函数的最大值与最小值91022
函数的最大值、最小值 课件
2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［t,t+1］,t∈R，对称轴为 直线x=1.
当t+1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区 间［t,t+1］上为减函数，所以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值 为f(1)=1; 当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］ 上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.
1.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)有最小值-2，则f(x) 的最大值为( ) A.4 B.6 C.1 D.2 2.函数f(x)= 1－1 (x>0).
ax
(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)若函数f(x)的定义域与值域都是［ 1 , 2］，求a的值.
2
【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么? 2.题2(1)证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2) 是否有作用？ 探究提示： 1.求二次函数f(x)在某区间［m,n］上的最值的关键是判断函 数在［m,n］内的单调性. 2.证明f(x)单调性的步骤为取值→作差变形→定号→判断(结 论)，可以利用其单调性解决(2)中的值域问题，进而求出a的 值.
类型 一 图象法求函数最值(值域)
1.函数y=f(x)，x∈［－4,7］的图象如图，则其最大值、最
小值为( )
A.3，2
B.3，-2
C.3，0
D.2，-2
2.写出函数f(x)=|x+1|+|2－x|，x∈(－∞,3］的单调区间和
函数的基本性质最大小值高中数学必修一
课堂小结
1. 最值的概念；
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课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
作业
1. P.39 Ex5、6 B组 Ex1
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思考题：
1.已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有 f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时， f (x)＜0，f (1)＝ (1)求证f (x)是R上的减函数； (2)求f (x)在[－3, 3]上的最大值和最小值.
1.3 函数的基本性质 ——最大(小)值
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复习引入
问题1 函数f (x)＝x2. 在(－∞, 0]上是减函数， 在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0). 从而x∈R，都有f (x) ≥f (0). 因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
讲授新课
函数最小值概念：
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讲授新课
函数最小值概念：
经济数学34函数的最大值与最小值
LRC33q1q2．
L3q，
2
令 L0，得 q 3(百件).
L(3)10，所以当 q 3 时，函数取
得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最
大值点.
即产量为300件时取得最大利润.
ESC
二、最大值与最小值在经济中的应用
2.最小成本问题 例5 已知某个企业的成本函数为
最大值与最小值统称最值.
a x1 x2
x3 x4 b x
由最大值与最小值的定义知 ymaxf(x4),
ESC
yminf(a).
一 函数的最大值与最小值
极值
最值
ESC
1. 函数的极值是仅就函数
1. 而函数的最值是函数
y f (x)有定义的区间内某
y f(x)在所考察的区间
一点 x0的邻近,即在局部范
y 20，所以 q4.5时， y取得 q4.5
极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小 值．
y (4 .5 )2 9 (4 .5 ) 3 0 9 .7(千5元). q 4 .5 即产量为4.5吨时，平均可变成本取得最
小值9 750元.
ESC
二、最大值与最小值在经济中的应用
3．最大收益问题 例6 一家工厂生产一种成套的电器维修工
上比较函数值的大小,故
围内比较函数值的大小,故
y极小 y极大.
区别
必有 yminymax.
2.一个函数在一个区间上
2.一个函数在一个区间上
只能有一个最大值和最小
可以有几个极大值和极小
值.
值.
3.最值可在区间内部取得,
3.极值只能在区间内部取
也可在区间端点处取得.
得.
联系
若在区间内部求函数的最值,则只能在函数的极值中寻找. 特别是在解极值应用问题时,常常是下述情况:
函数的最大值和最小值
例1、求下列函数的最值： 、求下列函数的最值：
(1) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ R − 2 x − 3, x ∈ [ −1, 4]
( 2) y = x
2
( 3) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ [ −2, 0] − 2 x − 3, x ∈ [ 0, 4]
( 4) y = x
2
x2、函数的最ຫໍສະໝຸດ 值 、设函数y = f ( x) 在x0处的函数值是f ( x0 )
如果不等式f ( x) ≤ f ( x0 ) 对于定义域内任意x都成立， 记作ymax = f ( x0 ) 那么f ( x0 )叫做函数y = f ( x)的最大值。
y
f(x0) x 0 a x0 b
3、求函数的最值或值域的常见方法： 、求函数的最值或值域的常见方法： （1）利用一元二次函数的性质 ） （2）利用基本不等式 ） （3）利用函数的单调性 ） （4）利用一元二次方程有实根， ）利用一元二次方程有实根， 也称“△” 即△≥0也称“△”法。 也称“△”法 （5）利用“耐克”线 ）利用“耐克”
2
练习：求下列函数的最值： 练习：求下列函数的最值：
1 (1) y = 8 + 2 x − x , x ∈ −1, 2
2
( 2) y = 8 + 2x − x
2
, x ∈ ( −2, 2]
( 3) y = 8 + 2 x − x
2
,x ≤0
例2、求y = 8 + 2 x − x 的最值。
1 ( 5) y = x − ( x ≥ 2 ) x 2x +1 ( 6) y = ( x > 1) x −1
函数的最大值和最小值及应用举例ppt课件学习教案
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4
第四页，编辑于星期日：二十一点 五十分。
y 2x3 3x2 12x 14
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二、函数在某区间内可导且有唯一极 值点的情形
如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一
个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当 f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0) 是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值．
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1. 计算 f (3) 23; f (2) 34;
f (1) 7; f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
y
y
yf(x )
yf(x )
O
a
0f(x
)
0x
0f(x
)
b
x
O
a
0x
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b
x
6 第六页，编辑于星期日：二十一点 五十分。
例2 求函数 y x2 4x 3的最大值.
解 函数的定义域为R,
y 2x 4 2x 2.
令y 0,得驻点x 2.
显然：x 2是函数的极大值点.
由于函数在定义域内有唯一极值点，所以函 数的极大值就算函数的最大值.
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2 第二页，编辑于星期日：二十一点 五十分。
即 最大值M = max{f (a), f (x1), f (x2), ···, f (xn), f (b)} 最小值m = min{f (a), f (x1), f (x2), ···, f (xn), f (b)} 其中 xi 为 f (x)在(a,b)内的所有驻点和不可导点。
高等数学3.5函数的极值与最大值最小值（PDF）
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
定理1(必要条件) 设 f ( x) 在 x0 有导数，且在 x0 处
取得极值，则f (x0 ) 0
则 f ( x) 在 x0 取得极大值.
(2) 如果 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0 而 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0;
则 f ( x) 在 x0 取得 极小值.
y
o
x0
y
(是极值点情形)
xo
x0
x
一、函数极. 值的求法
定理2(第一充分条件)
设f
x
3
x 2, f ( x) 不存在. 但f ( x)在 x 2 连续
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1 是f ( x) 的极大值
一、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0, x0 )时, f '( x)
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值 为所求的最值
三、应用举例
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
函数的最大值和最小值
函数的最大值与最小值
a b 2、设 x, y 与 a, b 均为正实数，且满足 + = 1，求 x + y 的最小值. x y
a b π 2 2 解： 设 = sin t , = cos t , t ∈ (0, ). x y 2 a b x+ y = + = a csc 2 t + b sec 2 t sin 2 t cos 2 t
函数的最大值与最小值
x2 + x + 2 的最大值和最小值. 4、求函数y = 2 2x − x + 1
解： 本题可用判别式法求最值.
去分母得， y − 1) x 2 − ( y + 1) x + y − 2 = 0 (2
1 当y = 时，x = −1； 因为x ∈ R, 所以只须Δ ≥ 0. 2 1 当y ≠ 时，此为关于x的一元二次方程，且x, y 均为实数， 2
函数的最大值与最小值
主讲人：贺才兴
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值的常用求法：
(1) 配方法：把函数写成若干个非负代数式及一个常数的和， 从而估计出函数的上、下界，进而求出其最大、小值.
(2) 判别式法：把所求最值的函数放到某一个一元二次方程的 系数上，利用判别式求出该函数的上界或下界，从而求得 最值.
函数的最大值与最小值
6、已知实数 x, y 满足1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4，求 f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 的 最小值和最大值. 1 2 3 2 2 2 2 ∵ xy ≤ ( x + y ), ∴ f ( x, y ) = x + y + xy ≤ ( x + y 2 ) ≤ 6, 解： 2 2
函数的最大值和最小值精品文档7页
函数的最大值和最小值教材分析函数的最大（小）值是函数的一个重要性质。
它和求函数的值域有密切的关系，对于在闭区间上连续的函数，只要求出它的最值，就能写出这个函数的值域。
通过对本课的学习，学生不仅巩固了刚刚学过的函数单调性，并且锻炼了利用函数思想解决实际问题的能力；同时在问题解决的过程中学生还可以进一步体会数学在生活、实际中的应用，体会到函数问题处处存在于我们周围。
学情分析在初中学生对已经经历了中学函数学习的第一阶段，学习了函数的描述性概念接触了正比例函数，反比例函数一次函数二次函数等最简单的函数，了解了他们的图像和性质。
鉴于学生对二次函数已经有了一个初步的了解。
因此本节课从学生接触过的二次函数的图象入手，这样能使学生容易找出最高点或最低点。
但这只是感性上的认识。
为了让学生能用数学语言描述函数最值的概念，先从具体的函数y=x2入手，再推广到一般的函数y=ax2+bx+c (a≠0)。
让学生有一个从具体到抽象的认识过程。
对于函数最值概念的认识，学生的理解还不是很透彻，通过对概念的辨析，让学生真正理解最值概念的内涵。
例1与它的变式是本节的重点，通过对区间的改变，让学生对求二次函数的最值有一个更深的认识。
同时让学生体会到数形结合的魅力。
教学目标分析1、知识与技能目标：掌握函数最大、最小值的概念，能够解决与二次函数有关的最值问题，以及利用函数单调性求最值，会用函数的思想解决一些简单的实际问题。
2、过程与方法目标：通过函数最值的学习进一步研究函数，感悟函数的最值对于函数研究的作用。
3、情感态度、价值观目标：培养学生积极进行数学交流，乐于探索创新的科学精神。
教学重点和难点教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．四、教学方法本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．五、学习方法对于求函数的最值，高中学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．在本堂课学习中，学生发挥主体作用，主动地思考探究求解最值的最优策略，并归纳出自己的解题方法，将知识主动纳入已建构好的知识体系，真正做到“学会学习”。
第七讲 函数的最大值与最小值
第七讲函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z 的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u 有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以 p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4·y·(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习七1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x ≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。
数学北师大版高中选修1-1北师大版 - 选修1-1第四章 第二节导数在实际问题中的应用《函数的最大值与最小值》
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一
2.最大值一定比最小值大.
演示结束！
THANK YOU FOR WATCHING!
感谢聆听！
f (2)=2
f (1)=3
f (5)=11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的最大值为11，最小值为2
1 求f(x) x sinx在区间[0，2π ]上的最值。 3、 2
解 f ( x) 1 cos x
2
令
2 4 f ( x) 0 解得 x1 , x2 3 3
练 习
1 1 1 4 3 1.函数 y x x x 2 ，在［－1，1］上 3 2 的最小值为 4 ( )
A
A.0
B.－2
C.－1
D.13/12
2. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最 值
1 3. 求f(x) x sinx在区间[0，2π ]上的最值。 2
2. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最值 解法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函 数单调性处理 解法二: f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
3 2
4x y 2 2、函数 x 1
（ C ）
A.有最大值2，无最小值 B.无最大值，有最小值-2 C.最大值为2，最小值-2 D.无最值
高考链接：（浙江文科高考题） 2 f ( x ) ( x 4)( x a ) 已知a为实数， （Ⅰ）求导数 f ( x ) ；
f '( x) 3x 2ax 4
函数的最大值 与最小值
江西省石城中学 温 胜
2021届高中数学新人教版高中数学第一册函数的最大值、最小值含解析
函数的最大值与最小值值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数的最大值是0，有f(0)＝0.4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0 B．0,2C．f(－2)，2 D．f(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故y max＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故y min＝f(－2)．答案：C类型一图象法求函数的最值例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示．x －1|＋2的最大值为．时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－4a.时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关，而题中函数图象的，位置不确定，所以应按对称轴与区间3(x－2)2－7.2)2－7≥－7，无最大值．的图象如图所示，由图可知，在的单调区间；⎦⎥⎤－1，12上的最大值．⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．[0，＋∞) 上是增函数，上是减函数， 的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，[0[能力提升](20分钟，40分)11．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)解析：令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.答案：C12．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．解析：在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，由图象可知，函数f(x)在x＝2时取得最大值6.答案：613．求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，其图象的对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t ＋1]上为减函数，所以最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值g(t)＝f(1)＝1；第11 页共11 页。
高等数学3.3 函数的最大值和最小值
3：5,问D 选在何处，才能使从B到 C 的运费最少?
解 设 AD x(km),则 DB 100 x,CD 202 x2 ． A
B D
由于铁路每 km 货物运费
与公路每 km 货物运费之比为
3：5，因此，不妨设铁路上每
km 运费为3k ,则公路上每 km
运费为5k ,并设从 B 到 C 点需 C
,
x 0.
(2)求 S(x) 的最小值.
因为 令 S (x) = 0,
2V S( x) 4x x2 , 得可能极点值 x 3 V , 且唯一,
2
又 S( x) 4
4V x3
,
3 S
V 2
0
，
所
以
S
(
x)
在
3V x
处 取 得 最 小 值.
2
内目标函数的驻点又只有一个， 所以可以断言当
j 54 时， h 取得最大值， 且最大值为
h |j 54 15sin 54 – 3tan 54 – 2 6 (m).
由于车身高 1.5 m，因此实际可以将油罐吊到 约 7.5 m 的高度， 因而肯定能将它吊到 6.5 m 高的 平台上去.
例 5 有一块宽为2a 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折 起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为 x,问高 x取何值 时水槽的流量最大(下图所示为水槽的横截面）？
2a-2x
x
x
解 设两边各折起 x,则横截面积为
S(x) 2x(a x) (0 x a)
这样，问题归结为：当 x 为何值时，S(x) 取得最大值．
要的总运费为 y,则
y 5k 202 x2 3k (100 x) (0≤ x ≤ 100) .
函数的最大(小)值课件
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
函数的极值与最大值最小值
f (n) (x0 ) 0,
是极大点 .
2) 当 n为奇数时, 不是极值点 .
证 利用 在 点的泰勒公式 , 可得
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0)
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
当 充分接近 o((时x ,x上0 )式n ) 左端正负号由右端第一项确定 ,
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节
第五节 函数的极值与最大值最小值
第三章
函数的极值与
最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值 三、最优化问题及其应用
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、函数的极值及其求法
第五节 函数的极值与最大值最小值
定义
在其中当
时,
(1)
则称 为 的 极大值点,
说明： 这里没有直接以 为自
变量，是为了使计算简便. 如果以
1 2
O r
hR O
为自变量建立目标函数，可能会更方便些.
最简便的方法是是以h 为自变量建立目标函数
V (R2 h2 )h, 0 h R.
5x 400
x2
(k
3) ,
为某常数 )
y 5k
400 (400 x2 )32
令
得
又
所以 x 15为唯一的
极小值点 , 从而为最小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节 函数的极值与最大值最小值
函数的最大(小)值 课件
[解] (1)图象如图所示：
(2)由图可知 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域 为[－1,3]．
[规律方法] 利用图象求函数最值的方法：①画出函数 y＝fx的图象； ②观察图象，找出图象的最高点和最低点； ③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小 值.
[例题 2] 求函数 f(x)＝x＋4在[1,4]上的最值.
x
[解] 设 1≤x1<x2<2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42＝x1－x2＋4xx21－x2x1＝(x1－ x2)·1－x14x2＝(x1－x2)x1xx12－ x2 4＝x1－x2x1xx21x2－4. ∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0， ∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)是减函数． 同理 f(x)在[2,4]上是增函数． ∴当 x＝2 时，f(x)取得最小值 4；当 x＝1 或 x＝4 时，f(x)取得最大值 5.
f(x)图象上最低点的纵坐标
思考：若函数 f(x)≤M，则 M 一定是函数的最大值吗？
[提示] 不一定，只有定义域内存在一点 x0，使 f(x0)＝M 时，M 才是函数的最 大值，否则不是．
利用函数的图象求函数的最值(值域) 已知函数 f(x)＝3x－－3x2，，xx∈∈[2－，15，]. 2]， (1)在直角坐标系内画出 f(x)的图象． (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[0，1]的关系
[解] 因为函数 f(x)＝x2－ax＋1 的图象开口向上，其对称轴为 x＝2a， 当a2≤12，即 a≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝2－a； 当a2>12，即 a>1 时，f(x)的最大值为 f(0)＝1.
函数最大值和最小值课件
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x0∈I ，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最小值 ．
思考 函数最大值、最小值的几何
意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小
值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标．
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象， 指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象 上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1， －3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大 值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值 ，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2] ，[5,7]．
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息 ①所给函数为二次函数； ②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单 调性，再求最值．
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x －3)2－5，
(2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
思考
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
那么称M是函数y＝f(x)的最小值．
准确理解函数最大值的概念
②存在x0∈I ，使f(x0)＝M.
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练1：求函数y=x4-2x3在[-2,3]上的最大 值与最小值
练2：求函数 f(x)1ex(sixncoxs)
在区间
0
,
2
2
上的值域
2020/4/5
例2：已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在 [-2 , 2]上有最大值3，求此函数在[-2 , 2]上 的最小值。
例3：求函数
x 3 ,02) 时2,3矩3时形,的S(最x)m 大a面x3积923是.
32
3.
2020/4/5
2
9
练习3：在平面坐标系内，通过一已知点P （1，4）引一直线，使它在两坐标轴上的 截距都为正，且两截距之和为最小，求这 条直线方程。
2020/4/5
值 D函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
2020/4/5
4 函数 求的值
f(x)asin x1sin 3x在
3
x
3
处有极值，
2020/4/5
2020/4/5
二、新课——函数的最值 y
观察右边一
个定义在区间
[a,b]上的函数
y=f(x)的图象.
a x1 o X2
X3
bx
发现图中__f_(_x_1)_、__f(_x_3_) _是极小值，__f_(_x_2)____是极 大值，在区间上的函数的最大值是___f(_b_)_，最小值 是__f_(_x_3)__。
求可导函数的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f’(x) （2）求方程f’(x)=0的根
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义 区间分成若干个小开区间，并列成表格，检查f’(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得最小值；若果左右不改变符号， 那么f(x)在这个根处无极值。
2020/4/5
(2)下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B ) A y=-x3 B y=cos2x C y=tanx-x D y=1/x
3 下列说法正确的是 （ C ） 4 A 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 5 B 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极
练习2： 某厂生产某种产品件的总成本 c(x)12002 x3
75
（万元）又知产品单价的平方与产品件数x成反 比，生产100件这样的产品单价为50万元，问产 量定为多少件时总利润最大 ？
2020/4/5
例1: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积.
y
x x2 1
的最值
2020/4/5
求解函数最值的实际问题
例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等 的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无 盖的方底盒子，箱底边长为多少时，箱子 容积最 大？最大容积是多少？
60 60
2020/4/5xx练习1：求证：在同一圆的内接矩形中，正方 形面积最大。
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S(x)6x22x 41.6令 S(x)0,得x12233,x22233.
x1(0,2), 所以当 因此当点B为(2 2
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
2020/4/5
例1：求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上 的最大值与最小值
设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a ,b)内可导，求 f(x)在[a, b]上的最大值与最小值的步骤：
（1）求f(x)在(a ,b)内的极值 （2）将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最 大的一个是最大值，最小的一个是最小值