概率统计作业解答

《概率论与数理统计》作业解答
第一章 概率论的基本概念习题（P24-28）
1. 写出下列随机试验的样本空间S ：
(1) 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）. (2) 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数.
(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品，就停止检查，或检查了4件产品就停止检查. 记录检查的结果.
(4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.
分析 要写出随机试验的样本空间，就要明确所有的样本点，即随机试验时直接产生的所有可能的结果.
解 (1) 我们考察一个班数学考试平均分的所有可能. 为此，我们先明确平均分的计算：全班的总分除以班级学生数.
设该班有n 个学生，则全班总分的所有可能为0到100n 的所有整数i . 其平均分为
i n . 故，所求样本空间为：:1,2,,100i S i n n ⎧⎫==⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭
. (2) 由已知，生产的件数至少为10（刚开始生产的10件均为正品），此后，可以取大于等于10的所有整数. 故所求样本空间为：{}10,11,12,S =⋅⋅⋅. (3) 若记0＝“检查的产品为次品”，1＝“检查的产品正品”，0，1从左到右按
检查的顺序排列，则所求样本空间为：
{}00,100,0100,0101,0110,0111,1010,1011,1100,1101,1110,1111S =
(5) 所求样本空间为：{
}
22
(,):1S x y x y =+<
2. 设,,A B C 为三个事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 发生，B 与C 不发生. (2) A 与B 都发生，而C 不发生. (3) ,,A B C 至少有一个发生. (4) ,,A B C 都发生.
(5) ,,A B C 都不发生. (6) ,,A B C 不多于一个发生. (7) ,,A B C 不多于两个发生. (8) ,,A B C 至少有两个发生.
分析 本题只要掌握事件运算的概念即可解决.
解 (1) “A 发生，B 与C 不发生”＝A B C --(或ABC )
(2) “A 与B 都发生，而C 不发生.”＝AB C -(或ABC ) (3) “,,A B C 至少有一个发生”＝A B C ++. (4) “,,A B C 都发生”＝ABC (5) “,,A B C 都不发生”＝ABC
(6) “,,A B C 不多于一个发生”＝ABC ABC ABC ABC +++ (7) “,,A B C 不多于两个发生”＝ABC
(8) “,,A B C 至少有两个发生”＝AB AC BC ++.
第二章随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
分析 本题只要掌握随机变量独立性概念及公式：
,)~ (,)X Y f x y Z X Y ⇒=+（的密度为：
()(,)d (,)d Z f z f x z x x f z y y y +∞
+∞
-∞
-∞
=-=-⎰
⎰
解 由已知，112()e e e ,,1,
,)~ (,)0,x y x y x y X Y f x y ---+⎧⋅=>=⎨⎩
其它（
故2(())2111
1
()(,)d e d e d x z x z Z x x z x x z f z f x z x x x x +∞
-+---∞
><-><-=
-=
=
⎰
⎰
⎰
1221
0,12e d e (2),12z z
z
z z x z z z ----⎧⎪
=⎨=--⎪⎩⎰即即≤1,≤>1,>
第四章 随机变量的数字特征（P110-115）
分析 本题只要掌握下列有关公式：
XY ρ=
(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-⋅
()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y ±=+± 22()()()D X E X E X =-
2
[(,)](,) (,)d d R E g X Y g x y f x y x y =⎰⎰
可见，要先求,X Y 的一阶矩和二阶矩. 为此，可以先求,X Y 的边缘密度.
解 201
1()d (1),02, () (,)d 840,X x y y x x f x f x y y +∞
-∞
⎧+=+⎪
==⎨⎪⎩⎰⎰≤≤其它
201
1()d (1),02,
() (,)d 840,Y x y x y y f y f x y x +∞
-∞
⎧+=+⎪==⎨⎪⎩⎰⎰≤≤其它
2
2
22320
00111117() ()d d ()d 444326
x E X x f x x x x x x x x x +∞-∞+⎡⎤===+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰
⎰
2
222
2
2
32430
00111115() ()d d ()d 444433
x E X x f x x x x x x x x x +∞
-∞
+⎡⎤===+=+=
⎢⎥⎣⎦⎰⎰
⎰故2
2
2
5711
()()()3636
D X
E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
同理，由对称性得，7()6E Y =
，25
()3
E Y =，11()36D Y =. 2
0202
2200() (,)d d d d 814
=d ()d 83
x R y x y
E XY xy f x y x y xy x y
x xy x y y +==+=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤
故4771
(,)()()()=36636Cov X Y E XY E X E Y =-⋅-⨯=-
1111XY ρ-
===-
111115
()()()2(,)23636369
D X Y D X D Y Cov X Y ⎛⎫+=++=++⨯-= ⎪⎝⎭.
注 本题中，由于 () ()(,)X Y f x f y f x y ⋅=，故,X Y 不相互独立.
注 本题中，若联合密度改为联合分布律：
X
Y 01
01/61/31
1/31/6
，重算结果.
第五章 大数定律及中心极限定理
知识点复习
1. 若12,,
,,n X X X ⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列，
2(),()i i E X D X μσ==，则当n 充分大时，
12n X X X +++近似服从正态分布2(,)N n n μσ.
2. 由于~(,)X B n p ⇒12n X X X X =++
+其中~(1,),1,i X B p i n =且
相互独立，(),(),(1)i i E X p D X pq q p ===-. 故由如上中心极限定理得：
当n 充分大时，~(,)X B n p ⇒X 近似服从正态分布(,)N np npq .
第六章 样本及抽样分布
知识点复习
3. 若12,,,n X X X 是来自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本，则其样本均
值2
~(,
)X N n
σμ.
4. 若12,,
,n X X X 是来自标准正态总体~(0,1)X N 的一个样本，则称统计
量222212n X X X χ=++⋅⋅⋅+为自由度为n 的2
χ统计量，记为
2222212~()n X X X n χχ=++⋅⋅⋅+
5. 若12,,,,n X X X Y 是来自标准正态总体~(0,1)X N 的一个样本，则称统
计量
T =
为自由度为n 的t 统计量，记为~()T t n
第七章 参数估计
2. 设总体X
概率密度为1,01,
()0,x f x =⎪⎩其它,≤≤其中(0)θ>为未知参
数，
12,,,n x x x 是来自总体X 的样本12,,
,n X X X 的观察值，试求未知参数θ的
（1）矩估计量；（2）极大似然估计值.
解：（1）由矩估计法，令
1
1
1
11
2
() ()d d 111X
E X x f x x x x
X X
X
X X θ+∞
-∞
=====
=
⇒=-⎛⎫⎛⎫
⎪⎝= -⎭
⇒⎪
⎝⎭
⎰
⎰比例性质：两边分母同减去分子 即得参数θ的矩估计量.
（2）由已知，观察值：120,,
,n x x x ≤≤1，故
似然函数为12() () () ()n L f x f x f x θ=⋅⋅⋅
1
1
1
))=⋅⋅⋅
1
12(n n x x x =⋅⋅⋅达最大，
即取自然对数后：
()ln ()g L θθ
=12ln 1)ln()2
n n
x x x θ=+-⋅⋅⋅达最大
121())02n n g x x x θθ'=
⋅+
得唯一驻点2212
ˆln ()
n n x x x θ
=（即最值点）即为参数θ的0极大似然估计值.。