2018届浦东区高三一模数学Word版(附解析)

上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷
2017.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5,7}B =，则A B =
2. 不等式
1
1x
<的解集为 3. 已知函数()21f x x =-的反函数是1()f x -，则1(5)f -=
4. 已知向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 的方向上的投影为
5. 已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)1z ⋅=，则||z =
6. 在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是
7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好 有1个二等品的概率为
8. 已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若(1)(4)f a f +≤，则实数a 的取值范围是
9. 已知等比数列11
,,1,93
⋅⋅⋅前n 项和为n S ，则使得2018n S >的n 的最小值为 10. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为23
π
的扇形，则此圆锥的表面积为
11. 已知函数()sin f x x ω=（0ω>），将()f x 的图像向左平移
2π
ω
个单位得到函数()g x 的 图像，令()()()h x f x g x =+，如果存在实数m ，使得对任意的实数x ，都有
()()(1)h m h x h m ≤≤+成立，则ω的最小值为
12. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22
124
x y -=上的两个动点，动
点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、 2F ，使得12||||||PF PF -为定值，则该定值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若实数,x y R ∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩
”的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分又非必要
14. 已知ABC ∆中，2
A π
∠=
，1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的
动点，则BQ CP ⋅的最小值为（ ）
A. 4-
B. 2-
C. 1-
D. 0
15. 某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系kx b y e += （ 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，k 、b 为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小 时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时 A. 22 B. 23 C. 24 D. 33
16. 关于x 的方程2arcsin(cos )0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ，则22212
3x x x ++= （ ）
A. 1
B. 2
C. 2
2
π D. 22π
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =. （1）求异面直线1BC 与1CD 所成的角； （2）求三棱锥1B D AC -的体积.
18. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(2,1)m =，
(cos ,cos cos )n c C a B b A =+，且m n ⊥.
（1）求C ；
（2）若227c b =
，且ABC S ∆=b 的值.
19. 已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n 项和22n S pn n =+（*n N ∈，p R ∈）. （1）求p 的值及{}n a 的通项公式；
（2）在等比数列{}n b 中，21b a =，324b a =+，令(21)
(2)
n
n n
a n k c
b n k =-⎧=⎨=⎩（*k N ∈），
求数列{}n c 的前n 项和n T .
20. 已知椭圆22
22:1x y a b
Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，设点(0,)A b ，
在12AF F ∆中，1223
F AF π
∠=，周长为4+.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点，若直线AB 与AC 的斜率之和为
1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP ∆面积S 的 不同取值范围，讨论AEP ∆存在的个数，并说明理由.
21. 已知函数()f x 的定义域为D ，值域为()f D ，即(){|(),}f D y y f x x D ==∈， 若()f D D ⊆，则称()f x 在D 上封闭.
（1）分别判断函数2017()2017log x
f x x =+，2
()1
x g x x =+在(0,1)上是否封闭，说明理由；
（2）函数()f x k =的定义域为[,]D a b =，且存在反函数1()y f x -=，若函数()f x
在D 上封闭，且函数1()f x -在()f D 上也封闭，求实数k 的取值范围；
（3）已知函数()f x 的定义域为D ，对任意,x y D ∈，若x y ≠，有()()f x f y ≠恒成立， 则称()f x 在D 上是单射，已知函数()f x 在D 上封闭且单射，并且满足()x f D D ，其中
1()(())n n f x f f x +=（*n N ∈），1()()f x f x =，证明：存在D 的真子集， n D 1n D - ⋅⋅⋅ 3D 2D 1D D ，使得()f x 在所有i D （1,2,3,,i n =⋅⋅⋅）上封闭.
参考答案
一. 填空题
1. {}1,3
2. (,0)(1,)-∞+∞
3. 3
4. 1-
5.
1
2
6. 80
7. 16
33
8. []5,3- 9. 10 10. 36π 11. π 12.
二. 选择题
13. B 14.B 15. C 16. B
三. 解答题
17.（1）
11
//AD BC
1AD C ∴∠是异面直线1BC 与1CD 所成的角或其补角.2分
在等腰1ACD ∆中，11AC CD AD ==
易得1CD A ∠=
……………………4分
即：异面直线1BC 与1CD 所成的角……………………1分
（2）11B D AC D ABC V V --=……………………4分
111
(12)1323
=⨯⨯⨯⨯=……………………3分 18. （1）由m n ⊥，∴2cos cos cos 0c C a B b A ++=，……………………2分
由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，……2分 ∴()2sin cos sin 0C C A B ++=；
2sin cos sin 0C C C +=；
由sin 0C ≠，∴1
cos 2
C =-，……………………2分 ∴23
C π
=
；……………………1分 （2）由2
2
2
2cos c a b ab C =+-，∴2
2
2
72cos b a b ab C =+-，
∴2
2
60a ab b +-=，∴2a b =；……………………4分
由ABC S ∆=1
sin 2
ab C =122b b ⋅⋅=，……………2分 ∴2b =.……………………1分
19. （1）
22n S pn n =+
*2,22,2
n p a n N pn p n +⎧∴=∈⎨-+≥⎩
*22,n a pn p n N ∴=-+∈……………………3分
122n n a a p +∴-==
1p ∴=， 122)1(3+=-+=n n a n ……………………3分
（2）∵21323,49b a b a ===+=，
∴3=q ，2
212333n n n n b b q
---==⨯=，……………………2分 当*
2,n k k N =∈时，1234212n k k T a b a b a b -=++++++
1321242(+)()k k a a a b b b -=++++++
21
(37+4-1)(3273
)
k k -=++
+++
+
(341)3(19)3(91)(21)2198k
k k k k k +---=+=++
- (1)3(31)
28
n n n +-=+……………………3分
当*
21,n k k N =-∈时，1n +是偶数，
111(1)(2)3(31)T T 328n n
n n n n n b +++++-=-=+-
(1)(2)33
28
n n n ++-=+
**(1)3(31)
;2,28
(1)(2)33;21,28n n n
n n n k k N T n n n k k N ⎧+-+=∈⎪⎪∴=⎨++-⎪+=-∈⎪⎩
……………………3分 20. （1）由1223F AF π∠=
得：13
F AO π
∠=
，所以23a b c ==………① 又12AF F ∆
周长为4+，
所以224a c +=+………②
解①②方程组，得2
1
a b =⎧⎨
=⎩ 所以椭圆方程为2
214
x y +=………………………4分
（2）设直线l 方程：y kx m =+，交点1122(,),(,)B x y C x y
222
22
(14)84(1)044
y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩………………………1分 212122284(1)
,1414km m x x x x k k -+=-⋅=
++
…………………………1分 1212
11,AB AC y y k k x x --=
= ………………………………………1分 依题：1AB
AC k k +=-即：
1212
11
1y y x x --+=-…………………………1分 1122,,y kx m y kx m =+=+
12121212
1112(1)1kx m kx m x x
k m x x x x +-+-++=-⇒+-=-⋅ 21m k ⇒=-- ……………………………………………………………1分
21y kx m kx k ∴=+=--过定点(2,1)-…………………………………………1分
（3）:10AE l x y +-=
，(0,1),(2,1),A E AE -=………………………1分
设直线:l y x t =-+与椭圆2
214
x y +=相切，
2222
521041
4
0y x t
x tx t x y t =-+⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩∆=⇒=……………………1分 得两切线到:10AE l x y +-=
的距离分别为12d d =
=
(
)1
112AEP d S ∆=⋅=
(
)2
112AEP d
S ∆=⋅=………………………1分
当1AEP S ∆>+时，AEP ∆个数为0个
当1AEP S ∆=+时，AEP ∆个数为1个
当11AEP S ∆<<时，AEP ∆个数为2个
当1AEP S ∆=时，AEP ∆个数为3个
当01AEP S ∆<时，AEP ∆个数为4个……………………3分
21. （1）因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，值域为(,)-∞+∞，（取一个具体例子也可）， 所以()f x 在
()0,1上不封闭.…………………………（结论和理由各1分）
1(1,2)t x =+∈2(1)11
()()2(0,)(0,1)2
t g x h t t t t -===+-∈⊆ ()g x 在()0,1上封闭……………………（结论和理由各1分）
（2）函数()f x 在D 上封闭，则()f D D ⊆.函数
1()f x -在()f D 上封闭，则()D f D ⊆
，
得到：()D f D =.…………………………………………（2分）
(
)f x k 在[],D a b =单调递增.
则(),()f a a f b b ==(
)f x k x ⇔=
=在[)1,-+∞两不等实根．…………（1分）
(){
221g()2110x x x k x k x k ≥-⎛⎫=-++-= ⎪≥⎝⎭
， 故22
(21)4(1)0g(1)0g()0212
2112
k k k k k
k ⎧
⎪+-->⎪-≥⎪≥⎨+⎪>⎪+⎪>-⎩，解得(
5,14k ⎤∈--⎥⎦． …………（3分）
另解：(
)f x k x ⇔=
=在[)1,-+∞
两不等实根．令0)t t =≥
21k t t +=-在[)0,t ∈
+∞有两个不等根，画图，由数形结合可知，(11,04k ⎤+∈-⎥⎦
解得(
5,14
k ⎤∈--⎥⎦
．
（3）如果()f D D =，则()n f D D =，与题干()n f D D ≠
⊂矛盾.
因此()f D D ≠
⊂，取1
()D f D =，则1D D ≠
⊂.…………………………（2分）
接下来证明11()f D D ≠
⊂，因为()f x 是单射，因此取一个1\p D D ∈， 则
p 是唯一的使得()()f x f p =
的根，换句话说
1()()f p f D ∉.……………（2分）
考虑到1\p D D ∈，即{}1\
D D p ⊆，
因为()f x 是单射，则{}()
{}{}111()\()\()\()f D f D p f D f p D f p D ≠
≠
⊂==⊂
这样就有了11()f D D ≠
⊂.………………………………………………（3分）
接着令1()n n D f D +=，并重复上述论证证明1n n D D +≠
⊂.…………（1分）。