浙江省嘉兴市2019-2020学年高三上学期期末考试数学试题及答案

浙江省嘉兴市2019~2020学年第一学期期末检测
高三数学试题卷
（2020.1）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共6页，选择题部分1至3页；非选择题部分4至6页。

满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：
若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋅=⋅
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()()
()10,1,2,,n k
k k
n n P k C p p k n −=−=⋅⋅⋅
台体的体积公式()
121
3
V S S h =
其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高. 柱体的体积公式V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13
V Sh =
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343
V R π=
其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U R =，集合{}|11A x x =−<≤，{}1,1B =−，则()U A C B =（ ）
A. {}|1x x ≠−
B. {}|1x x ≠
C. {}|11x x −<<
D. {}|11x x −≤≤
2. 已知i 是虚数单位，()122z i i +=−，则z =（ ） A. 1
B. 2
C. i
D. 2i
3. 设曲线12x y x +=−在点()1,2−处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则a
b
=（ ） A.
13
B. 13
− C. 3 D. -3
4. 函数()2
2log f x x x =+，则满足(]01,4x ∈，且()0f x 为整数的实数0x 的个数为（ ） A. 3
B. 4
C. 17
D. 18
5. 设,m n R ∈，则“m n >”是“m m n n >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 已知x ，y 满足条件2020240x y y x y −−≤⎧⎪
−≤⎨⎪+−≥⎩
，若z ax y =+的最大值为0，则实数a 的值为（ ）
A. 12
−
B. -2
C.
12
D. 2
7. 如图是某三棱锥的正视图和俯视图（单位：cm ），则该三棱锥侧视图面积是（ ）（单位：2cm ）
A. 2
B.
C.
32
D.
8. 等差数列{}n a 满足：10a >，31047a a =.记12n n n n a a a b ++=，当数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时，
n =（ ）
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
9. 已知A ，B 是椭圆C ：2
213y x +=短轴的两个端点，点O 为坐标原点，点P 是椭圆C 上不同于A ，B 的动点，若直线PA ，PB 分别与直线4x =−交于点M ，N ，则OMN ∆面积的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，ABC ∆中，2AB =，3AC =，BC 边的垂直平分线分别与BC ，AC 交于点D ，E ，若P 是线段DE 上的动点，则PA BC ⋅的值为（ ）
A. 与角A 有关，且与点P 的位置有关
B. 与角A 有关，但与点P 的位置无关
C. 与角A 无关，但与点P 的位置有关
D. 与角A 无关，且与点P 的位置无关
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 已知55sin
,cos 66
P ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______. 12. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同的概率是______；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差
()D ξ=______.
13. 已知213n
x x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n =______；展开式中的
系数最大的项是______.
14. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为4a =，4b =，6c =.I 是ABC ∆内切圆的圆心，若
AI xAB yAC =+，则x =______；y =______.
15. 已知()()1
11
x x a a a f x −=>+，实数1x ，2x 满足()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为______.
16. 已知两定点1,04P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，1,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
位于动直线l 的同侧，集合
{}|,1M l P Q l =点到直线的距离之和等于，()(){},|,,N x y x y l l M =∉∈.则集合N 中的所有点组成
的图形面积是______.
17. 已知矩形ABCD ，4AB =，2BC =，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点.沿直线DE 将ADE ∆翻折成PDE ∆，在点P 从A 至F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为______.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. 设函数()22sin cos 3
x x f x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）若0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()f A =A 为钝角，求sin C 的值. 19. 如图，在四棱柱''''ABCD A B C D −中，底面ABCD 为等腰梯形，1DA AB BC ===，2DC =.平面''DCC D ⊥平面ABCD ，四边形''DCC D 为菱形，'60D DC ∠=︒.
（Ⅰ）求证：'DA BC ⊥；
（Ⅱ）求'DA 与平面''BCC B 所成角的正弦值.
20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()
*21n n S a n N +=∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1
11
11n n n c a a +=
+
+−，n T 为数列{}n c 的前n 项和.求证：123n T n >−. 21. 设点A ，B 的坐标分别为()4,4−，()8,16−，直线AM 和BM 相交于点M ，且AM 和BM 的斜率之差是1.
（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过轨迹C 上的点()00,Q x y ，04y >，作圆D ：()2
224x y +−=的两条切线，分别交x 轴于点
F ，
G .当QFG ∆的面积最小时，求0y 的值.
22. 已知函数()()ln 0f x a x bx c a =++≠有极小值. （Ⅰ）试判断a ，b 的符号，求()f x 的极小值点；
（Ⅱ）设()f x 的极小值为m ，求证：2
44ac b m a a
−+<.
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高三数学参考答案
（2020.1）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1-5：AABCC 6-10：BDCDD
10. 提示：连接AD ，
()
PA BC PD DA BC AD BC ⋅=+⋅=−⋅()()
()
22115
222
AC AB AC AB AC AB =−
+−=−−=−. 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.
12 53π 12. 950 1225 13. 4 5108x 14. 27 3
7
15.
45 16. 4
π
17. 2
17. 提示：设AC ，FC 的中点为M ，N ，CP 的中点G 的轨迹是以MN 为直径的半圆. 三、解答题（本大题共5小题，共74分）
18.（Ⅰ）()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭2
12sin cos sin sin cos 22x x x x x x ⎛⎫=⋅−−=− ⎪ ⎪⎝⎭
)
1cos 2sin 2sin 22232x x x π−⎛
⎫=−
−=−−− ⎪⎝
⎭， 当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，22,333x πππ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦. 当22,323x π
ππ⎡⎤−
∈⎢⎥⎣⎦，即5,122x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 是增函数.
（Ⅱ）在ABC ∆中，由()2
f A =−，得6A π=或23π
.
因为A 为钝角，所以23
A π
=. 由余弦定理得
BC ===.
又由正弦定理
sin sin BC AB
A C
=
，得
21sin
sin sin 14AB A
C BC
π
⨯⋅=
==.
19. 方法一、
（Ⅰ）连接DB 、'BA ，取DC 中点H ，连接'D H 、HB . ∵等腰梯形ABCD 中，1DA AB BC ===，2DC =. ∴60DCB ∠=︒，DB BC ⊥.
又∵在菱形''DCC D 中，'60D DC ∠=︒，∴'D H BC ⊥.
又平面''DCC D ⊥平面ABCD ，交线为DC ，∴'D H ⊥底面ABCD . ∵''////D A DA HB ，''D A DA HB ==， ∴四边形''HBD A 为平行四边形，'//'D H A B . ∴'A B ⊥底面ABCD ，∴'A B BC ⊥， 又∵'A B ，DB 相交，∴BC ⊥平面'A DB ， ∴'BC DA ⊥.
（Ⅱ）取''D C 中点K ，连接AH ，HK ，'KA ，AH ，DB 相交于点O ，连接'A O ，显然平面
'//AHKA 平面''BCC B .
∵BC ⊥平面'A DB ，∴平面''BCC B ⊥平面'A DB ，∴平面'AHKA ⊥平面'A DB ，交线为'A O ，∴
'DA O ∠为'DA 与平面''BCC B 所成角.
∵tan '1'BD DA B BA ∠=
=，1
tan ''2
OB OA B BA ∠==， ∴1t 1121311'2
an DA O −
=
=⨯∠+
，∴sin '10DA O ∠=.
∴'DA 与平面''BCC B
.
方法二、
（Ⅰ）取DC 中点O ，连接'OD .
∵四边形''DCC D 为菱形，'60D DC ∠=︒，∴'OD CD ⊥.
又平面''DCC D ⊥平面ABCD ，交线为DC ，∴'OD ⊥底面ABCD . 以O 为原点如图建立空间直角坐标系，
则()0,1,0D −，()0,1,0C
，1,022A ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭
，1,022B ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，('D .
∴'''DA DA AA DA DD =+=
+(
13,02222⎛⎫⎛=+= ⎪
⎪ ⎝⎭⎝，
1,02BC ⎛⎫
− ⎪ ⎪⎝⎭
=，
∴33
00'44
DA BC =++=⋅−
，∴
'DA BC ⊥. （Ⅱ）(''CC DD ==，设平面''BCC B 的法向量为()
,,m x y
z =，则01
022
y x y ⎧+=
−=⎩，取(
3,3,m =
，cos ,'m DA =
=. ∴
'DA 与平面''
BCC B .
20.（Ⅰ）∵()
*21n n S a n N +=∈，令1n =，得113
a =. 又()11212n n S a n −−+=≥，两式相减，得
11
3
n n a a −=. ∴13n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
（Ⅱ）∵1
11111133n n
n c +=
+
⎛⎫⎛⎫+− ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
1113311231313131
n n n n n n +++=+=−++−+− 11
123131n n +⎛⎫=−− ⎪+−⎝⎭
.
又∵
11313n n <+，1111313n n ++>−，∴11
1233n n n c +⎛⎫>−− ⎪⎝⎭
. ∴223111111
12333333n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫>−−
+−+⋅⋅⋅+− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦ 1
111
22333
n n n +=+
−>−. ∴1
23n T n >−.
21.（1）设(),M x y ，由题意得
416
148
y y x x −−−=++. 化简得点M 的轨迹C 的方程为：()2
48,4x y x x =≠−≠−. （Ⅱ）由点()()000,4Q x y y >所引的切线方程必存在斜率，设为k . 则切线方程为()00y y k x x −=−，即000kx y y kx −+−=.
其与x 轴的交点为00,0kx y k −⎛⎫
⎪⎝⎭
，
而圆心D
到切线的距离2d ==，
整理得：()
()222
0000042240x k x y k y y −+−+−=①，
切线QF 、QG 的斜率分别为1k ，2k ，则1k ，2k 是方程①的两根，
故()()00122
02
00
1220224*44x y k k x y y k k x ⎧−+=⎪−⎪
⎨−⎪⋅=⎪−⎩
， 而切线与x 轴的交点为00,0kx y k −⎛⎫
⎪⎝⎭，故1001,0k x y F k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，2002,0k x y G k ⎛⎫− ⎪⎝⎭
，
又()()000,4Q x y y >，1
2
QFG F G Q S x x y ∆=⋅−⋅， ∴2
1002001200
1212
1122QFG k x y k x y k k S y y k k k k ∆−−−=
⋅−⋅=⋅⋅
0112
2
y y =
=
将()*代入得
12QFG
S y
∆=0=， 而点Q 在()2
48,4x y x x =≠−≠−上，故()2
00044x y y =>，
∴()2
2
00
00442244QFG
y y S y y ∆−+⎡⎤⎣⎦==−−()()2
0004841624y y y ⎡⎤−+−+=⎢⎥−
⎢⎥⎣⎦
001624816324y y ⎛⎫=−++≥= ⎪−⎝
⎭， 当且仅当0
00
16444y y y ⎧
−=⎪−⎨
⎪>⎩，即08y =时等号成立.
11
又2004x y =
，∴0x =±
故当点Q
坐标为()±时，()min 32QFG
S ∆=. 22.（Ⅰ）∵()'a a bx b f x x x
+=+=，0x >. 又函数()()ln 0f x a x bx c a =++≠有极小值点. ∴0b >，0a <，()f x 的极小值点为a b −
. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，a m f b ⎛⎫=− ⎪⎝⎭
， 224444ac b a ac b m a f a a b a −−⎛⎫+−=−+− ⎪⎝⎭ 22ln ln 44a b a b a a c a c a b a b a
⎛⎫⎛⎫=−−++−+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21ln 4a b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
. 令a t b −=，()21ln 4t g t t
=+，0t >. 则()233112'122g t t t t t
−=−=. 令()'0g t =
，得2t =，()g t
在0,2⎛ ⎝⎭
单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增. ∴(
)1ln 0222g t g ⎛⎛≥=+> ⎝⎭⎝⎭
. ∵0a <，∴()0ag t <，∴2
44ac b m a a −+<.。