概率论与数理统计 条件概率1

3 2 3 （1） P( A A ) = P( A )P( A A ) = ⋅ = 1 2 1 2 1 5 4 10
（2） P( A2 ) = P( A A2 ∪ A A2 ) = P( A A2 ) + P( A A2 ) 1 1 1 1
2 3 3 2 3 = ⋅ + ⋅ = 5 4 5 4 5
P(Bi A), i = 0,1,2,3,4
结果如下表所示
i P( Bi ) 0 0.1 1.0 1 0.2 0.9 2 0.4 3 0.2 4 0.1
P( A Bi ) P(Bi A)
4 i=0
0.809 0.727 0.652
0.123 0.221 0.397 0.179 0.080
P( A) = ∑P(Bi )P( ABi ) = 0.814
4 则 P (1) = P ( A) = 10 6 4 P (3) = P( AB) = × 10 9
4 3 P (2) = P( AB ) = × 10 9 4 3 2 P (4) = P( ABC ) = × × 10 9 8
设某工厂有甲、 例 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产 已知各车间的产量分别占全厂产量的25 ， 品，已知各车间的产量分别占全厂产量的 %， 35%， ， 40%，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， ， ， 2%．现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它 ．现从待出厂的产品中检查出一个次品， 是由甲车间生产的概率． 是由甲车间生产的概率． 分别表示产品由甲、 解 设Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分别表示产品由甲、乙、丙车 间生产，Ｂ表示产品为次品． 显然，Ａ ，Ｂ表示产品为次品 间生产，Ｂ表示产品为次品． 显然，Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 构成完备事件组．依题意， 构成完备事件组．依题意，有 Ｐ(Ａ1)＝ 25% , Ｐ(Ａ2)= 35% , Ｐ(Ａ3)＝ 40%, Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝ 5% , Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4% , Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝ 2% P(A1 )P(B A1 ) Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝ P(A1 )P(B A1 ) + P(A 2 )P(B A 2 ) + P(A 3 )P(B A 3 )
（2）直接解更简单
P( A2 ) = 3/ 5
提问：第三次才取得一等品的概率, 是 P( A3 A A2 ) 还是 P( A A2 A3 ) ? 1 1 (3) P( A A2 A ) = P( A )P( A2 A )P( A A A2 ) 1 3 1 1 3 1
2 1 3 1 = ⋅ ⋅ = 5 4 3 10
P ( A1 A2 L An ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 ( A1 A2 )) L P ( An ( A1 A2 L An −1 ))
例1 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率 解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时 所求概率为
0.25 × 0.05 = 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02
≈ 0.362
例5 每100件产品为一批, 已知每批产品中 次品数不超过4件, 每批产品中有 i 件 次品的概率为
i P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
2 20
P(A B)Fra Baidu bibliotek= P(AB) / P(B)
= C /(C + C C ) =10/ 85 = 0.118
2 5 2 20 1 5 1 15
例3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率. 解 令 Ai 为第 i 次取到一等品
P( A B) = 4/19 = 0.2105.
解二 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”. A⊂ B B表示“2 张中至少有1张假钞”
) 则所求概率是 P(A B（而不是 P( A) ！）.
2 P( AB) = P(A) = C5 /C2 20
所以
P(B) = (C + C C ) / C
2 5 1 5 1 15
条件概率 无条件概率
人参加面试抽签， 甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过 人参加面试抽签 不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有 不放回抽签的方式确定。假设被抽的 个试题签中有4 个试题签中有 个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。 个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求 1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没 ）甲抽到难题签， ）甲和乙都抽到难题签， ） 抽到难题签而乙抽到难题签， ） 抽到难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难 题签的概率。 题签的概率。 分别表示“ 丙抽到难签” 解 设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签” ， ， 分别表示
P( AB) P(B) 0.4 1 P(B A) = = = = P( A) P( A) 0.8 2
B⊂ A
某种动物出生之后活到20岁的概率为 ， 某种动物出生之后活到 岁的概率为0.7，活 岁的概率为 岁的概率为0.56，求现年为 岁的这种动 到25岁的概率为 岁的概率为 ，求现年为20岁的这种动 物活到25岁的概率。 物活到 岁的概率。 岁的概率 表示“ 表示“ 解 设A表示“活到 岁”，B表示“活到 岁” 表示 活到20岁 表示 活到25岁 则
概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系 与 的区别与联系
联系：事件 ， 都发生了 联系：事件A，B都发生了 区别： 区别： 发生有时间上的差异， （1）在P(A|B)中，事件 ，B发生有时间上的差异， ） 中 事件A， 发生有时间上的差异 B先A后；在P（AB）中，事件 ，B同时发生。 先 后 事件A， 同时发生 同时发生。 （ ） （2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件 成为样本 ）样本空间不同， 中 事件B成为样本 空间； 空间；在P（AB）中，样本空间仍为 （ ） 因而有
P(Bi )P( ABi ) P(Bi A) = , i = 0,1,2,3,4 P( A)
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验 得到的，它是事件 A 的原因 称 P(Bi A) i = 0,1,2,3,4 为后验概率，它是 得到了信息 — A 发生, 再对导致 A 发生的 原因发生的可能性大小重新加以修正 本例中，i 较小时，P(Bi A) ≥ P(Bi ) i 较大时，P(Bi A) ≤ P(Bi )
已知： A ⊂ B1 + B2 , B1B2 = ∅
P(B1) = 0.6, P(B2 ) = 0.4
P( A B1) = 0.2, P( AB2 ) = 0.1 P( A) = P(B )P( AB ) + P(B2 )P( AB2 ) 1 1
= 0.16 P(B )P( AB ) 3 1 1 P(B A) = = , 1 P( A) 4
P(B2 )P( AB2 ) 1 P(B2 A) = = P( A) 4
可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ • ”的可能性大
例7 甲箱中有 个白球，2个黑球，乙箱中有 个白 甲箱中有3个白球 个白球， 个黑球 乙箱中有1个白 个黑球，
个黑球。 球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱 个黑球 再从乙箱任意取出一球。 中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取 出白球的概率是多少？ 出白球的概率是多少？ 解 从乙箱中取出白球” 设B=“从乙箱中取出白球”， 从乙箱中取出白球 A=“从甲箱中取出白球”， 从甲箱中取出白球” 从甲箱中取出白球 则
P( A A2 ) P( A2 ) − P( A A2 ) 1 1 (4) P( A A2 ) = = 1 P( A2 ) P( A2 )
=1−
3 10 3 5
= 0.5
一般地 条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系 若 B⊂ A
P( AB) P(B) P(B A) = = ≥ P(B) P( A) P( A)
解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,…,4 A 为一批产品通过检验 则 A ⊂ UBi ,
i=1 n
Bi Bj =Φ, i ≠ j,i, j = 0,1,2,3,4
已知P( Bi )如表中所示，且 10 C100−i P( A Bi ) = 10 , i = 0,1,2,3,4 C100 由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与
P( A) = 0.7, P( B) = 0.56
P( AB) P( B ) = = 0.8 所求概率为 P ( B A) = P( A) P( A)
例2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任 意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验 发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率. 下面两种解法哪个正确？ 解一 令 A 表示 “其中1张是假钞”. B表示 “2 张都是假钞” 由缩减样本空间法得
例6 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信 号“ • ”, 收到信号“• ”,“不清”,“ — ” 的概率分 别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”,收到信号 “• ”,“不清”,“— ”的概率分别为0.0, 0.1, 0.9. 已知在发出的信号中, “ • ”和“ — ”出现的概 率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为“ • ”还是“ — ”的概率 哪个大？ 解 设原发信号为“ • ” 为事件 B1 原发信号为“ — ”为事件 A 收到信号“不清” 为事件 B
Ω。
P( A B) ≥ P ( AB)
乘法法则
P ( AB ) = P ( A) P ( B A) = P( B) P( A B)
推广
P( AB) P( B A) = P( A) P( AB) P( A B) = P( B)
P ( ABC ) = P ( A) P ( B A) P (C | AB )
例8
已知在所有男子中有5%，在所有女子中有 ， 已知在所有男子中有 0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症， 患有色盲症。 患有色盲症 随机抽一人发现患色盲症， 问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人 问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人 ？（ 数相等）。 数相等）。