捕食者被捕食者模型稳定性分析

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被捕食者—捕食者模型稳定性分析

【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方

式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证群食饵-MATLAB 1.2.四、符号说明

)(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量；

)(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量；

1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率；

2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；

1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；

2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；

1σ——单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗

2σ2N )消d 食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是)(t y 满足

bxy dy bx d y t y +-=+-=')()((2)

比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。

方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra 提出的最简单的模型。

下面，我们加入种群自身的阻滞作用，在上两式中加入Logistic 项，即建立以下数学模型：

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛--='22111111)(1N

x N x x r t x σ(3) ⎪

⎫ ⎛21N x N x

图1.数值解)(1t x ，)(2t x 的图形

>>plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

图2.相轨线图形

2σ>0。

七、模型分析与检验

1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：

1)对)0,(11N P 而言，有p =)1(221--σr r ，q =)1(221--σr r ，故当2σ<1时，平衡点)0,(11N P 是稳定的。

意义：如果)0,(11N P 稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。 2)对)1)1(,1)1((

212221112σσσσσσ+-++N N P 而言，有p =2122111)1()1(σσσσ+-++r r ，q =2

121211)1)(1(σσσσ+-+r r ，故当

2σ>1时，平衡点1)

1(,1)1((

2

12221112σσσσσσ+-++N N P 是稳定的。

意义：如果)1)

1(,1)1((

2

12221112σσσσσσ+-++N N P 稳定，则两物种恒稳发展，会互相依存生长下去。

3)对)0,0(3P 而言，由于21r r p +-=，21r r q -=，又有题知1r >0,2r >0,故q <0,即)0,(11N P 是不稳定的。

2.平衡点的检验：

ans=

是稳

定的。

1.是不稳定的，也就是不太可能的，但两种群有一种灭绝一种生存是完全有可能的，两种群共存的可能也是可能的。

2.模型的推广

本文只考虑两物种模型，我们完全可以把此模型推广到三物种的情形。

自然界里长期存在的呈周期变化的生态平衡系统应该是结构稳定的，即系统受到不可避免的干扰而偏离原来的周期轨道后，其内部制约作用会使系统自动回复原状，如恢复原有的周期和振幅，而Volterra 模型描述的周期变化状态却不是结构稳定的。要得到能反映周期变化的结构模型，要

用到极限环的概念

参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊．数学模型,高等教育出版社.2003年

[2]冯杰，黄力伟，王勤.《数学建模原理与案例》科学出版社，2007年1月