二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵

一、二次型的定义
在高中数学课程中我们就学习过圆锥曲线，比如椭圆、 双曲线、抛物线等，从代数上看，它们的方程分别为
f
( x,
y)
x2 a2
y2 b2
1,
f ( x, y) xy 1,
实际上，它们是高等数学课程中学习过的 k 2 的 二元 k 次齐次函数，即有
f (t x, t y) tk f ( x, y), t R
x12 5 x22 9 x32 (2 4) x1x2 (3 7) x1x3 (6 8) x2 x3
1 3 5 x1
( x1,
x2 ,
x3
)
3
5
7
x2
.
5 7 9 x3
所求矩阵为
1 3 5
3
5
7
5 7 9
一般地，二次型 f xT Ax （ A 未必是对称矩阵）
对应只含有平方项的二次型(即标准形)
f d1 y12 d2 y22 L dn yn2 .
如果 r(D) r ，则标准形中非零系数的个数为 r .
反之亦然。
显然有了标准形，好多问题一目了然。
联想到实对称矩阵必可对角化，所以对给定二次
型 f ，我们的中心问题就是确定一个满秩矩阵 P
使得通过保秩的线性变换
锥曲线问题。由于对角矩阵对应位于标准位置的椭 圆，所以我们需要适当的旋转变换，将坐标轴旋转 到新的位置，使得椭圆位于新坐标系的标准位置上。 新坐标系的各轴应该由相应的特征向量确定，这是 因为特征向量的数乘仍然落在相应的特征空间中。
对应的矩阵是
1 ( A AT ). 2
因为 xT Ax ( xT Ax)T xT AT x,
所以 f xT Ax 1 ( xT Ax xT AT x) xT A AT x.
2
2
并且易知 A AT 是对称矩阵。
2
显然，作为特殊的矩阵，对角矩阵
D diag(d1, d2 ,L , dn )
一个正交变换 x Q y 化成标准形 f yT y ，这
里 Q 为正交矩阵， diag(1, 2,L , n )的 对角元为 A 的特征值。(主轴定理)
值得说明的是，正交变换 x Q y 不仅是保秩变换，
而且是保范变换(保持向量的范数或长度不变)，因为
x 2 x, x Q y,Q y
a21
x1
a22
x2 M
L
a2n
xn
an1 x1 an2 x2 L
ann
xn
a11 a12 L
[ x1 , x2 ,L
,
xn
]
a21 M
a22 M
L
an1
an2
L
a1n x1
a2
n
x2
M M
ann
xn
如果令 则
x [ x1, x2 ,L , xn ]T , A ai j nn
A (P1)T DP1 CT DC
由于对正交矩阵 Q ，有 Q1 QT , 而且总可以通过
正交变换矩阵 Q 将实对称矩阵 A 正交对角化为对角
阵 。因此正交变换既是特殊的相似变换，也是特
殊的相合变换，是这两种变换集的交集。
根据前面的分析，我们可有下面的定理。
定理4 任意一个二次型 f xT Ax 均可以通过
定义3 对同阶的矩阵 A 和 B ，如果存在同阶的可 逆矩阵（即满秩矩阵）P ，使得
B PT AP
则称矩阵 A 和 B 是相合矩阵或合同矩阵，也称 矩阵 A 和 B 相合或合同。按变换的观点，称矩 阵 A 相合变换或合同变换成 B ，P 称为相合变
换矩阵或合同变换矩阵。
显然，当 B 为对角阵 D 时，就是将 A 相合对角化 成了标准相合矩阵 D 。此时有相合标准形
f xT Ax ,
这里
A AT .
所以， n 元的二次型与对称矩阵 A 一 一对应， 因 此称 A 为二次型 f 的矩阵，称 f 为对称矩 阵 A 的二次型。二次型的秩就是对应矩阵的秩。
所以，“实二次型就是实对称矩阵”。
例 2 求下面的二次型所对应的矩阵：
1 2 3 x1
f
( x1,
x2 ,
x Py
将二次型 f 化为新变量 y1, y2 ,L , yn 的标准形
f d1 y12 d2 y22 L dn yn2 yT D y
注意到
f xT Ax (Py)T A(Py) yT (PT AP) y
因此问题变成能否找到满秩矩阵 P ，使得
PT AP D
也就是所谓相合对角化的问题。
定义1 称 n 元的二次齐次函数
f f ( x1, x2,L xn )
n
ai j xi xj (ai j aj i )
i, j1
为 n 元二次型，简称为二次型。我们只学习系数
和未知数全为实数的所谓实二次型。
f a11 x12 a12 x1 x2 L a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a23 x2 x3 L a2n x2 xn L an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
(Q y)T (Q y) yTQ TQ y yT y y, y y 2
而且二次型 f xT A x 通过正交变换后得到的标准
形的系数一定是矩阵 A 的特征值 。
例 5 寻找适当的旋转变换，将椭圆
5 x12 4 x1x2 5 x22 48
化成标准形式。
分析：本题可以看成二元二次型的几何意义，即圆
第六章 二次型
• 二次型及其标准形 • 正定二次型与正定矩阵
§1、二次型及其标准形
二次型，作为矩阵的四大名标（四大矩阵标量函 数）之一，经常出现在物理、力学等学科中。对它 的研究最早发轫于高斯的《数论研究》，该书第5章 讨论了二次型的理论，目的旨在确定一个给定整数 能否表示为特殊的形式。之后柯西在进行二次曲面 的研究时发现需要寻找一个坐标变换将二次型变成 只含平方项的形式，即二次型的标准形。
x3 )
( x1,x2 ,ຫໍສະໝຸດ x3)45
6
x2
.
7 8 9 x3
解：
f
( x1,
x2 ,
x3 )
(
x1 ,
x2 ,
x3
1
)
4
2 5
3 x1
6
x2
.
7 8 9 x3
x1
( x1
4 x2
7 x3 ,
2 x1
5 x2
8 x3 ,
3 x1
6 x2
9 x3
)
x2
x3
x1(a11 x1 a12 x2 L a1n xn ) x2(a21 x1 a22 x2 a23 x3 L a2n xn ) L xn(an1 x1 an2 x2 L ann xn )
a11 x1 a12 x2 L a1n xn
[ x1, x2 ,L
,
xn
]