《流体力学》第七章不可压缩流体动力学基础分解
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不可压缩流体动力学基础
因此， 时间内，流出、流入整个六面体的流体质量差为 dt
（c3）
mx my mz vx v y vz dxdydzdt （c） y z x
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化为：
mt
A
v x x v x y x 2 y 2
B
v y x v y y vy x 2 y 2
v x v x y vx x x 2 y 2
δx
vx
v x x v x y x 2 y 2
图 7-3 流体微团的平面运动速度分量
（1）平移运动：所有偏倒数为0，如图7-4（a）所示，矩形ABCD各角点 具有相同的速度 v x , v y 。导致矩形ABCD平移△x = v △t, △y = v y △t, x 其ABCD的形状不变。
如果在式（7-10）的第一式右端加入两组等于零的项：
1 v y 1 v y y y 和 2 x 2 x
1 v z 1 v z z z 2 x 2 x
其值不变。经过简单组合，可将该式写成 ：
v x 1 v y v x 1 v x v z 1 v y v x 1 v x v z v Ax v x x ( )y ( )z ( )y ( )z x 2 x y 2 z x 2 x y 2 z x
对于不可压缩流体
vr 1 v v z vr 0 r r z r
式中 r 为极径； 为极角。
球坐标系中的表示式为:
1 ( v ) 1 ( v r r 2 ) 1 ( v sin ) 0 2 r sin t r r r sin
在
（b）
（c3）
mx my mz vx v y vz dxdydzdt （c） y z x
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化为：
mt
A
v x x v x y x 2 y 2
B
v y x v y y vy x 2 y 2
v x v x y vx x x 2 y 2
δx
vx
v x x v x y x 2 y 2
图 7-3 流体微团的平面运动速度分量
（1）平移运动：所有偏倒数为0，如图7-4（a）所示，矩形ABCD各角点 具有相同的速度 v x , v y 。导致矩形ABCD平移△x = v △t, △y = v y △t, x 其ABCD的形状不变。
如果在式（7-10）的第一式右端加入两组等于零的项：
1 v y 1 v y y y 和 2 x 2 x
1 v z 1 v z z z 2 x 2 x
其值不变。经过简单组合，可将该式写成 ：
v x 1 v y v x 1 v x v z 1 v y v x 1 v x v z v Ax v x x ( )y ( )z ( )y ( )z x 2 x y 2 z x 2 x y 2 z x
对于不可压缩流体
vr 1 v v z vr 0 r r z r
式中 r 为极径； 为极角。
球坐标系中的表示式为:
1 ( v ) 1 ( v r r 2 ) 1 ( v sin ) 0 2 r sin t r r r sin
在
（b）
第七章 不可压缩流体动力学基础
vx −
vx +
y D
∂vx dx dt ∂x 2
∂v x dx ∂v x dy − ∂x 2 ∂y 2
∂vx dxdt ∂v ∂x = x θx = dxdt ∂x ∂v y dydt ∂v y ∂y θ y = dydt = ∂x
A
∂v y dy dt ∂y 2
vy −
∂v y dx ∂v y dy + ∂x 2 ∂y 2
vx − ∂v x dx ∂v x dy + ∂x 2 ∂y 2
vy +
∂v y dx ∂v y dy + ∂x 2 ∂y 2
1、旋转运动 、
vy
vx
vx +
∂v x dx ∂v x dy + ∂x 2 ∂y 2
变，只发生旋转。 只发生旋转。 则微团发生旋转时，其总的角位移为： 则微团发生旋转时，其总的角位移为： 则微团旋转时，其旋转角速度定义为： 则微团旋转时，其旋转角速度定义为：
1 dα d β ωz = + dt 2 dt 1 ∂v y ∂vx − = 2 ∂x ∂y
1 ∂vz ∂v y − ω x = 2 ∂y ∂x 1 ∂vx ∂vz − ω y = 2 ∂z ∂x 1 ∂v ∂v ω z = y − x 2 ∂x ∂y
y
−
∂v x dy dt ∂y 2
D
角速度大小为： 角速度大小为：
2 ω = ω x2 + ω y + ωz2
dβ
A
dα
∂v y dx dt ∂x 2
同理， 同理，对于空 间三元流动： 间三元流动：
第七章不可压缩流体动力学基础
在个方向上都是 相同的可得
yz
zy
vz y
v y z
2
•
x
zx
xz
vx
z
vz x
•
2 y
流体力学
二、法应力和线变形速度的关系
在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也 发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。
pxx
p
2
vx x
p yy
p 2
v y y状态
流体力学
二、以应力表示的运动微分方程
第一个下标表示 应力所在平面的 法线方向。
第二个下标 表示应力本 身的方向。
pxx
dy
dz
xz xy
fz
zx
yx
yx
y
fy fx
zx dz
z
dy xz
xypxxxzdxxxypdxxxx
x
dx
yx
dx
流体力学
流体力学
第七节 理想流体的运动微分方程及其积分
一、运动微分方程 当流体为理想流体时，运动黏度
，N-S方程简化为：
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dv y dt
fz
1
p z
dvz dt
流体力学
将加速度的表达式代入
fx
1
p x
v x t
vx
vx x
vy
v x y
vz
vx z
fy
vds
v d s (vxdx vydy vzdz)
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分 的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概 念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算.
《流体力学》 第七章 不可压缩粘性流体的流动
应力与应变的关系--------本构关系
du
dy
对照牛顿实验
pyx
斯托克斯假设
(1). 应力与变形速率之间为线性关系(小变 形(各向同性假设) (3). 趋于零时, 应力状态退化为理想流体 的应力状态(当流体处于静止状态时,符合 静止流体的应力特征)
pyz pzy
pzx pxz
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
y x
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
p y x y
pzx z
)
将pxx pyx pzx 的表达式代入, 设不可压, 则有
同理有
ax
fx
1
p x
(
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)
ay
fy
1
p y
(
2v x 2
2v y 2
2v z 2 )
az
fz
1
p z
pzz
p
2
w z
相 加
1 3
(
pxx
pyy
第七章 不可压缩流体动力学基础
)M 0 dz
1 2
( u x z
uz x
)M 0 dz
将式（7-1）、（7-2）和（7-3）代入上式可以得到：
ux ux0 xxdx zdy xydy ydz xzdz
同理可写出其余两个速度分量的表达式，因此M点速度可以写成：
ux uy
ux0 uy0
法向力pxx, pyy, pzz ： 剩余力为切向应力：
图中各应力值均为代数值，正值表示应力沿相应坐标轴的正向，反之亦然。 由于流体不能承受拉应力，因此法向应力pxx,pyy,pzz必为负值。
由牛顿第二定律，x方向的运动微分方程为：
Xdxdydz
pxxdydz
[(
pxx
pxx x
变形运动又分为线变形和角变形。
二维矩形流体微团中心点M的流速分量 为ux, uy，定义为微团的平移运动速度。流体 微团各侧边的中点A、B、C、D的流速分 量分别为：
微团左右两侧沿x方向的速度差为 ux dx ，当速度差为正时， x
微团沿x方向发生伸长变形，反之则发生缩短变形。
单位时间，单位长度的线变形称为线变形速度。
亥姆霍兹速度分解定理：流体微团运动可分解为平移运动， 旋转运动，线变形运动和角变形运动
7.2 应力和变形速度的关系
一、切应力和角应变速度的关系
一元流动的牛顿内摩擦定律为： du
dy
du
d
流速梯度 就是直角变形速度 ，即
dy
dt
du d
dy dt
ห้องสมุดไป่ตู้
牛顿内摩擦定律也可写为： d
不可压缩流体的连续性方程和纳维-斯托克斯方程也适用于紊流，方程中 各量应为瞬时值，但使用比较困难，工程上常用统计平均后得到基本方程，来 研究解决工程紊流问题。 为简单起见，忽略质量力，将速度和压强的瞬时值分别用平均值和脉动值替代：
同济 流体力学 第七章 不可压缩流体动力学基础
第七章 不可压缩流体动力学基础§7-1、流体微团运动的分析dzw dy w dx dz dy dx u u dz x u z u dy x u y u dz x u z u dy x u y u dx x u u u y z zx yx xx xo x z x y x z x y x x xo x +-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=021212121εεε一、线变形率单位伸缩率二、旋转角速度(直角的角平分线旋转)以整体的概念三、角变形率(直角半角的变化)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧dz dy dx w w w w w w dz dy dx u u u u u u x y x z y z zz yz xz zy yy xy zx yx xx O z y x M z y x 0,,,0,,,0,,,,,,εεεεεεεεε§7-2、有旋流动一、有旋运动的定义k y u x u j x u z u i z u y u u x y z x y z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇二、流线方程和涡线方程 涡管：微元涡管有旋流动的一个重要的运动学性质：同一涡管的各截面的涡通量相同`⎰⎰⎰⎰⎰*∇=*τBd BdA n三、有旋运动基本定理1、斯托克斯定理As An sJ dAu s d u =ΓΩ⨯∇=⋅⎰⎰⎰)(2、汤姆逊定理（固定质点积分）0=Γdtd§7-3、不可压缩流体连续性微分方程()0k ku t x ρρ∂∂+=∂∂0k ku D Dt x ρρ∂+=∂ 一、直角坐标系 二、柱坐标系作业：1，2，4下学期流体力学周五1、2节考试：时间7月1日 10：30—12：30§7-4、以应力表示的粘性流体运动微分方程式一、粘性流体的内应力（应力矩阵、一点的应力状态）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅zz zy zx yz yy yx xz xy xx t t t zz zy zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p τττττττττττττττ粘性流体压强为主应力的平均值（第一不变量）二、以应力表示的运动微分方程（力平衡方程）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂⋅+=∂∂+∂∂+∂∂⋅+=∂∂+∂∂+∂∂⋅+=)(1)(1)(1z p y x Z dtdu z y p x Y dt du z y x p X dt du zz yz xz zzyyy xy y zxyx xx x ττρττρττρ§7-5、应力与应变率(变形速度)的关系（本构关系、层流） 应力与应变率为线性关系：9*9=81个粘性系数，当各向同性可减至2个。
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流体力学与流体机械
§7-1 引言
直到现在，我们只讨论了理想与粘性流体的一元流动。 可是，有些空间问题，需要多元流动——即二元和三元的流 动，即流场中流体的流动参量在二个或三个坐标轴方向都发 生变化。本章论述流体的三元流动，主要内容是有关流体运 动的基本概念和基本原理以及描述不可压缩流体流动的基本 方程和定解条件。 本章的研究以流体微团为对象。
x
u 根据连续性方程可知，对于不可压缩流体，
。
3、旋转运动
y
u x dy y
u y y
u x dydt y
C
C
uy u y y dy
D
ux
D
dy
dydt
A
u y dt
dx
B
ux dxdt x
u y x
uy ux
uy
u y x
dxdt
流体力学与流体机械
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
第七章 不可压缩理想流体的无旋运动
§7–1 流体微团运动分析
§7–2 有旋流动
§7 –3 不可压缩流体连续性方程
§7–4 以应力表示的粘性流体运动微分方程
§ 7–5 应力和变形速度的关系
§ 7–6 纳维－斯托克斯方程
§ 7–7 理想流体运动微分方程及其积分
dx
A
ux B ux dx x u dt x
图 7-2 分析流体微团的平面运动
x
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
CAB C A B
而
所以
ux u y dx dt dx dx dt dt x x x u y ux u x dy dt dy dy dt dt y y y u y ux x y dt
流体力学第7章不可压缩理想流体的平面运动(简化版)
AB AB dvx x lim t 0 xt dx
把εx叫做线段AB在x轴的线变形速度。
6
对于三维问题则有
v y vx vz x , y , z x y z
下标x,y,z表示变形发生的方向。 对于不可压缩流体，在变形过程中，体积不 发生改变，则有
dy
A
o
dx vx
II
流线
x
在虚线AB上取一微元弧段dl，显然，vxdy是经 dl从区I进入区II的流量， vydx是经dl从II区 进入I 区的流量，那么经dl从I区进入II区的净流量为
33
dq vx dy v y dx
对虚线积分可得到两条流线之间的总流量
q dq vx dy v y dx d B A
15
例：如图一维剪切流动中，流体速度分布为
v x cy, v y 0
其中c为常数。判断流动是否无旋？ v0 y x vx
16
由判断条件
1 v y v x 1 z ( ) c0 2 x y 2
故运动是有旋的。
17
例：图示为流体质点绕某一圆心的旋转运动。已知 流体速度分布为
工程上有许多问题可简化为理想流体的
无旋流动问题，如流体机械内的流动。利 用无旋流动的特性，可建立线性运动方程 来求解流体的速度分布，从而避开求解欧 拉方程的困难。
20
7.3.1速度势函数
对于无旋流动，速度的旋度为零，即
v 2 0
此时流体质点都要满足以下条件
v x v y v z v x v y v z , , y x x z z y
39
练习
试求下面不可压缩流场的流函数及速度势：
第七章 不可压缩流体动力学基础(第二次修改)ppt
§7.6 纳维—斯托克斯方程
u x pxx p 2 x u y p yy p 2 y u z pzz p 2 z
+
粘性流体 法向应力 和线应变 之间的关 系
代入方程：
应力表示 的粘性流 体运动微 分方程
du x 1 pxx 1 yx zx X ( ) x y z dt du y 1 p yy 1 zy yx ( ) Y y z x dt du 1 pzz 1 xz yz ( ) z Z z x y dt
2、应力正负号的规定
正面：截面上外法线方 向与坐标轴正向一致； 负面：截面上外法线方 向与坐标轴负方向一致； 正面正为正，负面负为 正；
y z
әpyy әyx pyy+ әy dy yx+ әy dy әyz pzz zx әxy yz+ әy dy xy+ әx dx әpxx xz әzy fy zy pxx+ әx dx pxx zy+ әz dz fx әxz f z xy xz+ әx dx әzx dy zx+ әz dz yz dz әpzz pzz+ әz dz yx p yy x dx
ux u y uz 0 x y z
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间 的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之 差等于零。 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可 压缩流体流动。
第七章 不可压缩流体动力学基础
§7-4 以应力表示的粘性流体运动微分方程 §7-5 应力和变形速度的关系
zy
xz
p xx xz dx x
第七章 不可压缩流体动力学基础
平 移 速 度
线变形速 度和角变 形速度产 生的速度 增量
旋转运 动产生 的速度 增量
亥姆霍兹速度分解定理：流体微团的运动可以分解为平移运动、旋转 运动、线变形运动和角变形运动。
7-1 已知流速分布（1） ux ky, u y kx, uz 0 y x （ 2） ux 2 , u , uz 0 求旋转角速度、线变形速度 y 2 2 2 x y x y 和角变形速度。
平 移 液
ux，uy，uz
体
质 点 运 动 的 基 线变形
xx
u x x
yy
zz
u y y
u z z
1 u y ux xy yx ( ) 2 x y
角变形
xz zx (
本
形 式 边线偏转
1 u x u z ) 2 z x
z
uy x ux y
涡量在 x、y、z 坐标轴的投影为
哈米尔顿算子 于是 显然
i j k x y z
u
u 0
x y z 涡量连续性微分方程 0 x y z
u y u x 1 u u z （ y x ） 0 2 x y x y 1 u u u u y x （ z y ） 0 z 2 y z y z
u u 1 u u y （ x z ） 0 x z 2 z x z x
u 0
称为无旋流
7-2：设流动速度场ux=ay，uy=uz=0，其中a是不为零的常数，流线 是平行x轴直线，试判断流动是否有旋。
u z u y 解： 1 （ ） 0 x 2 y z
A A
线变形速 度和角变 形速度产 生的速度 增量
旋转运 动产生 的速度 增量
亥姆霍兹速度分解定理：流体微团的运动可以分解为平移运动、旋转 运动、线变形运动和角变形运动。
7-1 已知流速分布（1） ux ky, u y kx, uz 0 y x （ 2） ux 2 , u , uz 0 求旋转角速度、线变形速度 y 2 2 2 x y x y 和角变形速度。
平 移 液
ux，uy，uz
体
质 点 运 动 的 基 线变形
xx
u x x
yy
zz
u y y
u z z
1 u y ux xy yx ( ) 2 x y
角变形
xz zx (
本
形 式 边线偏转
1 u x u z ) 2 z x
z
uy x ux y
涡量在 x、y、z 坐标轴的投影为
哈米尔顿算子 于是 显然
i j k x y z
u
u 0
x y z 涡量连续性微分方程 0 x y z
u y u x 1 u u z （ y x ） 0 2 x y x y 1 u u u u y x （ z y ） 0 z 2 y z y z
u u 1 u u y （ x z ） 0 x z 2 z x z x
u 0
称为无旋流
7-2：设流动速度场ux=ay，uy=uz=0，其中a是不为零的常数，流线 是平行x轴直线，试判断流动是否有旋。
u z u y 解： 1 （ ） 0 x 2 y z
A A
《流体力学》第七章不可压缩流体动力学基础
r r r z 0
例7-6
第六节
纳维—斯托克斯方程
不可压缩粘性流体的运动微分方 程 2u x 2u x 2u x du x 1 p X ( 2 ) 2 2 x x y z dt
uy uy uy du y 1 p Y ( ) 2 2 2 y x y z dt
u d s ux dx u y dy uz dz
s s
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s 的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
s J A
汤姆逊定理 在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
圆柱坐标系的纳维—斯托克斯方程:
Fr .F . Fz.r. .z.ur .u .u z
例7-7:利用N-S方程求圆管层流运动流速分布.
解：由于流动轴对称,采用柱坐标系如图，已知：
u z u(r , , z ), u ur 0
1 p u z 1 u z 1 u z u z Fz ( 2 2 2 ) 2 z r r r r z u z u z u u z u z ur uz t r r z
A
A
n
有旋运动的一个重要运动学性 质是：在同一瞬间，通过同一 涡管的各截面的涡通量相等。
A2
A3 A1
A1
n dA n dA
A2
1 A1 2 A2 对于微元涡管，可以近似认为各截 面上各点的涡量为常数，因此： 1 A1 2 A2
由于流体的旋转角速度不可能为无穷大,所 以涡管截面 不可能收缩为零,即涡管不可能在 流体内部开始或终止,而只能在流体中自行封 闭成涡环,或者终止于和开始于边界面。
例7-6
第六节
纳维—斯托克斯方程
不可压缩粘性流体的运动微分方 程 2u x 2u x 2u x du x 1 p X ( 2 ) 2 2 x x y z dt
uy uy uy du y 1 p Y ( ) 2 2 2 y x y z dt
u d s ux dx u y dy uz dz
s s
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s 的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
s J A
汤姆逊定理 在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
圆柱坐标系的纳维—斯托克斯方程:
Fr .F . Fz.r. .z.ur .u .u z
例7-7:利用N-S方程求圆管层流运动流速分布.
解：由于流动轴对称,采用柱坐标系如图，已知：
u z u(r , , z ), u ur 0
1 p u z 1 u z 1 u z u z Fz ( 2 2 2 ) 2 z r r r r z u z u z u u z u z ur uz t r r z
A
A
n
有旋运动的一个重要运动学性 质是：在同一瞬间，通过同一 涡管的各截面的涡通量相等。
A2
A3 A1
A1
n dA n dA
A2
1 A1 2 A2 对于微元涡管，可以近似认为各截 面上各点的涡量为常数，因此： 1 A1 2 A2
由于流体的旋转角速度不可能为无穷大,所 以涡管截面 不可能收缩为零,即涡管不可能在 流体内部开始或终止,而只能在流体中自行封 闭成涡环,或者终止于和开始于边界面。
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✓对于有旋流动，其流动空间既是速度场，又 是涡量场，涡量场中的涡线，涡管，涡通量分 别与流速场中的流线，流管和流量的概念相对 应而涡线方程和涡通量方程分别与流线方程和 元流连续性方程相对应。
通常涡通量是利用速度环量这个概念来计算 的。
在流场中任取一封闭曲线s,则流速沿曲线s 的积分称为曲线s上的速度环量。
F B
F’
B’
B
F
B’ B’’ F’ F’’ C’’
C’’
A
M
A’’
C= A
A’
C’
MC
+ A’
A’’
D’’
C’
yE E’’
D
D’’
(a)
D
E
D’
E’
(b)
D’ E’’ E’
(c)
0
x
图7-2 流体徽团的旋转运动和变形运动
对于三元流动,可得流体微团旋转角速度分量为:
X
1 (uz 2 y
uy ) z
第七章 不可压缩流体动力学基础
许多实际流体的流动差不多都是空间的 流动。
流体的三元流动。
本章的主要内容是有关流体运动的基本 概念和基本原理，以及描述不可压缩流 体流动的基本方程和定解条件。
第一节 流体微团运动的分析
刚体的运动： 平移和旋转
流体的运动： 平移、旋转、变形（线变 A 形和角变形）
uds
s
s uxdx uydy uzdz
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
汤姆逊定理
s J A
在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
B
uy
M
ux C dy
流体微团运动形式与微团 内各点速度变化有关
D
dx
图7-1 方形流体微团
M
A
B
C
D
ux
ux
ux x
. dx 2
ux
ux y
.
dy 2
ux
ux x
.
dx 2
ux
ux y
. dy 2
uy
uy
u y x
. dx 2
uy
u y y
. dy 2
uy
u y x
. dx 2
uy
u y y
. dy 2
质是：在同一瞬间，通过同一
A2
涡管的各截面的涡通量相等。
A3
A1ndA A2 ndA
A1
对于微元涡管，可以近似认为各截 1A1 2 A2
面上各点的涡量为常数，因此： 1A1 2 A2
✓由于流体的旋转角速度不可能为无穷大,所以 涡管截面 不可能收缩为零,即涡管不可能在流 体内部开始或终止,而只能在流体中自行封闭 成涡环,或者终止于和开始于边界面。
x y z
例7-2：
在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每 一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为涡管。若 曲线无限小，则称为微元涡管。
设A为涡量场中一开口曲面，微元面dA的外法线单位
向量为n,涡量在外法线方向上的投影为Ωn，则面积分
称为涡通量。
J
dA
A
A ndA
有旋运动的一个重要运动学性
Y
1 (ux 2 z
uz x
)
Z
1 (uy 2 x
ux y
)
角速度矢量为: xi y j z k
角速度大小为:
x2
2 y
z2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
角速度方向规定为微团的旋转方向按右手定则确定
直角边AMC与对角线EMF的夹角的变形速 度定义为流体微团的角变形速度。
z
uy x
z
uy x
1 (uy 2 x
ux y
线变形速度 旋转角速度 角变形速度
θx
u x x
Z
1 (uy 2 x
ux y
)
z
1 2
( u y x
ux y
)
第二节 有旋流动
➢ 流体微团的旋转角速度在流场内不完全为 零的流动称为有旋流动。
➢ 自然界和工程中出现的流动大多数是有旋
➢
流动。 涡量：
2
xi
y
j
zk
X
uz y
uy z
y
ux z
uz x
Z
u y x
ux y
涡量是空间坐标和时间的矢性函数， 构成一个向量场，称为涡量场。
涡量连续性方程： x y z 0
x y z
在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的 旋转角速度向量方向的曲线，称为涡线。在给 定的瞬时，涡线上各点的角速度向量在该点处 与涡线相切。
涡线的微分方程： dx dy dz
d 0 dt
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
➢ 由于流体不可压缩，质量流量平衡可用体积流量 平衡条件来代替。
在dt时间内，沿x方向流出和流入微元控制体的 净流体体积为：
(ux
ux x
dx )dydzdt 2
(ux
ux x
dx )dydzdt 2
ux dxdydzdt x
ux
ux x
dx 2
dz dy
微团上每一点的速度都包含中心点的速度及由于坐标位 置不同所引起的速度增量两个组成部分。
流体微团的平移运动速度: ux , uy
线变形速度：单位时间单位长度的线变形，以θ表示。
x
ux dxdt x
dxdt
ux x
x
ux x
y
u y y
z
uz z
B
uy
A
M
ux C dy
D
dx
M
A
C
ux
ux
ux x
)
1 (uy 2 x
ux y
)
平移运动速度 ux , u y
线变形速度 旋转角速度 角变形速度
x
ux x
Z
1 (uy 2 x
ux ) y
z
1 (uy 2 x
ux y
)
在一般情况下，流体微团的运动是由 上述四种基本运动形式复合而成的。
例7-1：已知流速分布（1）ux=-ky, uy=+kx, uz=0,（2）ux=-y/(x2+y2), uy=x/(x2+y2), uz=0,求线变形速度，旋转角速度和角变形速度。
ux
ux x
dx 2
dx
图7－5 微元控制体的流量平衡
在dt时间内，沿x方向流出和流入微元控制体的 净流体体积为： ux dxdydzdt
同理，有： x
在dt时间内，沿y、z方向流出和流入微元控制体的
净流体体积为：uy dxdydzdt
y
uz dxdydzdt z
由连续性条件： (ux uy uz )dxdydzdt 0 x y z
ux uy uz 0
左式即不可压缩流体的连续性 微分方程，这个方程对恒定流
x y z
和非恒定流都适用。
例7-4
例7-5
不可压缩流体柱面坐标形式的连续性
方程
ur ur u uz 0
.
dx 2
ux
ux x
.
dx 2
uy
uy
u y x
. dx 2
uy
u y x
. dx 2
微团的旋转和角变形 设沿逆时针旋转为正，则AMC 的旋转角速度为：
uy dx
x 2 uy
dx x
2
对角线EMF的角速度定义为整个流 体微团在oxy平面上的旋转角速度。Z
1 2
( u y x
ux y
)
F’’ B’’
通常涡通量是利用速度环量这个概念来计算 的。
在流场中任取一封闭曲线s,则流速沿曲线s 的积分称为曲线s上的速度环量。
F B
F’
B’
B
F
B’ B’’ F’ F’’ C’’
C’’
A
M
A’’
C= A
A’
C’
MC
+ A’
A’’
D’’
C’
yE E’’
D
D’’
(a)
D
E
D’
E’
(b)
D’ E’’ E’
(c)
0
x
图7-2 流体徽团的旋转运动和变形运动
对于三元流动,可得流体微团旋转角速度分量为:
X
1 (uz 2 y
uy ) z
第七章 不可压缩流体动力学基础
许多实际流体的流动差不多都是空间的 流动。
流体的三元流动。
本章的主要内容是有关流体运动的基本 概念和基本原理，以及描述不可压缩流 体流动的基本方程和定解条件。
第一节 流体微团运动的分析
刚体的运动： 平移和旋转
流体的运动： 平移、旋转、变形（线变 A 形和角变形）
uds
s
s uxdx uydy uzdz
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
汤姆逊定理
s J A
在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
B
uy
M
ux C dy
流体微团运动形式与微团 内各点速度变化有关
D
dx
图7-1 方形流体微团
M
A
B
C
D
ux
ux
ux x
. dx 2
ux
ux y
.
dy 2
ux
ux x
.
dx 2
ux
ux y
. dy 2
uy
uy
u y x
. dx 2
uy
u y y
. dy 2
uy
u y x
. dx 2
uy
u y y
. dy 2
质是：在同一瞬间，通过同一
A2
涡管的各截面的涡通量相等。
A3
A1ndA A2 ndA
A1
对于微元涡管，可以近似认为各截 1A1 2 A2
面上各点的涡量为常数，因此： 1A1 2 A2
✓由于流体的旋转角速度不可能为无穷大,所以 涡管截面 不可能收缩为零,即涡管不可能在流 体内部开始或终止,而只能在流体中自行封闭 成涡环,或者终止于和开始于边界面。
x y z
例7-2：
在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每 一点所作出的涡线构成一管状的曲面，称为涡管。若 曲线无限小，则称为微元涡管。
设A为涡量场中一开口曲面，微元面dA的外法线单位
向量为n,涡量在外法线方向上的投影为Ωn，则面积分
称为涡通量。
J
dA
A
A ndA
有旋运动的一个重要运动学性
Y
1 (ux 2 z
uz x
)
Z
1 (uy 2 x
ux y
)
角速度矢量为: xi y j z k
角速度大小为:
x2
2 y
z2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
角速度方向规定为微团的旋转方向按右手定则确定
直角边AMC与对角线EMF的夹角的变形速 度定义为流体微团的角变形速度。
z
uy x
z
uy x
1 (uy 2 x
ux y
线变形速度 旋转角速度 角变形速度
θx
u x x
Z
1 (uy 2 x
ux y
)
z
1 2
( u y x
ux y
)
第二节 有旋流动
➢ 流体微团的旋转角速度在流场内不完全为 零的流动称为有旋流动。
➢ 自然界和工程中出现的流动大多数是有旋
➢
流动。 涡量：
2
xi
y
j
zk
X
uz y
uy z
y
ux z
uz x
Z
u y x
ux y
涡量是空间坐标和时间的矢性函数， 构成一个向量场，称为涡量场。
涡量连续性方程： x y z 0
x y z
在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的 旋转角速度向量方向的曲线，称为涡线。在给 定的瞬时，涡线上各点的角速度向量在该点处 与涡线相切。
涡线的微分方程： dx dy dz
d 0 dt
第三节 不可压缩流体连续性微分方程
➢ 由于流体不可压缩，质量流量平衡可用体积流量 平衡条件来代替。
在dt时间内，沿x方向流出和流入微元控制体的 净流体体积为：
(ux
ux x
dx )dydzdt 2
(ux
ux x
dx )dydzdt 2
ux dxdydzdt x
ux
ux x
dx 2
dz dy
微团上每一点的速度都包含中心点的速度及由于坐标位 置不同所引起的速度增量两个组成部分。
流体微团的平移运动速度: ux , uy
线变形速度：单位时间单位长度的线变形，以θ表示。
x
ux dxdt x
dxdt
ux x
x
ux x
y
u y y
z
uz z
B
uy
A
M
ux C dy
D
dx
M
A
C
ux
ux
ux x
)
1 (uy 2 x
ux y
)
平移运动速度 ux , u y
线变形速度 旋转角速度 角变形速度
x
ux x
Z
1 (uy 2 x
ux ) y
z
1 (uy 2 x
ux y
)
在一般情况下，流体微团的运动是由 上述四种基本运动形式复合而成的。
例7-1：已知流速分布（1）ux=-ky, uy=+kx, uz=0,（2）ux=-y/(x2+y2), uy=x/(x2+y2), uz=0,求线变形速度，旋转角速度和角变形速度。
ux
ux x
dx 2
dx
图7－5 微元控制体的流量平衡
在dt时间内，沿x方向流出和流入微元控制体的 净流体体积为： ux dxdydzdt
同理，有： x
在dt时间内，沿y、z方向流出和流入微元控制体的
净流体体积为：uy dxdydzdt
y
uz dxdydzdt z
由连续性条件： (ux uy uz )dxdydzdt 0 x y z
ux uy uz 0
左式即不可压缩流体的连续性 微分方程，这个方程对恒定流
x y z
和非恒定流都适用。
例7-4
例7-5
不可压缩流体柱面坐标形式的连续性
方程
ur ur u uz 0
.
dx 2
ux
ux x
.
dx 2
uy
uy
u y x
. dx 2
uy
u y x
. dx 2
微团的旋转和角变形 设沿逆时针旋转为正，则AMC 的旋转角速度为：
uy dx
x 2 uy
dx x
2
对角线EMF的角速度定义为整个流 体微团在oxy平面上的旋转角速度。Z
1 2
( u y x
ux y
)
F’’ B’’