均值方差分析

B)
(8.11b)
—最小方差证券组合的收益率和其他任意证券组 合（不单是前沿证券组合）的收益率的协方差，总 是同最小方差证券组合收益率的方差相等。
—有效证券组合：在整个证券组合前沿曲线中， 所有那些预期收益率严格大于最小方差证券组合收 益率 A C 的证券组合称之为有效证券组合；
—无效证券组合：那些既不是有效证券组合，又 不是最小方差组合的证券组合称之为无效证券组合。 前沿证券的线性组合也落在证券前沿上。
E[R3 ]
n3
1 u (n) (E[w~])mn (w~) n!
—其中 E[R3] 则表示经济行为主体的预期效用并
不能仅仅由对时期1财富的期望均值和方差这两个
元素完全刻画，而是应该包括泰勒展开式的高阶矩
部分。
（二）均值－方差分析方法的使用条件和范围
—考察未来收益分布为任意分布的情况
a）此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值
—构造一个拉格朗日函数， hp 是以下函数式的
解：
min
{h, , }
L
1 2
hTVh
(E[~rp
]
hT
e)
(1
hT 1)
（其中， 和 是两个正值的常数。）
—求解可得
(8.4)
CE[~rp ] A (8.6) B AE[~rp ] (8.7)
D
D
其中 A 1T V 1e eTV 11
收益率为0的前沿证券组合的权重向量；g w 是
预期收益率为1的前沿证券组合的权重向量。 （二）证券组合前沿
—证券组合前沿：经济中所有的前沿证券组合的 集合，我们称之为证券组合前沿。
—命题：全部证券组合前沿上的证券组合都可以
由两个前沿证券组合 g 和 g w 的线性组合得出。
—更强的命题：整个证券组合前沿可以由任意两 支收益率不同的前沿证券组合得出。
—任意两支前沿证券组合 p 和 q 之间的协方
差为：
Cov(~rp , ~rq )
hpTVhq
C D
(E[~rp ]
A C
)(E[~rq
]
A) C
1 C
(8.11)
（三）均值－方差平面中的前沿组合 —关系式（8.11a）也可以等价地写成
2 (~rp )
1 D
(C(E[~rp ])2
2AE[~rp ]
—在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高 阶矩可以表示为均值和方差的函数，则我们就可以
使用均值－方差分析来考察经济行为主体的效用函 数。
—在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶 及三阶以上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均 值和方差）的函数。因此，E[u(w~)] 就可以完全地由 均值和方差表示。
和方差完全刻画，我们必须假定经济行为主体的效
用函数是一个二次型效用函数，即经济行为主体的
效用函数或以表达为u(z) z (b 2)z2 。
此时 E[R3 ] 0 b）于是经济行为主体的预期效用可以由时期1
的财富变量的两个中心矩来定义
E[u(w~)] E[w~] b ((E[w~])2 2 (w~))
益率的线性组合来表示，即这些证券的随机收益率
是彼此线性独立的。
种—风在险这证种券假的设随的机经收济益中率，。向矩量阵V~r表 (示~rj )JJj1
表示J 种风Βιβλιοθήκη Baidu证
券收益率的方差和协方差矩阵。
V是非奇异的、对称的。
矩阵V是正定的。
（一）前沿证券组合
—前沿证券组合：如果在所有具有相同预期收益
率的证券组合中，有一支证券组合具有最小的方差
值，则这支证券组合就定义为前沿证券组合。
—证券组合p是一支前沿证券组合的充分必要条 件是它的证券组合权重hp 是下面二次规划问题的 解
min 1 hTVh h2
约束条件为 hT e E[~rp ]和 hT 1 1 。 其中：e表示J支风险证券的预期均值组成的向 量，E[~rp ]表示证券组合的预期回报率，1表示分量为 1的J维向量。
2
(8.2)
—二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系 的刻画存在着以下两个主要的缺点：
a）第一，二次型效用函数显示经济行为主体对 于收益或财富具有餍足性，即个体收益的总效用存 在着极大值，超过这点之后，收益增加的边际效用 为负。
b）第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行 为主体行为存在矛盾。
（三）讨论经济行为主体的效用偏好为任意偏好 的情况
B eTV 1e
C 1TV 11
D BC A2
且B＞0，C＞0，并且可以断定D＞0。
—我们可以得出一个预期收益率为
的前沿
证券组合的唯一权重集合：
其中
hp g wE[~rp ]
(8.8)
g 1 D[B(V 11) A(V 1e)]
w 1 D[C(V 1e) A(V 11)]
—从以上（8.8）式人们可以看出， g 是预期
b）第二，对于密度函数的分布来说，均值－方 差分析并没有考虑其偏斜度。
c）最后，仅仅用均值和方差也不能刻画函数分 布中的峭度。
8.2 证券组合前沿
—假定： 在一个无摩擦的经济中有 J 2 支风险证券， 这些证券可以自由地卖空，并且，所有证券的未来 收益率都具有有限的方差和彼此差异的预期均值。
任何一支证券的随机收益率都不能由其他证券收
—这样，如果经济行为主体的任意偏好是在正态 分布的时期1的财富上定义的，并且所有证券未来 收益满足多元正态分布，经济行为主体的效用函数 就都可以由时期1的收益的期望和方差来刻画。
—这种情况下，均值和方差对个体行为描述有相 当大的局限性，主要表现在以下几个方面：
a）第一，资产收益率服从正态分布的假定与现 实中资产未来收益往往偏向正值相矛盾。
（一）用泰勒展开式对均值－方差运用的局限性
进行说明
—随机变量 w~ 是经济行为主体在时期1的全部
收入或财富，其效用函数 u(w~) 在 w~ 的预期值周
围展开可得
E[u(w~)]
u(E[w~])
1 u(E[w~])
2!
2
(w~ )
E[ R3
]
其中u(E[w~])为常数, 2 E(w~ E[w])2
第8章 均值－方差分析
8.1 偏好与分布
—一般来说，仅仅用证券组合的预期回报率和预 期回报率的方差并不能包含经济行为主体投资行为 所需的全部信息。
—但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布 作了相应假设之后证明，经济行为主体的预期效用 能够仅仅表示为证券组合的预期回报率和预期回报 率的方差的函数。
—对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能 仅仅由预期收益（率）和方差这两个元素来描述。 所以均值－方差分析的运用是存在限制条件的。