第三章 随机变量和随机分布
第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量及其分布函数 概率论课件
前面我们介绍了二维随机变量的概 念, 二维随机变量的分布函数及其性质。
二维随机变量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们。
三、二维离散型随机变量 及其概率分布
如果二维随机变量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个.
求: 二维随机变量(X,Y)的概率分布和其边缘分 布.
解: (X,Y)所有可能取的值是
(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).
P{X=0,Y=0}
=P{第一次取到正品且第二次也取到正品},
利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15
同理求得:
P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30
第三章
多维随机变量及其分布
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
第三章 第一节
二维随机变量及其分布函数
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间是Ω，X=X() 和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量, 由它们 构成的向量(X,Y),称为二维随机变量(向量)。
而把F(x,y)称为X和Y的联合分布函数。
注意
X与Y的边缘分布函数,实质上就是一维随 机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数 的原因是相对于(X,Y)的联合分布而言的。
同样地,(X,Y)的联合分布函数F(x, y)是相 对于(X,Y)分量X与Y的分布而言的。
求法
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)
第三章 多维随机变量及其分布
本讲主要内容：1.二维离散随机变量2.二维连续随机变量（重点）3.二维随机变量函数的分布（重点）设Ｘ与Y为两个随机变量，那么我们称二元组（X，Y）为二维随机变量.一、二维离散随机变量定义7：设X与Y均为离散随机变量，取值分别x1, x2,…, x i，…，y1, y2,…，y j,…那么我们称（X，Y）为二维离散随机变量，并称P（X=x i, Y=y j）=p ij, i, j =1,2,…为（X，Y）的联合分布列.联合分布列的性质：① p ij≥0②边际分布列：X与Y独立的任何两行或者两列都成比例离散随机变量的独立性：设（X，Y）为二维离散随机变量，如果即联合分布列等于边际分布列的乘积，则称X与Y相互独立.条件分布列与乘法公式：二、二维随机变量的联合分布函数定义8：设（X，Y）为二维随机变量，我们称二元函数为（X，Y）的联合分布函数.联合分布函数的性质：（1）F（x,y）为x与y的右连续函数.（2）F（x,y）为x与y的不减函数.（3）（4）三、二维连续随机变量定义9：设（X，Y）为二维随机变量，如果（X，Y）的联合分布函数可以写成则称（X，Y）为二维连续随机变量，并称f（x,y）为（X,Y）的联合密度函数. 易知：联合密度函数的性质：（1），（2）边际密度函数：随机变量X的边际密度：随机变量Y的边际密度：连续随机变量的独立性：设（X，Y）为二维连续随机变量，如果则称X与Y相互独立.条件密度：我们称为在给定Y=y时X的条件密度.为在给定X=x时Y的条件密度.如果二维连续随机变量（X，Y）的联合密度为则称（X，Y）服从区域G上的二维均匀分布.其中为区域G的面积.【例39·解答题】假设随机变量Y服从参数的指数分布，随机变量求X1和X2的联合概率分布.[答疑编号986303101：针对该题提问]解：P（X1=0, X2=0）=P（Y≤1，Y≤2）=P（X1=1, X2=0）=P（Y＞1，Y≤2）=【例40·解答题】某射手向一目标进行连续射击，每次命中的概率都是p，各次命中与否相互独立.以X表示第二次命中时的射击次数，以Y表示第三次命中时的射击次数.求（X，Y）的联合分布列以及Y的边际分布列.[答疑编号986303102：针对该题提问]解：P（X=m，Y=n）=令m-1=k=n=3, 4, 5……【例41·解答题】设（X，Y）具有联合分布列：且已知EX=-0.2，记Z=X+Y.求（1）a,b,c的值；[答疑编号986303103：针对该题提问]（2）Z的概率分布；[答疑编号986303104：针对该题提问]（3）P（X=Z）.[答疑编号986303105：针对该题提问]解：（1）a+b+c=0.4-（a+0.2）+c+0.1= -0.2解得a=0.2 , b=c=0.1（2）Z的概率分布（3）【例42·解答题】设某汽车的车站人数X～P（），每个人在中途下车的概率都是P,且下车与否相互独立，以Y表示中途下车的人数。
概率论第三章 多维随机变量及其分布
1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
第三章多维随机变量及其分布.doc
可以证明，凡满足性质（1）的任意一个二元函数f(x,y)，必可作为某个二维随机变量的联合密度函数。
(3)若f(x,y)在点(x,y)处连续，则
证明
(4)设G是xOy平面上的一个区域，则有
在几何上z=f(x,y)表示空间的一张曲面。由性质（1）知，介于该曲面和xOy平面之间的空间区域的体积是1。由性质(3)知, 的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。
3.1.3联合分布列
定义3.1.3若二维随机变量（X，Y）的所有可能取的值是有限多对或可列无限多对（xi,yj），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。称
，i，j=1，2，…，n，
为二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布列，也可用如下表格记联合分布列。
Y
联合分布列的基本性质：
(1)非负性
(2)正则性
例1盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布列和 。
解(1) 的分布函数为
(2)将 的共同分布函数 代入上式得
(3)Y的分布函数仍为上式，密度函数可对上式关于 求导得
(4)将指数分布的分布函数和密度函数代入(2)和(3)的结果中得
二、最小值分布设 是相互相互独立的n个随机变量，若 ，在以下情况下求Y的分布。(1) ～ ；(2) 同分布，即 ～ ；(3) 为连续随机变量，且 同分布，即 的密度函数为 ， ；(4) ～ 。
0.216 0 0 0
二、多维超几何分布
袋中有N只球，其中有Ni只 号球， ，记 。从中任意取出n只，若记Xi为取出的n只球中 号球的个数， ，则
其中 。
例4在例3中改为不放回抽样，求二维随机变量(X，Y)的联合分布列。
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论与数理统计总结之第三章
第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1） 当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2） 一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布： 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ） 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。
第三章多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布在许多随机试验中，需要考虑的指标不⽌⼀个。
例如，考查某地区学龄前⼉童发育情况，对这⼀地区的⼉童进⾏抽样检查，需要同时观察他们的⾝⾼和体重，这样，⼉童的发育就要⽤定义在同⼀个样本空间上的两个随机变量来加以描述。
⼜如，考察礼花升空后的爆炸点，此时要⽤三个定义在同⼀个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。
在这⼀章中，我们将引⼊多维随机变量的概念，并讨论多维随机变量的统计规律性。
1.⼆维随机变量及其分布在这⼀节中.我们主要讨论⼆维随机变量及其概率分布，并把它们推⼴到n维随机变量。
1.⼆维随机变量及其分布函数1.⼆维随机变量定义3.1 设Ω ={ω }为样本空间，X=X(ω )和Y=Y(ω )是定义在Ω上的随机变量，则由它们构成的⼀个⼆维向量(X,Y)称为⼆维随机变量或⼆维随机向量.⼆维向量(X，Y)的性质不仅与X及Y有关，⽽且还依赖于这两个随机变量的相互关系。
因此，逐个讨论X和Y的性质是不够的，需把(X,Y)作为⼀个整体来讨论。
随机变量X常称为⼀维随机变量。
2. ⼆维随机变量的联合分布函数与⼀维的随机变量类似，我们也⽤分布函数来讨论⼆维随机变量的概率分布。
定义3.2 设(X,Y)是⼆维随机变量，x，y为任意实数，事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的概率称为⼆维随机变量(X,Y)的联合分布或分布函数，记作F(x,y)，即若把⼆维随机变量(X,Y)看成平⾯上随机点的坐标，则分布函数F (X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落⼊以(x,y)为定点且位于该点左下⽅的⽆穷矩形区域内的概率（见图3-1）。
⽽随机点(X,Y) 落在矩形区域内的概率可⽤分布函数表⽰（见图3-2）分布函数F (x，y)具有以下的基本性质。
(1) 0≤F (x，y)≤1.对于任意固定的x和y，有(2) F (x，y)是变量x或y的单调不减函数，即对任意固定的y，当x2 ≥x1时,；对任意固定的x，当y2 ≥y1时，。
概率论第三章
若二维随机变量（ 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 ） 1 1 x − µ1 2 f (x, y) = exp{− ) 2 [( 2 2(1− ρ ) σ1 2πσ1σ2 1− ρ x − µ1 y − µ2 y − µ2 2 )( ) +( ) ]} − 2ρ( 其中
µ1, µ2,σ1,σ2, ρ
3.1.2、二维随机变量的联合分布函数 、 维随机变量的联合 联合分布函数
二维随机变量（ 二维随机变量（X,Y） ） ( X , Y )的联合分布函数 )的联合分布函数
一维随机变量X 一维随机变量 X的分布函数 的分布函数
F(x, y) = P(X≤ x,Y ≤ y) − ∞ < x, y < ∞
xi ≤3yj ≤2
求：F(3,2) = P(X≤ 3,Y ≤ 2) = ∑∑pij
1 1 1 1 = + 0+ 0+ + + 0 = 4 8 8 2
例２ 设随机变量 Y ~ E (1) ，随机变量
0 , 若Y ≤ k ( k = 1，） 2 Xk = 1 , 若Y > k 的联合概率分布列。 求 X 1 和 X 2 的联合概率分布列。
第三章 多维随机变量及其分布
到现在为止， 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布. 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来 描述还不够， 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述 在打靶时, 在打靶时,命中点的位置是由一 对随机变量(两个坐标)来确定的. 对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空 中的位置是由三个随 机变量(三个坐标） 机变量(三个坐标）来 确定的等等. 确定的等等.
1/ 4 x 1 1 解: (3)P( X < ,Y < ) = ∫0 [∫0 3xdy]dx 4 2
概率论第三章
例2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从 袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以 X , Y 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求 ( X , Y ) 的分布律。 解 X , Y 可能取值均为1,2,3.
p11 P{ X 1, Y 1}
p12 P{ X 1, Y 2}
F (,) 1.
③ 关于 右连续，即
例1. 设 ( X , Y ) 的分布函数为
x y F ( x , y ) A( B arctan )(C arctan ) 3 4 求常数 A, B, C 的值及概率 P{ X 3, Y 4}. 9 F (3, 4) 解 由分布函数的性质
第三章 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量
二、边缘分布
三、相互独立的随机变量 四、两个随机变量的函数的分布
第一节
二维随机变量
定义1 设随机试验 的样本空间是 设 和 是定义在 上的随机变量，则由它们构成的一 个向量 定义2 设 二元函数 称为二维随机变量或二维随机向量。 是二维随机变量，对于任意实数
16
一、二维离散型随机变量
定义： 若二维随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值 ( xi , y j ),
i, j 1, 2, 是有限对或可列无限多对时，则称 ( X , Y ) 为 离散型随机变量。
P{ X xi , Y y j } pi j (i , j 1 , 2 , )
若存在 f ( x, y) 0 , 使得对任意实数 x , y , 总有
F ( x, y )
y
x
f (u , v )dudv
则称 ( X , Y ) 为二维连续型随机变量, f ( x, y ) 称为 ( X , Y ) 的 概率密度,或称为随机变量 X 和 Y的联合概率密度。 f (x,y)的性质: ① f ( x, y ) 0 ②
概率统计基础：第 3 章 随机变量及抽样分布
这一过程称为抽样 , X1 , X2 , , Xn 称为容量为n的样本.
抽样的特点 在相同条件下对总体X进行n次重复、独立观察
要求各次取样的结果互不影响 每次取出的样品与总体有相同的分布
样本的特点
观察前:X1 , X2 ,, Xn 是相互独立,与总体同分布的随机 变量
0.4
n=2
0.3
n=3
0.2
n=5
n = 10
0.1
n = 15
5 10 15 20 25
设 c 2 ~c 2 (n) X i ~ N (0,1) i 1, 2, , n
则
E(X i ) 0,
D( X i ) 1,
E
(
X
2 i
)
1
E c 2
E
n
X
2 i
n
i1
E
(
X
4 i
)
1
x4e
1. 期望为：E(c2)=n，方差为：D(c2)=2n(n为自
由度)
2. 可加性：若U和V为两个独立的c2分布随机变 量，U~c2(n1)，V~c2(n2),则U+V这一随机变 量服从自由度为n1+n2的c2分布
总体
样本
计算样本统计量 如：样本均值、 比例、方差
几个重要分布 c2-分布(c2-distribution)
1. 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海 尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分 别于1875年和1900年推导出来
定义: 设 X 1 , X 2 , , X n相互独立,都服从正态
个体：随机变量X的值
总体
随机变量及其分布PPT课件
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
依题意x可取值0第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口118x表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务每出租一辆汽车可从出租公司得到3因代营业务每天加油站要多付给职工服务费60元
一般地，我们给出如下定义:
定义1 ：Байду номын сангаасxk(k=1,2, …)是离散型随 机变量X所取的一切可能值，称
P(X xk ) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率分布列
简称分布列, 又称分布律.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
用这两条性质判断
k=1,2, … 一个函数是否是
P( X k) a k , k =0,1,2, …, 0
西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第3章多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度Z=Y/X及Z=XY的概率密度M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的概率密度例：研究某一地区学龄儿童的发育情况。
仅研究身高H 的分布或仅研究体重W 的分布是不够的。
需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间（即某地区全部学龄前儿童）的两个随机变量。
问题的提出实际中，某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量描述例：研究某种型号炮弹的弹着点分布。
每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
一、二维随机变量的定义设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。
S ey()()(),X e Y ex(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，还依赖于X,Y间的相互关系，需将(X,Y)作为整体研究二、二维随机变量的分布函数设(X ,Y )是二维随机变量，对于任意实数x , y ，二元函数称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
{}(,)()()(,)F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤==≤≤ 记成1、定义：若将(X ,Y )看成平面上随机点的坐标，则F (x ,y )在(x ,y )处的函数值即为随机点落在(x ,y )左下方无穷域内的概率2、几何意义：(X ,Y )落在矩形区域[x 1<x ≤x 2, y 1<y ≤y 2]上的概率为x 1x 2yy 1y 20xy(x,y )1212(,)P x x x y y y <≤<≤()()()()22211211,,,,F x y F x y F x y F x y --+=3、性质：1212,(,)(,)y x x F x y F x y <⇒≤任意固定当x 1x 2(x 1,y )(x 2,y )yy 2xy 1(x ,y 1)(x ,y 2)1212,(,)(,)x y y F x y F x y <⇒≤任意固定0(,)1F x y ≤≤ (,)0 (,)0(,)0,(,)1y F y x F x F F -∞=-∞=-∞-∞=+∞+∞=对任意固定，对任意固定，(1) 不减性:F (x , y )关于x , y 单调不减，即(2) 有界性:且(3) 右连续性0(,)(,)lim F x y F x y εε+→+=0(,)(,)lim F x y F x y εε+→+=(),,F x y x y 关于右连续，即：()222112111212(,)(,)(,)(,),0F x y F x y F x y F x y P x X x y Y y --+=<≤<≤≥ 1x 2x 1y 2y 01212,,x x y y <<若则22211211(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥(4)三、二维离散型随机变量及其分布律1、定义：,,,,21m x x x X 的可能值为设,,,,21n y y y Y 的可能值为中心问题：(X ,Y )取这些可能值的概率分别为多少？若二维随机变量（X ,Y ）所有可能的取值是有限对或可列无限对，则称（X ,Y ）是二维离散型随机变量。
《概率论与数理统计》第三章
§1 二维随机变量
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
y
X e,Y e
在S上的随机变量，由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。
e S
x
定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，
二元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
F(x, y) P(X x) (Y y)
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
例3:设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中
任取一件产品，取后不放回，令
1 X 0
第一次取到的产品是次品 1
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
2e(2x y) , x 0，y 0
y f (x, y) 0,
其他
1 求分布函数F(x, y)；2求P{X 2，Y 3}；
3求P(Y X )的概率
解： (1)当x>0,y>0时
f (x, y)xy
————————
概率微分
(4) f ( x, y)的作用 : 求二维随机变量（X,Y)取值
落在区域G内的事件的概率
P((X ,Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
G
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布
比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个 数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故 得： (X,Y) 的 联合分布 律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:
《概率论与数理统计》三
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
设(X,Y)的所有可能取值:(xi, yj), i,j=1,2…,
P{X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2,)
性
1 0 pij 1,
质
2
pij 1.
j1 i1
分
布
函 F ( x, y) pij
数
xi x yjy
Y X
x1 x2 xi
y1
p1 1 p21
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
22,
)
四、多维随机变量
(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,...Xn 是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn ) 为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量．
(2)对n个任意实数，令
F(x1, x2 ,, xn ) P{X1 x1, X2 x2 ,Xn xn}
标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来
表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.
例2 考察某地一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.
高等数学3.3 随机变量及其函数分布
注 (1) 以上结论必须在 X 与 Y 相互独立的前提下 才能成立, 否则无此结论 . (2) 结论可推广到 n 个相互独立随机变量的情况 .
即设 X 1 , X 2 , … , X n 是 n 个相互独立的
随机变量, 它们的分布函数分别为
FXi ( xi ) (i = 1, 2, , n ) , 则
X Z= 的分布函数为 Y
FZ ( z ) = P Z z =
=
从而有
x z y
f ( x, y ) dxdy
0
0
zy
f ( x, y ) dxdy +
zy
f ( x, y ) dxdy .
fZ (z) =
0
y f ( zy, y )dy +
0
( y ) f ( zy, y )dy
于是
FZ ( z ) =
z
f ( u y, y ) dudy
= f (u y, y )dy du , z
故 Z 的密度函数为
fZ (z) =
f ( z y, y )dy ,
由 X 与Y 的对称性知, f Z ( z )又可写成
z
z =1/y
0 zy 1 , 0 y 1 . 如图所示
1
O
1
y
于是有
(1) 0 z 1 时 , (2) z 1 时 ,
于是得
1 f Z ( z ) = ydy = ; 0 2 1 1 z f Z ( z ) = ydy = 2 . 0 2z
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理、工程及生产管理等方面问题，首先建立一个概
率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；然 后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求 随机参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。 蒙特卡洛方法以概率统计为主要理论基础，以
随机抽样为主要手段。通过实验获得样本特征值以
机性、试验的独立性以及前后的一致性。 2. 产生的随机数要有足够长的周期，以满足仿真的
实际需要。 3. 产生随机数的速度要快，占用的内存空间要小。
31
计算机产生随机数的算法
计算机产生随机数的通常方法是利用一个递推公式：
X n f X n1 , X n2 , , X nk
给定了k个初始值 X n1, X n2 , , X nk ，就可以利用这个递推
概率函数。其中Pn必须满足下列两个条件：
（1）
Pn 0 , n 1,2,,
（2）
P
n 1
n
1
7
离散型随机变量
概率分布函数
离散型随机变量x的累积分布函数 定义:当x小于或等 于某个给定值x`的概率函数，记为P(x ≤x`) = F(x)。 设随机变量x可能取值x1，x2，…，xn，…，则x的累积 分布函数为
16
3.2 蒙特卡洛方法与随机数
蒙特卡洛方法也称统计模拟方法，该方法利用
随机数进行统计实验，以期求得均值、概率等特征
值作为待解问题的数值解。源于二战期间研制原子 弹的“曼哈顿计划”，用赌城的名字作为中子随机 扩散的模拟研究代号。后人将计算机随机仿真方法 称为蒙特卡洛方法。
17
3.2 蒙特卡洛方法与随机数
(x)曲线围出的面积(图中阴影部分)必
然<1。而累积分布函数F(x)的值会随
x 值的增加而增加，并且它最终趋向极
限值1。
11
随机变量的数字特征
定义：随机变量的数字特征是与它的分布有关的某 些数值，例如平均值、最大可能值等，它们反映了 随机变量某些方面的特征。
分类：根据随机变量的种类,分别介绍离散型随机变
P(a< x ≤b) =
a
b
f ( x )dx ，
则称x为连续型随机变量，f(x)称为x的密度函数。
对于密度函数 f (x)有
f
x 0
f x d x 1
9
连续型随机变量
概率密度函数
连续型随机变量的累积分布函数定义为随机变量小于或 等于x的概率。它用F(x)表示，即
F x
i 0
均值。
方差
DX EX i EX
2
方差反映了各个随机变量的采样值偏离平均值的平均程度
13
连续型随机变量的数字特征
平均值：设X为随机变量，其概率密度函数为 f (x)，则该随机变 量的平均值m为：
m
x f x dx
平均值又称为数学期望。
方差
D X E X i E X
确定性活动：在准确地重复一定条件的前提下，其
变化的结果总是确定的，或者根据其过去的状态，相
同的条件下可以预言将来的发展变化，我们把这一类
活动称为确定性活动。确定性活动的主要特征是活动 可以用一个确定的数学形式来描述：f(t)，或是数学 函数，或是数学图表等。
3
3.1 随机变量、概率函数简述
随机性活动：其变化的结果是事先不可预言的，即
在相同的条件下进行重复实验，每次结果未必相同，
对于随机性活动进行研究所利用的数学工具是概 或者是知道其过去的状况，在相同的条件下未来的发 率论及数理统计。对于实际系统中的随机活动进
展事先都不能确定，这一类活动我们称为随机性活动 。随机性活动的主要特征是这类活动的描述可以通过 和分析变得十分困难，这时我们常常求助于计算 数学统计的方法来进行。 机仿真。仿真为这类复杂随机系统的研究提供了
公式推算出第k+1个数Xk+1：
X k 1 f X 1 , X 2 , , X k
递推公式有多种形式，其中最常见的有两种：
- 平方取中法
- 同余法
32
平方取中法
这是最早产生随机数的一种方法，一个二进制n位 数X，自乘后一般得到一个2n位数X2。设
X 0 b1b2 bn
bn b2 n 平方后得到：X 02 b1b2 / 21bn / 22 bn / 2n 作出如 取中间的n位数(设n为偶数) bn 下的二进制n位数：
数器，对计数器定时选行采样就可以得到所需的随机数的
一位数。多次重复此过程或者利用几个计数器同时运行， 就可以得到任意位数的随机数。
24
（0，1）均匀分布随机数的产生方法
用物理方法产生的随机数序列无法重复实现，不 能进行程序复算，给验证结果带来很大困难。而且， 需要增加随机数发生器和电路联系等附加设备，费用
昂贵。因此，该方法不适合在计算机上使用。
25
（0，1）均匀分布随机数的产生方法
随机数表：
利用物理过程可以得到大量随机数并将这些数制成 表，在使用随机数时就可以依一定的顺序从表中取出随 机数。为了适应实际需要的位数，对取出的随机数可以
进行截断或拼接处理。
26
27
（0，1）均匀分布随机数的产生方法
数学方法：
按照一定的算法计算出具有类似于均匀分布随机变量的 独立取样值性质的数。因为这些数是按照定性的算法计算出 来的，会有一定的周期性，因而被称为伪随机数。由于我们 目的是利用随机数来对随机活动进行统计分析，只要伪随机
数的数理统计性质能够满足实际需要就可以了。这些数理统
计性质包括均匀性、独立性等。一般计算机上，产生随机数 的函数为（0，1）均匀分布的随机数。
代替总体的特征值。
18
3.2 蒙特卡洛方法与随机数
蒙特卡洛方法的主要步骤：
（1）构造或描述概率过程
拟概率过程； （2）实现抽样 工具； （3）建立估计量
关键是应正确描述和模
随机数是实现蒙特卡洛仿真的基本
实现模拟实验后，要确定一个随
机变量作为所求问题的解。建立估计量相当于对模
拟实验结果考察、分析，从中得到需要的解。
如果要得到n位有效数字的随机数，只需将表中 每n个相邻的随机数字合并在一起，且在最高位的前 边加上小数点即可。例如，某随机数表的第一行数
字为7634258910…，要想得到三位有效数字的随
机数依次为0.763，0.425，0.891。 特点：简单易用，但表长度有限。
28
（0，1）均匀分布随机数的产生方法
F x
xi
P X
Xi
xi
P
i
其中 Pi 为x 取值 X i 的概率。 由定义可见 0 F x 1 当x<y 时，F(x)≤F(y)，即F(x)是个单调增加的函数。
8
连续型随机变量
数学定义
定义：若存在非负函数 f (x)，使得随机变量 x取值于任 一区间(a，b)的概率为
E(αX)= αE(X)
X，Y为两个相互独立的随机变量，则 E( X+Y )= E(X)+ E(Y)
R ，X一随机变量，则 R ，X一随机变量，则
D(αX)= α2D(X) D(X +α)= D(X)
X，Y为两个相互独立的随机变量，则 D( X+Y )= D(X)+ D(Y)
f x xe x
模值：xmax x, f xmax max f x 中间值：xm x, F xm 0.5
x
在x=1处时 f(x) 均达到峰值，则x=1就是随
机变量的模值。中间值：Xm=1.6783469
15
数理统计中的基本运算规则
R ，X一随机变量，则
量的数字特征、连续型随机变量的数字特征。
12
离散型随机变量的数字特征
平均值：设X为离散随机变量，其概率函数由下表给出：
x0 P0 x1 P1
n 1
X P{X=Xi}
x2 P2
… …
… …
xn Pn
… …
其中 Pn 0 X x Pi ，称为X 的平
29
计算机产生随机数的算法
用计算机程序通过计算产生的随机数都是伪随机数， 它具有一定的周期性。
计算机产生随机数的特点：实用性强、简单易操作、
产生速度快、计算机存储空间要求低。
30
计算机产生随机数的算法
计算机上用数字方法产生的随机数的一般要求有：
1. 产生的数值序列要具有分布的均匀性、抽样的随
x
21
(0，1)均匀分布随机数的说明
随机变量x落入区间(X1，X2)中的概 率等于图中阴影区的面积，其值为(X2f(x)
X1)，正比于区间(X1，X2)的大小。
需要说明的是在计算机上表示连续变 量只能是近似的，因为计算机中的数字只
1
能是有限的位数。如果变量变化的最小步
长可以达到计算机表示的最小值，并且在 实际需要的精度之内变量可以达到任意值 ，就可以把这个变量看成是连续的。
离散型随机变量：若随机变量只取有限个数值
或可列无穷多个数值，则称此类随机变量为离散型
随机变量。
连续型随机变量：若随机变量可以取值于某个 区间中的任一数，我们称为连续型随机变量。
6
离散型随机变量
数学定义
数学定义：如果一个随机变量 x 的一切可能取值为x1
，x2，…，xn，…，并且x取值xn的概率为Pn，则x为一 个离散型随机变量，{p1，p2，...，pn，... }称为x的