工程力学A 单辉祖-第15章(压杆稳定问题)

B0
F l 0 EI
A0
sin
F l0 EI
F l nπ , ( n 1, 2,) EI
n 2 π 2 EI 得 F l2
Fcr－使压杆在微弯条件下保持平衡的最小轴向压力 取n=1于是得
π EI Fcr 2 l
2
欧拉公式
临界状态挠曲轴方程
w A sin
F l nπ , n 1, EI F lπ EI
π 2 EI π 2 E πd 4 65.1 kN Fcr ( l ) 2 ( l ) 2 64
§15-4 压杆稳定条件与合理设计 一、压杆稳定条件
用载荷表示的稳定条件
F Fcr Fst nst
nst－稳定安全因数
F Fst
nst
[Fst]－稳定许用压力
[F] = A[] = 3.92 kN
实际情况？
短粗杆：由强度决定 压杆承载能力 细长杆：由稳定性决定
§15-1 稳定性概念
二、平衡状态的稳定性和不稳定性
不稳定平衡
稳定平衡
随遇平衡
§15-1 稳定性概念
F<F cr cr F F<F F>F F>F cr cr
稳定平衡
不稳定平衡
Fcr：临界载荷（临界力） 失稳（屈曲）：结构或构件失去稳定平衡状态的现象
工程力学A
Engineering Mechanics A
主讲教师：李荣涛
建筑工程学院
College of Civil Engineering and Architecture
第十五章 压杆稳定问题
§15-1 稳定性概念
§15-2 临界荷载的欧拉公式 §15-3 中、小柔度杆的临界应力 §15-4 压杆稳定条件与合理设计
0.7l l
l
0.5l
l
临界力Fcr 长度系数μ
π 2 EI Fcr = 2 l
π 2 EI Fcr = (0.7l)2
π 2 EI Fcrபைடு நூலகம்= (0.5l)2
π 2 EI Fcr = (2l)2
1
0.7
0.5
2
§15-2 临界荷载的欧拉公式
细长压杆临界力的欧拉公式的统一形式
细长杆的承压能力，是由稳定性要求确定的
§15-3 中、小柔度杆的临界应力 一、临界应力与柔度 1. 临界应力的欧拉公式
2
惯性半径
2
2
E 2 E Fcr EI i cr 2 2 l 2 A ( l ) A ( l ) ( ) i 2.压杆的长细比（柔度）
E 2
三、工程实际中的失稳现象
q 钱 学 森
薄壳受外压
薄壁柱壳轴向受压
狭长矩形截面悬臂梁横向受压
土木工程中常见的压杆稳定性问题
§15-1 稳定性概念
思考题
可能发生失稳的杆件？
F<Fcr
F>Fcr
稳定平衡
不稳定平衡
Fcr：临界载荷（临界力） 失稳（屈曲）：结构或构件失去稳定平衡状态的现象
§15-2 临界荷载的欧拉公式
细长杆（大柔度杆）
§15-3 中、小柔度杆的临界应力 Q235钢（A3）： E 206 GPa , p 200 MPa
2E p p
101
Q235钢制成的压杆，欧拉公式适用的柔度范围：
p 101
临界载荷： 临界应力：
2 EI Fcr ( l )2
2E cr 2
2 EI Fcr 2 ( l )
μ —压杆长度因数 μ l—压杆的相当长度
1）仅与材料(E)、截面形状(I)、约束(μ)和长度(l) 有关，与 外部轴向压力的大小无关 ； 2 ）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承载能力的 强弱，临界力Fcr越高，稳定性越好，承载能力越强。
材料相同，直径相等， 最不易失稳？最易失稳？
§15-1 稳定性概念 一、工程背景
§15-1 稳定性概念
构件的承载能力设计
①强度-构件抵抗破坏的能力 ②刚度-构件抵抗变形的能力 ③稳定性-构件保持其原有平衡状态的能力
例如：钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm ; 钢[]=196MPa。 按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力？
（a）
（b）
（ c）
（d）
练习1
30cm钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm; 钢[]=196 MPa，E=200 GPa。 按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为
[F] = A[] = 3.92 kN
EI Fcr (l )2
2
0.02 0.001 3.14 200 10 12 36.5 N 2 (1 0.3)
2 9 3
Fcr [ F ]
例 15-1 图示细长压杆，l = 0.8 m, d =20 mm, E = 200 GPa, σs = 235 MPa，求Fcr = ?
解：
π 2 EI Fcr 2 l
π 2 E πd 4 Fcr 2 24.2 kN 64 l
πd 2 Fs s 73.8 kN 4
木材
28.7
0.19
（3）粗短杆（小柔度杆）
s
强度问题
cr s
四、临界应力总图 临界应力与柔度之间的变化关系图
cr
s
p
对于材料相同的压杆， cr a b 柔度越大，临界力越小， 越易失稳。
2E cr 2
粗短杆 中柔度杆 大柔度杆
o
s P 细长杆—发生弹性失稳 (p) 中长杆—发生弹塑性失稳 (s < p) 粗短杆—不发生失稳，而发生屈服 (< s)
例 15-4 校核斜撑杆的稳定性。F = 12 kN, 杆外经D = 45 mm, 杆内径d = 36 mm, nst = 2.5, 低碳钢Q235制成
σcr=235 MPa-(0.00669 MPa) λ2 ，λp=100
FN
解： （1）计算斜撑杆内力
M A 0,
FN 30.9 kN
( , 材料)


压杆稳定条件
§15-4 压杆稳定条件与合理设计 三、压杆的合理设计
2 EI Fcr 2 ( l )
一、减小压杆长度
在条件允许的情况下， 通过 改变结构 或 增加中 间支承 对提高压杆的稳定 性效果显著。
材料(E)、 截面形状(I)、 约束(μ) 长度(l)
用应力表示的稳定条件 cr st [σst]－稳定许用应力
st
计算Fcr与σcr时, 不必考虑压杆局部削弱的影响
§15-4 压杆稳定条件与合理设计 二、折减系数法
稳定许用应力
st
[]－许用压应力
－折减系数或稳定系数
材料 Q235钢 硅钢 铬钼钢 强铝 铸铁 a(MPa) b(MPa) 304 578 980 373 332.2 1.12 3.744 5.296 2.15 1.454
cr a b
Q235钢： s 235 MPa
a s s 61.6 b
2
2）抛物线型公式：
cr a1 b1
§15-4 压杆稳定条件与合理设计 二、选择合理的截面形状
EI Fcr ( l ) 2
2
压杆的合理截面形状是指在一定截面面积下，尽可能得到 较大的惯性矩I，从而提高临界力。因此，应尽量使材料远离 截面形心。
§15-4 压杆稳定条件与合理设计 三、改善杆端支承情况
EI Fcr ( l ) 2
一、两端铰支细长压杆的临界载荷 方法：使压杆微弯, 再求能 保持其平衡的最小轴向压力 临界载荷公式
微 弯, 且 max p 时
d 2w M ( x ) 2 EI dx M ( x ) Fw d 2w F w0 2 EI dx
注意：M(x) , w － 设正法
w Asin
三、临界应力的经验公式
（1）细长杆（大柔度杆）
2E cr 2
p ( p )
σ
（2）中长杆（中柔度杆）
s p ( p s )
屈服极限 比例极限 σp σs
ε
cr ???
（2）中长杆（中柔度杆）
1）直线型公式：
s p
F F x B cos x (a) EI EI
A, B , F 待定
w A sin
F F x B cos x (a) EI EI
位移边界条件:
由( a )与(1) 由( b )与( 2 )
Asin
x 0 处， w0 x l 处， w0
w A sin
(1) (2)
F x (b) EI
2
杆端约束的刚性 越强，压杆的长度因数μ就越小， 临界力就越大，从而能够使压杆的稳定性得到改善。
四、合理选用材料
临界力与材料的弹性模量 E成正比。因此，选用钢材 料比铜、铝或铸铁材料的临界力要高。但应注意 ，各种 钢材的弹性模量 E大致相等，故选用优质钢材 对于提高 压杆的临界力并没有多大实际意义。


FN 30.9 kN
Fcr
作业
15-9

例 15-2 硅钢活塞杆, d = 40 mm, E = 210 GPa, λp= 100, 求Fcr
由活塞杆的约束状况，可近似看作一端自由、一端固定的压杆。
2
解： i

I πd 4 4 d 2 1.0 10 2 m A 64 πd 4
l 200 i
p 大柔度杆
F x EI
πx w A sin l
结论
Fcr 2 EI / l 2 －欧拉临界载荷 Fcr EI , Fcr 1 / l 2

压杆临界状态时的挠曲轴 一 半波正弦曲线
二、两端铰支细长压杆的临界载荷
支承情况 两端铰支 一端固定 另端铰支 两端固定
一端固定 另端自由
失 稳 时 屈 曲 模 态
（2）稳定性校核
2 2 ( D4 d 4 ) 4 I D d i 0.0144 m 2 2 64 ( D d ) A 4

l 1 ( 2 m )
i

0.0144 m
98.1 p
Fcr A cr
π( D 2 d 2 ) Fcr 235 MPa (0.00669 MPa)2 116.8 kN 4 Fcr Fcr 41.4 kN nst
2

l
i
综合反映压杆长度(l) 、约束条件(μ) 、 截面尺寸和形状(i)对压杆临界载荷影响

cr
压杆越易失稳
§15-3 中、小柔度杆的临界应力 二、欧拉公式的适用范围
适用范围：材料为线弹性
σ
cr p
E cr 2 p
2
比例极限
σp
ε
2E p p