四元素与欧拉角

1.欧拉角

在四元数出现之前先看下欧拉角：

对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。为了后面的角度不混乱，我们要先区分参考系和坐标系的概念。

参考系即为大地参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于四轴飞行器，随着四轴飞行器的旋转而旋转。

按照右图所示。设定xyz-轴为四轴上的参考轴，XYZ-轴则是大地的参考轴。右图即为四轴相对地面进行了一定旋转，xy-平面与XY-平面的相交线为交点线，用英文字母（N）代表。我们可以这样定义欧拉角：

α是x-轴与交点线的夹角

β是z-轴与Z-轴的夹角

γ是交点线与X-轴的夹角

这样我们就可以用三个欧拉角：(α，β，γ)其取值为0-360来描述四轴飞行器相对于大地的参考系的姿态角度了。

三个欧拉角：(α，β，γ)。蓝色的轴是xyz-轴，红色的轴是XYZ-坐标轴。绿色的线是交点线(N) 。

2.轴角

欧拉角使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。需要注意的是，这里的旋转是针对大地参考系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴，简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身就失去了任意轴的自主性，这也就导致了万向节锁（Gimbal Lock）的问题。

什么是Gimbal Lock？

正如前面所说，因为欧拉描述中针对x,y,z的旋转描述是世界坐标系下的值，所以当任意一轴旋转90°的时候会导致该轴同其他轴重合，此时旋转被重合的轴可能没有任何效果，这就是Gimbal Lock，还有一种是轴角的描述方法，这种方法比欧拉描述要好，它避免了Gimbal Lock，它使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,angle)，一般表示为(x,y,z,w)或者(v,w)。(x,y,z)为旋转轴，w为旋转角度。但这种描述法却不适合插值。

轴角的表示方法：

那么轴、角的描述方法又有什么问题呢？

虽然轴、角的描述解决了Gimbal Lock，但这样的描述方法会导致差值不平滑，差值结果可能跳跃，欧拉角描述同样有这样的问题。虽然轴角有这样的问题，但是我们根据传感器采集到的角度可以很容易的确定轴角的表达式：(x,y,z,angle)。

所以我们解算姿态时要用四元数算法，可以避免旋转时的GimbalLock，为了控制电机更直观，最后根据欧拉角和四元数转换关系把四元数再转换成欧拉角