高等数学 上、下册7_3 平面与直线
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平 面 上 的 点 的 坐 标 不 满 足 方 程 .所 以 该 方 程 是 平 面 的 方 程 ， 它 称 为 平 面 的 点 法 式 方 程 .
2.平面的一般方程 在平面的点法式方程中，另D (Ax0 By0 Cz0)， 那么方程可写成
AxByCz D0， 反之，设有三元一次方程
AxByCz D0 任取一组满足该方程的数x0, y0, z0，代入方程后，得
程 Ax By Cz 0，
因此，它表示的平面通过原点.
（ 2） 当 A 0 时 ， 方 程 By Cz D 0
表 示 的 平 面 的 法 向 量 n (0, B ,C ) .由 于 法 向 量 n 在 x 轴 上
的投影 A 0，故 n 垂直 x 轴，所以平面平行 x 轴，类似 地，当 B 0 时或C 0 时，方程
当 分
A
别
0，C 表示与
0 或 B 0 ，C 0
z
O
x
B 面
yD 和与
0 yO z
或 面平
A时x ， D方 程0 行的平面.
例 1求 通 过 点 ( 1 , 2 ,1 )， 且 与 平 面 x 2 y 3 z 1 0 平 行 的 平 面 方 程 .
解已 知 平 面 的 法 向 量 n(1,2,3)垂 直 所 求 的 平 面 ， 于 是 它 是 所 求 平 面 的 法 向 量 ， 所 以 平 面 方 程 为
第三节 平面与直线
一、点的轨迹方程的概念
任何曲面或空间都可看作满足一定
z F(x,y,z)0
几何条件的动点的轨迹，动点的轨迹方
S
程叫做曲面或空间曲线的方程.
1.曲面及其方程 如果曲面 S 与三元方程
O
y
F(x, y, z) 0
x
有如下关系
图 7-18
(1)曲面 S 上任意一点的坐标满足方程，
(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足方程，
M0 M
上一 uu点 uu， ur 因为向量 M0M(xxr0,yuuuyu0u,rzz0)
O
x
在平面上，故nM0M，(图7-20) y
图 7-20
由 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ， 得 A(xx0)B(yy0)C(zz0)0 容 易 验 证 ， 在 平 面 上 的 点 的 坐 标 满 足 方 程 ， 不 在
A B D 0
2
A
B
D
0
解方程组，求得 A 2 D,B 1 D ，于是
3
3
D ( 2 x 1 y 1) 0 ， 33
注 意 到 平 面 不 通 过 原 点 ，D 0 ，所 以 ，所 求 平 面 方 程 为
2 x 1 y1 0
33
即
2x y 3 0.
例3 也能按例uu2ur的方法求解，平面与z 轴的单位向量
1(x1)2(y2)3(z1)0， 即 x2y3z80.
例 2 求 通 过 三 点 M 1 ( 1 , 1 , 2 ) ,M 2 ( 1 ,2 ,0 ) ,M 3 ( 1 ,3 ,1 ) 的 平 面 方 程 .
uuuuuu r uuuuuu r uuuuuu 解 r uuu 向 uu量 u rM 1M 2u ， uuM uuu 1 rM 3u 均 uuu 在 uu r平 面 上 ， 而 向 量 积 M 1M 2M 1M 3同 时 与 M 1M 2， M 1M 3垂 直 ， 故 与 平 面 垂 直 ， 它 是 平 面 的 法 向 量 ，
Ax Cz D 0 或 Ax By D 0
分别表示与 y 轴平行和与 z 轴平行的平面. （ 3） 当 A 0 ， B 0 时 ， 方 程
Cz D 0
表 示 的 平 面 的 法 向 量 n (0,0,C ) ， 这 时 n 与 x 轴 ， y 轴 都
垂 直 ，即 与 xOy 面 垂 直 ，因 此 平 面 与xOy 面 平 行 ，类 似 地 ，
一般地，若平面与向量 a 和 b 都平行，则向量积a b 是 平面的一个法向量.
例 3求 通 过 点 A ( 1 ,1 ,1 ) 和 B ( 2 , 1 ,1 ) ， 且 与 z 轴 平 行
的 平 面 方 程 .
解 因为平面与 z 轴平行，可设它的方程为
Ax By D 0，
又 点 A (1,1,1) ， B (2, 1,1) 在 平 面 内 ， 故
那么称方程 F (x, y, z) 0是曲面 S 的方程，曲面 S 称为
方程 F (x, y, z) 0的图形（图 7-18）.
2 空间曲线及其方程 空间曲线可看作两个曲面的交线（图 7-19）因此空 间曲线的方程是方程组的形式.如果空间曲线与方程组
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0 有如下关系：在曲线上的坐标满足方程组，不在曲线上 的点的坐标不满足方程组，那么称此方程组是曲线的方 程，曲线是方程组的图形.
因为 uuuuuur
uuuuuur
M1M 2 (2,3, 2) ，M1M 3 (0, 4,3) ，
uuuuuur uuuuuur i j k M1M 2 M1M 3 2 3 2 i 6 j 8k
0 43
所以，所求平面的方程为 (x 1) 6( y 1) 8(z 2) 0
即 x 6 y 8z 11 0
z T
O y
x 图 7-19
二、平面及其方程
1.平面的点法式方程
平面法向量的概念 凡是垂直平面的向量都称为平
面的法向量，显然，一个平面的法向量有无穷多个，它
们之间相互平行.
r 现在，在已知平面上一点M0(x0, y0, z0) 和一个法向
量n (A, B,C)的几何条件下，
z
n
建立平面的方程. 设点M(x,y,z)是平面
Ax0 By0 Cz0 D 0,
两式相减，得 A(x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0 ，
它恰是通过( x0 , y0 , z0 ) ，法向量为n ( A, B,C ) 的平面方程， 方程
Ax By Cz D 0
称为平面的一般方程，其中n ( A, B,C ) 是平面的法向量， 下面讨论一些特殊情况： （1） 当D 0 时，显然原点O(0,0,0) 的坐标满足方
e (0,0,1)及向量AB (1,2,0)都平行，故平面的法向量为
uuur
i jk
ABe 1 2 0 2ห้องสมุดไป่ตู้ j
2.平面的一般方程 在平面的点法式方程中，另D (Ax0 By0 Cz0)， 那么方程可写成
AxByCz D0， 反之，设有三元一次方程
AxByCz D0 任取一组满足该方程的数x0, y0, z0，代入方程后，得
程 Ax By Cz 0，
因此，它表示的平面通过原点.
（ 2） 当 A 0 时 ， 方 程 By Cz D 0
表 示 的 平 面 的 法 向 量 n (0, B ,C ) .由 于 法 向 量 n 在 x 轴 上
的投影 A 0，故 n 垂直 x 轴，所以平面平行 x 轴，类似 地，当 B 0 时或C 0 时，方程
当 分
A
别
0，C 表示与
0 或 B 0 ，C 0
z
O
x
B 面
yD 和与
0 yO z
或 面平
A时x ， D方 程0 行的平面.
例 1求 通 过 点 ( 1 , 2 ,1 )， 且 与 平 面 x 2 y 3 z 1 0 平 行 的 平 面 方 程 .
解已 知 平 面 的 法 向 量 n(1,2,3)垂 直 所 求 的 平 面 ， 于 是 它 是 所 求 平 面 的 法 向 量 ， 所 以 平 面 方 程 为
第三节 平面与直线
一、点的轨迹方程的概念
任何曲面或空间都可看作满足一定
z F(x,y,z)0
几何条件的动点的轨迹，动点的轨迹方
S
程叫做曲面或空间曲线的方程.
1.曲面及其方程 如果曲面 S 与三元方程
O
y
F(x, y, z) 0
x
有如下关系
图 7-18
(1)曲面 S 上任意一点的坐标满足方程，
(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足方程，
M0 M
上一 uu点 uu， ur 因为向量 M0M(xxr0,yuuuyu0u,rzz0)
O
x
在平面上，故nM0M，(图7-20) y
图 7-20
由 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ， 得 A(xx0)B(yy0)C(zz0)0 容 易 验 证 ， 在 平 面 上 的 点 的 坐 标 满 足 方 程 ， 不 在
A B D 0
2
A
B
D
0
解方程组，求得 A 2 D,B 1 D ，于是
3
3
D ( 2 x 1 y 1) 0 ， 33
注 意 到 平 面 不 通 过 原 点 ，D 0 ，所 以 ，所 求 平 面 方 程 为
2 x 1 y1 0
33
即
2x y 3 0.
例3 也能按例uu2ur的方法求解，平面与z 轴的单位向量
1(x1)2(y2)3(z1)0， 即 x2y3z80.
例 2 求 通 过 三 点 M 1 ( 1 , 1 , 2 ) ,M 2 ( 1 ,2 ,0 ) ,M 3 ( 1 ,3 ,1 ) 的 平 面 方 程 .
uuuuuu r uuuuuu r uuuuuu 解 r uuu 向 uu量 u rM 1M 2u ， uuM uuu 1 rM 3u 均 uuu 在 uu r平 面 上 ， 而 向 量 积 M 1M 2M 1M 3同 时 与 M 1M 2， M 1M 3垂 直 ， 故 与 平 面 垂 直 ， 它 是 平 面 的 法 向 量 ，
Ax Cz D 0 或 Ax By D 0
分别表示与 y 轴平行和与 z 轴平行的平面. （ 3） 当 A 0 ， B 0 时 ， 方 程
Cz D 0
表 示 的 平 面 的 法 向 量 n (0,0,C ) ， 这 时 n 与 x 轴 ， y 轴 都
垂 直 ，即 与 xOy 面 垂 直 ，因 此 平 面 与xOy 面 平 行 ，类 似 地 ，
一般地，若平面与向量 a 和 b 都平行，则向量积a b 是 平面的一个法向量.
例 3求 通 过 点 A ( 1 ,1 ,1 ) 和 B ( 2 , 1 ,1 ) ， 且 与 z 轴 平 行
的 平 面 方 程 .
解 因为平面与 z 轴平行，可设它的方程为
Ax By D 0，
又 点 A (1,1,1) ， B (2, 1,1) 在 平 面 内 ， 故
那么称方程 F (x, y, z) 0是曲面 S 的方程，曲面 S 称为
方程 F (x, y, z) 0的图形（图 7-18）.
2 空间曲线及其方程 空间曲线可看作两个曲面的交线（图 7-19）因此空 间曲线的方程是方程组的形式.如果空间曲线与方程组
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0 有如下关系：在曲线上的坐标满足方程组，不在曲线上 的点的坐标不满足方程组，那么称此方程组是曲线的方 程，曲线是方程组的图形.
因为 uuuuuur
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M1M 2 (2,3, 2) ，M1M 3 (0, 4,3) ，
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所以，所求平面的方程为 (x 1) 6( y 1) 8(z 2) 0
即 x 6 y 8z 11 0
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O y
x 图 7-19
二、平面及其方程
1.平面的点法式方程
平面法向量的概念 凡是垂直平面的向量都称为平
面的法向量，显然，一个平面的法向量有无穷多个，它
们之间相互平行.
r 现在，在已知平面上一点M0(x0, y0, z0) 和一个法向
量n (A, B,C)的几何条件下，
z
n
建立平面的方程. 设点M(x,y,z)是平面
Ax0 By0 Cz0 D 0,
两式相减，得 A(x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0 ，
它恰是通过( x0 , y0 , z0 ) ，法向量为n ( A, B,C ) 的平面方程， 方程
Ax By Cz D 0
称为平面的一般方程，其中n ( A, B,C ) 是平面的法向量， 下面讨论一些特殊情况： （1） 当D 0 时，显然原点O(0,0,0) 的坐标满足方
e (0,0,1)及向量AB (1,2,0)都平行，故平面的法向量为
uuur
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ABe 1 2 0 2ห้องสมุดไป่ตู้ j