第2章-简单随机抽样总结

符号
1 Y N
N N

大写符号表示总体的标志值， 用小写符号表示样本的标志值
样
y
n
总 体
Y Y2 YN Yi 1 N i 1
本
y y2 yn 1 n yi 1 n i 1 n y1 y 2 y n
Y Yi Y1 Y2 YN
n N
n N
【例2.1】

设总体有5个单元（1、2、3、4、5）， 按不放回简单随机抽样的方式抽取2个单 元，则所有可能的样本为10个：
1， 2
1， 3 1， 4 1， 5
2， 3
2， 4 2， 5
3， 4
3， 5
4， 5
【例2.2】

设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按放回 简单随机抽样的方式抽取 2 个单元，则所有可 能的样本为25个（考虑样本单元的顺序）：
N
i
X
Y Y X X
i
r
y x
i 1 i 1 n
n
i

y x
i
简单估计量
y y2 1 n Y y yi 1 n i1 n yn
N Y Ny n
y
i 1
n
i
a 1 n P p yi y Y n n i1
ˆ R
y x



定义2.1 从总体的N个单元中，一次整批抽取n个单元 ，使任何一个单元被抽中的概率都相等，任何n个不同 单元组成的组合被抽中的概率也都相等，这种抽样称为 简单随机抽样。 定义2.2 从总体的N个单元中，逐个不放回地抽取单元 ，每次抽取到尚未入样的任何一个单元的概率都相等， 直到抽足n个单元为止，这样所得的n个单元组成一个简 单随机样本。 定义2.3 按照从总体的N个单元中抽取n个单元的所有 n n 可能不同的组合构造所有可能的 CN 个样本，从 CN 个样 本随机抽取1个样本，使每个样本被抽到的概率都等于 n ， 这种抽样称为简单随机抽样。 1 CN
第2章 简单随机抽样（SRS）
2.1概述
抽样来自百度文库体

样本容量

简单随机抽样也称为纯随机抽样。 从含有 N 个单元的总体中抽取 n 个单元组成 样本，如果抽样是不放回的，则所有可能的样 本有 C 个，若每个样本被抽中的概率相同，都 为 1 C ，这种抽样方法就是简单随机抽样。 称 n N 为抽样比，记为 f 。
协方差定义：cov( y , x ) E y E ( y ) x E ( x )

定理 2.3：对于简单随机抽样，有
定理2.2：对于简单随机抽样，y 的方差
1 f 2 V y S n
评价调查成功 与否的重要指标
其中， 1 f 称为有限总体校正系数。（未入样率）

估计量的方差 V y 是衡量估计量精度的 度量。影响估计量方差的因素主要是样本量n， 未入样率 1-f和总体方差 。 S2
在简单随机抽样的条件下，只有通过加大 样本量来提高估计量的精度。
的期望

推论 2.2：对于简单随机抽样， P p 的期望 为：
E ( P) E p P

推论 2.3：对于简单随机抽样，n较大时， Rr 的期望为：
E ( R) E r R

对于有限总体的方差定义 ：
1 2 N

Y Y
i i 1
N
2
2 1 N S Yi Y N 1 i1 2
i 1 i 1 n
n
总体指标值 上面带符号 “^”的表 示由样本得 到的总体指 标的估计。
i

y x
i
2.2 简单估计量及其性质

引理 2.1：从大小为N的总体中抽取一个样本量为n的 简单随机样本，则总体中每个特定单元入样的概率为 n/N,两个特定单元都入样的概率为： n n 1
N N 1
(i, j 1, 2,...., N ; i j )

定理 2.1：对于简单随机抽样，作为 Y 的简单估计， Y y 是无偏的，即
E (Y ) E y Y
始终成立。

Y 推论 2.1：对于简单随机抽样， 为： E (Y ) E Ny NY Y
Ny
i 1
y
i 1
i
A 1 P N N
2
Y
i 1
N
i
Yi 0或1
a 1 n p yi n n i 1
2
yi 0或1
2 1 N S Yi Y N 1 i 1
1 n yi y 2 s n 1 i 1
R
Y
i 1 N i 1

引理2.2 从总体规模为N的总体中抽取一个样本量为n 的简单随机样本，若对总体中的每个单元 Yi ，引进 ai 1 ； Yi 不入样， ai 0 ），则 随机变量 a i（Yi 入样，
n f (i 1, 2,...., N ) N n N n V (ai ) f (1 f ) (i 1, 2,...., N ) N N n n f (1 f ) cov(ai , a j ) (1 ) N ( N 1) N N 1 E (ai )
1， 1 1， 2 1， 3 1， 4 1， 5 2， 1 2， 2 2， 3 2， 4 2， 5 3， 1 3， 2 3， 3 3， 4 3， 5 4， 1 4， 2 4， 3 4， 4 4， 5 5， 1 5， 2 5， 3 5， 4 5， 5
简单随机抽样的抽取规则


（1）按随机原则取样； （2）每个抽样单元被抽中的概率都是已知 的或事先确定的； （3）每个抽样单元被抽中的概率都是相等 的。（等概随机抽样）

Y 推论 2.4：对于简单随机抽样， 为： 2 1 f 2
Ny
的方差
V (Y ) N
n
S

推论 2.5：对于简单随机抽样， P p 的方差 为： 1 f 1
V ( P) n N 1 NP (1 P )

推论 2.6：对于简单随机抽样，当n较大时， R 的方差为：
1 1 f 1 N 2 V ( R) 2 ( Y RX ) i i X n N 1 i1