《流体力学》第七章不可压缩流体动力学基础分解

第七章 不可压缩流体动力学基础
许多实际流体的流动差不多都是空间的 流动。
流体的三元流动。
本章的主要内容是有关流体运动的基本 概念和基本原理，以及描述不可压缩流 体流动的基本方程和定解条件。
第一节 流体微团运动的分析
刚体的运动： 平移和旋转
流体的运动： 平移、旋转、变形（线变 A 形和角变形）
✓对于有旋流动，其流动空间既是速度场，又 是涡量场，涡量场中的涡线，涡管，涡通量分 别与流速场中的流线，流管和流量的概念相对 应而涡线方程和涡通量方程分别与流线方程和 元流连续性方程相对应。
通常涡通量是利用速度环量这个概念来计算 的。
在流场中任取一封闭曲线s,则流速沿曲线s 的积分称为曲线s上的速度环量。
uds
s
s uxdx uydy uzdz
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
汤姆逊定理
s J A
在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
质是：在同一瞬间，通过同一
A2
涡管的各截面的涡通量相等。
A3
A1ndA A2 ndA
A1
对于微元涡管，可以近似认为各截 1A1 2 A2
面上各点的涡量为常数，因此： 1A1 2 A2
✓由于流体的旋转角速度不可能为无穷大,所以 涡管截面 不可能收缩为零,即涡管不可能在流 体内部开始或终止,而只能在流体中自行封闭 成涡环,或者终止于和开始于边界面。
)
1 (uy 2 x
ux y
)
平移运动速度 ux , u y
线变形速度 旋转角速度 角变形速度
x
ux x
Z
1 (uy 2 x
ux ) y
z
1 (uy 2 x
ux y
)
在一般情况下，流体微团的运动是由 上述四种基本运动形式复合而成的。
例7-1：已知流速分布（1）ux=-ky, uy=+kx, uz=0,（2）ux=-y/(x2+y2), uy=x/(x2+y2), uz=0,求线变形速度，旋转角速度和角变形速度。
.
dx 2
ux
ux x
.
dx 2
uy
uy
u y x
. dx 2
uy
u y x
. dx 2
微团的旋转和角变形 设沿逆时针旋转为正，则AMC 的旋转角速度为：
uy dx
x 2 uy
dx x
2
对角线EMF的角速度定义为整个流 体微团在oxy平面上的旋转角速度。Z
1 2
( u y x
ux y
)
F’’ B’’
B
uy
M
ux C dy
流体微团运动形式与微团 内各点速度变化有关
D
dx
图7-1 方形流体微团
M
A
B
C
D
ux
ux
ux x
. dx 2
ux
ux y
.
dy 2
ux
ux x
.
dx 2
ux
ux y
. dy 2
uy
uy
u y x
. dx 2
uy
u y y
. dy 2
uy
u y x
. dx 2
uy
u y y
. dy 2
y
ux z
uz x
Z
u y x
ux y
涡量是空间坐标和时间的矢性函数， 构成一个向量场，称为涡量场。
涡量连续性方程： x y z 0
x y z
在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的 旋转角速度向量方向的曲线，称为涡线。在给 定的瞬时，涡线上各点的角速度向量在该点处 与涡线相切。
涡线的微分方程： dx dy dz
ux
ux x
dx 2
dx
图7－5 微元控制体的流量平衡
在dt时间内，沿x方向流出和流入微元控制体的 净流体体积为： ux dxdydzdt
同理，有： x
在dt时间内，沿y、z方向流出和流入微元控制体的
净流体体积为：uy dxdydzdt
y
uz dxdydzdt z
由连续性条件： (ux uy uz )dxdydzdt 0 x y z
x y z
例7-2：
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在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每 一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为涡管。若 曲线无限小，则称为微元涡管。
设A为涡量场中一开口曲面，微元面dA的外法线单位
向量为n,涡量在外法线方向上的投影为Ωn，则面积分
称为涡通量。
J
dA
A
A ndA
有旋运动的一个重要运动学性
Y
1 (ux 2 z
uz x
)
Z
1 (uy 2 x
ux y
)
角速度矢量为: xi y j z k
角速度大小为:
x2
2 y
z2
角速度方向规定为微团的旋转方向按右手定则确定
直角边AMC与对角线EMF的夹角的变形速 度定义为流体微团的角变形速度。
z
uy x
z
uy x
1 (uy 2 x
ux y
ux uy uz 0
左式即不可压缩流体的连续性 微分方程，这个方程对恒定流
x y z
和非恒定流都适用。
例7-4
例7-5
不可压缩流体柱面坐标形式的连续性
方程
ur ur u uz 0
d 0 dt
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
➢ 由于流体不可压缩，质量流量平衡可用体积流量 平衡条件来代替。
在dt时间内，沿x方向流出和流入微元控制体的 净流体体积为：
(ux
ux x
dx )dydzdt 2
(ux
ux x
dx )dydzdt 2
ux dxdydzdt x
ux
ux x
dx 2
dz dy
F B
F’
B’
B
F
B’ B’’ F’ F’’ C’’
C’’
A
M
A’’
C= A
A’
C’
MC
+ A’
A’’
D’’
C’
yE E’’
D
D’’
(a)
D
E
D’
E’
(b)
D’ E’’ E’
(c)
0
x
图7-2 流体徽团的旋转运动和变形运动
对于三元流动,可得流体微团旋转角速度分量为:
X
1 (uz 2 y
uy ) z
线变形速度 旋转角速度 角变形速度
θx
u x x
Z
1 (uy 2 x
ux y
)
z
1 2
( u y x
ux y
)
第二节 有旋流动
➢ 流体微团的旋转角速度在流场内不完全为 零的流动称为有旋流动。
➢ 自然界和工程中出现的流动大多数是有旋
➢
流动。 涡量：
2
xi
y
j
zk
X
uz y
uy z
微团上每一点的速度都包含中心点的速度及由于坐标位 置不同所引起的速度增量两个组成部分。
流体微团的平移运动速度: ux , uy
线变形速度：单位时间单位长度的线变形，以θ表示。
x
ux dxdt x
dxdt
ux x
x
ux x
y
u y y
z
uz z
B
uy
A
M
ux C dy
D
dx
M
A
C
ux
ux
ux x