定积分的概念PPT教学课件

当f(x)0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲
边梯形位于 x 轴的下方，
积分 b f (x)dx 在几何上表示 y a
上述曲边梯形面积的负值。
y=-f (x)
b
S = a[- f (x)]dx
b
S = a[- f (x)]dx
=- b f (x)dx ．， a
Oa
b
高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积
y
f(xi)Dx近似之。
y=f(x)
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值：S n f (xi )Dx i=1 (3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
n
S
= lim n
i=1
f (xi )Dx
Oa
{ xi xi xi+1
b
x
Dx
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步 曲”:
y f(x)=x2
y
f(x)=1
f(x)=(x-1)2-1
y
0a
①
x -10 2
②
x a 0 b x -10 2 x
③
④
解：（2）在图②中，被积函数f (x) = x2在[-1，2]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
S1
=
ya=
fg((
b
x))dx
S2 =
g ( x)dx
a
O aa
bx
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx = ka f ( x )dx
性质2.
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx = f ( x )dx g( x )dx
a
a
a
三: 定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0 a x -10 2 x a 0 b x -10 2 x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) = x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A =
a 0
x2dx
y f(x)=x2
b
c
b
a f ( x )dx =a f ( x )dx c f ( x )dx
y y=f (x)
Oa
Ｃ bx
b f ( x )dx =
c1 f ( x )dx
c2 f ( x )dx
b
f ( x )dx
a
a
c1
c2
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
b
c
b
f (x)dx = f (x)dx
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：即
b a
f
( x)dx
=
lim
n
n i=1
b
n
a
f
(xi )
按定积分的定义，有
(1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴
所围成的曲边梯形的面积为
b
S=
f (x)dx；
a
(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间
f (x)dx。
a
a
c
y y=f(x)
b
f
b
(xf)(dxx)d=x
c
=
f
c(xf)(dxxb)df x(bx)fbd(xxf=)(dxxc)。 dfx(。x)dx
b
f (x)dx。
aa
aa
a cc
a
c
Oa
c
bx
例1：利用定积分的定义,计算 1 x3dx 0 的值.
例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
定积分的概念
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a, x1,x1, x2,L xi-1, xi ,L ,xn-1,b,
每个小区间宽度⊿x = b - a
n
(2)取近似求和:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用
(2)定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f (x)
b
c
b
f (x)dx = f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
bx
特别地，当 a=b 时，有b a
f (x)dx=0。
定积分的几何意义：
c
b
f (x)dx =-S f (x)dx
f (x)dx。
a
a
cbxຫໍສະໝຸດ bcba f (x)dx ==-aS f (x)dxc f (x
y=f (x)
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中 阴影部分的面积?
y
y=f (x)
b
b
S = S1 - S2 =
a
f (x)dx -
g(x)dx
a
b
g
S =
1
v(t)dt =
1
(-t
2
2)dt
=
5
0
0
3
O
1
t
1 23 j n- 1
nnn n n
注：
b
1. f (x)dx 与 f (x)dx 的差别 a
f (x)dx 是 f (x) 的全体原函数 是函数
b
f (x)dx是一个和式的极限 a
是一个确定的常数
n
2
.当
xf ( )Dx
i =1
[a, b]内运动的距离s为
v
v = v(t)
b
s=
v(t)dt。
a
t
Oa
b
根据定积分的定义右边图形的面积为y
S =
1
f (x)dx =
1 x2dx = 1
0
0
3
f(x)=x2
v DS1 DS2
2
g
g
D
g
S 3
gD
S
4
v(t )
=
- t2
+
2
S=1 3
DSj
O
1
x
gDSn 根据定积分的定义左边图形的面积为
分小割矩--形-近面似积代和替S-=--i=n-1求f 和(xi-)-D--x--=取i极=n1 限f (x得i )到 b解-n a决.
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，
记作
b f (x)dx，即 b
a
a
n
f (x)dx =lim 0 i=1
i
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
f(x) 及积分区间 [a,b有] 关，而与区间 a,b 的分法及 x
i
点的取法无关。
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
b
b
a f (x)dx = a f (t)dt = a f (u)du
4．规定：ab
f
(x)dx
=
a
-b
f
(x)dx
a
a f (x)dx = 0
f (x i)Dx
即
b a
f
( x)dx
=
lim
n
n i=1
b
n
a
f
(xi )
定积分的定义：即
b a
f
( x)dx
=
lim
n
n i=1
b
n
a
f
(xi )
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
y = f (x)
f(x) ——叫做被积函数，
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a