五年级奥数几何勾股定理与弦图A级学生版

通用版五年级奥数《勾股定理与弦图》讲义

华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海那边的的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德便问他在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即（AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2课前预习勾股定理与弦图点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(A级).学生版

华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海那边的的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德便问他在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下：两个全等的Rt△ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即（AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2课前预习勾股定理与弦图点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

五年级第一讲勾股定理(超二)

第一讲勾股定理与弦图一．知识精讲勾股定理的概念勾股定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形中的两条直角边的平方和等于斜边的平方．即若a 、b 为直角边，c 为斜边，则222a b c +=．勾股定理逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形．即△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，其中c 为最长边，若222a b c +=，则△ABC 是直角三角形，∠C 为直角．勾股数能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=，a 、b 、c 为正整数时，称a 、b 、c 为一组勾股数．（1）每组勾股数的相同整数倍也是勾股数．（2）3、4、5是勾股数，又是三个连续整数，并不是所有三个连续整数都是勾股数．（3）常见的勾股数有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等．勾股定理的证明外弦图内弦图二．例题精讲勾股定理初步基础练习：（1）如图在直角三角形ABC 中,AB =6，BC =8，求AC =______________．D CB Ab a a a a b b b ccc c D C B A b a a a a b bb c c c c D CB A a a b b c c AB C a bcAB C（2）如图在直角三角形ABC中,AB=8，AC=17，求．BC=______________．AB C【例题1】一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为多少厘米？【例题2】如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米）．【例题3】如图，四边形ABCD各边的边长均已标在图中，其中∠A=90°，求四边形ABCD的面积．勾股定理进阶【例题4】假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（下图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？【例题5】矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10.求CE的长。

小学奥数题库《几何》-直线型-勾股定理和弦图-5星题(含解析)

几何-直线型几何-勾股定理和弦图-5星题课程目标知识提要勾股定理和弦图• 勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即：AB 2 + AC 2 = BC 2 • 勾股图与弦图(a +b)2−4ab 2=a 2+2ab +b 2−2ab =c 2，所以c 2=a 2+b 2 (a −b)2+4ab2=a 2−2ab +b 2+2ab =c 2，所以c 2=a 2+b 2精选例题勾股定理和弦图1. 如下列图所示，长方形ABCD 中被嵌入了6个相同的正方形．AB =22厘米．BC =20厘米，那么每一个正方形的面积为平方厘米．【答案】40【分析】如下列图所示，对每个正方形作弦图，设小直角三角形的长直角边为x 厘米，短直角边为y 厘米，那么{3x +y =203x +2y =22，所以{x =6y =2，小正方形面积为62+22=40(平方厘米)． 2. 在下列图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔地连线，可以连出两个正方形．图中阴影局部的面积是平方厘米．【答案】288【分析】如下左图，记AD =a ，由对称性知，DB =a ，BC =a ．取E 为DC 中点，连接BE ，将△ABC 分成直角三角形ABE 和等腰直角三角形BEC ．四个△BEC 可以拼成一个边长a 的正方形．记BE=b，那么CE=b，DE=b．由AE=a+b，BE=b知：由4个△ABE和一个以a为边长的正方形可拼成一个以AB为边长的正方形〔如下右弦图〕．题中阴影可看做8个△ABE再加上8个△BEC的面积和，4个△ABE与4个△BEC拼成边长为12的正方形，因此此题答案为122×2=288平方厘米．3. 如下列图所示，一块边长为180厘米的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为40厘米的小正方形．现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来．剪出的正方形面积最大为平方厘米．【答案】18000【分析】如右图所示，铁片分为中间的正方形和四个长方形两局部，中间局部的面积为1002= 10000平方厘米，四个长方形每个的面积为40×100=4000平方厘米，剪出的最大正方形为中间的正方形加上四个长方形的一半，面积为10000+4000÷2×4=18000平方厘米．4. 平面上的五个点A，B，C，D，E满足：AB=16厘米，BC=8厘米，AD=10厘米，DE= 2厘米，AC=24厘米，AE=12厘米．如果三角形EAB的面积为96平方厘米，那么点A到CD的距离等于厘米．【答案】12013【分析】得三角形CAD是直角三角形，CD=26厘米，点A到CD的距离为10×2426=12013厘米．5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE=2BE，CF=2DF，连接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，那么S1:S2=．【答案】9:4【分析】连接BD、EF．设正方形ABCD边长为3，那么CE=CF=2,BE=DF=1,所以，EF2=22+22=8,BD2=32+32=18.因为EF2⋅BD2=8×18=144=122,所以EF⋅BD=12.由梯形蝴蝶定理，得S△GEF:S△GBD:S△DGF:S nBGE=EF2:BD2:EF⋅BD:EF⋅BD=8:18:12:12=4:9:6:6,所以，S△BGE=64+9+6+6S梯形BDFE=625S梯形BDFE.因为S△BCD=3×3÷2=92,S△CEF=2×2÷2=2,所以S 梯形BDFE =S △BCD −S △CEF =52, 所以， S △BGE =625×52=35. 由于△BGE 底边BE 上的高即为正方形PCNG 的边长，所以 CN =35×2÷1=65, ND =3−65=95, 所以AM:CN =DN:CN =3:2,那么S 1:S 2=AM 2:CN 2=9:4.6. 将矩形ABCD 分成四个全等的矩形，如下列图所示．假设AE =29厘米AF =41厘米，请问AC 的长度是多少厘米？【答案】71厘米【分析】设AD =a ，DE =EF =b ，所以a 2+b 2=292，a 2+(2b)2=412，由此得b 2=280．于是AC 2=a 2+(4b)2=(a 2+b 2)+15b 2=292+15×280=5041=712．所以AC =71厘米．7. 如下列图所示，长方形ABCD ，AB =24，BC =18，把AB 边对折到AC 上与AC 重合，把AD 边也对折到AC 上与AC 重合，请问得到的新图形的面积是多少？【答案】255【分析】如上图所示，把AB 对折到AC 上与AC 重合，把AD 对折到AC 上与AC 重合，得到四边形AECF ，由勾股定理，AC =30，设BE =EG =x ，S △ABC =S △BAE +S △AEC ，所以24×18÷2=24x ÷2+30x ÷2，那么x =8，设FH =DF =y ，S △ADC =S △ADF +S △AFC ，所以24×18÷2=18y ÷2+30y ÷2，那么y =9，S 四边形AECF =S △AEC +S △AFC =30×(8+9)÷2=255．8. 三角形ABC 中，线段AR ．BQ 分别是BC 、AC 边上的中线，且BQ 与AR 互相垂直．如下图，AC =8、BC =6．请问AB 2+BC 2+CA 2等于多少？【答案】120【分析】如右图所示，连接RQ ，AR 与BQ 交于O 点，设AO =c ，BO =a ，OR =d ，OQ =b ，因为c 2+b 2=AQ 2=14AC 2=16，a 2+d 2=BR 2=14BC 2=9，又因为a 2+c 2=AB 2，b 2+d 2=QR 2=14AB 2，所以54AB 2=a 2+b 2+c 2+d 2=16+9=25．所以AB 2=20．所以AB 2+AC 2+BC 2=20+64+36=120．9. 如下列图所示，点E 是正方形ABCD 的CD 边上的一点，以BE 为一条直角边作等腰直角三角形BEF ，斜边BF 交AD 于G ，AG =5厘米，GD =15厘米．求三角形BEF 的面积．【答案】272平方厘米【分析】如下列图作辅助线，由于AG =5，而AB =20，令SF =a ，而SB =4a ．而MN =20+20−a =4a ．解之得a=8，那么FN=12，MN=32，NE=20，那么阴影局部面积为：(122+202)÷2= 272(平方厘米)．10. 下列图是由边长为3厘米和4厘米的两个正方形组成．请按尺寸在发给你的彩纸上画上这一图形，再将它剪成3块，拼成一个大的正方形，并求这个大正方形的边长是多少？【答案】5厘米【分析】此题考査考生对弦图的认识．面积和=32+42=52，所以拼成大正方形边长为5．边长5厘米．拼法如下列图所示．11. 如下列图所示，对角线BD将矩形ABCD分割为两个三角形，AE和CF分別是两个三角形上的高，长度都等于6厘米，EF的长度为5厘米，求矩形ABCD的面积．【答案】78【分析】如下列图所示，将AE平移到AʹF，因为AE是三角形ABD的高，所以AE⊥BD，AʹF⊥BD，AAʹFE是矩形，并且Aʹ、F、C在同一条直线上面，再根据AAʹ⊥AʹF，运用勾股定理可以得到AC2=AAʹ2+AʹC2，其中AAʹ=EF=5厘米，AʹC=AE+FC=12厘米，由此根据勾股定理可求得矩形ABCD的对角线AC的长度为13厘米，由于BD也是矩形ABCD的对角线，所以BD 的长度也为13厘米，那么矩形ABCD的面积为三角形ABD和三角形BCD的面积之和，为13×6÷2×2=78(平方厘米)．12. 如下列图两个正方形的边长分别是a和b〔a>b〕，将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．【答案】见解析．【分析】拼成大正方形的面积应是a×a+b×b，设边长c，那么有等式c×c=a×a+b×b，又因为将边长为a的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线MN为大正方形边长，如图〔1〕，一定有MN×MN=a×a+b×b，而MH=a，那么：NH=b，所以AN=CM=BH=(a−b)÷2，由此可以确定MN，然后将MN绕中心O旋转90∘到EF位置，即可把正方形切成符合要求的4块．如图〔2〕与图〔3〕．这种分法同时确保图〔3〕的中间局部就是边长为b的小正方形．这是因为：中心四边形的角即边长为a的正方形的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形．中心正方形的边长=[a−(a−b)÷2]−(a−b)÷2=a−(a−b)=b．因此，中间局部是边长为b的正方形．13. 如图，以AD为直径的半圆O内接一个等腰梯形ABCD，梯形的上底是60，下底是100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影局部的面积是多少？〔π取3.14〕【答案】2258【分析】由可得，阴影局部的面积为梯形面积加以AB、BC、CD为直径的半圆面积减去以AD 为直径的半圆面积，作OE垂直于BC，根据勾股定理可得梯形的高OE为40，那么AB2=BF2+ AF2=402+202=2000，阴影局部的面积为：1 2(AD+BC)⋅OE+12π(AB2)2+12π(CD2)2+12π(BC2)2−12π(AO2)2=2258.14. 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？【答案】1.25平方米【分析】我们先按题目中的条件画出示意图〔如图a〕，我们先看图中剩下的长方形，它的面积为5平方米，它的长和宽相差0.5米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图〔如图b〕．图b 是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即0.5米．所以中间的小正方形的面积为0.5×0.5=0.25平方米那么大正方形的面积为5×4+0.25=20.25平方米因为4.5×4.5=20.25所以大正方形的边长等于4.5米．所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，所以剩下的长方形的长为：(4.5+0.5)÷2=2.5米即原正方形的边长为2.5米．又知锯下的长方形玻璃条的宽为0.5米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为2.5×0.5=1.25平方米15. 如下列图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形．【答案】见解析．【分析】实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设十字形面积是5个平方单位，长方形的长为x 长度单位，宽为x 2长度单位，那么有x x 2=5,x 2=10，即x 2=32+12，由勾股定理可知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边．它恰是两个对角顶点的连线．剪拼方法如下列图所示，甲拼在甲′位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形．【总结】假假设沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的4片是4个全等多边形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直．剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转90∘也和另一个重合．由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中心沿360∘÷4=90∘角的两边切开，得到整个图形的14，这个14的图形假设绕中心旋转90∘一定和另外的14的图形重合．对于一个正三角形来讲，如果从中心沿360∘÷3=120∘角的两边切开，得到整个图形的13，这个13的图形假设绕中心旋转120∘一定也和另外的13的图形重合．一般情况：对于一个正n 边形，如果从它的中心沿360∘n 的角的两边剪开，得到整个图形的1n ，这个1n 的图形假设绕中心旋转360∘n 角，一定也和另一个1n 图形重合． 16. 从一个正方形的木板上锯下宽1m 的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为6m 2，问锯下的长方形木条面积是多少？【答案】6m 2【分析】我们用构造“弦图〞的方法，取同样大小的4个剩下的长方形木板拼成一个大正方形〔如右下列图〕，同时中间形成了一个小正方形〔图中阴影局部〕．仔细观察这幅图就会发现，中间阴影小正方形的边长正好是长方形木板的长与宽之差〔1m 〕．那么，阴影小正方形的面积1×1=1(m 2)所以，整个大正方形的面积是1+4×6=25=5×5(m 2)求得大正方形的边长为5m ．那么，剩下的长方形木条的长−宽=1，长+宽=5，可得剩下的长方形木条的长为(5+1)÷2=3(m)宽为(5−1)÷2=2(m)所以，锯下的长方形木条面积是3×2=6(m2)。

三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型(学生版+解析版)

三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。

弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。

一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。

广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

图1图2图3(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH =S正方形ABCD+S正方形PQMN.1(2023秋·湖北·九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么图中小正方形的面积是()A.2B.3C.4D.52(2022·安徽安庆·八年级期末)汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD =45，则△ADE的面积为()A.24B.6C.25D.2103(2023·山西八年级期末)如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.24B.52C.61D.764(2022·杭州九年级月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是()A.S1=2B.S2=3C.S3=6D.S1+S3=85(2023·广东·九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是模型2. 勾股树模型6(2022·福建·八年级期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是．7(2022·浙江·乐清市八年级期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()A.S 甲=S 丁B.S 乙=S 丙C.S 甲-S 乙=S 丁-S 丙D.S 甲+S 乙=S 丙+S 丁8(2022·河南八年级期末)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，⋯按照此规律继续下去，则S 9的值为()A.126B.127C.128D.1299(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．10(2023·浙江八年级期中)如图，以Rt △ABC 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为S 1、S 2，Rt △ABC 的面积S 3．若S 1=4，S 2=8，则S 3的值为．11(2022春·浙江温州·九年级校考开学考试)如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连接KN 交AG 于点M ，若S 1S 2=916，则tan ∠ACB 为()A.12B.23C.34D.51212(2023·贵州遵义·统考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB =90°，分别以Rt △ABC 的三条边为边向外作正方形，连接BE ，DG 、BE ，交AC 于点Q ，若∠BAC =30°，BC =2，则四边形EQGD 的面积是．13(2023秋·浙江·八年级专题练习)【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】(1)请叙述勾股定理；(2)验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：(以下图形均满足验证勾股定理所需的条件)【探索发现】(3)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(4)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．课后专项训练1(2022·云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上增加了8个正方形，⋯⋯，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是()A.12B.32C.64D.1282(2022·浙江初三期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC=8，则BC的长为()图1图2A.42B.6C.254D.1323(2023·浙江·杭州八年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1-S2=12，S△ABC=4，则正方形BCFG的面积为()A.16B.18C.20D.224(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF 的长为()A.9B.92C.32D.35(2022·四川成都·模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积6(2023春·广东潮州·九年级校考期末)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD 的面积的大小为()A.144B.100C.49D.257(2023春·湖北武汉·八年级统考期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，中空的部分是小正方形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ，若GO =GP ，则直角三角形的边CG 与BG 之比是()A.12B.25C.2-1D.3-28(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC 为等边三角形，AD 、BE 、CF 围成的△DEF 也是等边三角形．已知点D 、E 、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点，若△ABC 的面积为14，则△DEF 的面积是()A.1B.2C.3D.49(2023·河北石家庄·校考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BE，DG，BE交AC于点Q．若∠BAC=30°，BC=2，则四边形EQGD的面积是()B.23C.53+3D.3A.53+3210(2023·江苏扬州·统考中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为．11(2022秋·四川成都·八年级校考期中)“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图1)，欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相交于点P,Q．若∠ABE=30°，则DGQM的值为.12(2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中)如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：(1)S1、S2、S3满足的数量关系是．(2)现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则S△ACB=．13(2023·湖北孝感·统考三模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．14(2022·山东临沂·统考二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1(如图1)，则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为(用含n的式子表示，n为正整数)．15(2023·浙江台州·八年级校考期中)如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O(正方形两条对角线的交点)，则Ⅱ中有水部分的面积为．16(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=．17(2023·江苏徐州·统考二模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接AC，若AG平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为2，则正方形ABCD的面积为．18(2023·陕西渭南·统考二模)魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，则BF的长为．19(2022·宁夏吴忠·统考一模)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为．20(2023·山东济宁·统考二模)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=；②b与c的关系为，a与d的关系为．21(2022·湖南·八年级课时练习)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长24，OC=3，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3，若S1+S2+S3=40，求S2．22(2023·广东深圳·校联考三模)中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC=3，斜边AB=5，则中间小正方形的边长CD=，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC=90°，BP=10时，△PAB的面积为．拓展延伸：如图③，已知∠MBN=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．(1)已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF=BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．(2)在(1)的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB=10，CF=2时，直接写出线段DE的长．三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

五年级奥数春季班第1讲-勾股定理

第一讲勾股定理模块1、常见勾股数及辅助线例1．（1）如图，下列未知边的长度分别是、、。

（2）如图，下列图形的面积分别是、、。

解：（1）应用勾股定理：第1个直角三角形中两条直角边分别是3和4，所以斜边长为5；第2个直角三角形中斜边长为13，一条直角边长为5，所以另一条直角边的长为12；第3个直角三角形中，斜边长为25，一条直角边长为24，所以另一条直角边的长为7。

（2）第1个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，另一条直角边长为6，所以三角形的面积是186242⨯⨯=；第2个直角三角形的斜边长为1.3，一条直角边长为1.2，另一条直角边长为0.5，所以三角形的面积是11.20.50.32⨯⨯=；第3的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为2和1.5，它的面积是S 1=1.5，斜边长为2.5，大直角三角形的斜边是6.5，一条直角边长为2.5，所以另一条直角边长为6，面积S 2=12.567.52⨯⨯=，于是面积等于S 1+S 2=9.例2．（1）如左图，梯形的周长为，面积为；如右图，梯形的周长为，面积为；?581.22222（2）下图的梯形ABCD 的对角线AC 和BD 相互垂直，已知AD =3，AC =9，BD =12，则BC 的长度为。

解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为20，一条直角边长为12，所以另一条直角边长为16，于是周长=20+10+16+22=68，面积=116(1022)2562⨯⨯+=；第2个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为0.5，0.9，于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积=11.2(0.62) 1.562⨯⨯+=。

（2）如图平移AC 到DE ，连结CE ，CE =AD =3，DE =AC =9，在直角三角形BDE 中，BD =12，DE =9，所以斜边BE =15，解得BC =BE −CE =15−3=12。

小学奥数-勾股与弦图

勾股与弦图定义：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么a b ，c ．222a b c +=中， ,则Rt ABC △90C ∠=︒222a b c +=直角三角形中常用数：⑴ 整数边：；；；；；()345，，()6810，，()51213，，()72425，，()81517，，等；()94041，，⑵ 如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数（k 为正数） ()a b c ，，()ak bk ck ，，勾股定理的使用常常会联系弦图，如下图分别为外弦图和内弦图：外弦图内弦图cba C B A【例1】如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．【例2】如图，以三角形ABC的三边为边长向外作三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积.【例3】如图，是由一个直角边都是1的直角三角形向外作直角三角形得到，形成一个美丽的螺旋图案，第8个直角三角形的斜边是多少？【例4】如图所示，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，最大正方形的边长是7，问：除最大正方形外的所有正方形的面积之和是多少？【例5】如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为．【例6】下图是学校一个正方形花圃的设计图，图中阴影部分是花圃，空白部分是草坪。

求花圃的面积是多少平方米？【例7】如图，是由四个完全相同的长方形拼成，大正方形的面积是100平方分米，小正方形的面积是16平方分米，则每个长方形的面积是多少平方分米，长方形的短边是多少分米？【例8】如图，CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角形ADE 的面积.【例9】如下图所示，两个正方形ABCD 和DEFG 的边长都是整数厘米，点E 在线段CD 上，且CE<DE,线段CF=5厘米，则五边形ABCFG 的面积等于多少平方厘米？FGDECB A【例10】如下图所示，一个边长为10厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO距离为8厘米，那么点C距离地面的高度是多少厘米？。

几何第17讲_弦图(学生版)A4

勾股弦方图是一种证明勾股定理的图像，具体来说就是：用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在这幅“勾股弦方图”中，以弦为边长的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的．每个直角三角形的面积为(2)a b ⨯÷；中间的小正方形边长为()b a -，则面积为2()b a -．于是便可得如下的式子：22 4(2)()a b b a c ⨯⨯÷+-=，化简后便可得：222a b c +=．重难点：弦图的实际应用．题模一：正方形弦图例1.1.1如图，大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和为5，则中间小正方形的面积为_____．例1.1.2如右图，直角三角形PQR 的两个直角边分别为5厘米，9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？例1.1.3如图，四边形CDEF 是正方形．四边形ABCD 是等腰梯形，它的上底4AD =厘米，下底8BC =厘米．求三角形ADE 的面积．几何第17讲_弦图a b例1.1.4如下图所示，五边形ABCDEF 面积是2014平方厘米，BC 与CE 垂直于C 点，EF 与CE 垂直于E 点，四边形ABDF 是正方形，:3:2CD DE ．那么，三角形ACE 的面积是多少平方厘米？题模二：一般四边形弦图例1.2.1如果长方形ABCD 的面积是562cm ，那么四边形MNPQ 的面积是多少2cm ？例1.2.2如图，将矩形ABCD 分成15个大小相等的正方形，E 、F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 、CD 边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积为多少？EABCDFFEDC BA235 C PBNAMDQ AF BGCHD E例1.2.3图中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．例1.2.4有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为多少?随练 1.1如图，三角形ABC 是直角三角形，四边形ACDE 、FGBA 都是正方形6AB =， 8BC =，那么三角形AEF 的面积是多少？随练1.2如图6，阴影小正方形的边长是2，最外面的大正方形的边长是6，则正方形ABCD 的面积是___________．随练1.3图中外侧的四边形是一个边长为12的正方形，那么阴影部分的面积是________．2厘米 3厘米FEDCBAGDCBA图6作业1以三角形ABC 的两条边为边长，做两个正方形BDEC 和ACFG ．已知三角形ABC 与正方形BDEC 的面积比，以及正方形BDEC 和ACFG 的边长的比都是3：5，求三角形CEF 与整个图形面积的最简整数比是多少？作业2在边长等于5的正方形内有一个平行四边形（如图），这个平行四边形的面积为__________．作业3如图，图中最大的长方形面积是27，最小的长方形面积是5，求阴影部分的面积__________．作业4如图，在边长为20的正方形中，有一个四边形，那么阴影部分的面积是_______．34DEFGCBA。

小学奥数模块教程勾股定理与弦图(A级)

华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海那边的的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德便问他在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下：两个全等的Rt △ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即（AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？课前预习勾股定理与弦图在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

【培优奥数专题】五年级下册数学-勾股定理(解析版)

【培优奥数专题】五年级下册数学-勾股定理（解析版）一、知识点1、历史三千多年前，周朝数学家商高提出“勾三股四弦五”最早由公元前3世纪中我汉代数学家赵爽在《周髀算经》注解时给出相传，公元前550年，古希腊毕达哥拉斯首先发现，但其证明方法已失传2、概念直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方例如：两直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则a²＋b²＝c²3、勾股数组概念：指满足算式a²＋b²＝c²的三个正整数常见的勾股数组：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）变形的勾股数组：将上面四组勾股数组中任意一组的三个数同时扩大或缩小相同的倍数之后仍然是勾股数组4、勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边长a、b、c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形二、学习目标1.我能够了解勾股定理的概念。

2.我能够理解勾股定理的逆定理，并能准确判断一个三角形是否为直角三角形。

3.我能够运用勾股定理解决简单的实际问题。

三、课前练习1.计算下列各题，并牢牢记住答案。

11²＝12²＝13²＝14²＝15²＝16²＝17²＝18²＝19²＝20²＝21²＝22²＝23²＝24²＝25²＝【解答】1211441691962252562893243614004414845295766252.画出下面图形的对称轴，并说一说你有什么发现？【解答】略四、典型例题思路点拨如何判断三角形为直角三角形如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

最长边所对的角为直角。

例题11.下列各组数中能恰好作为直角三角形三边长的是。

A.（4，5，6）B.（16，12，10）C.（10，24，26）D.（5，14，17）【解答】根据两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形发现只有C符合10²＋24²＝26²。

五年级奥数几何专项九勾股定理与弦图(二)

专项九勾股定理与弦图（二）课前预习华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

小学奥数勾股定理知识点+例题+练习 (分类全面)

勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2o勾膻定理勾股数★满足关系a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数。

★常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17:④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15…注意：①3,4,5既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为三个连续整数都是勾股数；②每组勾股数的相同倍数也是勾股数；（如：3,4,5；6,8,10；9,12,15）③勾股数必须都是正整数，（如：0.3,0.4,0.5都是小数，因而不是勾股数）3米例2、一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树的底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米？巩固、如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？巩固、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000m 处,过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m,则飞机速度是多少？例3、暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km.丄埋宝藏点632登陆点8巩固、轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B,求AB 两地间的距离.例4、一个圆桶，底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为多少厘米?如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？B例5、下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B，C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是？巩固、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是cm2.巩固、如图所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为?例6、如图，已知直角三角形两直角边BC，AC的长分别为3cm和4cm,那么CD有多长?巩固、三角形的三边长分别为6,&10，它的最短边上的高为，最长边上的高为巩固、若直角三角形的三边长分别为X,6,8,则X2=例7、等腰三角形ABC的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为多少？巩固、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

小学奥数勾股定理与弦图经典例题【三篇】

【导语】芬芳袭⼈花枝俏，喜⽓盈门捷报到。

⼼花怒放看通知，梦想实现今⽇事，喜笑颜开忆往昔，勤学苦读最美丽。

在学习中学会复习，在运⽤中培养能⼒，在总结中不断提⾼。

以下是为⼤家整理的《⼩学奥数勾股定理与弦图经典例题【三篇】》供您查阅。

【第⼀篇】
　例1、如图所⽰，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的⾯积都等于1680平⽅厘⽶，阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分。

如果要在阴影部分内部放⼊⼀个尽可能⼤的圆，则这个圆的⾯积等于多少平⽅厘⽶？
【第⼆篇】
例2、如图，⾃△ABC内部⼀点P向AB、BC、CA作垂线，垂⾜依次为F、D、E，以AF、FB、BD、DC、CE、EA为边长分别向外作正⽅形，这六个正⽅形的⾯积依次记为S[sub]1[/sub]、S[sub]2[/sub]、S[sub]3[/sub]、S[sub]4[/sub]、
S[sub]5[/sub]、S[sub]6[/sub]，如果S[sub]6[/sub]-S[sub]5[/sub]=2，S[sub]4[/sub]-S[sub]3[/sub]=1，那么试求S[sub]1[/sub]-
S[sub]2[/sub]的值。

【第三篇】
　例3、如图所⽰，直⾓三⾓形PQR的直⾓边为5厘⽶和9厘⽶，问图中3个正⽅形⾯积之和⽐4个三⾓形⾯积之和⼤多少？。

五年级几何勾股定理学生版

知识要点勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方和等于斜边的平方。

222a b c += 关键词：直角三角形勾股定理的逆定理：若一个三角形的某两条边的平方和等于剩余的一条边的平方，则这个三角形一定是直角三角形。

关键词：判定直角三角形直角三角形的性质：hcbaDCBA在直角三角形ABC 中，AB 为斜边，AC 为直角边，BC 为直角边，CD 是斜边上的高。

a 、b 、c 分别是边BC 、AC 、AB 的边长。

勾股定理：222a b c +=。

222h BD a +=；222h AD b += 其他性质：a b c h ⨯=⨯，DCB A ∠=∠,ACD B ∠=∠勾股定理面积计算【例1】如图所示，以直角三角形ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S ,且14S =,28S =,则3S =?S 3S 2S 1CBA【例2】证明：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积，即：A B C S S S +=C BA【例3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为2______cm 。

ABCD7cm【例4】如图，大正方形由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成。

若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积。

【例5】如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以直角边为边，分别向外作正方形②和②’，……，依此类推，若正方形①的边长为64，则正方形⑦的边长为______。

②'③'④'④③②①【例6】园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB =米，4BC =米，12CD =米，13DA =米，且AB BC ⊥,这块草坪的面积是（）CABD【例7】四边形ABCD 中，90B ∠=o ，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，求四边形ABCD 的面积。

三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型(学生版)

三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。

弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。

一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。

广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

图1图2图3(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH =S正方形ABCD+S正方形PQMN.1(2023秋·湖北·九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么图中小正方形的面积是()A.2B.3C.4D.52(2022·安徽安庆·八年级期末)汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD =45，则△ADE的面积为()A.24B.6C.25D.2103(2023·山西八年级期末)如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.24B.52C.61D.764(2022·杭州九年级月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是()A.S1=2B.S2=3C.S3=6D.S1+S3=85(2023·广东·九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是模型2. 勾股树模型6(2022·福建·八年级期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是．7(2022·浙江·乐清市八年级期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()A.S 甲=S 丁B.S 乙=S 丙C.S 甲-S 乙=S 丁-S 丙D.S 甲+S 乙=S 丙+S 丁8(2022·河南八年级期末)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，⋯按照此规律继续下去，则S 9的值为()A.126B.127C.128D.1299(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．10(2023·浙江八年级期中)如图，以Rt △ABC 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为S 1、S 2，Rt △ABC 的面积S 3．若S 1=4，S 2=8，则S 3的值为．11(2022春·浙江温州·九年级校考开学考试)如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连接KN 交AG 于点M ，若S 1S 2=916，则tan ∠ACB 为()A.12B.23C.34D.51212(2023·贵州遵义·统考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB =90°，分别以Rt △ABC 的三条边为边向外作正方形，连接BE ，DG 、BE ，交AC 于点Q ，若∠BAC =30°，BC =2，则四边形EQGD 的面积是．13(2023秋·浙江·八年级专题练习)【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】(1)请叙述勾股定理；(2)验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：(以下图形均满足验证勾股定理所需的条件)【探索发现】(3)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(4)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．课后专项训练1(2022·云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上增加了8个正方形，⋯⋯，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是()A.12B.32C.64D.1282(2022·浙江初三期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC=8，则BC的长为()图1图2A.42B.6C.254D.1323(2023·浙江·杭州八年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1-S2=12，S△ABC=4，则正方形BCFG的面积为()A.16B.18C.20D.224(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF 的长为()A.9B.92C.32D.35(2022·四川成都·模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积6(2023春·广东潮州·九年级校考期末)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD 的面积的大小为()A.144B.100C.49D.257(2023春·湖北武汉·八年级统考期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，中空的部分是小正方形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ，若GO =GP ，则直角三角形的边CG 与BG 之比是()A.12B.25C.2-1D.3-28(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC 为等边三角形，AD 、BE 、CF 围成的△DEF 也是等边三角形．已知点D 、E 、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点，若△ABC 的面积为14，则△DEF 的面积是()A.1B.2C.3D.49(2023·河北石家庄·校考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BE，DG，BE交AC于点Q．若∠BAC=30°，BC=2，则四边形EQGD的面积是()B.23C.53+3D.3A.53+3210(2023·江苏扬州·统考中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为．11(2022秋·四川成都·八年级校考期中)“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图1)，欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相交于点P,Q．若∠ABE=30°，则DGQM的值为.12(2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中)如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：(1)S1、S2、S3满足的数量关系是．(2)现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则S△ACB=．13(2023·湖北孝感·统考三模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．14(2022·山东临沂·统考二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1(如图1)，则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为(用含n的式子表示，n为正整数)．15(2023·浙江台州·八年级校考期中)如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O(正方形两条对角线的交点)，则Ⅱ中有水部分的面积为．16(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=．17(2023·江苏徐州·统考二模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接AC，若AG平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为2，则正方形ABCD的面积为．18(2023·陕西渭南·统考二模)魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，则BF的长为．19(2022·宁夏吴忠·统考一模)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为．20(2023·山东济宁·统考二模)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=；②b与c的关系为，a与d的关系为．21(2022·湖南·八年级课时练习)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长24，OC=3，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3，若S1+S2+S3=40，求S2．22(2023·广东深圳·校联考三模)中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC=3，斜边AB=5，则中间小正方形的边长CD=，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC=90°，BP=10时，△PAB的面积为．拓展延伸：如图③，已知∠MBN=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．(1)已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF=BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．(2)在(1)的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB=10，CF=2时，直接写出线段DE的长．。

小学奥数几何模型专项课件-勾股定理课件

总结归纳
总结归纳
直角三角形三边关系
直接利用
进行构造
勾股定理
巩固提升
巩固提升
作业1：如图，每个直角三角形的一条直角边都是1厘米，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业2：7个正方形如图进行摆放，已知其中3个正方形的面积，求其余4个正方形的面积之和.
巩固提升
作业3：如图，直角三角形ABC中，已知AB=6厘米，BC=8厘米，且点O到三条边的距离相等，求图中阴影部分的面积.
目录
专题解析例题讲授总结归纳巩固提升
专题解析
专题解析
勾股定理勾股定理作为直角三角形中最为重要的一条定理，也是几何部分最重要的定理之一，其主要研究的是直角三角形三条边的关系，即两直角边的平方和等于斜边平方. 基本要求直角三角形，一定满足勾股定理；满足勾股定理的三角形一定是直角三角形.
S梯
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c 2；
S梯
1（a 2
b）2
ab
1 2
a2
1 2
b2；
则1 c2 1 a2 1 b2，即a2 b2 c2 . 222
专题解析
勾股数我们将满足勾股定理的三个数称之为一组勾股数，下面列出常见的一些.
3
4
5
6
8
10
9
12
15
12
16
20
…
…
…

例题讲授
例5：如图，正方形ABCD中，以CD为斜边作直角三角形CDE，已知CE=3，DE=5，求图中阴影部分的面积.
例题讲授
练一练5：如图，长方形ABCD的长是16厘米，宽是12厘米，E为BC边上一点，过E点向AC、BD作垂线，垂足分别是F、G，求EF+EG.

(完整版)小学奥数勾股定理与弦图讲解

的面积。

⑴大正方形边长为：a＋b
⑵小正方形边长为：a－b
一个直角三角形的斜边长 8 厘米，两个直角边的长度差为2 厘
米，求这个三角形的面积？
【例 7】(★★★★★)
从一块正方形玻璃上裁下宽为16 分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336 平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？
自我检测
1.将长为10 米的梯子斜靠在墙上，若梯子上端到墙的底端距离为6
米，则梯足到墙的底端距离为__________米．
2.若直角三角形一直角边和斜边分别为17 和145 ，则另一直角边
为___________。

3.已知一个直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边长的平方
是。

4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2．
5.如图在△ABC中，AB =15,AC=13,高AD=12，则△ABC的面积为？
易错题
（1）某人以匀速行走在一条公路上，公路两端的车站每隔相同的时间开出一辆公共汽车，该行人发现每隔30分钟就会有一辆公共汽车追上他；而每隔20分钟有一辆公共汽车迎面开来．问车站每隔多少分钟开出一辆车？。

勾股定理课件

60°，∠B = ∠D = 90°，求四边形ABCD的面积.
解：延长，，相交于点.
在Rt∆中, ∠ = 90° − 60° = 30°. ∴ = 2 = 2.
根据勾股定理，得 = 2 − 2 = 3. 在Rt∆中, ∠ = 30°.
∴A = 2 = 4. =
勾股定理
直角三角形中有一个角是直角，它的三条边的长具有特出的关系，下面我
们就研究直角三角形三条边的关系.
勾股定理
勾股定理
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边的长分别为, ，斜边长为,那么 + = .
如图1，∆中，∠ = 90°.下面
探究, , 的关系.
用四个与∆ 全等三角形拼成如图
2的图形.
显然，正方形 =4∆ + 正方形.
1
2
图1
2 = 4 × + ( − )2
勾股定理

+

=

赵爽弦图
图2
【例题1】如图，分别以直角三角形三边为边，向外做正方形，其中两个以
直角边为边的正方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（）.
C
A.6
B.10
C.12
分析： Rt∆
2
2
=
=
2
52
−
如图, ∥ , ∥
−
32
2
= 16
= 4
∆ =
D.15
1
×4×3=6
2
3
∠1 = ∠2, ∠ = ∠
=
∆≌∆
四边形ABCD = 2 × 6 = 12
即(2)2 +(3)2 = 132 .

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