附件 1 对北京 SARS 疫情的走势作了预测分析：在 XXX 老师对北京疫情分 析的基础上，加入每个病人可以传染他人的期限，通过在不同阶段社会条件下传 染概率的变化，先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，然后初步预测 北京的疫情走势。 建立 SARS 的传播数学模型，具体要求如下： （1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明怎样
（3）对 SARS 传播做出一个数学上的定量分析是很有必要的，但是在 SARS 传播 过程中有很多影响因素，有人们已经从实际中摸索发现的因素，比如：对传染源 隔离，对易感人群进行关于 SARS 预防措施的宣传，加强 SARS 监测手段等等。也 有很多人们尚不清楚的因素，比如：传染期限 L,恢复后的人群是否终身免疫， 社会的一些习俗是否会有影响。有的因素与客观的病程相关，人为不能改变。比 如：病人潜伏期和痊愈后，现在认为没有感染性，发病后 3-5 天感染性最强，病 人作切管手术时，感染性极强等，有的因素与人口分布特征有关。例如易感人群 数：人群分布有居民区、学校、工地、农村等不同类型，各自感染情况不一样。 这些情况错综复杂，相互关联，要把这些已知或未知，客观或主观的因素产生的 影响都分别考虑到模型中，非常复杂，而且数据的采集也很困难，数据可能不精 确。我们在附件一的基础上再加进去一部分的考虑，把人群分为四类即四种状态， 考虑了人群的感染率、转化率、恢复率，改进模型以使模型更好地反映实际情况。
感谢您对网站建设一如既往的支持与关心
欢迎光临中国数学建模网 ―――
在 L 天之后，一部分病人已不具备传染力，最为方程 1 的解，发病人数则为
N N (t) = [(1+ k)t − (t − L)K (1+ K )t−L−1] (L<t<2L) ……(2) 0
N N (t) = (1+ k)t − N (t − L) (2L<t<3L) 0
S+E+I+R=N
………(5
其中初值 S(0)=S0>0,I(0)>0,E(0)>0,R(0)>0, t ∈ [ 0 , T ] ,T 为流行病的流行时 间。
通过对北京地区的拟合，我们得出α =0.1594736，β =0.363379 、γ = 0.0261028
通过对香港地区的拟合，我们得出α =0.2102974，β =0.213600 、γ = 0.0411572
图（十） 对上面的曲线进行分析，可以看出，隔离度相差 30%，发病总人数减少了 500 多人。SARS 的平息时间大概能提前 20 多天。可以看出，隔离强度越大，效果越 好。当隔离度趋近于 1 时，SARS 将在很短的时间内平息。但是由于 SARS 病人接 触人员的流动性可能非常大，难以统计，加之医疗机构人力等方面的因素，是不 可能做到 100%的隔离的。因此在加大隔离强度的同时，其它方面也要加大力度 控制。 入院时间对疫情的影响 由于潜伏期不易被人发现，且潜伏期不传染等特点，那么病人发病后尽早治疗成 了减少传染他人的一大途径。图（十一）是病人 1 天入院和 3 天入院对 SARS 的 影响。
健康人群
潜伏者
发病
治疗/隔离
死亡
图（八）
程序流程如图（循环
移出者 否
统计
是 根据目前病人状况加入新的病 人，并且更新当前病人的数据
图（九）
感谢您对网站建设一如既往的支持与关心
欢迎光临中国数学建模网 ―――
根据此模型，我们来定性的研究各个参量对疫情的影响 隔离措施强度对疫情的影响 隔离强度就是被感染的潜伏者被隔离的百分比。在这里，我们设定隔离百分比分 别为 50%、80%，其它参数都一样。结果如图（十）所示：
图(六)
图(七) 由以上各图可以看出，模型对香港地区的拟合非常好，但是对于北京地区，由于 该地区人员混杂，统计不准确，人员流动频繁，数据有较大的波动，造成拟合的 效果不是非常好，但是总的趋势是准确的，证明模型还是正确有效的。