数学高一必修1 第三章1 正整数指数函数 课时作业

[学业水平训练]
1．下列函数中，正整数指数函数的个数为( )
①y ＝1x ；②y ＝－2x ；③y ＝(－8)x .
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选A.根据正整数指数函数的解析式特征可知，y ＝1x 的底数等于1，不是正整数指数函数；y ＝－2x 的系数等于－1，不是正整数指数函数；y ＝(－8)x 的底数－8小于0，不是正整数指数函数．
2．已知正整数指数函数f (x )＝(a －2)a x ，则f (2)＝( )
A ．2
B ．3
C ．9
D ．16
解析：选C.由题意a －2＝1，则a ＝3，所以f (x )＝3x ，x ∈N ＋，所以f (2)＝32＝9.
3．某企业各年总产值预计以10%的速度增长，若2012年该企业总产值为1 000万元，则2015年该企业全年总产值为( )
A ．1 331万元
B ．1 320万元
C ．1 310万元
D ．1 300万元
解析：选A.易知1 000(1＋10%)3＝1 331.
4．函数y ＝⎝⎛⎭⎫38x ，x ∈N ＋是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．增函数
D ．减函数
解析：选D.因为正整数指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫38x ，x ∈N ＋的底数38
小于1，所以此函数是减函数． 5．函数y ＝5x ，x ∈N ＋的值域是( )
A ．R
B ．N ＋
C ．N
D ．{5,52,53,54，…}
解析：选D.因为函数y ＝5x ，x ∈N ＋的定义域为正整数集N ＋.图像如图所示，所以当自变量x 取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y 依次是5,52,53,54，….因此，函数y ＝5x ，x ∈N ＋的值域是{5,52,53,54，…}．
6．一种产品的成本原来是a 元，今后计划使成本每年比上一年降低p %，则成本随经过年数变化的函数关系式为________．
解析：经过1年成本为a (1－p %)，
经过2年成本为a (1－p %)2，
…
经过x (x ∈N ＋)年成本为a (1－p %)x .
答案：y ＝a (1－p %)x (x ∈N ＋)
7．不等式⎝⎛⎭
⎫133－x 2<32x (x ∈N ＋)的解集是________． 解析：由⎝⎛⎭⎫133－x 2<32x 得3x 2－3<32x .
∵函数y ＝3x ，x ∈N ＋为增函数，
∴x 2－3<2x ，即x 2－2x －3<0，
∴(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3.
又∵x ∈N ＋，∴x ＝1或x ＝2.
答案：{1,2}
8．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失20%，把几块相同的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为1，通过x 块玻璃板后的强度为y ，则y 关于x 的函数关系式为________．
解析：当x ＝1时，y ＝1×(1－0.2)＝0.8；
当x ＝2时，y ＝0.8×(1－0.2)＝0.82；
当x ＝3时，y ＝0.82×(1－0.2)＝0.83；
…
∴y ＝0.8x (x ∈N ＋)．
答案：y ＝0.8x (x ∈N ＋)
9．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.
(1)写出这种物质的剩留量y 随时间x (x ∈N ＋)变化的函数关系式；
(2)画出该函数的图像；
(3)说明该函数的单调性；
(4)从图像上求出经过多少年，剩留量是原来的一半．
解：(1)设这种物质最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y ，由题意得
经过1年，剩留量y ＝1×84%＝0.841；
经过2年，剩留量y ＝1×84%×84%＝0.842；
…
一般地，经过x 年，剩留量y 随时间x 变化的函数关系式为y ＝0.84x (x ∈N ＋)．
(2)根据函数关系式列表如下：
x
1 2 3 4 5 y 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42
用描点法画出指数函数y ＝0.84x (x ∈N ＋)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和观察图像可知，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数．
(4)从图上看出y ＝0.5，只需x ≈4.
即约经过4年，剩留量是原来的一半．
10．已知不等式(a 2＋a ＋2)2x ＞(a 2＋a ＋2)x ＋
8，其中x ∈N ＋，求使不等式成立的x 的最小整数值．
解：∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74
＞1，且x ∈N ＋，∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时
单调递增的性质，得2x ＞x ＋8，即x ＞8，∴使此不等式成立的x 的最小整数值为9.
[高考水平训练]
1．已知函数f (x )＝a x (a >1，x ∈N ＋)，g (x )＝b x (b >1，x ∈N ＋)，当f (x 1)＝g (x 2)＝4时，有x 1>x 2，则a ，b 的大小关系是( )
A ．a <b
B ．a ≤b
C ．a >b
D ．不能确定a 、b 的关系
解析：选A.由f (x 1)＝g (x 2)＝4，x 1>x 2，且a >1，b >1，可知f (x )＝a x 比g (x )＝b x 增加得慢，故a <b ，选A.也可以找两个特殊函数y ＝2x 与y ＝4x 来验证．
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1， x ＜4，x 2＋ax ， x ≥4，(x ∈N ＋)，若f (f (2))＝4a ，则实数a 等于________． 解析：∵2＜4，∴f (2)＝22＋1＝5.
∵5＞4，∴f (f (2))＝f (5)＝52＋5a ＝4a ，
∴a ＝－25.
答案：－25
3．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求f (5)；
(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
解：(1)设正整数指数函数为f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x (x ∈N ＋)．
(2)f (5)＝35＝243.
(3)∵f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调增加，
∴f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3；f (x )无最大值．
4．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以出售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)
解：设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果：
①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5；
②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5，
则M N ＝2(1＋10%)5
， 因为(1＋10%)5≈1.61＜2，所以M N
＞1，即M ＞N . 因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．。