两条直线垂直的条件

l1 : A1x பைடு நூலகம் B1 y 0
: A2 x B2 y 0垂直的条件。 l2
和 l2 都不与坐标轴平行或重合 假定 l1 当 l1 l2 时，通过坐标原点作直线 l1 l1 l2 则有 l1 l2 l2 y 和 l2 上，分别 在直线 l1 取两点 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 )
同样可证明与直线y=kx+b(k 0)垂直的直 线方程表示为？
1 y x b1 k
• 变式1:求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直 的直线方程.
X-2y=0
• 变式2:已知直线ax+(1-a)y-3=0与 直线(a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直,求a的值.
a=1或-3
A1 A2 y1 x1 , y2 x2 B1 B2 A1 A2 x1 x2 (1 )0 B1 B2
A1 A2 1 0 B1 B2
因此
即 A1 A2 B1B2 0
由于上面推导的每一步都是 可逆的因此可以证明直线 l1 l2 从而也就证明了直线 l1 l2
例3 已知A（5，－1），B（1，1）， C（2，3），试判断△ABC的形状.并求 AB边上的高所在的直线方程
y B
o A x
C
课堂练习
1.如果直线ax+y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直, 则a = -1 . 2.已知点A（m，1），B（-3，4）C（1，m）， D（－1，m＋1）若直线AB与CD垂直.求实数m的 值: -9/2 3 3.已知直线l1的斜率为k1 , 直线l2过点A(3a, -2), 4 B(0, a 2 1), 且l1 l2，则a 1或3
已知两条直线： l : A x B y C 0 1 1 1 1
l2 : A2 x B2 y C2 0
我们来研究两条直线垂直的条件: 因为直线 l1 与直线 A1x B1 y 0 平行或重合， 直线 l2 与直线 A2 x B2 y 0 平行或重合， 因此研究 l1 和 l2垂直时，可转化为研究直线
则有 l1 l2 k1k2 1
例1、判断下列各组中的两条直线是否垂直： （1）2x-4y-7=0与2x+y-5=0
1 （2）y=3x+1与y=- x+5 3
（3）2x=7与3y-5=0
例2、求证：直线Ax+By+C1=0与直线 Bx-Ay+C2=0垂直 一般地，我们可以把与直线Ax+By+C=0 垂直的直线方程表示为？Bx-Ay+D=0
和 l2 中有一条直线与坐标轴平行或重合 假定 l1 也有同样的结论，请同学们验证。
反过来，有条件 A1 A2 B1B2 0 也可以推出 l1 l2
根据上述分析可得结论
l1 l2 A1 A2 B1B2 0
A1 A2 如果B1B2 0，则l1的斜率k1 , l2的斜率k2 B1 B2
由勾股定理得：
2 1 2 1 2 2 2 2 2
l2 l1
x
l1
A O B
l2
2
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
化简得：
x1x2 y1 y2 0
由假定知 B1 0, B2 0
※
代入 ※ 得：
因此
因为A,B都不在y轴上，所以 x1 x2 0
两条直线互相垂直的判定程序
两 条 直 线 方 程
求 它 们 的 斜 率
一个斜率为 0， 一个斜率不存在
k1.k2= - 1
垂 直
垂直 不垂直
k1.k2≠ - 1
作业: P87练习A：1、2，3，4. P87习题B: 1、2，3，4.