高考数学-立体几何专题复习

立体几何复习专题

一、考情分析

综观近年高考对立体几何的考查，主要体现了三个特点：1.以选择、填空考查基础知识，如线面关系的判断、体积与面积的计算等，难度中等偏易，分值5～10分左右；2.以解答题的形式考查综合问题，如空间平行与垂直的论证，空间角和距离的求解等，分值为12分；

3.无论是大题还是小题，其载体多为棱柱、棱锥、球组合而成的多面体，问题的情境为动态或静态的，背景为综合或交叉的，解题方法是多样化的，重视了传统方法和向量方法的有机结合，相得益彰.

二、考题精讲

考点１ 直线与平面

该问题主要考查空间中的线线、线面、面面之间的位置关系的判断与证明，以及空间想象能力.

例１ 设直线m 与平面α相交但不．

垂直，则下列说法中正确的是（ ） A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直

B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直

C ．与直线m 垂直的直线不．

可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．

可能与平面α垂直 解：在这里我们通过观察正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1进行判断，取BC 1为直线m ，平面ABCD 为平面α，由AB 、CD 均与m 垂直知选项A 错；由D 1C 1与m 垂直且与α平行知选项C 错；由平面ADD 1A 1与m 平行且与α垂直知选项D 错，故选B.

点评：在解本题时，我们通过借助具体的几何模型进行直观的思考，对于假命题举出反例即可，避免了抽象的空间现象与推理.

考点２简单几何体

该问题主要涉及到简单几何体的性质以及其面积与体积的求法（包括球的性质、球的面积与体积、球面距离等）.

例２ 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为0

60的菱形，则该棱柱的体积等于( B ) 2 Ｂ 22 Ｃ32 Ｄ42

解：如图在三棱柱111ABC A B C -中，设0111160AA B AA C ∠=∠=，由条件有011160C A B ∠=，作111AO A B C ⊥面于点O ， 则0111011

cos cos603cos cos cos303AA B AAO B AO ∠∠====∠， ∴16sin AA O ∠=

∴1126sin AO AA AAO =⋅∠=， ∴111111012622sin 60222AO ABC A B C A B C V S AO -∆=⋅=⨯⨯⨯= B. 点评：本题具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键.

考点３ 空间距离与角

该问题主要考查三类角（线线角、线面角、二面角），五种距离（点线距、点面距、线面距、线线距、面面距），有关立体几何的解答题中都有此部分的内容.

例３ 如图，αβ和为平面，l αβ=I ，A ∈α，,B ∈βAB =5，A 、B 在棱L 上的射影分别为A ′、B ′，AA ′＝3，BB ′＝2.若二面角l α--β的大小为23

π， 求：⑴点B 到平面α的距离；⑵异面直线L 与AB 所成的角（用反三角函数表示）. 解：⑴如图，过点B ′作直线B ′C ∥A ′A 且使B ′C=A ′A.L

β

过点B 作BD ⊥CB ′，交CB ′的延长线于D.∵AA ′⊥L ，∴DB ′⊥L ，又BB ′⊥L ，∴L ⊥平面BB ′D ，∴BD ⊥L.又∵BD ⊥CB ′，∴BD ⊥平面α,∴BD 的长即为点B 到平面α的距离.∵B ′C ⊥L 且BB ′⊥L ，∴∠BB ′C 为二面角α-L-β的平面角，∴∠BB ′C=3

2π.在Rt △BB ′D 中，'BB =2,∠BB ′D=π-∠BB ′C=3

π，∴BD=BB ′·sinBB ′

⑵连接AC 、BC.∵B ′C ∥A ′A ，B ′C=A ′A ，AA ′⊥L ，∴A ′ACB ′为矩形，∴AC ∥L ，∴∠BAC 或其补角为异面直线L 与AB 所成的角.在△BB ′C 中，B ′B=2，B ′C=3，∠BB ′C=3

2π，由余弦定理，

=因BD ⊥平面α，且DC ⊥CA ，由三垂线定理得AC ⊥BC ，∴在△ABC 中，∠BCA=2π，

sinBAC=BC AB =.∴异面直线L 与AB 所成的角为

点评：本题考查了立几中的点面距、线线角、二面角等知识，

考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识的运用.

考点４ 立体几何综合问题

此类问题常以某种几何图形为载体，考查点、线、面的位置关系，求角和距离，求体积、面积和探究有关量的定值、最值问题等.

例5 如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0

并求出这个值； ⑶若12b =，求D E '与平面PQEF 所成角的正弦值． 解：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD ′分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图的空间直角

坐标系D －xyz ．由已知得1DF b =-，故(1

00)A ，，，(101)A '，，，(000)D ，，，(001)D '，，，(10)P b ，，，(11)Q b ，，，(110)E b -，，， (100)F b -，，，(11)G b ，，，(01)H b ，，．

⑴在所建立的坐标系中，可得(010)(0)PQ PF b b ==--u u u r u u u r ，，，，，，(101)PH b b =--u u u r ，，，(101)(101)AD A D ''=-=--u u u u r u u u u r ，，，，，． ∵00AD PQ AD PF ''==u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g ，，∴AD 'u u u u r 是平面PQEF 的法向量．∵00A D PQ A D PH ''==u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g ，，∴A D 'u u u u r 是平面PQGH 的法向量．∵0AD A D ''=u u u u r u u u u r g ，∴A D AD ''⊥u u u u r u u u u r ，∴平面PQEF 和平面

PQGH 互相垂直． ⑵∵(010)EF =-u u u r ，，，∴EF PQ EF PQ u u u u r u u u u r u u u r u u u r ∥，=，又PF PQ ⊥u u u r u u u r ，∴PQEF 为矩形，同理PQGH 为矩形．在所建立的坐标系中可求

得)PH b =-u u u u r

，PF =u u u u r

，∴PH PF +=u u u u r u u u u r ，又1PQ =u u u u r ，∴截面PQEF 和截面PQGH

，是定值． ⑶由⑴知(101)AD '=-u u ，，是平面PQEF 的法向量．由P 为AA '中点可知，Q E F ，，分

别为BB '，BC ，AD 的中点．∴1102E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1112D E ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭

u u u u r ，，，因此D E '与平面PQEF A B 'A 'B L α β C D A B C D E F P Q H A ' B ' C ' D ' G