高一数学弧度制学案
弧度制教学设计【优秀4篇】

弧度制教学设计【优秀4篇】高一数学必修四教案篇一一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式。
通过简单运用,使学生初步理解公式的结构及其功能,为建立其它和(差)公式打好基础。
二、教学重、难点1.教学重点:通过探索得到两角差的余弦公式;2.教学难点:探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题,还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方法的能力问题,等等。
三、学法与教学用具1.学法:启发式教学2.教学用具:多媒体四、教学设想:(一)导入:我们在初中时就知道?,,由此我们能否得到大家可以猜想,是不是等于呢?根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的!下面我们就一起探讨两角差的余弦公式(二)探讨过程:在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设角的终边与单位圆的交点为,等于角与单位圆交点的横坐标,也可以用角的余弦线来表示,大家思考:怎样构造角和角?(注意:要与它们的正弦线、余弦线联系起来。
)展示多媒体动画课件,通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与xx之间的关系,由此得到,认识两角差余弦公式的结构。
思考:我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题,两角差余弦公式我们能否用向量的'知识来证明?提示:1、结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的?2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果?展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处,体会向量方法的作用与便利之处。
思考:再利用两角差的余弦公式得出(三)例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求、的值。
解:分析:把、构造成两个特殊角的和、差。
点评:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:,要学会灵活运用。
例2、已知,是第三象限角,求的值。
解:因为,由此得又因为是第三象限角,所以所以点评:注意角、的象限,也就是符号问题。
(四)小结:本节我们学习了两角差的余弦公式,首先要认识公式结构的特征,了解公式的推导过程,熟知由此衍变的两角和的余弦公式。
弧度制教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

课堂教学设计学科:数学姓名:课题:5.1.2弧度制课型:新授课课程标准分析本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着承上启下的作用。
通过本节弧度制的学习,我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式,也为今后学习三角函数带来了很大方便。
教学背景分析(一)课题及教学内容分析前一节已经学习了任意角的概念,而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法--弧度制,从而将角与实数建立一一对应的关系,为学习本章的核心内容三角函数扫平障碍,打下基础。
(二)学生情况分析学生在上一节已经学习了任意角的概念,对角的概念在初中也有学习,并且具备一定计算能力,所以学生学习本节内容还是比较也有兴趣的,但学生的逻辑思维较弱,还需要老师的引导。
学习目标1.理解角的弧度制表示,掌握角的角度制与弧度数的互化2.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式并灵活运用教学重点和难点重点:弧度制的定义、弧度制和角度值的换算、弧度制下扇形的弧长、面积公式难点:弧度制的概念与角度的换算教学资源和教学方法教学资源:ppt教学方法:指导学生独立思考,以同学之间互相讨论进行学习。
运用“问题探究”的教学模式,层层深入地设置问题,采用发现式教学。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图教师个人二次备课环节一课题导入:姚明的身高是2.26米,但在NBA官方数据中却是7.5英尺弧度制数学史:瑞士数学家欧拉,1748在他的一部划时代的著作《无穷小分析概论》中,正式定义弧度制。
学生课前预习,对教师提出问题进行回答。
学生可以发现长度可以用不同的单位制进行度量及弧度制什么时候被定义的。
环节二弧度制的定义问1如图,射线OA绕端点O旋转到OB形成角α.在旋转过程中,射线OA上的点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧,这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°,OP=r,点P所形成的圆弧PP1的长为l.回忆初中所学知识,弧长l如何用圆心角α来表示?l与r的比值是多少?合作交流:借助初中已有知识,完成ppt上的表格并探究弧长与半径的比值与半径和圆心角的关系。
学案6:5.1.2 弧度制

5.1.2 弧度制[目标] 1.知道弧度制;2.记住1弧度的角的概念及弧长公式、扇形的面积公式;3.能进行弧度与角度的互化.[重点] 弧度与角度的互化.[难点] 1弧度角的概念的理解.【要点整合】知识点一 角的单位制[填一填](1)角度制⎩⎪⎨⎪⎧ 1度的角:规定周角的1360为1度的角.定义:用 作为单位来度量角的单位制.(2)弧度制⎩⎪⎨⎪⎧ 1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角.记作: 或 .定义:用 作为单位来度量角的单位制.[答一答]1.扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗?2.在半径不同的圆中,1度的角的大小是否相等?1弧度的角的大小是否相等?知识点二 任意角的弧度数与实数的对应关系 [填一填](1)正角:正角的弧度数是一个 .(2)负角:负角的弧度数是一个 .(3)零角:零角的弧度数是 .(4)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=l r. [答一答]3.判断下列说法是否正确:(1)在弧度制下,角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系.(2)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应.(3)用角度制和弧度制度量任一角,单位不同,量数也不同.4.角α=6这种表达方式正确吗?知识点三 角度与弧度的互化[填一填][答一答]5.在同一个式子中,角度制与弧度制能否混用?为什么?知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式[填一填]扇形的半径为R ,弧长为l ,α(0<α<2π)为圆心角,则扇形弧长为l = ,周长为 ,扇形面积S =12lR =12αR 2.[答一答]6.角度制下的弧长公式和扇形面积公式是什么?与弧度制下的公式相比哪个更优化一些?【典例讲练】类型一 弧度制的概念[例1] 有关角的度量给出以下说法:①1°的角是周角的1360,1 rad 的角是周角的12π; ②1 rad 的角等于1度的角;③180°的角一定等于π rad 的角;④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.其中正确的说法是________.[通法提炼]解决概念辨析问题的关键是准确理解概念,如本题中要准确理解1弧度角的概念,知道角度制与弧度制的关系.[变式训练1] 下列说法中,错误的是( )A .半圆所对的圆心角是π radB .周角的大小等于2πC .1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D .长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度类型二 角度制与弧度制的互化命题视角1:角度制与弧度制的换算[例2] 将下列角度与弧度进行互化:(1)36°;(2)-112°30′;(3)7π12;(4)-11π5.[通法提炼]将角度转化为弧度时,在把带有分、秒的部分化为度之后,牢记π rad =180°即可求解.把弧度转化为角度时,直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可.[变式训练2] (1)-630°化为弧度为 ;(2)-78π= ; (3)α=-3 rad ,它是第 象限角.命题视角2:用弧度制表示终边相同的角[例3] (1)把-1 480°写成α+2k π(k ∈Z )的形式,其中0≤α<2π;(2)在[0,4π]中找出与2π5角终边相同的角.[通法提炼]用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为β=α+2k πk ∈Z ,这些角所组成的集合为{β|β=α+2k π,k ∈Z }.[变式训练3] 将下列各角化成2k π+α(0≤α<2π,k ∈Z )的形式,并指出它们是第几象限角.(1) -1 725°;(2)870°.类型三 弧长公式与扇形面积公式[例4] (1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( )A .2B .sin2 C.2sin1D .2sin1 (2)①已知扇形的周长为10 cm ,面积为4 cm 2,求扇形圆心角的弧度数.②已知一扇形的圆心角是72°,半径等于20 cm ,求扇形的面积.[通法提炼]涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.[变式训练4] 已知一扇形的周长为8 cm ,当它的半径和圆心角取什么值时,扇形的面积最大?并求出最大面积.【课堂达标】1.2 100°化成弧度是( )A.35π3 B .10π C.28π3 D.25π3 2.角-2912π的终边所在的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.与角-π6终边相同的角是( ) A.5π6 B.π3 C.11π6 D.2π34.在半径为2的圆中,弧长为4的弧所对的圆心角的大小是 rad.5.已知α=-800°.(1)把α改写成β+2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α的终边在第几象限;(2)求 γ角,使γ与α角的终边相同,且γ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.【课堂小结】——本课须掌握的三大问题1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=π rad”这一关系式.易知:度数×π180rad =弧度数,弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°=度数. 3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角的单位取弧度.【参考答案】【要点整合】知识点一角的单位制[填一填](1) 度(2) 1 rad1弧度弧度[答一答]1.提示:随着半径的变化,弧长也在变化,但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径的大小无关.2.提示:1度的角等于周角的1360,该角的大小与圆的半径的大小没有关系,所以在不同的圆中,1度的角都是相等的.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角,所以该角的大小与圆的半径的大小没有关系,所以在不同的圆中,1弧度的角都是相等的.知识点二任意角的弧度数与实数的对应关系[填一填](1)正数(2)负数(3)0[答一答]3.答案:(1)(×) (2)(√) (3)(×)4.提示:正确.角α=6表示6弧度的角,这里将“弧度”省去了.知识点三 角度与弧度的互化[答一答]5.提示:不能.因为角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法,两者有着本质的不同,因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用,如α=2k π+30°,k ∈Z 是不正确的写法,应写成α=2k π+π6,k ∈Z 或k ·360°+30°,k ∈Z . 知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式[填一填]αRl +2R[答一答]6.提示:角度制下:弧长公式l =n πR 180,扇形面积公式S =n πR 2360. 运用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式明显比角度制下的公式简单,但要注意它的前提是α为弧度制.【典例讲练】 类型一 弧度制的概念[例1][解析] 由弧度制的定义、弧度与角度的关系知,①③④均正确;因为1 rad =⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°≠1°,故②不正确.[答案] ①③④[变式训练1]答案:D解析:由弧度制的定义知D 说法错误.故选D.类型二 角度制与弧度制的互化命题视角1:角度制与弧度制的换算[例2][解] (1)36°=36×π180 rad =π5rad ; (2)-112°30′=-112.5°=-112.5×π180 rad =-5π8rad ; (3)7π12=⎝⎛⎭⎫7π12×180π°=⎝⎛⎭⎫712×180°=105°; (4)-11π5=⎝⎛⎭⎫-11π5×180π°=⎝⎛⎭⎫-115×180°=-396°. [变式训练2]答案:(1) -72π (2) -157°30′ (3) 三解析:(1)-630°=-630×π180=-72π. (2)-78π=-78π×⎝⎛⎭⎫180π°=-157°30′. (3)根据角度制与弧度制的换算,1 rad =⎝⎛⎭⎫180π°,则α=-3 rad =-⎝⎛⎭⎫540π°≈-171.9°. 分析可得,α是第三象限角.命题视角2:用弧度制表示终边相同的角[例3][解] (1)因为-1 480°=-1 480×π180 rad =-749π rad , 所以-749π=-10 π+169 π,其中α=169π. (2)因为25π=25×180°=72°, 所以终边与2π5角相同的角为θ=72°+k ·360°(k ∈Z ), 当k =0时,θ=72°=2π5;当k =1时,θ=432°=12π5. 所以在[0,4π]中与2π5角终边相同的角为2π5,12π5. [变式训练3]解:(1)因为-1 725°=-5×360°+75°,所以-1 725°=-10π+5π12⎝⎛⎭⎫其中α=512π.所以-1 725°与5π12的终边相同,故-1 725°是第一象限角. (2)870°=296π=5π6+4π⎝⎛⎭⎫其中α=56π,角870°与5π6终边相同,故870°是第二象限角. 类型三 弧长公式与扇形面积公式[例4][答案] (1)C (2)见解析[解析] (1)如图,过点O 作OC ⊥AB 于C ,延长OC ,交于D ,则∠AOC =∠BOC =1 rad ,且AC =12AB =1. 在Rt △AOC 中,OA =1sin ∠AOC =1sin1. ∴圆心角所对的弧长l =α·OA =2sin1,故选C. (2)解:①设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l ,半径为r ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ l +2r =10,①12lr =4.② ①代入②得r 2-5r +4=0,解得r 1=1,r 2=4.当r =1时,l =8(cm),此时,θ=8 rad>2π rad(舍去).当r =4时,l =2(cm),此时,θ=24=12rad. ②设扇形弧长为l ,因为72°=72×π180=2π5(rad), 所以l =αR =2π5×20=8π(cm),所以S =12lR =12×8π×20=80π(cm 2). [答案] (1)C (2)见解析[变式训练4]解:设扇形的半径为r ,弧长为l ,则2r +l =8,l =8-2r , S =12lr =12r (8-2r )=-r 2+4r =-(r -2)2+4(0<r <4).当r =2时,S max =4 cm 2,此时l =4 cm ,α=2.所以当半径长为2 cm ,圆心角为2 rad 时,扇形的面积最大,最大值为4 cm 2.【课堂达标】1.答案:A解析:2 100°=2 100×π180=35π3. 2.答案:D解析:-2912π=-4π+1912π,1912π的终边位于第四象限,故选D. 3.答案:C解析:与角-π6终边相同的角的集合为{α|α=-π6+2k π,k ∈Z },当k =1时,α=-π6+2π=11π6,故选C.4.答案:2解析:根据弧度制的定义,知所求圆心角的大小为42=2 rad. 5.解:(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=14π9, ∴α=14π9+(-3)×2π,α角与14π9的终边相同,∴α是第四象限角. (2)∵与α角终边相同的角为2k π+α,k ∈Z ,α与14π9终边相同,∴γ=2k π+14π9,k ∈Z . 又∵γ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,∴-π2<2k π+14π9<π2, 当k =-1时,不等式成立,∴γ=-2π+14π9=-4π9.。
高中数学弧度制课件教案

高中数学弧度制课件教案
一、教学目标
1. 了解弧度的概念和定义;
2. 掌握角度和弧度的转换关系;
3. 掌握弧长和扇形面积的计算方法。
二、教学重点
1. 弧度的概念和定义;
2. 角度和弧度的转换;
3. 弧长和扇形面积的计算。
三、教学难点
1. 角度和弧度之间的转换;
2. 弧长和扇形面积的计算方法。
四、教学过程
1. 导入:通过一个实际生活中的例子引入弧度的概念,让学生了解弧度的重要性和应用。
2. 讲解:介绍弧度的定义,以π弧度为一周,让学生理解弧度的计量单位及其特点。
3. 实例演练:进行角度和弧度之间的转换计算,让学生掌握两者之间的关系。
4. 练习:让学生完成一定数量的练习题,巩固所学知识。
5. 讲解:介绍弧长和扇形面积的计算方法,以实例讲解其应用。
6. 实例演练:进行弧长和扇形面积的计算练习,让学生熟练掌握计算方法。
7. 拓展:引导学生应用弧度制进行更复杂的计算和问题解决。
五、教学评价
1. 课堂练习:随堂进行相关练习,检查学生对于弧度的理解和掌握情况。
2. 作业布置:布置相关作业,巩固学生对于弧度的学习成果。
3. 课后反思:对于本节课的教学效果进行总结和反思,为后续教学提供参考。
高中数学第册学案:弧度制含解析

5.1。
2弧度制【素养目标】1.掌握弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度数.(数学运算) 2.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用.(数学运算)3.根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式,体会引入弧度制的必要性.(逻辑推理)【学法解读】本节在学习中把抽象问题直观化,即借助扇形理解弧度概念,在学角度与弧度换算时巧借π=180°,学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养.必备知识·探新知基础知识知识点1 度量角的两种制度(1)角度制.①定义:用__度__作为单位来度量角的单位制.②1度的角:周角的__错误!__为1度角,记作1°。
(2)弧度制①定义:以__弧度__为单位来度量角的单位制.②1弧度的角:长度等于__半径长__的圆弧所对的圆心角叫做__1弧度__的角.③表示方法:1弧度记作1 rad.思考1:圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是唯一的确定的?提示:一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值,是唯一确定的,与半径大小无关.知识点2 弧度数一般地,正角的弧度数是一个__正__数,负角的弧度数是一个__负__数,零角的弧度数是__0__.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=__lr__.思考2:(1)建立弧度制的意义是什么?(2)对于角度制和弧度制,在具体的应用中,两者可混用吗?如何书写才是规范的?提示:(1)在弧度制下,角的集合与实数R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.(2)角度制与弧度制是两种不同的度量制度,在表示角时不能混用,例如α=k·360°+错误!(k∈Z),β=2kπ+60°(k∈Z)等写法都是不规范的,应写为α=k·360°+30°(k∈Z),β=2kπ+错误!(k ∈Z).知识点3 弧度与角度的换算公式(1)周角的弧度数是2π,而在角度制下的度数是360,于是360°=2π rad,即根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了.弧度与角度的换算公式如下:若一个角的弧度数为α,角度数为n,则αrad=(错误!)°,n°=n·错误!rad.(2)常用特殊角的弧度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0__错误!____错误!____错误!__错误!__错误!____错误!____错误!__π__错误!____2π__(3)角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起__一一对应__关系:每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.思考3:(1)角度制与弧度制在进制上有何区别?(2)弧度数与角度数之间有何等量关系?提示:(1)角度制是六十进制,而弧度制是十进制的实数.(2)弧度数=角度数×错误!;角度数=弧度数×(错误!).知识点4 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式(1)弧长公式在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角大小为α,则|α|=错误!,变形可得l=__|α|r__,此公式称为弧长公式,其中α的单位是弧度.(2)扇形面积公式由圆心角为1 rad的扇形面积为错误!=错误!r2,而弧长为l的扇形的圆心角大小为lr rad,故其面积为S=错误!×错误!=错误!lr,将l=|α|r代入上式可得S=错误!lr=错误!|α|r2,此公式称为扇形面积公式.思考4:(1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式?(2)弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题?体现了什么数学思想?提示:(1)①|α|=错误!;②R=错误!;③|α|=错误!;④R=错误!。
数学教案高中弧度制

数学教案高中弧度制
教学目标:
1. 了解弧度制的定义和基本概念;
2. 掌握弧度和角度的换算方法;
3. 熟练运用弧度制解决相关数学问题。
教学重点:
1. 弧度制的定义和基本概念;
2. 弧度和角度的换算;
3. 弧度制的运用。
教学难点:
1. 弧度和角度的换算方法;
2. 弧度制与角度制的转换;
3. 弧度制在解决问题中的应用。
教学准备:
1. 教案、教材、课件;
2. 黑板、彩色粉笔、橡皮;
3. 学生练习册。
教学过程:
一、导入(5分钟)
教师介绍弧度制的概念,引导学生思考角度和弧度之间的关系。
二、讲解(15分钟)
1. 弧度的定义和性质;
2. 弧度和角度的换算方法;
3. 弧度制在三角函数中的应用。
三、示范(10分钟)
教师通过例题演示如何将角度转换为弧度,以及如何运用弧度制解决三角函数问题。
四、练习(15分钟)
学生进行练习,巩固弧度制的相关知识。
五、梳理(5分钟)
教师梳理本节课的重点和难点,给予学生反馈。
六、作业(5分钟)
布置相关作业,要求学生独立完成,以巩固弧度制的知识。
教学延伸:
教师可以通过讲解弧长公式、扇形面积计算等内容,进一步拓展学生对弧度制的理解和运用。
教学反思:
本节课教学难点在于学生对弧度和角度的换算容易混淆,需要通过实例演示和练习巩固。
教师在教学过程中应引导学生思考,激发他们对数学知识的兴趣和探索欲望。
【新课标必修】《弧度制》学案

弧度制一、课前预习新知(一)、预习目标:理解并掌握弧度制的定义;领会弧度制定义的合理性;(二)、预习内容:阅读教材填空:1、角可以用为单位进行度量,1度的角等于。
叫做角度制。
角还可以用为单位进行度量,叫做1弧度的角,用符号表示,读作。
2、正角的弧度数是一个,负角的弧度数是一个,零角的弧度数是。
如果半径为r的圆心角所对的弧的长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是。
这里,α的正负由决定。
3、180°= rad1°= rad≈ rad1 rad=°≈°我们就是根据上述等式进行角度和弧度的换算。
4、角的概念推广后,在弧度制下, 与之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即 )与它对应;反过来,每一个实数也都有 (即 )与它对应.二、课内探究新知(一)、学习目标(1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系;学习重点:理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用;学习难点:理解弧度制定义,弧度制的运用。
(二)、学习过程1.核对预习学案中的答案2.思考下列问题有人问:海口到三亚有多远时,有人回答约250公里,但也有人回答约160英里,请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里3.在角度的度量里面,也有类似的情况,一个是角度制,我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.角α的弧度数的绝对值rl =α(l 为弧长,r 为半径) 4、例题 例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1) 精确值;(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.例5. 如图,已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
高中数学弧度制角教案

高中数学弧度制角教案
一、教学目标
1. 了解弧度制角的概念;
2. 掌握角度与弧度的相互转换方法;
3. 能够运用弧度制角解决实际问题。
二、教学内容
1. 弧度制角的定义及表示方法;
2. 角度与弧度的转换关系;
3. 利用弧度解决三角函数和圆的相关问题。
三、教学步骤
1. 引入:通过展示一个圆的半径为1,绕圆心旋转的弧长为1所对应的角度,介绍弧度的概念;
2. 探究:让学生自己尝试将角度转换为弧度,并找出两者之间的关系;
3. 拓展:通过解决一些实际问题,引导学生掌握如何运用弧度解决相关问题;
4. 练习:让学生完成一些练习题,巩固所学的知识;
5. 总结:总结弧度制角的重点知识,强化学生的理解。
四、教学设计
1. 课堂活动设计:
(1)小组讨论:让学生分组讨论角度与弧度之间的转换方法;
(2)实际应用:请学生在实际问题中运用弧度解决相关计算;
(3)互动讨论:通过互动讨论,梳理弧度制角的重要知识点。
2. 学生作业设计:
(1)完成课堂练习题,巩固所学知识;
(2)解答一些弧度制角相关的实际问题;
(3)预习下节课内容,准备讨论。
五、教学评估
1. 学生表现评估:通过学生的课堂表现和作业完成情况,评估学生对弧度制角的掌握情况;
2. 教学效果评价:通过学生的考试成绩和课后反馈,评价本节课的教学效果,及时调整教
学方法。
(以上为高中数学弧度制角教案范本,仅供参考)。
5 1 2弧度制学案 高中数学人教A版(2019)必修第一册

第五章 三角函数5.1.2 弧度制学案一、学习目标1.理解并掌握弧度制的定义,领会弧度制定义 的合理性.2.掌握并运用弧度制表示的弧长公式,扇形面积公式.3.熟练地进行角度制与弧度制的换算.二、 基础梳理1.我们规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧度单位用符号rad 表示,读作弧度,这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫 作弧度制.2.角α的弧度数公式:||l rα=(弧长用l 表示),一般的,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.3.角度与弧度的换算:(1)1°=180πrad ≈0.01745rad. (2)1 rad =180π° ≈57.30°. 4.弧长公式:弧长l =R α(R 是圆的半径,(02)ααπ<<为圆心角).5.扇形面积公式:S =212R α= 12lR (R 是圆的半径,(02)ααπ<<为圆心角). 三、巩固练习1.将2π3弧度化成角度为( ) A.30︒ B. 60︒ C. 120︒ D. 150︒2.与30°角终边相同的角的集合是( ) A.π360,6k k αα⎧⎫=⋅+∈⎨⎬⎩⎭︒Z ∣ B.{}2π30,k k αα=+︒∈Z ∣ C.{}236030,k k αα=⋅︒+︒∈Z ∣ D.π2π,6k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 3.设集合|18045,,|18045,24k kM x x k N x x k ︒︒︒⎧⎫⎧⎫==⋅+∈==⋅+∈⎨⎬⎨︒⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ,那么( ) A.M N = B.M N ⊆ C.N M ⊆ D.M N ⋂=∅4.-300°化为弧度是( ) A.4π3- B.5π3- C.45π- D.7π6- 5.把-855°表示成2π()k k θ+∈Z 的形式,且使(0,2π)θ∈,则θ的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.π4 D.7π46.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )A.π6B.π3C.3 7.(多选)下列转化结果正确的是( )A.6730'︒化成弧度是3π8B.10π3-化成角度是-600°C.-150°化成弧度是7π6-D.π12化成角度是5° 8. (多选)下列说法正确的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360,1rad 的角是周角的12πC.1rad 的角比1°的角要大D.用弧度制度量角时,角的大小与圆的半径有关答案以及解析1.答案:C解析:πrad 180=︒,即1802π2π1801rad ,rad 120π33π⎛⎫⎛⎫=︒∴=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒︒.故选C. 2.答案:D解析:与30°角终边相同的角可表示为36030,k k α=⋅+︒︒∈Z ,化为弧度制为π2π,6k k α=+∈Z . 3.答案:B解析:由于M 中,180459045(21)45,,2k x k k k N =⋅︒︒︒︒︒+=⋅+=+⋅∈Z 中,180454545(1)45,4k x k k k ︒︒︒=⋅+=︒︒⋅+=+⋅∈Z ,因此必有M N ⊆,故选B. 4.答案:B 解析:π5π3003001803-=-⨯=-°.故选B. 5.答案:B解析:855︒-表示成弧度制为19π4-,又19π24π5π5π6π,444θ-+-==-+∴的值为5π4.故选B. 6.答案:D解析:如图,等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形,则线段AB 所对的圆心角2π3AOB ∠=, 作OM AB ⊥,垂足为M ,在Rt AOM △中,AO r =,π3AOM ∠=,2AM r ∴=,AB =,l ∴=,则圆心角的弧度数l r α=== 7.答案:AB 解析:对于A ,π3π673067.5,1808'=⨯=︒正确;对于B ,10π3-=10π180600,3π︒-=-︒⨯正确;对于C ,π5π150150,1806-=-⨯=-︒错误;对于D ,ππ18015,1212π︒==︒⨯错误.故选AB.8.答案:ABC 解析:由题意,对于A 中,“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以是正确的;对于B 中,周角为360°,所以1的角是周角的1360,周角为2π弧度,所以1rad 的角是周角的12π是正确的; 对于C 中,根据弧度制与角度制的互化,可得1801rad1π︒ =>︒,所以是正确; 对于D 中,用弧度制度量角时,角的大小与圆的半径无关的,所以D 项是错误的.故选ABC.。
5.1.2弧度制教学设计高一上学期数学人教A版

5.1.2 弧度制1、教学目标(1).理解弧度制的意义,能正确的进行角度制与弧度制的换算;了解角的集合和实数集R 之间可以建立起一一对应的关系;熟记特殊角的弧度数.(2).掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式2、教学重点与难点1.教学重点:弧度制的定义、弧度与角度的换算2.教学难点:弧度制与角度制的联系及弧度制下扇形的弧长公式和面积公式的推导和证明。
3、教学过程设计(一) 概念的引入【问题1】 在初中几何里,我们学习过角的度量,1︒的角是怎样定义的呢?师生活动:1︒的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1︒.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.【问题2】度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制,度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢?能否像度量长度那样,用十进制的实数来度量角的大小呢?师生活动:学生思考并回答问题。
教师提问,引导学生思考第二种单位制的存在。
指明本节课所学知识点:弧度制的定义以及1弧度的含义。
【设计意图】:引发学生学习兴趣,激发学生的好奇心和求知欲,让学生意识到可以用不同的单位制来度量同一个量,从而理解角度制和弧度制都是对角度量的方法。
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制. 如图5.19,射线OA 绕端点O 旋转到OB 形成角α.在旋转过程中,射线OA 上的一点P (不同于点O )的轨迹是一条圆弧,这条圆弧对应于圆心角α.设α =n ︒,OP=r ,点P 所形成的圆弧1PP 的长为l .由初中所学知识可知l=180n r π, 于是180l n rπ=.【问题3】:如图5.110,在射线OA 上任取一点Q (不同于点O ),OQ =1r .在旋转过程中,点Q 所形成的圆弧1QQ 的长为1l .1l 与1r 的比值是多少?你能得出什么结论?可以发现,圆心角α 所对的弧长与半径的比值,只与α 的大小有关.也就是说,这个比值随α 的确定而唯一确定.这就启发我们,可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.而这种像度量长度那样,用十进制的实数来度量角的大小的单位制称为弧度制.师生活动:学生思考并回答问题,可以独立思考,也可以进行小组讨论。
弧度制教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

《5.1.2弧度制》教学设计一、教学目标(1)通过解决现实生活中抽象数学模型问题,经历弧度制的生成过程,尝试用弧长度量角的大小,了解弧度制下角的集合与实数集R之间的一一对应关系,体会引人弧度制的必要性;(2)能熟练进行角度制与弧度制的互化,总结角度制与弧度制的内在联系,掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式,会利用弧度制解决某些简单的实际问题,感受公式应用的简洁性;(3)通过构建弧度制的知识体系,经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的研究过程,感受特殊与一般、数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法的丰富内涵;(4)通过自主探究、合作交流等活动,感受数学发现与再创造的乐趣,培养学生的直观想象、数学计算、逻辑推理、数学抽象和数学建模核心素养.二、1.教学重点:(1)角度制与弧度制间的互相转化;(2)弧长公式及扇形的面积公式的推导与应用.2.教学难点:弧度制概念的生成与理解.三、教学方法:问题引导教学法,启发式教学,小组合作探究学习.四、教学支持:希沃白板5五、教学过程:(一)创设情境,提出问题问题1:摩天轮,它可以看成是质点做圆周运动的模型,现在将这个圆抽象出来,点P的位置与哪些几何量有关呢?追问:能否像度量长度那样,用十进制的实数来度量角的大小呢?设计意图在三角函数“大单元”中,周期现象是我们研究问题的大背景,它贯穿于三角函数“大单元”始末,为体现教学的连贯性,以摩天轮上一点P的运动为例,师生一起抽象建模,思考研究刻画点P的位置的几何量,制造学生的认知冲突,让学生体会到学习弧度制的必要性.问题2:现实生活中有没有同一个几何量可以用不同的单位制进行表示呢?追问:角的度量是否也可以用不同的单位制呢?设计意图引导学生通过类比生活中的量,发现探究角的度量存在其它单位制的可行性.(二)合作探究,凸显生成动手实验实验教学用具:一张半圆纸板、一把刻度直尺、若干细线实验教学过程:通过小组合作,运用现有的实验用具,在这张半圆纸上标出36°的角.设计意图36°不能通过尺规作图直接得到,而实验用具又未提供量角器,该动手实验旨在引导学生探索新的度量角的方式,将角的度量问题转化为长度的度量问题,从而体会到弧度制的本质即“用线段长度度量角的大小”,为理解弧度制概念积累数学体验.问题3:那我们可以直接用弧长来衡量角的大小吗?追问1:我们先来看看这两个扇形,同学们发现什么?追问2:我们再来观察一下这两个扇形,除了弧长变化之外,还有什么也发生了变化?问题4:角度、半径、弧长这三个量之间存在什么关系呢?能否用我们以前学习过的数学公式来表示它们之间的关系?观察动态演示:计算扇形的弧长与对应半径的比值;改变弧长和半径的长度,观察比值的变化.设计意图以问题串的形式,引导学生探究角的大小与弧长、半径的关系,并结合角度制下的弧长公式180r n l π=进行公式推导,让学生清楚在研究多变量关系时,采用控制某个变量以达到减少变量的目的,清楚在“变化中寻找不变量”是数学研究的重要方式.从特殊到一般的研究方法,得到可以用弧长与半径的比值来度量角的大小.动态演示可以帮助学生加深对弧度制概念的直观理解.(三)类比迁移,形成概念问题5:我们用弧长和半径之比定义圆心角的度量方式,相对于角度制,大家觉得这个新的度量可以给个什么名称?追问:角度制中,1度角的大小是怎么规定的?教师介绍1度角数学史问题6:在我们的定义rl =α下,1rad 的几何意义是什么?学生活动:能否在圆中将大小为1rad 的角表示出来?课件展示:弧度制产生的历史.设计意图先通过信息技术手段让学生进一步感知角α确定后比值rl 的不变性,以及比值rl 与角α的一一对应关系,再从数学史的角度介绍弧度制,近代与现代遥相呼应.让学生体会数学发展的历史,这一点符合新课标所提出的注重数学文化渗透的基本理念.(四)新旧融合,完善概念问题7:经过上节课任意角的研究后,我们知道,角可以分为正角、负角和零角,那么对于我们目前的定义rl =α,你觉得是否需要修改完善一下?追问:你能说说角度制和弧度制的区别吗?设计意图区分正角与负角,在任意角的背景中对rl =α加以修正,体现弧度概念的科学性,帮助学生进一步理解弧度制不仅可以用于度量角的大小,而且使角的集合与实数集之间建立一一对应的关系.(五)相互转化,揭示联系问题8:你能找到角度制和弧度制的换算规则吗?设计意图以角度制和弧度制的内在逻辑为线索,启发学生通过解决具体问题寻找两者之间的内在逻辑,得到换算关系,让学生亲历角度制与弧度制换算关系的探究过程,深化弧度制概念的学习.(六)典例选讲,深化概念例1:把下列角度化成弧度:(1)22°30’(2)-210°例2:把下列角度化成弧度:(1)12πrad (2)0.5练习:填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表(1)(2)例3利用弧度制证明下列有关扇形的公式:(1);R l α=(2);221R S α=(3).21lR S =其中R 是圆的半径,()παα20<<为圆心角,l 是扇形的弧长,S 是扇形的面积.例4已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求该扇形的面积.【设计意图】巩固角度与弧度的互化,对学习重点内容进行当堂检测,体会弧度制下弧长、扇形面积公式的简洁性,建立弧度制的优越性,体验知识的形成过程,从而进一步提升学生的数学运算核心素养.02π56π角度弧度0 60 120 135 270 4π2ππ2π30(七)归纳小结,提炼升华(1)回顾一下研究过程,说说你是如何研究弧度制的?(2)你认为利用弧度制我们可以解决怎样的问题?(3)你能画出弧度制这一课时的思维导图吗?【设计意图】学生的总结有利于培养学生的概括能力和语言表达能力,老师的总结,从度量过程和引入弧度制的必要性两个层面引领学生回顾这节课的主要内容及概念研究的方法,学生课后自主完成弧度制的思维导图,达到构建知识网络,领悟思想方法的目的.(八)作业分层,巩固实践(1)基础过关①课本P175练习题第3、6题②课本P175-176习题5.1第5、6、8题(2)能力提升课本P176第12题(3)实践创新自由组建兴趣小组,根据不同材质的价格、产生的风量大小等,设计一把优秀的扇子,开展一次数学建模和数学探究的活动,每个人把研究成果和心得撰写成一篇数学建模小论文.【设计意图】设计分层、分类作业,落实基础的同时,为学生发展提供更为广阔的空间;紧贴新时代、新教材、新课堂的要求,设计实践创新作业,以课题形式突破数学建模与数学探究活动,培养全面发展的优秀人才.(九)板书设计草稿区弧度制一.定义二.转化关系三.扇形公式四.例题讲解。
弧度制高中数学教案

弧度制高中数学教案主题:弧度制教学目标:1. 了解弧度的定义和计算方法;2. 掌握弧度和角度之间的转换关系;3. 能够运用弧度制解决实际问题。
教学重点:弧度的定义、计算方法和角度与弧度的转换关系。
教学难点:弧度制在实际问题中的应用。
教学准备:教师准备黑板、彩色粉笔、教具等。
教学过程:一、导入(5分钟)教师向学生提出一个问题:“角度制是我们常用的计量角度的单位,那么在数学中还有一种计量角度的单位叫做什么呢?”引出弧度的概念。
二、讲解弧度的定义和计算方法(15分钟)1. 弧度的定义:假设在单位圆上取一长度为r的弧所对的圆心角θ,那么这个圆心角所对的弧长就是这个圆心角的弧度数。
一个完整的圆周对应的角度是360度,对应的弧度是2π弧度。
2. 弧度的计算方法:弧度数 = 弧长 / 半径三、讲解角度与弧度的转换关系(10分钟)1. 角度与弧度的换算公式:1° = π/180 弧度2. 举例说明如何将角度转换为弧度,如何将弧度转换为角度。
四、练习与讨论(15分钟)让学生做几道练习题,巩固所学的知识,并带领学生讨论习题解法。
五、应用(10分钟)通过实际问题,引导学生运用弧度制解决实际问题,训练学生的应用能力。
六、小结(5分钟)回顾本节课所学内容,让学生总结弧度制的重点和难点。
七、作业布置(5分钟)布置相应的作业,以巩固所学内容。
拓展延伸:学生可以通过实际生活中的实际问题来练习弧度制的应用,如摆锤摆动问题、圆周运动问题等。
教学反思:通过引入弧度制这一新概念,激发学生的学习兴趣和求知欲。
同时,通过实际问题的运用,帮助学生更好地理解和掌握弧度的定义和计算方法。
人教版高中数学弧度制教案

人教版高中数学弧度制教案
教学内容:弧度制
教学目标:
1. 理解弧度制的概念及与角度制的转换关系;
2. 掌握弧度制的计算方法;
3. 能够运用弧度制解决相关问题。
教学重点:
1. 弧度制的概念及运用;
2. 弧度制和角度制的转换。
教学难点:
1. 弧度制与角度制的转换;
2. 弧度制的计算方法。
教学过程:
一、导入新知识(5分钟)
教师引导学生回顾角度制的概念及计算方法,并提出弧度制的定义。
二、讲解弧度制的概念及计算方法(15分钟)
1. 教师讲解弧度制的定义及计算方法,强调弧度制的优势和应用范围;
2. 带领学生进行弧度制与角度制的转换练习,并解释计算过程。
三、练习与讨论(20分钟)
1. 学生自主练习弧度制计算方法,并相互讨论解题思路;
2. 教师布置相关练习题,让学生在课后进行巩固练习。
四、检测与总结(10分钟)
1. 教师让学生进行弧度制的应用题练习,并及时纠正;
2. 学生合作讨论,总结本节课的知识点,提出问题并解决。
五、作业布置(5分钟)
布置相关作业,要求学生巩固掌握弧度制的概念和计算方法。
教学反思:
本节课主要围绕弧度制展开教学,通过讲解、练习和讨论,让学生充分理解弧度制的概念和计算方法,提高学生的数学运算能力和分析问题的能力。
在课后作业中,学生可以继续巩固弧度制的知识,提高解题的能力和速度。
高中数学弧度制的教案

高中数学弧度制的教案
教学目标:
1. 了解弧度制的定义与计算方法;
2. 掌握角度与弧度之间的转换关系;
3. 能够应用弧度制解决实际问题。
教学内容:
1. 弧度的概念及定义;
2. 角度与弧度的转换关系;
3. 弧度制在三角函数、圆周运动等方面的应用。
教学方法:
1. 讲解结合示意图和实例进行;
2. 综合性练习和实际问题分析。
教学步骤:
1. 引入:通过示意图讲解角度与弧度的区别,引出弧度制的概念;
2. 讲解:介绍弧度的定义与计算方法,以及角度与弧度的转换关系;
3. 实例演练:通过多个例题进行实例演练,帮助学生掌握弧度制的运用;
4. 应用拓展:结合三角函数、圆周运动等实际问题,让学生应用弧度制解决相关问题;
5. 总结反思:总结弧度制的重点知识,并进行反思和讨论。
教学资源:
1. 课件、教材以及相关练习题;
2. 黑板、彩色粉笔、图形工具等。
评估方式:
1. 日常课堂练习,检测学生对弧度制的掌握情况;
2. 期中期末考试,考察学生对弧度制的应用能力。
教学反馈:
1. 随堂对学生学习情况进行评价和反馈;
2. 收集学生反馈意见,及时做出调整和改进。
教学展望:
通过本节课的学习,学生将深入理解弧度制的概念,掌握角度与弧度之间的转换关系,提高数学解决实际问题的能力。
同时,为今后的学习打下坚实的数学基础。
高中数学的弧度制教案

高中数学的弧度制教案教学目标:1. 理解弧度制的概念和意义;2. 掌握角度制和弧度制的互相转换方法;3. 能够用弧度制求解三角函数相关问题。
教学重点:1. 弧度制的概念和特点;2. 角度制与弧度制的转换;3. 弧度与圆的关系;4. 三角函数中弧度的应用。
教学难点:1. 弧度制概念的理解;2. 弧度与圆的关系的理解;3. 弧度制在三角函数中的应用。
教具准备:1. 教科书、教辅资料;2. 计算器;3. 黑板、彩色粉笔;4. 圆规、指南针。
教学过程:一、导入1. 引导学生回顾角度的概念和计算,提出在不同问题中需要用到不同的角度单位;2. 提问引出弧度制的概念,让学生思考弧度和圆之间的关系。
二、讲解1. 讲解弧度制的定义和特点,介绍弧度与角度的关系;2. 分步介绍角度制与弧度制的互相转换方法;3. 解释弧度的物理意义,引导学生理解单位弧度的含义。
三、练习1. 给学生做一些简单的角度制和弧度制转换题目,巩固基本概念;2. 给学生做一些关于弧度与圆之间关系的练习题目,提高学生的计算能力。
四、拓展1. 讲解弧度在三角函数中的应用,引导学生理解弧度制的实际意义;2. 给学生练习一些应用题,让他们学会用弧度制解决实际问题。
五、总结1. 总结弧度制的重要性和实际应用价值;2. 引导学生积极应用弧度制解决三角函数相关问题。
教学反思:通过本节课的教学,学生对弧度制的认识和掌握有了进一步的提高,但在练习环节中,学生易出现对弧度概念的混淆,需要加强训练和巩固。
下次教学中将尽量多安排实际问题的练习,提高学生的实际运用能力。
学案3:5.1.2 弧度制

5.1.2弧度制【自主预习】1.度量角的两种单位制(1)角度制:①定义:用作为单位来度量角的单位制.②1度的角:周角的.(2)弧度制:①定义:以作为单位来度量角的单位制.②1弧度的角:长度等于的圆弧所对的圆心角.2.弧度数的计算思考:比值lr与所取的圆的半径大小是否有关?3.角度制与弧度制的换算4.一些特殊角与弧度数的对应关系5.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R ,弧长为l ,α(0<α<2π)为其圆心角,则 (1)弧长公式:l = .(2)扇形面积公式:S = = .【基础自测】1.下列转化结果错误的是( ) A .60°化成弧度是π3 radB .-103π rad 化成度是-600°C .-150°化成弧度是-76π radD.π12 rad 化成度是15° 2.29π6是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角D .第四象限角3.(1)7π5 rad 化为角度是________.(2)105°的弧度数是________.4.半径为2,圆心角为π6的扇形的面积是________.【合作探究】类型一 角度与弧度的互化与应用【例1】 (1)①将112°30′化为弧度为________. ②将-5π12rad 化为角度为________.(2)已知α=15°,β=π10 rad ,γ=1 rad ,θ=105°,φ=7π12 rad ,试比较α,β,γ,θ,φ的大小.【规律方法】角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键:抓住互化公式π rad =180°是关键;(2)方法:度数×π180=弧度数;弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°=度数; (3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度. 【跟踪训练】1.(1)将-157°30′化成弧度为________. (2)将-11π5rad 化为度是________.2.在[0,4π]中,与72°角终边相同的角有________.(用弧度表示) 类型二 用弧度数表示角【例2】 (1)终边经过点(a ,a )(a ≠0)的角α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4,5π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α=π4+2k π,k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α=π4+k π,k ∈Z (2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.[思路点拨] (1)判断角α的终边位置→用弧度制表示角α的集合(2)在[0,2π)内找角表示终边落在第一象限阴影内的角 →加k π(k ∈Z )表示角θ的集合【规律方法】1.弧度制下与角α终边相同的角的表示:在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2k π+α,k ∈Z },即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍. 2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤: (1)仔细观察图形.(2)写出区域边界作为终边时角的表示. (3)用不等式表示区域范围内的角. 提醒:角度制与弧度制不能混用. 【跟踪训练】3.下列与9π4的终边相同的角的表达式中,正确的是( )A .2k π+45°(k ∈Z )B .k ·360°+9π4(k ∈Z )C .k ·360°-315°(k ∈Z )D .k π+5π4(k ∈Z )4.用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合.类型三弧长公式与扇形面积公式的应用[探究问题]1.用公式|α|=lr求圆心角时,应注意什么问题?2.在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时,若已知的角是以“度”为单位,需注意什么问题?【例3】(1)如图所示,以正方形ABCD中的点A为圆心,边长AB为半径作扇形EAB,若图中两块阴影部分的面积相等,则∠EAD的弧度数大小为________.(2)已知扇形OAB的周长是60 cm,面积是20 cm2,求扇形OAB的圆心角的弧度数.[思路点拨](1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数.(2)先根据题意,列关于弧长和半径的方程组,再解方程组求弧长和半径,最后用弧度数公式求圆心角的弧度数.[母题探究]1.(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”,“20”改为“4”,其他条件不变,求扇形圆心角的弧度数.2.(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm2”删掉,求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.【规律方法】弧度制下解决扇形相关问题的步骤:(1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=|α|r,S=12αr2和S=12lr.(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.提醒:看清角的度量制,恰当选用公式.【课堂小结】1.在表示角的时候,由于弧度制的优点,常常使用弧度表示角,但也要注意,用弧度制表示角时,不能与角度制混用.2.弧度制下弧长和扇形面积公式的应用,要注意使用的前提条件是弧度制下.同时也应注意与其他知识如函数内容的结合.【当堂达标】1.思考辨析( ) (1)1弧度的角是周角的1360. (2)1弧度的角大于1度的角.2.圆的半径为r ,该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A.23 rad B.32 rad C.2π3radD.3π2rad 3.若把-570°写成2k π+α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式,则α=________. 4.求半径为π cm ,圆心角为120°的扇形的弧长及面积.【参考答案】【自主预习】1.度量角的两种单位制 (1) ①度 ②1360(2) ①弧度. ②半径长. 2.弧度数的计算 正数负数l π思考:提示:一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关. 3.角度制与弧度制的换算 π180⎝⎛⎭⎫180π° 4.一些特殊角与弧度数的对应关系 0π6π460°2π33π45π6180°2π5.扇形的弧长和面积公式 (1) αR (2) 12lR12αR 2 【基础自测】1.C [对于A,60°=60×π180 rad =π3 rad ;对于B ,-103π rad =-103×180°=-600°;对于C ,-150°=-150×π180 rad =-56π rad ;对于D ,π12 rad =112×180°=15°.故选C.]2. B [29π6=4π+5π6.∵56π是第二象限角,∴29π6是第二象限角.]3.(1)252° (2)7π12 [(1)7π5 rad =⎝⎛⎭⎫7π5×180π°=252°; (2)105°=105×π180 rad =7π12 rad.]4.π3 [由已知得S 扇=12×π6×22=π3.] 【合作探究】类型一 角度与弧度的互化与应用 【例1】(1)①5π8rad ②-75° [(1)①因为1°=π180rad ,所以112°30′=π180×112.5 rad =5π8rad. ②因为1 rad =⎝⎛⎭⎫180π°,所以-5π12rad =-⎝⎛⎭⎫5π12×180π°=-75°.] (2)法一(化为弧度):α=15°=15×π180 rad =π12 rad ,θ=105°=105×π180 rad =7π12 rad.显然π12<π10<1<7π12.故α<β<γ<θ=φ.法二(化为角度):β=π10 rad =π10×⎝⎛⎭⎫180π°=18°,γ=1 rad≈57.30°, φ=7π12×⎝⎛⎭⎫180π°=105°.显然,15°<18°<57.30°<105°. 故α<β<γ<θ=φ. 【跟踪训练】1.(1)-78π rad (2)-396° [(1)-157°30′=-157.5°=-3152×π180 rad =-78π rad.(2)-11π5 rad =-11π5×⎝⎛⎭⎫180π°=-396°.]2.25π,125π [因为终边与72°角相同的角为θ=72°+k ·360°(k ∈Z ). 当k =0时,θ=72°=25π rad ;当k =1时,θ=432°=125π rad ,所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25π,125π.]类型二 用弧度数表示角 【例2】(1) D [因为角α的终边经过点(a ,a )(a ≠0), 所以角α的终边落在直线y =x 上,所以角α的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α=π4+k π,k ∈Z .] (2)[解] 因为30°=π6 rad,210°=7π6rad ,这两个角的终边所在的直线相同,因为终边在直线AB 上的角为α=k π+π6,k ∈Z ,而终边在y 轴上的角为β=k π+π2,k ∈Z ,从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪k π+π6<θ<k π+π2,k ∈Z . 【跟踪训练】3.C [A ,B 中弧度与角度混用,不正确.94π=2π+π4,所以94π与π4终边相同.-315°=-360°+45°,所以-315°也与45°终边相同.故选C.] 4.[解] 30°=π6 rad,150°=5π6rad.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪π6+k π<β<5π6+k π,k ∈Z . 类型三 弧长公式与扇形面积公式的应用 [探究问题]1.提示:应注意结果是圆心角的绝对值,具体应用时既要注意其大小,又要注意其正负. 2.提示:若已知的角是以“度”为单位,则必须先把它化成弧度后再计算,否则结果易出错. 【例3】(1)2-π2 [设AB =1,∠EAD =α,∵S 扇形ADE =S 阴影BCD ,由题意可得12×12×α=12-π×124,∴解得α=2-π2.] (2)设扇形的弧长为l ,半径为r ,则⎩⎪⎨⎪⎧2r +l =60,12lr =20,∴⎩⎪⎨⎪⎧ r =15+205,l =4015+205或⎩⎪⎨⎪⎧r =15-205,l =4015-205, ∴扇形的圆心角的弧度数为lr =43-3205或43+3205.[母题探究]1.[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l ,半径为r , 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l +2r =10,①12lr =4.②由①得l =10-2r ,代入②得r 2-5r +4=0,解得r 1=1,r 2=4. 当r =1时,l =8(cm),此时,θ=8 rad >2π rad 舍去.当r =4时,l =2(cm),此时,θ=24=12rad. 2.[解] 设弧长为l ,半径为r ,由已知l +2r =60,所以l =60-2r ,|α|=l r =60-2r r, 从而S =12|α|r 2=12·60-2r r·r 2=-r 2+30r =-(r -15)2+225, 当r =15时,S 取最大值为225,这时圆心角α=l r =60-2r r=2 rad , 可得弧长AB =αr =2×15=30 (cm).【当堂达标】1.[提示] (1)错误,1弧度的角是周角的12π.(2)正确. [答案] (1)× (2)√2.B [由弧度数公式α=l r ,得α=32r r =32,因此圆弧所对的圆心角是32rad.] 3.5π6 [-570°=-19π6=-4π+5π6.] 4.[解] 因为r =π,α=120×π180=2π3, 所以l =αr =2π23 cm ,S =12lr =π33cm 2.。
高中数学教案弧度制

高中数学教案弧度制一、教学目标:1. 了解弧度的定义和性质;2. 掌握弧度与度的换算方法;3. 能够在实际问题中应用弧度制计算。
二、教学重点:1. 弧度的定义和推导;2. 弧度与度的换算;3. 弧度在解题中的应用。
三、教学内容:1. 弧度的定义:弧度制是以半径为单位长度的圆弧对应于的一个唯一的实数,记作 rad;2. 弧度与度的关系:1 弧度对应的弧长等于圆心角为 1 弧度的圆的半径;3. 弧度的换算:1 弧度≈57.2958 度;4. 弧度在解题中的应用:解决舍弃角度制所带来的误差,简化计算过程。
四、教学步骤:1. 弧度的引入:介绍弧度的定义和性质,引导学生理解弧度的重要性;2. 弧度与度的换算:讲解如何进行弧度与度之间的换算,进行相关例题训练;3. 弧度在解题中的应用:通过实际问题,引导学生应用弧度制进行计算,培养学生解决问题的能力;4. 教师总结:总结弧度制的重要性和应用,强调学生灵活运用弧度制进行计算。
五、教学方法:1. 讲授结合讨论:教师讲解概念、定理等内容,学生根据教师引导进行讨论,提高学生思维的活跃程度;2. 例题演练:教师通过例题演练,帮助学生掌握解题方法和技巧;3. 课堂练习:设计一定难度的练习题,提高学生解题的能力;4. 课堂讨论:引导学生在课堂上进行问题讨论,促进学生的思维碰撞。
六、教学评估:1. 课堂表现评估:评估学生在课堂上的参与度和表现情况;2. 课后作业评估:布置相关作业,检测学生对弧度制的掌握程度;3. 学习笔记评估:要求学生认真记录学习笔记,评估学生对弧度制相关知识的整理和消化情况。
七、教学反思与改进:1. 在弧度与度的换算方面,可以设计更多的实际问题,增加学生练习机会;2. 在课堂中增加互动环节,激发学生学习兴趣,更好地引导学生掌握弧度制;3. 针对学生在学习过程中出现的问题,及时进行归纳总结,帮助学生更好地理解和掌握弧度制相关知识。
《弧度制》学案1

《弧度制》学案1一、学习目标1、理解弧度制的概念,能熟练地进行角度与弧度的换算。
2、掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并能灵活运用解决相关问题。
二、知识梳理(一)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表示,读作弧度。
设半径为 r 的圆,圆心角α所对的弧长为 l ,则α的弧度数的绝对值为|α| = l / r 。
(二)角度与弧度的换算1、因为周角的弧度数为2π ,平角的弧度数为π,直角的弧度数为π/ 2 。
2、 180°=π rad ,1°=π /180 rad ≈ 001745 rad ,1 rad =(180 /π)° ≈ 5730° 。
(三)弧度制下的弧长公式和扇形面积公式1、弧长公式:l =|α| r ,其中α为圆心角的弧度数,r 为半径。
2、扇形面积公式:S = 1 / 2 l r 或 S = 1 / 2 |α| r² 。
三、例题讲解例 1:将67°30′转化为弧度。
解:因为 1°=60′,所以30′ = 05°,则67°30′ = 675°。
又因为 1°=π / 180 rad ,所以 675°=675 × π / 180 =3π / 8 rad 。
例 2:已知扇形的圆心角为 2 rad ,半径为 5 cm ,求扇形的弧长和面积。
解:扇形的弧长 l =|α| r = 2 × 5 = 10(cm)。
扇形的面积 S = 1 / 2 |α| r² = 1 / 2 × 2 × 5²= 25(cm²)。
四、课堂练习1、将112°30′转化为弧度。
2、已知扇形的圆心角为 3 rad ,半径为 8 cm ,求扇形的弧长和面积。
五、拓展思考1、弧度制与角度制在实际应用中有哪些优缺点?2、如何利用弧度制解决与三角函数相关的问题?六、易错点分析1、在角度与弧度的换算中,容易出现计算错误,特别是小数的运算。
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课题:4.2弧度制(一)教学目的:1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数教学重点:使学生理解弧度的意义,正确地进行角度与弧度的换算.教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪内容分析:讲清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.教学过程:一、复习引入:1.角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋转终止的射线OB 叫做角α的终边,射线的端点O叫做角α的顶点.⑵.“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图,以OA为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660°,定义的?规定周角的3601作为1°的角,我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,有了它,可以计算弧长,公式为180rn l π=3.探究30°、60°的圆心角,半径r 为1,2,3,4,分别计算对应的弧长l ,再计算弧长与半径的比结论:圆心角不变,则比值不变,因此比值的大小只与角的大小有关,我们可以利用这个比值来度量角,这就是另一种度量角的制度——弧度制2.度量角的大小第一种单位制—角度制的定义初中几何中研究过角的度量,当时是用度做单位来度量角,1°的角是如何定义的?规定周角的3601作为1°的角,我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,有了它,可以计算弧长,公式为180rn l π=3.探究30°、60°的圆心角,半径r 为1,2,3,4,分别计算对应的弧长l ,再计算弧长与半径的比结论:圆心角不变,则比值不变,因此比值的大小只与角的大小有关,我们可以利用这个比值来度量角,这就是另一种度量角的制度——弧度制一样有不同的方法,千米、米、厘米与丈、尺、寸,反映了事物本身不变,改变的是不同的观察、处理方法,因此结果就有所不同⑸用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0) 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同2. 角度制与弧度制的换算:∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad三、讲解范例:例1 把'3067化成弧度解:⎪⎭⎫⎝⎛=2167'3067∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例2 把rad π53化成度 解:1081805353=⨯=rad π 注意几点:1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行;2.今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如:3表示3rad , sin π表示πrad 角的正弦;3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住:4.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系任意角的集合 实数集R例3用弧度制表示:1 终边在x 轴上的角的集合2 终边在y 轴上的角的集合3 终边在坐标轴上的角的集合解:1 终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ 2 终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3 终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ 四、课堂练习:1.下列各对角中终边相同的角是( )A.πππk 222+-和(k∈Z) B.-3π和322πC.-97π和911πD. 9122320ππ和2.若α=-3,则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若α是第四象限角,则π-α一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ,第一或第三象限角的集合为 .5.7弧度的角在第 象限,与7弧度角终边相同的最小正角为 .6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为 .7.求值:2cos 4tan6cos6tan3tan3sinππππππ-+. 8.已知集合A={α|2kπ≤α≤π+2kπ,k∈Z},B ={α|-4≤α≤4},求A ∩B .9.现在时针和分针都指向12点,试用弧度制表示15分钟后,时针和分针的夹角.参考答案: 1.C 2.C 3.C4.{α|2k π<α<2π+2k π,k ∈Z } {α|k π<α<2π+k π,k ∈Z } 5.一 7-2π 6.3 7.28.A ∩B ={α|-4≤α≤-π或0≤α≤π} 9.2411π五、小结 1.弧度制定义 2.与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数 六、课后作业:已知α是第二象限角,试求:(1)2α角所在的象限;(2)3α角所在的象限;(3)2α角所在范围. 解:(1)∵α是第二象限角,∴2π+2k π<α<π+2k π,k ∈Z ,即4π+k π<2α<2π+k π,k ∈Z . 故当k =2m (m ∈Z )时,4π+2m π<2α<2π+2m π,因此,2α角是第一象限角;当k =2m +1(m ∈Z )时,45π+2m π<2α<23π+2m π,因此,2α角是第三象限角.综上可知,2α角是第一或第三象限角.(2)同理可求得:6π+32k π<3α<3π+32k π,k ∈Z .当k =3m (m ∈Z )时,ππαππm m 23326+<<+,此时,3α是第一象限角;当k =3m +1(m ∈Z )时,πππαπππ322333226++<<++m m ,即3265αππ<+m <π+2m π,此时,3α角是第二象限角; 当k =3m +2(m ∈Z )时,ππαππm m 2353223+<<+,此时,3α角是第四象限角.综上可知,3α角是第一、第二或第四象限角. (3)同理可求得2α角所在范围为:π+4k π<2α<2π+4k π,k ∈Z .评注:(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的,例如0°<α<90°这个区间角,只是k =0时第一象限角的一种特殊情况.(2)要会正确运用不等式进行角的表达,同时会以k 取不同值,讨论形如θ=α+32k π(k ∈Z )所表示的角所在象限. (3)对于本例(3),不能说2α只是第一、二象限的角,因为2α也可为终边在y 轴负半轴上的角23π+4k π(k ∈Z ),而此角不属于任何象限. 七、板书设计(略) 八、课后记:课 题:4.2弧度制(一)教学目的:1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数教学重点:使学生理解弧度的意义,正确地进行角度与弧度的换算.教学难点:弧度的概念及其与角度的关系. 授课类型:新授课 课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:讲清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解. 教学过程:一、复习引入: 1.角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ,就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边,旋转终止的射线OB 叫做角α的终边,射线的端点O 叫做角α的顶点.⑵.“正角”与“负角”“0角”定义的?规定周角的3601作为1°的角,我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,有了它,可以计算弧长,公式为180rn l π=3.探究30°、60°的圆心角,半径r 为1,2,3,4,分别计算对应的弧长l ,再计算弧长与半径的比结论:圆心角不变,则比值不变,因此比值的大小只与角的大小有关,我们可以利用这个比值来度量角,这就是另一种度量角的制度——弧度制二、讲解新课:1. 定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧度,这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.如下图,依次是1rad , 2rad , 3rad ,αrad探究:⑴平角、周角的弧度数,(平角=π rad 、周角=2π rad )⑵正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值rl=α(l 为弧长,r 为半径)⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法,单位、进制不同,就像度量长度一样有不同的方法,千米、米、厘米与丈、尺、寸,反映了事物本身不变,改变的是不同的观察、处理方法,因此结果就有所不同⑸用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0) 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同2. 角度制与弧度制的换算:∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad三、讲解范例:例1 把'3067化成弧度解:⎪⎭⎫⎝⎛=2167'3067∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例2 把rad π53化成度 解: 1081805353=⨯=rad π注意几点:1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行;2.今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如:3表示3rad , sin π表示πrad 角的正弦;3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住:4.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系任意角的集合 实数集R例3用弧度制表示:1 终边在x 轴上的角的集合2 终边在y 轴上的角的集合3 终边在坐标轴上的角的集合解:1 终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ 2 终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3 终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ 四、课堂练习:1.下列各对角中终边相同的角是( )A.πππk 222+-和(k∈Z) B.-3π和322πC.-97π和911πD. 9122320ππ和2.若α=-3,则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若α是第四象限角,则π-α一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ,第一或第三象限角的集合为 .5.7弧度的角在第 象限,与7弧度角终边相同的最小正角为 .6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为 .7.求值:2cos 4tan6cos6tan3tan3sinππππππ-+. 8.已知集合A={α|2kπ≤α≤π+2kπ,k∈Z},B ={α|-4≤α≤4},求A ∩B .9.现在时针和分针都指向12点,试用弧度制表示15分钟后,时针和分针的夹角.参考答案: 1.C 2.C 3.C4.{α|2k π<α<2π+2k π,k ∈Z } {α|k π<α<2π+k π,k ∈Z } 5.一 7-2π 6.3 7.28.A ∩B ={α|-4≤α≤-π或0≤α≤π} 9.2411π五、小结 1.弧度制定义 2.与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数 六、课后作业:已知α是第二象限角,试求:(1)2α角所在的象限;(2)3α角所在的象限;(3)2α角所在范围.优秀学习资料 欢迎下载解:(1)∵α是第二象限角,∴2π+2k π<α<π+2k π,k ∈Z ,即4π+k π<2α<2π+k π,k ∈Z . 故当k =2m (m ∈Z )时,4π+2m π<2α<2π+2m π,因此,2α角是第一象限角;当k =2m +1(m ∈Z )时,45π+2m π<2α<23π+2m π,因此,2α角是第三象限角. 综上可知,2α角是第一或第三象限角. (2)同理可求得:6π+32k π<3α<3π+32k π,k ∈Z .当k =3m (m ∈Z )时,ππαππm m 23326+<<+,此时,3α是第一象限角; 当k =3m +1(m ∈Z )时,πππαπππ322333226++<<++m m ,即3265αππ<+m <π+2m π,此时,3α角是第二象限角; 当k =3m +2(m ∈Z )时,ππαππm m 2353223+<<+,此时,3α角是第四象限角. 综上可知,3α角是第一、第二或第四象限角. (3)同理可求得2α角所在范围为:π+4k π<2α<2π+4k π,k ∈Z .评注:(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的,例如0°<α<90°这个区间角,只是k =0时第一象限角的一种特殊情况.(2)要会正确运用不等式进行角的表达,同时会以k 取不同值,讨论形如θ=α+32k π(k ∈Z )所表示的角所在象限. (3)对于本例(3),不能说2α只是第一、二象限的角,因为2α也可为终边在y 轴负半轴上的角23π+4k π(k ∈Z ),而此角不属于任何象限. 七、板书设计(略)八、课后记:。