理论力学 拉格朗日方程

T q j
U q j
( j1,2, ,k )
引入拉格朗日函数：L=T-U 则：
d dt
(
L qj
)
L q j
0
( j1,2, ,k )
保守系统的拉格朗日方程。
12
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐 标，也不能有多余的（不独立）坐标。
i 1
i 1
i 1
n
Fi
i 1
ri
n
Fi
i 1
( jk1qrij
q
j
kn
) (F
j1 i1
i
ri q j
)q
j
kn
[( X i
j1 i1
xi q j
Yi
yi q j
Z i
zi q j
)]q j
k
Q j q j
j 1
8
称
Qj
n
(X i
i 1
xi q j
Yi
yi q j
Zi
zi q j
)为广义力
动力学普遍方程。
4
在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的主动力与惯性力在任 意虚位移上所作的虚功之和为零。
例1 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质 量分别为M和m，斜面倾角为 。试求三棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组成的系统。 该系统受理想约束，具有两个自 由度。
5. 求出上述一组微分方程的积分。
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[例1] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质 小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA 位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。
解：图示机构只有一个自由度
所受约束皆为完整、理想、定常的，可取OA杆 转角 为广义坐标。
vA (Rr)
A
vA r
R r
r
14
T
1 2
I
O2
1 2
Q g
v
2 A
1 2
I
A
2 A
1 2
1 3
P g
(
R
r
)
2
2
1 2
Q g
(
R
r
)
2
2
1 2
1 2
Q g
r
2
(
Rr r2
)
2
2
1 2P9Q (Rr)22
12 g
W ( ) M
Q
W (
)
M
T
1 6
2
P
g
9Q
(
R
r
)
2
;
d dt
T
1 6
2
P
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力
，计算公式为：
Q j ( j 1,2, ,k )
Qj
n
(X i
i 1
xi q j
Yi
yi q j
Zi
zi q j
)
或
Q
j
W ( q j
j
)
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。
g
9Q
(
R
r
)
2
;
T
0
15
代入拉氏方程：
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
6M
g
(2P 9Q)(R r)2
积分，得：
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
mi
i 1
dvi dt
ri q j
n
mi
i 1
d dt
(
vi
ri q j
n
) mi vi
i 1
d dt
(
ri q j
)
为简化计算 , 需要用到以下两个关系式：
ri q j
vi qj
;
d dt
ri q j
vi q j
下面来推导这两个关系式： 第一式只须将(b)式两边对
求偏导数q即j可得到。
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第二式可比较(a)式先对ql求偏导数 再对t求导数与(b)式对ql求偏导数的结论得出。
3
§17-1 动力学普遍方程
设质点系有n个质点，第i个质点
M i : mi , Fi , Ni , ai ; Qi miai
Fi Ni Qi 0
若质点系受有理想约束，将 作为主动Q力i 处理，则：
解析式：
(Fi Q i )ri 0
[( X i mi xi )xi (Yi mi yi )yi (Zi mi zi )zi ]0
( e)
则
n
( Fi
i 1
mi ai
)ri
k
Q
j 1
jq
j
n
mi ai
i 1
( jk1qrij
q
j
)
k
(Q
j 1
j
n
mi
i 1
dvi dt
ri q j
)q
j
0
Qj
n
mi
i 1
dvi dt
ri q j
0
( j1,2 ,k )
(f)
广义惯性力
9
广义惯性力可改变为用质点系的动能表示 , 因此
n
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如果作用于质点系的力是有势力，则广义力 可用质点系Q的势j 能来表达。
Qj
n
(X i
i 1
xi q j
Yi
yi q j
Zi
zi q j
)
( j1,2, ,k )
n
(
i 1
U xi
xi q j
U yi
yi q j
U zi
zi q j
)
Q
j
U q j
( j1,2, ,k )
而拉氏方程为：
d dt
T qj
1
本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导出动力学普遍方程和 拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程 是研究动力学问题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十 分简捷、规范。
2
第十七章 拉格朗日方程 §17–1 动力学普遍方程 §17–2 拉格朗日第二类方程 §17–3 拉格朗日第二类方程的积分
QA Ma QB QBe QBr QBe ma , QBr mar
5
由动力学普遍方程：
(QA QBe QBr cos)xA (QBe cos Qsin QBr )sB 0
系统为二自由度，取互不相关的
Q mg
为独立x虚A位, 移s，B 且
，所以
Ma mamar cos 0
macos mgsin mar 0
n
mi
i 1
dvi dt
qrij
n
mi
i 1
d dt
(vi
ri qj
)
n
mi
i 1
vi
vi q j
ddt[
qj
n
(
i 1
1 2
mi
v
2
i
)]
q
j
n
(
i 1
1 2Leabharlann mivi2)
d dt
T qj
T q j
代入( f )式, 得:
d dt
T qj
T q j
Q j
( j1,2, ,k )
拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。
ri ri (q1,q2 , qk ,t) (i1,2, n)
(a)
vi
dri dt
jk1qrij
qj
ri t
(i1,2 n)
( b)
称
qj
d为q 广j 义速度。 dt
7
ri jk1qrij q j (i1,2, n)
(c)
代入质点系动力学普遍方程，得：
n
n
n
(Fi miai )ri Fi ri miairi 0 (d )
解得：
a
2(
m sin 2 M msin 2
)
g
6
§17-2 拉格朗日第二类方程
下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。
设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度 k=3n- s 。
质点 M i : m。i ,若ri取系统的一组广义坐标为
，则 q1, q2 , qk