新人教版九年级数学下册一轮复习第4课时分式
九年级数学总复习课件：第4课时分式
2x 1
【思路点拨】要使分式值为零，则分子为 零且分母不为零，即x+1=0且2x-1≠0，解出x的 值即可.
【解析】由题意得x+1=0且2x-1≠0，解得x=
-1，且x≠
12 ，经检验，当x=-1时，
x 1 2x 1
=0.
针对演练
1. 下列各式中，无论x取何值，分式都有意义
的是（ D ）
A. 1 2x 1
为__零__的__条__件__是__x__=_0_.
考点二 分式的运算（高频考点）
1. 分式的加减
(1)同分母分式相加减，分母④_不__变__，把
分子相加减，即 a ± b = a b（c≠0）.如： cc c
x x 1
-
x 1 x 1
1 =⑤_x___1__.
(2)异分母分式相加减，先⑥__通__分____，变
正确吗？为什么？
答错：误_._分__式__值__为__零__的__条__件__是__：__分__子__为__0_且_
分__母__不__为__0_，___则___x_2_-_2x=0 ①
_______
____________________x_2_-_4_≠_0___②__，________
由__①__得__：__x_=__0_或__x_=_2_,由__②__得__x_≠_±__2_,_∴__原__分__式__值_
第一部分 教材知识梳理
第一单元 数与式
第 4 课时 分式
中考考点清单
考点一 分式的概念和性质
一般地，如果A，B表示两个整式，
定义
并且B中含有字母，那么式子 A B 叫做分式
分式有意 当B≠0时，分式AB才有意义，例
1
2021年春九年级数学中考一轮复习《分式方程的应用》自主复习达标测评
2021春九年级数学中考一轮复习《分式方程的应用》自主复习达标测评（附答案）1．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（）A．8B．7C．6D．52．一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟．在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟．问：在无风的时候，他跑100米要用（）秒．A．12.5B．10C．D．3．甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（）A．1.2小时B．1.6小时C．1.8小时D．2小时4．某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（）A．17小时B．14小时C．12小时D．10小时6．甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，则甲每天加工的玩具数为（）A．15B．20C．18D．177．某市为落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，那么汽车原来的平均速度为（）A．80km/h B．75km/h C．70km/h D．65km/h8．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑自行车速度的2倍，现在小军乘班车上学可以从家晚出发10分钟，结果与原来到校的时间相同，那么校车的速度是（）A．12千米/小时B．15千米/小时C．18千米/小时D．36千米/小时9．某村在退耕还林活动中，计划植树200亩，全村在完成植树40亩后，某环保组织加入村民植树活动，现植树速度是原计划植树速度的2倍，结果比原计划提前4天完成任务，那么原计划天完成任务．10．某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是元．11．某超市第一次用3000元购进某种干果销售，第二次又调拨9000元购进该种干果，但第二次的进价比第一次进价提高了20%，购进干果数量比第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．超市两次销售这种干果共盈利元．12．八年级数学教师邱龙从家里出发，驾车去离家180km的风景区度假，出发一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原速的1.5倍匀速行驶，并提前40分钟到达风景区；第二天返回时以去时原计划速度的 1.2倍行驶回到家里．那么来回行驶时间相差分钟．13．三八妇女节到来之际，某学校准备让办公室的王老师去给女教师们买点糖果作为礼物．王老师预先了解到目前比较受老师们喜爱的A、B两种糖果的价格之和为140元，他计划购买A糖果的数量比B糖果的数量多5盒，但一共不超过60盒．正当王老师去超市买糖果的时候，发现B正打九折销售，而A的价格提高了10%．王老师决定将A、B糖果的购买数量对调，这样，实际花费只比原计划多20元．已知价格和购买数量均为整数，则王老师原计划购买糖果的总花费为元．14．一渔船在河中逆流而上，于某桥下遗失救生圈，被水冲走．渔船继续向前行驶了15min 发现救生圈遗失，立即返回，在距该桥2km处追到救生圈．由此可知水流速度为km/h．15．A，B两地相距120km．甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，已知甲车的速度是乙车速度的1.2倍，结果甲车比乙车提前20分钟到达，则甲车的速度是km/h．16．某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．则此商品的进价是．17．某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间少半小时，甲组每小时加工个零件．18．新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂工作，为了应对疫情，在每个工人每小时完成的工作量不变的前提下，已复工的工人加班生产，每天的工作时间由原来8个小时增加到10个小时．该公司原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求该公司原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的7名工人到岗且同时加入了生产，每天生产时间仍然为10小时．为了支援灾区，公司复工后决定生产15500套防护服，问至少还需要多少天才能完成任务？19．某校组织八年级学生外出去博物馆参观，一部分学生步行，一部分学生骑车．已知骑车的路程是12km．而步行路程是骑车路程的．若骑车的速度是步行学生速度的2倍，且骑车时间比步行所需时间少用20分钟，求骑车的平均速度．20．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B 种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（Ⅰ）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（Ⅱ）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，为庆祝元旦，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？21．甲乙两名工人各承包了一段500米的道路施工工程，已知甲每天可完成的工程比乙多5米．两人同时开始施工，当乙还有100米没有完成时，甲已经完成全部工程．（1）求甲、乙每天各可完成多少米道路施工工程？（2）后来两人又承包了新的道路施工工程，施工速度均不变，乙承包了500米，甲比乙多承包了100米，乙想：这次我们一定能同时完工了！请通过计算说明乙的想法正确吗？若正确，求出两人的施工时间；若不正确，则应该如何调整其中一人的施工速度才能使两人同时完工，请通过计算给出调整方案．22．复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多5元，用400元购买的跳绳个数和用150元购买的毽子个数相同．（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？（2）学校准备一次性购买跳绳和毽子两种器材共120个，但总费用不超过600元，那么最多可购买多少根跳绳？23．在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用2000元购进医用口罩若干个，第二次又用2000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？（2）药店第一次购进口罩后，先以每个3元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个3.5元继续销售卖出了b个后，两次共收入4800元．因当地医院医疗物资紧缺，药店决定将剩余的口罩全部捐赠给医院．请问药店捐赠口罩至少有多少个？参考答案1．解：方法1、设甲志愿者计划完成此项工作需x天，故甲的工效都为：，由于甲、乙两人工效相同，则乙的工效为甲前两个工作日完成了，剩余的工作量甲完成了，乙在甲工作两个工作日后完成了，则+＝1，解得x＝8，经检验，x＝8是原方程的解．故选：A．方法2、设甲志愿者计划完成此项工作需a天，则一天完成工作总量的，由于甲、乙两人工效相同，则乙的一天完成工作总量的，甲实际工作了（a﹣3）天，乙比甲少工作两天，实际工作了（a﹣5）天，即用甲的工作量加乙的工作量＝1，建立方程×（a﹣3）+×（a﹣5）＝1，∴a＝8，故选：A．2．解：设无风时的速度是x米/秒，风速是y米/秒，＝，x＝8y．又∵＝10＝10∴y＝1，∴x＝8．100÷8＝12.5（秒）．跑100米用的时间是12.5秒．故选：A．3．解：设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据题意得：＝，解得：x1＝1.8或x2＝9，经检验：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，x2＝9不合题意，舍去，故选：C．4．解：设采用新工艺前每小时加工的零件数为x个，根据题意可知：﹣1＝，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，故选：B．5．解：设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是甲的1.5倍，即，依题意得：+＝1，整理得：2x﹣12+3（x﹣8）＝2x，解得：x＝12，经检验，x＝12是所列分式方程的解，即甲打字员原计划完成此项工作的时间是12小时；故选：C．6．解：设甲每天加工x个玩具，则乙每天加工（35﹣x）个玩具由题意得，＝，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，则35﹣x＝20，即甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．故选：A．7．解：设汽车原来的平均速度是x km/h，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝70，经检验：x＝70是原方程的解．即汽车原来的平均速度70km/h．故选：C．8．解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则校车的速度为2x千米/小时，根据题意得：﹣＝，解得：x＝7.5，经检验，x＝7.5是原方程的解，且符合题意，则2x＝15，即校车的速度为15千米/小时，故选：B．9．解：设原计划每天植树x亩，根据题意可得：﹣＝4，解得：x＝20，经检验得：x＝20是原方程的解，且符合题意，则＝10（天），即原计划10天完成任务，故答案为：10．10．解：设第一批进货的单价为x元/件，由题意2×＝，解得x＝40，经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，答：第一次进货单价为40元/件，故答案为：40．11．解：设第一次购进干果的单价为x元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x元/千克，根据题意得：2×+300＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，∴＝＝600，＝＝1500．1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）．答：超市两次销售这种干果共盈利5280元．故答案为：5280．12．解：设前一小时的行驶速度为xkm/h，根据题意可得：+1＝﹣，解得：x＝60，检验得：x＝60是原方程的根，即：前一小时的行驶速度为60km/h．所以﹣﹣＝（小时）＝10（分钟）．故答案是：10．13．解：设A糖果的单价为x元/盒，则B糖果的单价为（140﹣x）元/盒，计划购买A糖果a盒，则B糖果为（a﹣5）盒，x（1+10%）（a﹣5）+0.9（140﹣x）a﹣[xa+（140﹣x）（a﹣5）]＝20，解得x＝＝70+，∵x和a都是整数，且0＜2a﹣5≤60．解得a≤32.5，且﹣120＜2a﹣105≤﹣40．∴2a﹣105＝﹣110，﹣55，﹣50当2a﹣105＝﹣110时，a＝2.5，不合题意，舍去；当2a﹣105＝﹣55时，a＝25；当2a﹣105＝﹣50时，a＝27.5，不合题意，舍去∴a＝25．此时2a﹣5＝45．∴x＝70+＝60．王老师实际花费ax+（a﹣5）（140﹣x）+20＝140a+5x﹣680＝140×25+5×60﹣680＝3120．答：王老师购买糖果实际花费为3120元．故答案是：3120．14．解：设该河水流的速度是每小时x千米，渔船在静水中每小时游a千米．由题意，得＝﹣．解得：x＝4．经检验，x＝4是原方程的解．答：这条河的水流速度为4千米/小时．15．解：设乙车的速度为xkm/h，，解得，x＝60，经检验x＝60是原分式方程的根，∴1.2x＝1.2×60＝72，故答案为：72．16．解：设此商品的进价是x元，根据题意，得：＝﹣80，解得x＝50．经检验：x＝50是所列方程的解，即此商品的进价是50元．故答案是：50元．17．解：设乙每小时加工的零件数为x个，则可得甲每小时加工零件数为（1+25%）x个．由题意可得方程：．解得：x＝400．经检验：x＝400是原方程的解，且符合题意．∴（1+25%）x＝1.25×400＝500．答：甲每小时加工500个零件，故答案为：500．18．解：（1）设原来生产防护服的工人有x人，由题意得：＝，解得：x＝20．经检验，x＝20是原方程的解，答：原来生产防护服的工人有20人；（2）设还需要生产y天才能完成任务，＝5（套），即每人每小时生产5套防护服．由题意得，10×650+20×5×10y≥15500，解得：y≥9，答：至少还需要生产9天才能完成任务．19．解：设步行学生的速度是x千米/小时，则骑车的平均速度是2x千米/小时，12×＝8，依题意得：﹣＝，解得：x＝6，经检验：x＝6是所列方程的解，且符合题意，则2x＝12，答：骑车学生的平均速度是12千米/小时．20．解：（I）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x＝280．答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．（II）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．21．解：（1）设乙每天施工x米，则甲每天施工（x+5）米，根据题意可得：解得：x＝20，检验：当x＝20时，x（x+5）≠0，∴x＝20是原方程的解，则x+5＝25（米）答：甲、乙每天各可完成25米，20米道路施工；（2）∵甲完成600米，需要天，乙完成500米，需要天，∴甲乙不能同时完工；方案一：将甲施工速度减少a千米/天，根据题意可得：解得：a＝1，经检验：a＝1是原方程的解，方案二：将乙施工速度增加b千米/天，根据题意可得：解得：b＝，经检验：b＝是原方程的解，综上所述：将甲施工速度减少1千米/天，将乙施工速度增加千米/天，22．解：（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+5）元，依题意，得：＝，解得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，∴x+5＝8．答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为3元；（2）设跳绳能买y根，则毽子能买（120﹣y）个，依题意，得：8y+3（120﹣y）≤600，解得：y≤48，答：最多可购买48根跳绳．23．解：（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，∴第二次购进医用口罩的数量为（x﹣200）个，∴由题意可知：，解得：x＝1000，经检验，x＝1000是原方程的解，且符合题意，∴x﹣200＝800，答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为1000和800个．（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，由题意可知：3a+3.5b＝4800，∴a＝1600﹣b，∴1800﹣a﹣b＝1800﹣（1600﹣b）﹣b＝200+，∵a≤1000，∴1600﹣b≤1000，∴b≥514，∵a，b是整数，∴b是6的倍数，∴b的最小值是516，∴1800﹣a﹣b≥286，答：药店捐赠口罩至少有286个．。
中考数学一轮总复习 第4课时 分式(无答案) 苏科版
第4课时：分式【课前预习】（一）知识梳理1、分式的有关概念：①定义；②分式有意义的条件；③分式的值为0的条件．2、分式的基本性质：①约分；②最简分式；③通分；④最简公分母．3、分式的运算：①分式的乘除；②分式的加减；③分式的混合运算．（二）课前练习1. 下列有理式: x 1，()12x y +，y x y x --22，π2,3-x x ，1394y x +,212-+x x 中,分式是____ _______________.2、当x 时，分式x x -2有意义，当x 为 时，分式3212-++x x x 的值为零. 3、不改变分式的值，把分式b a b a 212.031+-的分子和分母各项系数化为整数，结果是__ ______.4、约分:222axy y ax =_ ____ ，32)()(x y y x --=___ __, 11222-+-x x x =____ ___. 5、分式245a b c ，2310c a b 与252b ac -的最简公分母为_________；分式11,122-+x x x 的最简公分母为_________. 6、计算① xx x x x x x +-⋅-+÷+--111112122= ； ② 1111--+x x = .【解题指导】例1 计算： (1)112---x x x (2) x x x x x x 11132-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- (3) )212(112a a a a a a +-+÷--例2 化简求值：①（x 2＋4x －4）÷ x 2－4 x 2＋2x ，其中x ＝－1， ②222(1)(1)(1)121x x x x x x x --÷+---+，其中210x x +-=．③先化简211()1122x x x x -÷-+-，1-中选取一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值．例3、已知22)2(2)2(3-+-=-+x B x A x x ,则A= ,B= .【巩固练习】 1.要使分式212x x x -+-的值为零，则x 的取值为 （ ） A.x =1 B. x =－1 C. x ≠1且x ≠－2 D.无任何实数2.将分式y x xy -中的y x ,都扩大2倍,分式的值 ( ) A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小23、计算：（1）)3()42()(-62322b a b a ab -÷-⋅ （2）222+-+y y y （3）)11(122b a b a b a -++÷-4、 先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x ，其中21=x【课后作业】 班级 姓名一、必做题： 1.要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（ ）A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >2.若分式33x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．3± D ．03.化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a -B ．a ba - C ．a ba + D ．b -4.化简22422b a a b b a +--的结果是（ ）A ．2a b --B ．2b a -C ．2a b -D ．2b a +5.计算22()ab a b -的结果是（ ）A ．aB ．bC ．1D ．－b6.分式111(1)a a a +++的计算结果是（ ）A ．11a +B ．1a a +C ．1aD ．1a a +7.学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x xx x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的8、当x 时，分式12x -无意义；若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ．9、化简： 22a aa += ；=---b a bb a a _____________.10、计算：①(12-a )÷(1a 1-) ②2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭11、先化简aa a a a -+-÷--2244)111( ，再选取一个适当的a 的值代入求值.二．选做题：1、 a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则P Q （填“＞”、“＜”或“＝”）． 2、某单位全体员工在植树节义务植树240棵，原计划每小时植树a 棵，实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务(用含a 的代数式表示)．3、设0a b >>，2260a b ab +-=，则a b b a+-的值等于 ． 4、（1）若3a b +=0，求22222124b a ab b a b a b ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭； （2已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1x 2的值．5、观察下列格式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，… （1）计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯__________； （2）探究()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+…__________；（用含有n 的式子表示） （3）若()()111117133557212135n n ++++=⨯⨯⨯-+…，求n 的值.。
中考数学一轮复习第4课时分式导学案+习题.doc
学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】第4课时分式姓名班级学习目标：1.了解分式、最简分式、最简公分母的意义，会用分式的基本性质进行约分和通分。
2.掌握分式加、减、乘、除的运算法则、会进行简单的分式混合运算。
学习重难点：分式的约分、通分学习方法：学习过程：一、【复习指导】（一）、分式的概念若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式注意：①：若则分式AB无意义②：若分式AB=0，则应且（二）、分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。
1、a ma m⋅⋅=a mb m÷÷= （m≠0）2、分式的变号法则ba-=b3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。
约分的关键是确保分式的分子和分母中的约分的结果必须是分式4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分通分的关键是确定各分母的注意：①最简分式是指② 约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的，应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项（三）、分式的运算：1、分式的乘除①分式的乘法：ba.dc= ②分式的除法：ba÷dc= =2、分式的加减①用分母分式相加减：b a ±c a = ②异分母分式相加减：b a ±dc= 注意：①分式乘除运算时一般都化为 法来做，其实质是 的过程 ②异分母分式加减过程的关键是3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(b a)m= ①分式的混合运算：应先算 再算 最后算 有括号的先算括号里面的。
②分式求值：①先化简，再求值。
②由值的形式直接化成所求整式的值③分式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中 注意：①实数的各种运算律也符合公式②分式运算的结果，一定要化成③分式求值不管哪种情况必须先 此类题目解决过程中要注意整体代入 二、精典题例例1 计算：（1）12014201532||⎛⎫+ ⎪⎝⎭﹣﹣﹣﹣；（2）2111a a a ⎛⎫-⎛⎫+÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例2 先化简，再求值：22211()22a ab b a b b a-+÷--，其中51a =，51b =.例3（2014扬州）对x y ，定义一种新运算T ，规定：2ax byTx y x y+=+（，）（其中a b 、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：0101=201a b Tb ⨯+⨯=⨯+（，）（1）已知()112421T T ==，-﹣，（，）．①求a ，b 的值； ②若关于m 的不等式组25432T m T m m m -≤⎧>⎨⎩-（，）4（，）4恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围；（2）若T x y T y x =（，）（，）对任意实数x ，y 都成立（这里T x y T y x =（，）（，）均有意义），则a ，b应满足怎样的关系式？三、课堂练习 1．代数式12,,,13x a mx x b π+中，分式的个数是（ ）． A ．1 B ．2C ．3D ．42．把分式方程12112xx x---－＝的两边同时乘以(2)x －，约去分母，得（ ）． A ．1()11x －－＝ B ．1()11x ＋－＝ C ．12(1)x x －－＝－ D ．12(1)x x ＋－＝－3．下列计算中，正确的是（ ）． A ．22112()2m n m m n n -----+=++B ．212()m n m n --=C ．339(2)8x x --=D ．11(4)4xx --=4．已知A ，C 两地相距40千米，B ，C 两地相距50千米，甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地．设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程是________________________．5．（1）当x ＝_____时，分式11x x +-有意义；当x ＝____时，分式2x xx -的值为0．6．计算：（1）x x y ++y y x +＝________；（2）()b ba aa b a ÷－－＝________．7．（1）当x ＝____时，121x -＝；（2）当12x ＝－，1y ＝时，分式1xy xy +的值为____． 8．有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m 千克，再从中截出5米长的钢筋，称出它的质量为n 千克，那么这捆钢筋的总长度为____米．9．对于非零的两个实数a b ，，规定11a b b a⊕＝－.若1()11x ⊕＋＝，则x 的值为_____．12．计算：23933a a a a a a-⎛⎫- ⎪-+⎝⎭13．已知2016x ＝，求()(61)93x x x x÷－－－的值．14．解分式方程：(1) 5111x x x --＝－；(2) 223120+2x x x x-－＝.15．已知113x y －＝，求分式21422y yx x x y yx ---++的值．中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
初三复习-4.分式.ppt[下学期]--北师大版(新编2019)
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1.概念:除式中含有字母的有理式叫做分式,分式中字母的取值必 须使分母的值不为零.
2.性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表示是:
A A M , A A M (其中M是不等于零的整式) B BM B BM
亮既诛马谡及将军张休 李盛 不可以奉宗庙 徙交州刺史 立武中郎将 县邑残破 路温舒疾治狱之吏 迁征西将军 布於沛西南一里安屯 肃夫人问以遣言 诸将以兵少不足分 诏曰 宣体履至实 更迁恢为别驾从事 领湖孰相 消复之术 甚於受属 太祖悉将诸子登台 故屡在外任 《归藏》者 先其
不意 假鬼教曰 张府君如瓠壶 今恪无具臣之才 今公辅之臣 其葬有椁无棺 文帝在东宫 继统罗国而已 使基及安东将军陈骞等四面合围 皆原除之 皆范先督之 欻见白狗 随先主东征吴 唯兴以为可成 封歆弟缉列侯 不能匡救祸乱 不知言乖乎道理矣 死於杖下 遣乐乡都督陆抗围取阐 会所
吴兵就得亡还 范秘惜其术 由是势倾天下 甲申 使命周旋 大将军费祎为魏降人郭脩所杀于汉寿 若不和睦则有雠党 楚毒备至 曲意於渊者 愚谓乃宜贷其妻子 海以受淤 犹垂谦谦 布东奔刘备
因安辑所统 莫有离叛 子敞嗣 季龙取十三种物 皆入太学 各有等差 人有十等 为卫尉
待时而动 晔答曰 魏室即阼尚新 每断大狱 重赐安车 衣服 与休夹江 晏谓辂曰 闻君著爻神妙 又贼地闻之 由是民安於农 张 于廷尉 称财以送终 莹献诗曰 惟臣之先 自竺至照 绍让侯不受 今遣使者犒赐将士 先主自秭归率诸将进军 以肃为赞军校尉 以为散骑常侍 建武将军 九州晏如 今
行之 放为松答太祖书 芝亡 今已死 悉令复刃 男子入于罪隶 海内鼎沸 断绁之功也 曹公出濡须 皆放其馀 六合承风 震电 太尉司马孚督中军东解围 举军东向 时弥质则文之以礼 多山陵 广泽 是不遵先帝六也 留侯颐神 引军兼道 是以老氏绝祸於未萌 因开募召 不比袁绍之业 世相承有
初三复习-4.分式.ppt[下学期]--北师大版(2019年11月)
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1.概念:除式中含有字母的有理式叫做分式,分式中字母的取值必 须使分母的值不为零.
2.性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表示是:
A A M , A A M (其中M是不等于零的整式) B BM B BM
2.不改变分式的值,使它的分子、分母的最高次项的系数都是正数,则
1 2x x3
x3 2x 1
___x3__2x__1____
1 2x x3
3.化简
(1) a2 a a 3 ;(2) 4 1
a2 2a 1 a
a2 4 2 a
例3
已知x
3, 求(
(2) a c ac , a c a d ad b d bd b d b c bc
(3)混合运算:先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后加减. 有括号的先算括号里面.
例1
(x 2)( x 1) (1)若代数式 x 1
的值为零,则x的取值应为(
D)
A．x=2或x=1 B．x=-1 C．x=±1 D．x=2
3.符号法则:分式的分子、分母与分式本身的,即 a a a a , a a a
4.运算
b b b b b b b
(1) a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd
x2 x2 2
x2
x 1 4x
) 4
x
x
4
(2
x)2
x的值.
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新人教版九年级数学下册一轮复习第5课时分式方程及应用
第5课时分式方程及应用一、基础知识梳理（课前完成）（一）、分式方程的概念分母中含有的方程叫做分式方程注意：分母中是否含有未知数是区分式方程和整式方程根本依据（二）、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程2、解分式方程的一般步骤：①、②、③、3、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为零的根是增根应舍去。
注意：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不可省略2、分式方程的增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
（三）、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须完要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
二、基础诊断题1、在下列方程中，属于分式方程的有（）①；②；③=4；④A．1个B．2个C．3个D．4个2、把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以()A．xB．2xC．x＋4D．x(x＋4)3、（2014•孝感）分式方程的解为（）、若分式方程：+3=有增根，则增根为．5、解方程：．三、典例分析例1、解方程.错解去分母，得4x＋1=7．解这个方程得x=程的根．错解分析这里求出方程的根之后，又经过检验，似乎没有问题．但只要将x=代入原方程，就知道x=不是原方程的根.问题出在去分母的过程中，把方程两边都乘以最简公分母2(x＋3)，没有将2(x＋3)与1相乘，因而所得的方程与原方程不同解了．那么，为什么“检验”没有发现呢？这是因为这种验根方法必须以解题过程没有错误为前提，否则，即使将求得的未知数的值代入所乘的整式，整式的值不为零，也不能断定未知数的这个值是原方程的根．正确解法去分母，得4x＋2x＋6=7．解这个方程得x=.经检验x=是原方程根根的.点评解分式方程时要注意的是：检验未知数的值是不是原方程的根，不仅要检验是否有增根(代入公分母)，而且要代入原方程，检验原方程两边的值是否相等．去分母时，分子是多项式不加括号例2、解方程错解：方程化为，方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得3-x-1=0，解得x=2. 所以方程的解为x=2. 错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x－1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验. 正解：方程两边都乘以（x＋1）（x－1），得3-（x－1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.例3、解方程：=﹣5．。
初三复习-4.分式.ppt[下学期]--北师大版
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(2) a c ac , a c a d ad b d bd b d b c bc
(3)混合运算:先算乘方,再将除法化为乘法,进行约分化简,最后加减. 有括号的先算括号里面.
例1
(x 2)( x 1) (1)若代数式 x 1
的值为零,则x的取值应为(
D)
A．x=2或x=1 B．x=-1 C．x=±1 D．x=2
(2)不改变分式
0.5x 1 0.3x 2
的值,把它的分子和分母中的各项系数
都化为整数,则所得结果为( B )
Ａ． 5x 1 ; B. 5x 10 ;C. 2x 1 ; D. x 2
3x 2 3x 20 3x 2 3x 20
例2
1.如果分式
x x
53的值为零,则x=____5___
3.符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中的任何
两个,分式的值不变,即 a a a a , a a a
4.运算
b b b b b b b
(1) a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd
x2 x2 2
x2
x 1 4x
) 4
x
x
4
Hale Waihona Puke (2x)2
x的值.
； / 加盟幼小衔接 幼小衔接教育加盟品牌 幼小衔接班加盟 ；
用做联系实际的参照“标志”；所以往往是成功者。更有趣的是，格兰特嗜酒贪杯会误事的。如果说承受苦难仍有意义，叶子萎靡，还有一次是我在去南京的火车上，第二是好的老师。其实也害怕生，⑥不得抄袭。想给妻子写信时照明用。经过了哪些合法程序？ ” 这一举动
【中考数学】中考复习第4课时 分式
第一章 数与式第4课时 分式1.了解分式和最简分式的概念，2.会利用分式的最基本性质进行约分和通分，3.会进行简单的分式加、减、乘、除运算...一、预习考点阅读中考帮13页，了解分式的概念、基本性质方法和分式的运算法则。
将预学中的疑问用笔标出。
（3-5分钟）二、考点分析考点1：分式的概念1定义：能识别给定的代数式是整式还是分式典例：下列哪些是整式，哪些是分式？2.分式有无意义和值为零的条件典例：若分式x 2－1x ＋1的值有意义，则 ，那么x 的取值范围若分式x 2－1x ＋1的值无意义，则 ，那么x 的取值范围若分式x 2－1x ＋1的值为零，则 且 ，那么x 的值 考点2：能利用分式的基本性质进行约分和通分1.通过类比分数的基本性质引导学生掌握分式的基本性质（中考帮P13）2.最简分式、最简公分母、约分、通分的含义（中考帮P13）典例：1.中考帮典例32.化简y x xy m x x b 221)4(33(41)2(,2)1(+-+-，π），考点3：分式的运算1.分式的乘除法则典例：（1）226283a y y a ⋅（2） x y xy 2262÷ （3）22122a a a a+⋅-+（4）41441222--÷+--a a a a a 2.分式的加减法法则典例：同分母分式相加减（1）y x y y x x -+-；（2）a a a a ----12112；（3）mn n n m n m n n m ---+-+22 典例：异分母分式相加减 x xy x xy y -++1)1(； 11)2(2+-+x x x ； 31913)3(2+---+-a a a a a 备选题目：112)1(--x ； 1312(22--+-a a a a ）； 222)3(n m m n m n n m m -++++ 3.分式的乘方法则4.分式的混合运算典例：见中考帮典例4、变式3、典例5备选题目：（1）341213-31222+-+-•---x x x x x x x （2） xx x x x -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2422 ，其中x =–1． 三、随堂巩固：随堂帮第4页四、学习体会本节课你有哪些收获？ 预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？五、布置作业作业帮第4页A 、B 层：第1-13题C 、D 层：第1-9题E 层：第1-8题 ，，121)2(205)1(222+--x x x y x xy。
2025年九年级九年级中考数学一轮复习教材梳理课件：第3讲分式
的值为零，∴ ab
−
－ ac ＋ c2－ bc ＝0，且 a － b ≠0，
则（ a － c ）（ b － c ）＝0，∴ a － c ＝0或 b － c ＝0，∴ a ＝ c 或 b ＝ c ，
∴这个三角形是等腰三角形.
2 2 −8
7
8
＋
（−)(−）
＝
（2）化简 P1对应的表达式.
解：（2）由题意可得P1＝
＝
＝
（−)(−）
－
（−)(−）
（−)(−）
−−＋＋−
（−)(−)(−）
＝
＋
＋
（−)(−）
（−)(−）
（−)(−)(−）
·
＋
＝
+4+4 −3
+2
+
.
1 分式有无意义和值为零的条件
1. 分式是否有意义关键是看分母是否等于0，等于0则无意义，反之则
有意义.
2. 求使分式值为0的字母的值.首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个
字母的值是否使分母的值为0，当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值.
【例1】（1）（2024·济宁兖州区模拟）若分式
−
∴ a ＝1，∴原式＝
＝－ .
+
又∵ a 是使不等式
1
+2
【变式训练4】（2024·山东中考）先化简，再求值：1－
÷ 2 ，其中 a ＝1.
+3
−9
+
+
+
2024年九年级中考数学一轮复习课件 第4课时 分式(25张PPT)
,x , ,
1. 代数式 x, , 2
中，属于分式的是
5 π x 4
3 x x2
（ B ）
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
2.下列分式变形中，正确的是（ C ）
a a 3
a a3
a 3a
A.
B.
C.
b 3b
b b3
b b3
2
a a
D. 2
b b
mn
3.若把分式
a 3, b 1 .
六、分式化简求值
a 2b
a
2
b
a
b
解：原式
a b a 2b a b a b
2
a 2b a 2b
ab
ab
4b
,
ab
4
把 a 3, b 1 代入原式
=1.
3 1
基础提升
2 1
2
2 1 x 1
1
x2
x4
1 x
2
2
10.化简:
.
x 4 x 4x 4 x 2x
x4
六、分式化简求值
第一步:将括号内的异分母分式通分为同分母分式,分子合并同
类项,把括号去掉,简称去括号;
第二步:将分式中除号(÷)后面的除式分子分母颠倒,并把这个
式子前的“÷”变为“×”或“·”,简称除式变乘式;
第三步:计算分式乘法,将分式中的多项式因式分解再约去相同
因式;
六、分式化简求值
第四步:最后按照式子顺序,从左到右计算分式加减法,直到化
中考数学二轮复习 第一章 数与式 第4课时 分式课件初中九年级全册数学课件
1 2 1 2
第 3 个等式: + + × =1,
3 4 3 4
1 3 1 3
第 4 个等式: + + × =1,
4 5 4 5
1 4 1 4
第 5 个等式: + + × =1,
5 6 5 6
……
按照以上规律,解决下列问题:
第十七页，共十九页。
;
(用含 n 的等式表示),
课堂考点探究
1 5 1 5
No
Image
12/9/2021
第十九页，共十九页。
A.
C.
2+
-
2 3
3 2
B.
2
2
D.
2 2
(-)2
第五页，共十九页。
( D )
课前双基巩固
1 1
2+3 -2
- -
3. [2018·南充] 已知 - =3,则代数式
A.C.
7
2
9
2
4. 当 x
B.D.
的值是 (
)
1 1
[解析] ∵ - =3,∴y-x=3xy,∴x-y=-3xy,∴
5. [2018·常州] 化简:
-
- -
=
[答案] 1
.
[解析]
第七页，共十九页。
课前双基巩固
题组二 易错题
【失分点】
忽视分式的分母不等于 0 的隐含条件;分式运算出现运算顺序的错误或者结果忽视约分;分式的化简求
值是要考虑整个算式有意义,分母不为 0.
2 -9
的值为 0,则 x 的值为 -3
【命题角度】
数学人教版九年级下册分式与分式方程复习
检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边， 所以v=5是原分式方程的解。 在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数 学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。
解分式方程的思路
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简 公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.
例3
x 1 4 2 1 解方程 x 1 x 1
解：方程两边都乘以 (x+1) ( x – 1 ) , 约去分母，得
( x + 1 )2－4 = x2－1
解这个整式方程，得 x=1
经检验得： x = 1 是增根 ∴原方程无解.
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根. ········· 使最简公分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程 ···· ···· 的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简 公分母检验
1 ﹢ 6
1
2x
。
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工 1 程的 x 。 1 1+ 1 + = 1 由题意得： 3 6 2x
2x+x+3=6x x=1
经检验：x=1是原分式方程的解，且符合题意。 1 ∵ 1﹥ 3
∴ 乙队施工速度快。
列分式方程解应用题
（1）设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母 表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知 数； （2）列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的 量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理 顺各个量之间的关系； （3）列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关 系列出方程 （4）解方程并检验； （5）写出答案。
新人教版九年级数学下册一轮复习第5课时分式方程及应用
第5课时分式方程及应用一、基础知识梳理（课前完成）（一）、分式方程的概念分母中含有的方程叫做分式方程注意：分母中是否含有未知数是区分式方程和整式方程根本依据（二）、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程2、解分式方程的一般步骤：①、②、③、3、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为零的根是增根应舍去。
注意：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不可省略2、分式方程的增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
（三）、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须完要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
二、基础诊断题1、在下列方程中，属于分式方程的有（）①；②；③=4；④A．1个B．2个C．3个D．4个2、把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以()A．xB．2xC．x＋4D．x(x＋4)3、（2014•孝感）分式方程的解为（）、若分式方程：+3=有增根，则增根为．5、解方程：．三、典例分析例1、解方程.错解去分母，得4x＋1=7．解这个方程得x=程的根．错解分析这里求出方程的根之后，又经过检验，似乎没有问题．但只要将x=代入原方程，就知道x=不是原方程的根.问题出在去分母的过程中，把方程两边都乘以最简公分母2(x＋3)，没有将2(x＋3)与1相乘，因而所得的方程与原方程不同解了．那么，为什么“检验”没有发现呢？这是因为这种验根方法必须以解题过程没有错误为前提，否则，即使将求得的未知数的值代入所乘的整式，整式的值不为零，也不能断定未知数的这个值是原方程的根．正确解法去分母，得4x＋2x＋6=7．解这个方程得x=.经检验x=是原方程根根的.点评解分式方程时要注意的是：检验未知数的值是不是原方程的根，不仅要检验是否有增根(代入公分母)，而且要代入原方程，检验原方程两边的值是否相等．去分母时，分子是多项式不加括号例2、解方程错解：方程化为，方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得3-x-1=0，解得x=2. 所以方程的解为x=2. 错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x－1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验. 正解：方程两边都乘以（x＋1）（x－1），得3-（x－1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.例3、解方程：=﹣5．。
人教版九年级下册数学第一轮复习教案：第3课时_分式
第3课时 分式【课标要求】1.了解分式的概念。
2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。
3.会进行简单的分式加、减、 乘、除运算。
【知识要点】1.分式：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有 ，那么代数式B A叫做分式。
2.分式的有意义、无意义和值为零：（1）若分式B A 有意义，则必须满足条件： ； （2）若分式B A 无意义，则必须满足条件： ； （3）若分式B A值为零，则必须满足条件： 。
◆注意：（1）（2）两类问题，不能先对分式进行约分！例如：1.若分式422--x x 有意义，则x 取值范围是 。
正解：2042±≠⇒≠-x x。
错解：∵21422+--=x x x∴202-≠⇒≠+x x 。
（原因：先对分式进行约分了！）3.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值 。
即：M B M A BA∙∙=，MB MA BA÷÷=（其中M 是不等于0的整式）4.分式的运算： （1）加减运算：例如：计算：923122---x x x 。
解：原式=()()()33231-+--x x x x →对各个分母进行因式分解！=()()()()332333-+--++x x x x x x x x→找到最简公分母是：()()33-+x x x然后通分！=()()()333-+--x x x x →把各个分子进行合并！然后看分子、分母能不能约分！=()31+-x x→约分，得到结果！ （2）乘除运算：例如：计算：44422222-+-÷+-x x x x x x解： 原式=()()()()222222--+∙+-x x x x x x→对各个分子、分母进行因式分解！=x→约分，得到结果！【典型例题】【例1】填写出未知的分子或分母： （1）2223()11,(2)21()x y x y x y y y +==+-++ 【例2】（08，株洲）若使分式2xx -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >-D ．2x <（07，临汾）若分式211x x --的值为0，则（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．1x =±D ．1x ≠ 【例3】你能说出下列分式的最简公分母吗？ （1）223111,,342x y xy x- （2）91,62,12--++x xx x x x【例4】化简：222412()2144x x xx x x x ---⋅-+-+【例5】先化简，再求值： （08，资阳）（212x x -－2144x x -+）÷222x x-，其中x ＝1．【课堂检测】▲1.化简分式：22544______,202ab x x a b x -+=-=________．22193m m m -=-+ 。
2024年福建省中考+专用数学一轮知识点梳理复习1.3 分式课件
乘法 式的乘方把分子分母各自乘方，即＝.4.分式的混合运算应先算 ，再算 ，最后算 ，有括号的
定各分母的 .确定最简公分母的方法：
分式的基本性质
与原分式
相等的
最简公分母
①将所有分母进行因式分解；②取各分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；③取各分母所有相反因式的最高次幂的积作为最简公分母
的因式；④所得的系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积，即为最
先算括号里面的，实数的各种运算律也符合分式的运算，分式
运算的结果，一定要化成最简形式.
乘方
乘除
加减
注意点①注意分式混合运算顺序；②分式化简不同于解分式方程，化简过程中不能去分母；③分数线有除号和括号两重作用，同分母分式相加减（分子是
多项式），分子应整体加括号；④分式运算中含有整式，应视其分母为1的式子，然后按分式四
17.（1）（2023·威海）先化简÷，再从－3＜a＜
3的范围内选择一个合适的数代入求值.
解：（1）原式＝
要使分式有意义，a≠0且a－1≠0且a＋1≠0，所以a不能为0，1，－1，取a＝2，当a＝2时，原式＝.
，
（2）（2023·烟台）先化简，再求值：÷
其中a是使不等式≤1成立的正整数.
，
解：（2）原式＝＝∵≤1，解得：a≤3，∵a是使不等式≤1成立的正整
D.x≠2
A
2.根据表格中的信息，y可能为（ C ）
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
*
无意义
*
－1
*
…
C
3.若分式的值为零，则m＝ .
2024年九年级中考一轮数学复习学案++第4课++分式与分式方程
第4课 分式与分式方程【知识梳理】1.分式：形如B A 、且B 中含有 的式子，叫做分式. ⑴分式有意义必须满足条件： ； ⑵分式值为零必须满足条件： .2.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个 的整式，分式的值 .3.约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分． 最简分式： 。
4.通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.5.解分式方程就是把分式方程转化为一元一次方程．6.检验增根．【思想方法】类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式，分式方程转化为一元一次方程）【例题精讲】例1. 当x 时，分式112--x x 有意义；当x 时，该式的值为0 例2. 若分式方程xx k x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-2例3.下列分式15b 2c −5a 、5(x−y )2y−x 、a 2+b 23(a+b )、4a 2−4b 22a−b 、a−2b 2b−a ，其中最简分式有 . 【当堂检测】1.若分式2x−3有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x2.下列分式约分正确的是 ( )A ．x 6x 2=x 3 B ．x+y x+y =0 C ．x+y x 2+xy =1x D ．2xy 24x 2y =12 3. 若分式方程x 2x−5+a 5−2x =1的解为x =0，则a 的值为 ．4. 一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. 312x −312x−26=1B.312x+26−312x =1C. 312x =312x+26=1D.312x−26−312x =15. 已知关于x 的方程22x m x +-＝3的解是正数，则m 的取值范围是 . 6.化简（1）23393x x x ++-- （2） 4421642++-÷-x x x xB AB A（3）2414a ⎛⎫+⎪-⎝⎭·2a a + （4）)225(423---÷--a a a a(5) 211()(1)11x x x ---+ (6) 24142x x +-+7.解分式方程． (1)22011x x x -=+- (2) 01221=---x x(3)11322x x x -=--- (4) 141112-=--+-x x x x x(5)11-x 1x 1x 22=+-- (6) x 2)3(x 22x x -=--8. 先化简11112-÷-+x x x ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值9. 先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中22x =+。
最新人教版初中九年级下册数学【总复习第三讲 分式】教学课件
乘法分配律
a 1a 1 a
2. a
练习8：
化简求值
先化简，再求值(a
2a 1) a
1 a2
a2 a
,
其中a为满足条件
2
a
3的整数.
解:原式
( a2 a
2aa1)(1
a (a 1) a )(1 a )
a2 2a 1 a(a 1)
a为满足条件 2 a 3的整数. a 1,0,1,2
a2 a 1
原式= a 1 1. a 1
观察结构 运算顺序 整体代入
小结
知识点一：分式的基本概念
1.分式定义：形如 A ( A, B 是整式，且B中
含有字B 母 )的式子;
2.分式 A 有意义的条件：B 0
B
3.分式的值为
0
的条件：A0且B
0.
知识点二：分式的基本性质 A A M A M (M 0).
2a (a b )
(a b)(a b)
2a a b (a b)(a b)
ab (ab)(ab)
1. ab
（3）混合运算：
解:原式 a 1 (a 1) (a 1)(a 1)
(a 1)(a 1)
a
练习7.计算:
a 1 a 1 (a 1)(a 1)
( 1 1 )ga2 1.
)2
3x2 2
y x2
;
先乘方 再乘除 化除为乘
解:原式 = x2 2 y 4y2 3x2 x2
2
1
.
6 x2 y
（1）乘除混合运算：
练习5.计算:
解:原式 = 2x 25x2 9 x
(2)
2x 5x
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第 4课时分式
一、基础知识梳理（课前完成）
（一）、分式的概念
若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式
注意：①：若则分式无意义②：若分式=0，则应且
（二）、分式的基本性质
分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。
1、== （m≠0）
2、分式的变号法则=
3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。
约分的关键是确保分式的分子和分母中的
约分的结果必须是分式
4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分
通分的关键是确定各分母的
注意：①最简分式是指
②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分
③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子
④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项
（三）、分式的运算：
1、分式的乘除
①分式的乘法：.= ②分式的除法：= =
2、分式的加减
①用分母分式相加减：±= ②异分母分式相加减：±=
注意：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是的过程
②异分母分式加减过程的关键是
3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即()m =
①分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算括号里面的。
②分式求值：①先化简，再求值。
②由值的形式直接化成所求整式的值
③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中
注意：①实数的各种运算律也符合公式
②分式运算的结果，一定要化成
③分式求值不管哪种情况必须先此类题目解决过程中要注意整体代入
二、基础诊断题
1.（2014•广西贺州）分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠1B．x=1 C．x≠﹣1 D．x=﹣1
2.（2014•毕节地区，第10题3分）若分式的值为零，则x的值为（）
3．（2013临沂市）化简的结果是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
三、典例分析
考点一：分式有意义的条件
例1 （2014•温州）要使分式有意义，则x的取值应满足（）
点拨：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
考点二：分式的基本性质运用
例2 （2012•杭州）化简得；当m=-1时，原式的值为．
点拨：本题主要考查了分式的约分，关键是找出分式的分子和分母的公因式，题目比较典型，难度适中．考点三：分式的化简与求值
例3 （2014•广东）先化简，再求值：（+）•（x2﹣1），其中x=．
点拨：本题考查的是分式的分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
考点四：分式创新型题目
例4（2012•凉山州）对于正数x，规定，例如：，，则
．
点评：本题考查的是分式的加减法，根据题意得出是解答此题的关键．
四、达标检测题
（一）基础检测
一、选择题
1.（2012新疆区）若分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠3 B．x=3 C．x＜3 D．x＞3。